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《反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)》教案2 教學目標 一、知識與技能 1．進一步熟悉作函數(shù)圖象的主要步驟，會作反比例函數(shù)的圖象． 2．體會函數(shù)的三種表示方法的相互轉換，對函數(shù)進行認識上的整合． 3．逐步提高從函數(shù)圖象中獲取信息的能力，探索并掌握反比例函數(shù)的主要性質(zhì)． 二、過程與方法 1．經(jīng)歷反比例函數(shù)主要性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)過程． 2．體會分類討論思想、數(shù)形結合思想的運用． 三、情感態(tài)度與價值觀 1．積極參與探索活動，注意多和同伴交流看法． 2．在動手作圖的過程中，體會做中的樂趣，養(yǎng)成勤于動手，樂于探索的習慣． 教學重點 掌握反比例函數(shù)的作圖． 教學難點 反比例函數(shù)三種表示方法的相互轉換． 教具準備 1．教師準備：投影儀、直尺、圓規(guī)． 2．學生準備：預習本節(jié)課的內(nèi)容． 教學過程 一、創(chuàng)設問題情境，引入新課 活動1 （1）畫函數(shù)y=3x-1的圖象；（2）求上述函數(shù)與x軸、y軸的交點坐標． 設計意圖： 總結一次函數(shù)圖象作法的基本步驟及其性質(zhì)，為學習反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)作準備． 師生行為： 學生獨立思考、操作、交流、回答；教師可與學生平等交流，提問學生． 生：（1）列表：（由于一次函數(shù)的圖象是一條直線，所以只需找到兩個點）． x 0 y -1 0 （2）描點：以表中各組對應值作為點的坐標，在直角坐標系內(nèi)描出相應的點． （3）連線：連接兩點即可得y=3x-1的圖象（圖象略）令x=0，則y=-1，∴一次函數(shù)與y軸交點坐標為（0，-1），令y=0，得x=，∴一次函數(shù)與x軸交點的坐標為（，0）． 師：很好，什么叫做反比例函數(shù)？ 生：如果兩個變量x、y之間的關系可以表示成y=（k為常數(shù)且k≠0）的形式，那么y是x的反比例函數(shù)，反比例函數(shù)的自變量x不能為零． 師：請同學們猜一猜，一次函數(shù)的圖象是一條直線，那么反比例函數(shù)的圖象是什么樣的呢？你能畫出例如y=，y=，y=-，y=-的圖象嗎？ 生：我認為反比例函數(shù)的圖象是斷開的，因為x≠0． 生：我認為反比例函數(shù)的圖象是與x軸、y軸無交點，因為x≠0，y≠0． 師：反比例函數(shù)的圖象到底如何呢？下面我們親自動手操作就會發(fā)現(xiàn)反比例函數(shù)圖象的特點． 二、探索、研究──揭示反比例函數(shù)的特點 活動2 【例2】畫出反比例函數(shù)y=與y=-的圖象． 設計意圖： 進一步熟悉作出函數(shù)圖象的主要步驟，會作反比例函數(shù)的圖象．同時讓學生進一步體會函數(shù)三種表示方法的相互轉換，對函數(shù)進行認識上的整合，去為發(fā)現(xiàn)反比例函數(shù)的性質(zhì)作準備． 師生行為： 學生初次遇到作非線性函數(shù)的圖象，而且反比例函數(shù)的圖象是由斷開的兩支曲線組成，因此在作圖過程中應給學生留有思考的時間和交流的空間． 學生可以先自己動手畫圖，相互觀摩． 在此活動中，教師應重點關注： ①學生能否順利進行三種表示方法的相互轉換； ②是否熟悉作出函數(shù)圖象的主要步驟，會作反比例函數(shù)的圖象； ③在動手作圖的過程中，能否勤于動手，樂于探索． 師：這是我們初次遇到作反比例函數(shù)的圖象．但作圖象的步驟和要求與畫一次函數(shù)圖象基本一樣．第一步應該做什么？ 生：列表．由于自變量x≠0，列表時，我們是否在0的兩邊對稱地取互為相反數(shù)的x值．這樣y就只差一個符號，可以減少計算量． 師：這個同學的想法很好！“三思而后行”，使自己的思路變得如何清晰，是很了不起的事．我們不妨分成兩個大組，第一大組列函數(shù)y=的表格，第二大組列函數(shù)y=-的表格． 生：解：列表表示幾組x與y的對應值（填空）： x…-6-5-4-3-2-1123456… y=…-1-1.2-1.5-2-3-66321.51.21… y=-…11.21.5236-6-3-2-1.5-1.2-1… 師：你還記得如何用“描點”的方法畫出函數(shù)的圖象嗎？ 生：從列出的表格可知，畫y=的圖象需描點（-6，-1），（-5，-1.2），（-4，-1.5），（-3，-2），（-2，-3），（-1，-6），（1，6），（2，3），（3，2），（4，1.5），（5，1.2），（6，1）… 畫y=-的圖象需描點（-6，1），（-5，1.2），（-1，1.5），（-3，2），（-2，3），（-1，6），（1，-6），（2，-3），（3，-2），（4，-1.5），（5，-1.2），（6，-1）… 生：我們找到了點在直角坐標系內(nèi)描出相應的點，接著該連線了吧？這么多的點從哪兒連起呢？ 生：我認為連線要用平滑的曲線把各個點按自變量由小到大的順序連起來． 師：很好！反比例函數(shù)是我們第一次遇到的非直線的函數(shù)圖象，而且反比例函數(shù)的圖象是由斷開的兩支曲線組成，我們從描出的點的變化趨勢就可看出，切記不能用折線連接． 師生共析： 用平滑的曲線按自變量從小到大的順序把描出點連接起來，就可得到下圖: 師：我們利用列表、描點、連線，得到了y=與y=-的圖象，它們有什么共同的特征？它們之間有什么關系呢？ 生：比較反比例函數(shù)y=與y=-的圖象可以發(fā)現(xiàn)，它們都是由兩條曲線組成，曲線都無限地接近x、y軸，但不會與x軸、y軸相交． 師：也就是反比例函數(shù)的圖象是雙曲線． 生：還可以發(fā)現(xiàn)y=與y=-的圖象都是軸對稱圖形，各有兩條對稱軸．它們都不會經(jīng)過原點． 活動3 練習： 在下面的平面直角坐標系中，如下圖畫出反比例函數(shù)y=與y=-的圖象，可以利用y=與y=-圖象之間的關系畫出函數(shù)y=-的圖象． 設計意圖： 進一步熟悉畫反比例函數(shù)圖象的一般步驟和需要注意的問題：列表時，自變量的值可以選取絕對值相等而符號相反的一對一對的數(shù)值，這樣可以簡化運算，又便于描點，作出圖象的對稱；列表，描點時，要盡可能多取一些數(shù)值，多描一些點，這樣便于連線．在連線時，必須用光滑曲線連接各點，而又不能用折線等． 師生行為： 由學生自己獨立完成． 教師巡視對有困難的學生給予指導，然后讓兩個同學板演． 在此活動中教師應重點關注： ①能否掌握畫反比例函數(shù)圖象的步驟； ②能否用光滑的曲線畫出； ③能否利用y=與y=-的關系畫出函數(shù)的圖象． 活動4 觀察函數(shù)y=和y=-以及y=和y=-的圖象． （1）你能發(fā)現(xiàn)它們的共同特征以及不同點嗎？ （2）每個函數(shù)的圖象分別位于哪幾個象限？ （3）在每一個象限內(nèi)，y隨x的變化如何變化？ 設計意圖： 提高學生從函數(shù)圖象中獲取信息的能力，探索并掌握反比例函數(shù)的主要性質(zhì)，體會分類討論的思想，數(shù)形結合思想的運用．并引導學生積極參與探索活動，注意多和同伴交流看法． 師生行為： 學生分組針對上面3個問題結合畫出的圖象分類討論，歸納總結反比例函數(shù)圖象的特點和性質(zhì)． 教師參與到學生的討論中去，積極引導． 在此活動中，教師應重點關注： ①學生能否從反比例函數(shù)y=，y=-和y=與y=-圖象中歸納出它們的相同點和不同點． ②學生能否積極參與到小組討論中，大膽發(fā)表自己的見解，傾聽別人的看法． 師：觀察y=和y=-以及y=和y=-的圖象，函數(shù)y=的圖象在哪些象限由什么因素來決定？ 生：y=，y=的圖象都在第一、第三象限；而y=-和y=-的圖象都在第二、第四象限． 所以y=的圖象在哪些象限，由k來決定．當k>0時反比例函數(shù)的圖象位于第一、第三象限；當k<0時，反比例函數(shù)的圖象位于第二、四象限． 師：很好！我們已知道反比例函數(shù)的圖象是兩支，我們把它叫做雙曲線，而函數(shù)是研究兩個變量之間的關系的．像y=和y=-以及y=與y=-，它們的圖象在每個象限，y隨x的變化如何變化？ 生：由y=的圖象可以發(fā)現(xiàn)，位于第一象限內(nèi)的圖象，從左向右看，x在增大，曲線成下降趨勢，說明函數(shù)值y隨x的增大而減小，位于第三象限的一支也隨x的增大減?。? 生：由y=-的圖象可以發(fā)現(xiàn)，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大． 生：而y=與y=-的圖象也不難發(fā)現(xiàn)：對于y=，在每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，對于y=-，在每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大． 師生共析： 所以，y隨x的變化情況也同k有關系，即y=，當k>0時，在每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小；當k<0時，在每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大． 生：為什么要強調(diào)在“每一個象限內(nèi)”呢？ 師：大家知道，反比例函數(shù)的圖象是“斷開”的．所以，y隨x的變化情況也是“斷開”的，因此需在每一個象限內(nèi)分別討論： 綜上所述，反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)如下： （1）反比例函數(shù)y=（k為常數(shù)，k≠0）的圖象是雙曲線； （2）當k>0時，雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個象限內(nèi)y隨x值的增大而減?。? （3）當k<0時，雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個象限內(nèi)，y隨x值的增大而增大． 下面我們就根據(jù)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)完成下列練習． 三、鞏固提高 活動5 1．請指出下面的圖象中，如下圖哪一個是反比例函數(shù)的圖象（ ） 2．如右圖，這是下列四個函數(shù)中哪一個函數(shù)的圖象（ ） A．y=5x B．y=2x+3 C．y= D．y=- 設計意圖： 熟悉反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，進一步體會數(shù)形結合的思想． 師生行為： 學生獨立思考完成． 教師巡視，引導“學困生”完成任務． 在此活動中，學生應重點關注： （1）學生能否熟練掌握反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)． （2）學生是否能將剛學過的知識用于實踐． 生：解：1．反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，所以應選Ｃ． 2．從上圖中可以看出是反比例函數(shù)的圖象，而給出的四個函數(shù)中，AB都不是反比例函數(shù)，而D雖是反比例函數(shù)，但y=-中，k=-3<0，圖象應在二、四象限，應選C． 四、課堂總結，提高認識 活動6 你對本節(jié)知識有哪些認識？ 設計意圖： 這種形式的小結，激發(fā)了學生的主動參與意識調(diào)動了學生的學習興趣，為每一位學生都制造了在數(shù)學學習活動中獲得成功的體驗體會，并為程度不同的學生提供了充分展示自己的機會，尊重學生的個體差異，滿足多樣化的學習需要，從而使小節(jié)活動不流于形式而具有實效性，為學生提供更好的空間以梳理自己在本節(jié)課中的收獲． 小結活動既要注重引導學生對反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)又充分認識，又要從能力、情感態(tài)度等方面關注學生對課堂的整體感受． 師生行為： 教師可由學生隨意說出一個反比例函數(shù)，然后由另一個學生說出它的性質(zhì)或制作卡片（卡片上可直接寫上幾個反比例函數(shù)或反比例函數(shù)的圖象）．讓學生抽取并回答卡片上提出的問題． 在活動中，教師應重點關注： （1）不同層次學生對本節(jié)課知識的認識程序； （2）學生獨立面對困難和克服困難的能力． 板書設計 17．1．2反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)（一） 1．反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì) （1）y=，y=- （2）y=，y=- ①反比例函數(shù)的圖象是雙曲線； ②當k>0時，雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個象限內(nèi)y隨x值的增大而減??； ③當k<0時，雙曲線的兩支分別位于第二、四象限，在每個象限內(nèi)y隨x值的增大而增大． 2．練習 活動與探究 右如圖A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）是函數(shù)y=圖象在第一象限分支上的三個點，且x10）的圖象與反比例函數(shù)y=（k>0）的圖象分別交于A、C兩點．若Rt△AOB與Rt△COD的面積分別記為S1、S2，請你分析S1和S2的大小關系，并寫出分析過程． 過程：∵A、C是y=（k>0）上的點，x1y1=x2y2=k，S△AOB=│x1y1│=k， S△COD=│x2y2│=k． 結果：S△AOB=S△COD即面積相等． 備課資料 參考例題 【例1】反比例函數(shù)y=的圖象所在象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，求a的值． 分析：根據(jù)反比例函數(shù)解析式的一般式y(tǒng)=（k≠0），可知此函數(shù)為反比例函數(shù)，13-a2=1；2a-3≠0，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，圖象在象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，則2a-3<0． 解：由 所以a=-2． 【例2】已知一次函數(shù)y=k1x+b中，y隨x的增大而減小，且b>0；反比例函數(shù)y=中，k1=k2，那么它們在同一坐標系中的圖象只可能是（ ） 分析：由一次函數(shù)y=k1x+b中，y隨x的增大而減小，則可知k1<0．又b>0，故直線與y軸交點在y軸的正半軸上． 因k2=k1，而且k1<0，所以k2<0．雙曲線y=在第二、第四象限，故選C．