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第一章 特殊平行四邊形 總分120分 120分鐘 一．選擇題（共8小題，每題3分） 1．（2018?十堰）菱形不具備的性質(zhì)是（　　） A．四條邊都相等 B．對角線一定相等 C．是軸對稱圖形 D．是中心對稱圖形 2．（2018?上海）已知平行四邊形ABCD，下列條件中，不能判定這個平行四邊形為矩形的是（　　） A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC 3．（2018?日照）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AO＝CO，BO＝DO．添加下列條件，不能判定四邊形ABCD是菱形的是（　?。? A．AB＝AD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．∠ABO＝∠CBO 4．（2018?梧州）如圖，在正方形ABCD中，A、B、C三點的坐標分別是（﹣1，2）、（﹣1，0）、（﹣3，0），將正方形ABCD向右平移3個單位，則平移后點D的坐標是（　　） A．（﹣6，2） B．（0，2） C．（2，0） D．（2，2） 5.（2018?貴陽）如圖，在菱形ABCD中，E是AC的中點，EF∥CB，交AB于點F，如果EF＝3，那么菱形ABCD的周長為（　?。? A．24 B．18 C．12 D．9 6．如圖，在矩形ABCD中有兩個一條邊長為1的平行四邊形，則它們的公共部分（即陰影部分）的面積是（　?。? A．大于1 B．等于1 C．小于1 D．小于或等于1 7．在四邊形ABCD中，∠A=60°，∠ABC=∠ADC=90°，BC=2，CD=11，自D作DH⊥AB于H，則DH的長是（　?。? A．7.5 B．7 C．6.5 D．5.5 8. （2018?宜昌）如圖，正方形ABCD的邊長為1，點E，F(xiàn)分別是對角線AC上的兩點，EG⊥AB．EI⊥AD，F(xiàn)H⊥AB，F(xiàn)J⊥AD，垂足分別為G，I，H，J．則圖中陰影部分的面積等于 （　?。? A．1 B． C． D． 二．填空題（共6小題，每題3分） 9．如圖，在矩形ABCD中，AC、BD相交于點O且AC=8，如果∠AOD=60°，那么AD=　4?。? 10．四邊形ABCD的對角線AC和BD相交于點O，設(shè)有下列條件：①AB=AD；②∠DAB=90°；③AO=CO，BO=DO；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD，⑥正方形ABCD，則在下列推理不成立的是　_________　 A、①④?⑥；B、①③?⑤；C、①②?⑥；D、②③?④ 11．（2018?葫蘆島）如圖，在菱形OABC中，點B在x軸上，點A的標為（2，3），則點C的坐標為　 ?。? 12．（2018?巴彥淖爾）如圖，菱形ABCD的面積為120cm2，正方形AECF的面積為72cm2，則菱形的邊長為　2　．（結(jié)果中如有根號保留根號） 13．（2018?南通）如圖，在△ABC中，AD，CD分別平分∠BAC和∠ACB，AE∥CD，CE∥AD．若從三個條件：①AB＝AC；②AB＝BC；③AC＝BC中，選擇一個作為已知條件，則能使四邊形ADCE為菱形的是　　（填序號）． 14．（2018?武漢）以正方形ABCD的邊AD作等邊△ADE，則∠BEC的度數(shù)是　　． 三．解答題（共11小題） 15．（6分）（2018?舟山）如圖，等邊△AEF的頂點E，F(xiàn)在矩形ABCD的邊BC，CD上，且∠CEF＝45°．求證：矩形ABCD是正方形． 16．（6分）（2018?廣西）如圖，在?ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)，且BE＝DF． （1）求證：?ABCD是菱形； （2）若AB＝5，AC＝6，求?ABCD的面積． 17．（6分）（2018?湘西州）如圖，在矩形ABCD中，E是AB的中點，連接DE、CE． （1）求證：△ADE≌△BCE； （2）若AB＝6，AD＝4，求△CDE的周長． 18．（6分）已知：如圖，△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的高，AE是△BAC的外角平分線，DE∥AB交AE于點E，求證：四邊形ADCE是矩形． 19．（6分）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，∠C=45°，BC=4，AD=2．求四邊形ABCD的面積． 20．（8分）如圖，∠CAE是△ABC的外角，AD平分∠EAC，且AD∥BC．過點C作CG⊥AD，垂足為G，AF是BC邊上的中線，連接FG． （1）求證：AC=FG． （2）當(dāng)AC⊥FG時，△ABC應(yīng)是怎樣的三角形？為什么？ 21．（8分）如圖，E是等邊△ABC的BC邊上一點，以AE為邊作等邊△AEF，連接CF，在CF延長線取一點D，使∠DAF=∠EFC．試判斷四邊形ABCD的形狀，并證明你的結(jié)論． 22．（8分）如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點0，BE∥AC，EC∥BD，BE、EC相交于點E．試說明：四邊形OBEC是菱形． 23．（8分）如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，判斷四邊形CODE的形狀，并計算其周長． 24．（8分）如圖，在矩形ABCD中，對角線BD的垂直平分線MN與AD相交于點M，與BD相交于點O，與BC相交于N，連接MN，DN． （1）求證：四邊形BMDN是菱形； （2）若AB=6，BC=8，求MD的長． 25．（8分）如圖所示，有四個動點P，Q，E，F(xiàn)分別從正方形ABCD的四個頂點出發(fā)，沿著AB，BC，CD，DA以同樣速度向B，C，D，A各點移動． （1）試判斷四邊形PQEF是否是正方形，并證明； （2）PE是否總過某一定點，并說明理由． 參考答案與試題解析 一．選擇題（共8小題） 1．（2018?十堰）菱形不具備的性質(zhì)是（　?。? A．四條邊都相等 B．對角線一定相等 C．是軸對稱圖形 D．是中心對稱圖形 【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)即可判斷； 【解答】解：菱形的四條邊相等，是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，對角線垂直不一定相等， 故選：B． 【點評】本題考查菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形的性質(zhì)，屬于中考基礎(chǔ)題． 2.（2018?上海）已知平行四邊形ABCD，下列條件中，不能判定這個平行四邊形為矩形的是（　?。? A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC 【解答】解：A、∠A＝∠B，∠A+∠B＝180°，所以∠A＝∠B＝90°，可以判定這個平行四邊形為矩形，正確； B、∠A＝∠C不能判定這個平行四邊形為矩形，錯誤； C、AC＝BD，對角線相等，可推出平行四邊形ABCD是矩形，故正確； D、AB⊥BC，所以∠B＝90°，可以判定這個平行四邊形為矩形，正確； 故選：B． 【點評】本題主要考查的是矩形的判定定理．但需要注意的是本題的知識點是關(guān)于各個圖形的性質(zhì)以及判定． 3．（2018?日照）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AO＝CO，BO＝DO．添加下列條件，不能判定四邊形ABCD是菱形的是（　?。? A．AB＝AD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．∠ABO＝∠CBO 【分析】根據(jù)菱形的定義及其判定、矩形的判定對各選項逐一判斷即可得． 【解答】解：∵AO＝CO，BO＝DO， ∴四邊形ABCD是平行四邊形， 當(dāng)AB＝AD或AC⊥BD時，均可判定四邊形ABCD是菱形； 當(dāng)∠ABO＝∠CBO時， 由AD∥BC知∠CBO＝∠ADO， ∴∠ABO＝∠ADO， ∴AB＝AD， ∴四邊形ABCD是菱形； 當(dāng)AC＝BD時，可判定四邊形ABCD是矩形； 故選：B． 【點評】本題主要考查菱形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握菱形的定義和各判定及矩形的判定． 4．（2018?梧州）如圖，在正方形ABCD中，A、B、C三點的坐標分別是（﹣1，2）、（﹣1，0）、（﹣3，0），將正方形ABCD向右平移3個單位，則平移后點D的坐標是（　?。? A．（﹣6，2） B．（0，2） C．（2，0） D．（2，2） 【分析】首先根據(jù)正方形的性質(zhì)求出D點坐標，再將D點橫坐標加上3，縱坐標不變即可． 【解答】解：∵在正方形ABCD中，A、B、C三點的坐標分別是（﹣1，2）、（﹣1，0）、（﹣3，0）， ∴D（﹣3，2）， ∴將正方形ABCD向右平移3個單位，則平移后點D的坐標是（0，2）， 故選：B． 【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，坐標與圖形變化﹣平移，是基礎(chǔ)題，比較簡單． 5.（2018?貴陽）如圖，在菱形ABCD中，E是AC的中點，EF∥CB，交AB于點F，如果EF＝3，那么菱形ABCD的周長為（　　） A．24 B．18 C．12 D．9 【分析】易得BC長為EF長的2倍，那么菱形ABCD的周長＝4BC問題得解． 【解答】解：∵E是AC中點， ∵EF∥BC，交AB于點F， ∴EF是△ABC的中位線， ∴EF＝BC， ∴BC＝6， ∴菱形ABCD的周長是4×6＝24． 故選：A． 【點評】本題考查的是三角形中位線的性質(zhì)及菱形的周長公式，題目比較簡單． 6．已知如圖，在矩形ABCD中有兩個一條邊長為1的平行四邊形．則它們的公共部分（即陰影部分）的面積是（　?。? A． 大于1 B．等于1 C．小于1 D． 小于或等于1 解：如圖所示：作EN∥AB，F(xiàn)M∥CD，過點E作EG⊥MN于點G， 可得陰影部分面等于四邊形EFMN的面積， 則四邊形EFMN是平行四邊形，且EN=FM=1， ∵EN=1， ∴EG＜1， ∴它們的公共部分（即陰影部分）的面積小于1． 故選：C． 點評： 此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及平行四邊形面積求法，得出陰影部分面等于四邊形EFMN的面積是解題關(guān)鍵． 7．在四邊形ABCD中，∠A=60°，∠ABC=∠ADC=90°，BC=2，CD=11，自D作DH⊥AB于H，則DH的長是（　?。? A． 7.5 B．7 C．6.5 D． 5.5 分析：過C作DH的垂線CE交DH于E，證明四邊形BCEH是矩形．所以求出HE的長；再求出∠DCE=30°，又因為CD=11，所以求出DE，進而求出DH的長． 解：過C作DH的垂線CE交DH于E， ∵DH⊥AB，CB⊥AB， ∴CB∥DH又CE⊥DH， ∴四邊形BCEH是矩形． ∵HE=BC=2，在Rt△AHD中，∠A=60°， ∴∠ADH=30°， 又∵∠ADC=90° ∴∠CDE=60°， ∴∠DCE=30°， ∴在Rt△CED中，DE=CD=5.5， ∴DH=2+5.5=7.5． 故選A． 點評： 本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，直角三角形的一個重要性質(zhì)：30°的銳角所對的直角邊是斜邊的一半；以及勾股定理的運用． 8. （2018?宜昌）如圖，正方形ABCD的邊長為1，點E，F(xiàn)分別是對角線AC上的兩點，EG⊥AB．EI⊥AD，F(xiàn)H⊥AB，F(xiàn)J⊥AD，垂足分別為G，I，H，J．則圖中陰影部分的面積等于 （　?。? A．1 B． C． D． 【分析】根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)，解決問題即可； 【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形， ∴直線AC是正方形ABCD的對稱軸， ∵EG⊥AB．EI⊥AD，F(xiàn)H⊥AB，F(xiàn)J⊥AD，垂足分別為G，I，H，J． ∴根據(jù)對稱性可知：四邊形EFHG的面積與四邊形EFJI的面積相等， ∴S陰＝S正方形ABCD＝， 故選：B． 【點評】本題考查正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用軸對稱的性質(zhì)解決問題，屬于中考?？碱}型． 二．填空題（共6小題） 9．如圖，在矩形ABCD中，AC、BD相交于點O且AC=8，如果∠AOD=60°，那么AD=　4?。? 【考點】矩形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)矩形的對角線互相平分且相等可得OA=OD=AC，然后判斷出△AOD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的三邊都相等解答即可． 【解答】解：在矩形ABCD中，OA=OD=AC=×8=4， ∵∠AOD=60°， ∴△AOD是等邊三角形， ∴AD=OA=4． 故答案為：4． 【點評】本題考查了矩形的對角線互相平分且相等的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，比較簡單，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 10．四邊形ABCD的對角線AC和BD相交于點O，設(shè)有下列條件：①AB=AD；②∠DAB=90°；③AO=CO，BO=DO；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD，⑥正方形ABCD，則在下列推理不成立的是　C　 A、①④?⑥；B、①③?⑤；C、①②?⑥；D、②③?④ 分析：根據(jù)矩形、菱形、正方形的判定定理，對角線互相平分的四邊形為平行四邊形，再由鄰邊相等，得出是菱形，和一個角為直角得出是正方形，根據(jù)已知對各個選項進行分析從而得到最后的答案． 解答：解：A、由①④得，一組鄰邊相等的矩形是正方形，故正確； B、由③得，四邊形是平行四邊形，再由①，一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，故正確； C、由①②不能判斷四邊形是正方形； D、由③得，四邊形是平行四邊形，再由②，一個角是直角的平行四邊形是矩形，故正確． 故選C． 點評：此題用到的知識點是：矩形、菱形、正方形的判定定理，如：一組鄰邊相等的矩形是正方形；對角線互相平分且一組鄰邊相等的四邊形是菱形；對角線互相平分且一個角是直角的四邊形是矩形．靈活掌握這些判定定理是解本題的關(guān)鍵． 11．（2018?葫蘆島）如圖，在菱形OABC中，點B在x軸上，點A的標為（2，3），則點C的坐標為?。?，﹣3）?。? 【分析】根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)即可解決問題； 【解答】解：∵四邊形OABC是菱形， ∴A、C關(guān)于直線OB對稱， ∵A（2，3）， ∴C（2，﹣3）， 故答案為（2，﹣3）． 【點評】本題考查菱形的性質(zhì)、坐標與圖形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形的性質(zhì)，利用菱形是軸對稱圖形解決問題． 12．（2018?巴彥淖爾）如圖，菱形ABCD的面積為120cm2，正方形AECF的面積為72cm2，則菱形的邊長為　2?。ńY(jié)果中如有根號保留根號） 【分析】連接AC、BD，由正方形的面積，可計算出正方形的邊長和對角線AC的長，再根據(jù)菱形的面積，計算出菱形的對角線BD的長，在直角△AOB中，求出菱形的邊長． 【解答】解：連接AC、BD，AC、BD相交于點O． ∵正方形AECF的面積為72cm2， ∴AE＝＝6， AC＝6×＝12． ∵菱形ABCD的面積為120cm2， 即AC×BD＝120 ∵AC＝12， ∴BD＝20 ∵四邊形ABCD是菱形， ∴AO＝AC＝6，BO＝BD＝10， ∴AB＝ ＝ ＝2 故答案為：2 【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)、面積，正方形的面積及勾股定理．解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)面積，求出菱形對角線的長． 13．（2018?南通）如圖，在△ABC中，AD，CD分別平分∠BAC和∠ACB，AE∥CD，CE∥AD．若從三個條件：①AB＝AC；②AB＝BC；③AC＝BC中，選擇一個作為已知條件，則能使四邊形ADCE為菱形的是　②?。ㄌ钚蛱枺? 【分析】當(dāng)BA＝BC時，四邊形ADCE是菱形．只要證明四邊形ADCE是平行四邊形，DA＝DC即可解決問題． 【解答】解：當(dāng)BA＝BC時，四邊形ADCE是菱形． 理由：∵AE∥CD，CE∥AD， ∴四邊形ADCE是平行四邊形， ∵BA＝BC， ∴∠BAC＝∠BCA， ∵AD，CD分別平分∠BAC和∠ACB， ∴∠DAC＝∠DCA， ∴DA＝DC， ∴四邊形ADCE是菱形． 故答案為② 【點評】本題考查菱形的判斷、平行四邊形的判斷和性質(zhì)、角平分線的定義、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型． 14．（2018?武漢）以正方形ABCD的邊AD作等邊△ADE，則∠BEC的度數(shù)是　30°或150°?。? 【考點】KK：等邊三角形的性質(zhì)；LE：正方形的性質(zhì)． 【分析】分等邊△ADE在正方形的內(nèi)部和外部兩種情況分別求解可得． 【解答】解：如圖1， ∵四邊形ABCD為正方形，△ADE為等邊三角形， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝AE＝DE，∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，∠AED＝∠ADE＝∠DAE＝60°， ∴∠BAE＝∠CDE＝150°，又AB＝AE，DC＝DE， ∴∠AEB＝∠CED＝15°， 則∠BEC＝∠AED﹣∠AEB﹣∠CED＝30°． 如圖2， ∵△ADE是等邊三角形， ∴AD＝DE， ∵四邊形ABCD是正方形， ∴AD＝DC， ∴DE＝DC， ∴∠CED＝∠ECD， ∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣60°＝30°， ∴∠CED＝∠ECD＝（180°﹣30°）＝75°， ∴∠BEC＝360°﹣75°×2﹣60°＝150°． 故答案為：30°或150°． 【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并準確識圖是解題的關(guān)鍵． 三．解答題（共11小題） 15．（2018?舟山）如圖，等邊△AEF的頂點E，F(xiàn)在矩形ABCD的邊BC，CD上，且∠CEF＝45°．求證：矩形ABCD是正方形． 【考點】KD：全等三角形的判定與性質(zhì)；KK：等邊三角形的性質(zhì)；LB：矩形的性質(zhì)；LF：正方形的判定． 【分析】先判斷出AE＝AF，∠AEF＝∠AFE＝60°，進而求出∠AFD＝∠AEB＝75°，進而判斷出△AEB≌△AFD，即可得出結(jié)論． 【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形， ∴∠B＝∠D＝∠C＝90°， ∵△AEF是等邊三角形， ∴AE＝AF，∠AEF＝∠AFE＝60°， ∵∠CEF＝45°， ∴∠CFE＝∠CEF＝45°， ∴∠AFD＝∠AEB＝180°﹣45°﹣60°＝75°， ∴△AEB≌△AFD（AAS）， ∴AB＝AD， ∴矩形ABCD是正方形． 【點評】此題主要考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的判定，判斷出∠AFD＝∠AEB是解本題的關(guān)鍵． 16．（2018?廣西）如圖，在?ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)，且BE＝DF． （1）求證：?ABCD是菱形； （2）若AB＝5，AC＝6，求?ABCD的面積． 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)；菱形的判定與性質(zhì)． 【分析】（1）利用全等三角形的性質(zhì)證明AB＝AD即可解決問題； （2）連接BD交AC于O，利用勾股定理求出對角線的長即可解決問題； 【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴∠B＝∠D， ∵AE⊥BC，AF⊥CD， ∴∠AEB＝∠AFD＝90°， ∵BE＝DF， ∴△AEB≌△AFD ∴AB＝AD， ∴四邊形ABCD是菱形． （2）連接BD交AC于O． ∵四邊形ABCD是菱形，AC＝6， ∴AC⊥BD， AO＝OC＝AC＝×6＝3， ∵AB＝5，AO＝3， ∴BO＝＝＝4， ∴BD＝2BO＝8， ∴S平行四邊形ABCD＝×AC×BD＝24． 【點評】本題考查菱形的判定和性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型． 17.（2018?湘西州）如圖，在矩形ABCD中，E是AB的中點，連接DE、CE． （1）求證：△ADE≌△BCE； （2）若AB＝6，AD＝4，求△CDE的周長． 【考點】KD：全等三角形的判定與性質(zhì)；LB：矩形的性質(zhì)． 【分析】（1）由全等三角形的判定定理SAS證得結(jié)論； （2）由（1）中全等三角形的對應(yīng)邊相等和勾股定理求得線段DE的長度，結(jié)合三角形的周長公式解答． 【解答】（1）證明：在矩形ABCD中，AD＝BC，∠A＝∠B＝90°． ∵E是AB的中點， ∴AE＝BE． 在△ADE與△BCE中， ， ∴△ADE≌△BCE（SAS）； （2）由（1）知：△ADE≌△BCE，則DE＝EC． 在直角△ADE中，AE＝4，AE＝AB＝3， 由勾股定理知，DE＝＝＝5， ∴△CDE的周長＝2DE+AD＝2DE+AB＝2×5+6＝16． 【點評】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件． 18．已知：如圖，△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的高，AE是△BAC的外角平分線，DE∥AB交AE于點E，求證：四邊形ADCE是矩形． 證明：∵AB=AC， ∴∠B=∠ACB， ∵AE是∠BAC的外角平分線， ∴∠FAE=∠EAC， ∵∠B+∠ACB=∠FAE+∠EAC， ∴∠B=∠ACB=∠FAE=∠EAC， ∴AE∥CD， 又∵DE∥AB， ∴四邊形AEDB是平行四邊形， ∴AE平行且等于BD， 又∵BD=DC，∴AE平行且等于DC， 故四邊形ADCE是平行四邊形， 又∵∠ADC=90°， ∴平行四邊形ADCE是矩形． 即四邊形ADCE是矩形． 點評： 此題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)以及矩形的判定，靈活利用平行四邊形的判定得出四邊形AEDB是平行四邊形是解題關(guān)鍵． 19．如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，∠C=45°，BC=4，AD=2．求四邊形ABCD的面積． 考點：矩形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形． 分析：如上圖所示，延長AB，延長DC，相交于E點．△ADE是等腰直角三角形，AD=DE=2，則可以求出△ADE的面積；∠C=∠AED=45度，所以△CBE是等腰直角三角形，BE=CB=4厘米，則可以求出△CBE的面積；那么四邊形ABCD的面積是兩個三角形的面積之差． 解：延長AB，延長DC，相交于E點，得到兩個等腰直角三角形△ADE和△CBE， 由等腰直角三角形的性質(zhì)得： DE=AD=2， BE=CB=4， 那么四邊形ABCD的面積是： 4×4÷2﹣2×2÷2 =8﹣2 =6． 答：四邊形ABCD的面積是6． 點評：此題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)以及三角形的面積公式的運用，解題的關(guān)鍵是作延長線，找到交點，組成新圖形，是解決此題的關(guān)鍵． 20．如圖，∠CAE是△ABC的外角，AD平分∠EAC，且AD∥BC．過點C作CG⊥AD，垂足為G，AF是BC邊上的中線，連接FG． （1）求證：AC=FG． （2）當(dāng)AC⊥FG時，△ABC應(yīng)是怎樣的三角形？為什么？ 考點：矩形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形． 分析：先根據(jù)題意推理出四邊形AFCG是矩形，然后根據(jù)矩形的性質(zhì)得到對角線相等；由第一問的結(jié)論和AC⊥FG得到四邊形AFCG是正方形，然后即可得到△ABC是等腰直角三角形． 解答：（1）證明：∵AD平分∠EAC，且AD∥BC， ∴∠ABC=∠EAD=∠CAD=∠ACB， ∴AB=AC； AF是BC邊上的中線， ∴AF⊥BC， ∵CG⊥AD，AD∥BC， ∴CG⊥BC， ∴AF∥CG， ∴四邊形AFCG是平行四邊形， ∵∠AFC=90°， ∴四邊形AFCG是矩形； ∴AC=FG． （2）解：當(dāng)AC⊥FG時，△ABC是等腰直角三角形．理由如下： ∵四邊形AFCG是矩形， ∴四邊形AFCG是正方形，∠ACB=45°， ∵AB=AC， ∴△ABC是等腰直角三角形． 點評： 該題目考查了矩形的判定和性質(zhì)、正方形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，知識點比較多，注意解答的思路要清晰． 21．如圖，E是等邊△ABC的BC邊上一點，以AE為邊作等邊△AEF，連接CF，在CF延長線取一點D，使∠DAF=∠EFC．試判斷四邊形ABCD的形狀，并證明你的結(jié)論． 考點：菱形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)． 分析：在已知條件中求證全等三角形，即△BAE≌△CAF，△AEC≌△AFD，從而得到△ACD和△ABC都是等邊三角形，故可根據(jù)四條邊都相等的四邊形是菱形判定． 解：四邊形ABCD是菱形． 證明：在△ABE、△ACF中 ∵AB=AC，AE=AF ∠BAE=60°﹣∠EAC，∠CAF=60°﹣∠EAC ∴∠BAE=∠CAF ∴△BAE≌△CAF ∵∠CFA=∠CFE+∠EFA=∠CFE+60° ∠BEA=∠ECA+∠EAC=∠EAC+60° ∴∠EAC=∠CFE ∵∠DAF=∠CFE ∴∠EAC=∠DAF ∵AE=AF，∠AEC=∠AFD ∴△AEC≌△AFD ∴AC=AD，且∠D=∠ACE=60° ∴△ACD和△ABC都是等邊三角形 ∴四邊形ABCD是菱形． 點評：本題考查了菱形的判定、等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定，學(xué)會在已知條件中多次證明三角形全等，尋求角邊的轉(zhuǎn)化，從而求證結(jié)論． 22．如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點0，BE∥AC，EC∥BD，BE、EC相交于點E．試說明：四邊形OBEC是菱形． 考點：菱形的判定；矩形的性質(zhì)． 分析：在矩形ABCD中，可得OB=OC，由BE∥AC，EC∥BD，所以四邊形OBEC是平行四邊形，兩個條件合在一起，可得出其為菱形． 證明：在矩形ABCD中，AC=BD，∴OB=OC， ∵BE∥AC，EC∥BD， ∴四邊形OBEC是平行四邊形， ∴四邊形OBEC是菱形． 點評：熟練掌握菱形的性質(zhì)及判定定理． 23．如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，判斷四邊形CODE的形狀，并計算其周長． 考點：菱形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)． 分析：首先由CE∥BD，DE∥AC，可證得四邊形CODE是平行四邊形，又由四邊形ABCD是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)，易得OC=OD=2，即可判定四邊形CODE是菱形，繼而求得答案． 解：∵CE∥BD，DE∥AC， ∴四邊形CODE是平行四邊形， ∵四邊形ABCD是矩形， ∴AC=BD=4，OA=OC，OB=OD， ∴OD=OC=AC=2， ∴四邊形CODE是菱形， ∴四邊形CODE的周長為：4OC=4×2=8． 故答案為：8． 點評： 此題考查了菱形的判定與性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)．此題難度不大，注意證得四邊形CODE是菱形是解此題的關(guān)鍵． 24．如圖，在矩形ABCD中，對角線BD的垂直平分線MN與AD相交于點M，與BD相交于點O，與BC相交于N，連接MN，DN． （1）求證：四邊形BMDN是菱形； （2）若AB=6，BC=8，求MD的長． 考點：菱形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)． 分析：（1）根據(jù)矩形性質(zhì)求出AD∥BC，推出∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，證△DMO≌△BNO，推出OM=ON，得出平行四邊形BMDN，推出菱形BMDN； （2）根據(jù)菱形性質(zhì)求出DM=BM，在Rt△AMB中，根據(jù)勾股定理得出BM2=AM2+AB2，推出x2=（8﹣x）2+62，求出即可． 解：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠A=90°， ∴∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO， 在△DMO和△BNO中， ， ∴△DMO≌△BNO（ASA）， ∴OM=ON， ∵OB=OD， ∴四邊形BMDN是平行四邊形， ∵MN⊥BD， ∴平行四邊形BMDN是菱形． （2）解：∵四邊形BMDN是菱形， ∴MB=MD， 設(shè)MD長為x，則MB=DM=x， 在Rt△AMB中，BM2=AM2+AB2 即x2=（8﹣x）2+62， 解得：x=． 答：MD長為． 點評： 本題考查了矩形性質(zhì)，平行四邊形的判定，菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識點的應(yīng)用．注意對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形． 25．如圖所示，有四個動點P，Q，E，F(xiàn)分別從正方形ABCD的四個頂點出發(fā)，沿著AB，BC，CD，DA以同樣速度向B，C，D，A各點移動． （1）試判斷四邊形PQEF是否是正方形，并證明； （2）PE是否總過某一定點，并說明理由． 考點：正方形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)． 專題：動點型． 分析：（1）正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形，故可根據(jù)正方形的定義證明四邊形PQEF是否使正方形． （2）證PE是否過定點時，可連接AC，證明四邊形APCE為平行四邊形，即可證明PE過定點． 解：（1）在正方形ABCD中，AP=BQ=CE=DF，AB=BC=CD=DA， ∴BP=QC=ED=FA． 又∵∠BAD=∠B=∠BCD=∠D=90°， ∴△AFP≌△BPQ≌△CQE≌△DEF． ∴FP=PQ=QE=EF，∠APF=∠PQB． ∴四邊形PQEF是菱形， ∵∠FPQ=90°， ∴四邊形PQEF為正方形． （2）連接AC交PE于O， ∵AP平行且等于EC， ∴四邊形APCE為平行四邊形． ∵O為對角線AC的中點， ∴對角線PE總過AC的中點． 點評：在證明過程中，應(yīng)了解正方形和平行四邊形的判定定理，為使問題簡單化，在證明過程中，可適當(dāng)加入輔助線． 第24頁（共24頁）