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蘇教版必修5,第二章 數(shù)列 第二節(jié) 等差數(shù)列及其通項(xiàng)公式,1,,,,一般地，如果一個(gè)數(shù)列 a1,a2,a3 ，…，an… 從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)d， a2 – a1 = a3 - a2 = ··· = an - an-1 = ··· = d 那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列。常數(shù)d叫做等差數(shù)列的公差。,,知識(shí)回顧,an+1-an=d(n∈N *),,,2,通 項(xiàng) 公 式 的 推 導(dǎo)1（歸納猜想）,設(shè)一個(gè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)是a1,公差是d,則有： a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,… 所以有：,an=a1+(n-1)d 當(dāng)n=1時(shí)，上式也成立。,所以等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是： an=a1+(n-1)d（n∈N*）,問(wèn)an=? 通過(guò)觀察：a2， a3，a4都可以用a1與d 表示出來(lái)；a1與d的系數(shù)有什么特點(diǎn)？,,a1 、an、n、d知三求一,…,a2=a1+ d, a3=a1+2d, a4=a1+3d, … an=a1+(n-1)d,a2=a1+d, a3=a2+d = (a1+d) + d = a1+ 2d a4=a3+d = (a1+2d) +d =a1+3d,3,,疊加得,…,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式推導(dǎo)2（疊加）,,4,例１ 第一屆現(xiàn)代奧運(yùn)會(huì)于1896年在希臘雅典舉行，此后每4年舉行一次，奧運(yùn)會(huì)如因故不能舉行，屆數(shù)照算。 （1）試寫(xiě)出由舉行奧運(yùn)會(huì)的年份構(gòu)成的數(shù)列的通項(xiàng)公式 （2）2008年北京奧運(yùn)會(huì)是第幾屆？2050年舉行奧運(yùn)會(huì)嗎？,解:（1）由題意知，舉行奧運(yùn)會(huì)的年份構(gòu)成的數(shù)列是一個(gè)以1896為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列。這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為 an=1896+4(n-1) =1892+4n(n∈N*) (2) 假設(shè)an=2008, 由 2008=1892+4n, 得 n=29. 假設(shè)an=2050,2050=1892+4n 無(wú)正整數(shù)解． 答：所求通項(xiàng)公式為 an= 1892+4n(n∈N*) ， 2008年北京奧運(yùn)會(huì)是第29屆，2050年不舉行奧運(yùn)會(huì),5,例２.在等差數(shù)列｛an｝中,已知a3=10, a9=28,求a12 。,推廣：等差數(shù)列｛an｝中，am,an(nm) 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式一般形式: an = am + (n－m)d.,解：由題意得,,a1+2d=10 a1+8d=28,所以 a12=4+(12-1) ×3=37,,注:a12=a1+11d=a1+2d+(12-3)d=a3+(12-3)d =a1+8d+(12-9)d=a9+(12-9)d,解得： a1=4 d=3,練一練：已知a5=11, a8=5, 求等差數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式.,6,練 習(xí),1、填空題： (1)已知等差數(shù)列3，7，11，…，則a11= (2)已知等差數(shù)列11，6，1，…，則an = (3)已知等差數(shù)列10，8，6， …，中，-10是第（ ）項(xiàng),,,43,-5n+16,11,7,練 習(xí),2.已知等差數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式為an=2n – 1. 求首項(xiàng)a1和公差d.,變式引申: 如果一個(gè)數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式an=kn+d, 其中k,b都是常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎? 語(yǔ)言描述這種現(xiàn)象,,想一想！,8,在等差數(shù)列,中，,為公差，若,且,求證：,證明： 設(shè)首項(xiàng)為,，則,例2.,等差數(shù)列的性質(zhì),9,若p=q呢?,10,練習(xí) .在等差數(shù)列{an}中 (1) 已知 a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20,(2）已知 a3+a11=10，求 a6+a7+a8,分析：由 a1+a20 =a6+ a15 = a9 +a12 及 a6+a9+a12+a15=20，可得a1+a20=10,分析： a3+a11 =a6+a8 =2a7 ，又已知 a3+a11=10， ∴ a6+a7+a8= （a3+a11）=15,例題分析,,11,,1.等差數(shù)列{an}的前三項(xiàng)依次為 a-6，2a -5，-3a +2，則 a 等于（ ) A . -1 B . 1 C .-2 D. 2,B,2. 在數(shù)列{an}中a1=1，an= an+1+4，則a10=,2(2a-5 )=(-3a+2) +(a-6),提示1:,提示：,d=an+1—an=4,-35,3. 在等差數(shù)列{an}中 (1) 若a59=70，a80=112，求a101； (2) 若ap= q，aq= p ( p≠q )，求ap+q,d=2,,a101=154,d= -1,,ap+q =0,課堂練習(xí),12,練 習(xí),已知 ，求 的值。,解:,13,小結(jié),★掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，并能運(yùn)用公式解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題,an=a1+(n－1)d,,,★ 提高觀察、歸納、猜想、推理等數(shù)學(xué)能力,14,1. {an}為等差數(shù)列 ?,2. a、b、c成等差數(shù)列 ?,an+1- an=d,an+1=an+d,an= a1+(n-1) d,an= kn + b,（k、b為常數(shù)）,b為a、c 的等差中項(xiàng),2b= a+c,?,?,?,?,?,等差數(shù)列的性質(zhì),15,am+an=ap+aq,,②上面的命題中的等式兩邊有 相 同 數(shù) 目 的項(xiàng)，否則不成立。如a1+a2=a3 成立嗎？,,【說(shuō)明】 3.更一般的情形，an= ，d=,am+(n - m) d,4.在等差數(shù)列{an}中，由 m+n=p+q,注意：①上面的命題的逆命題 是不一定成立 的；,5. 在等差數(shù)列{an}中a1+an a2+ an-1 a3+ an-2 …,=,=,=,16,17,