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2.4一元二次方程的根與系數(shù)的關系 教學目標 1．在已有的一元二次方程解法的基礎上，探索出一元二次方程根與系數(shù)的關系，及其此關系的運用. 2．通過觀察、實踐、討論等活動，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題，發(fā)現(xiàn)關系的過程. 教學重難點 【教學重點】 觀察數(shù)字系數(shù)的一元二次方程的兩個根之和，及兩個根之積與原方程系數(shù)之間的關系 【教學難點】 對根與系數(shù)這一性質(zhì)進行應用 課前準備 課件等. 教學過程 一、情景導入 解下列方程，將得到的解填入下面的表格中，你發(fā)現(xiàn)表格中兩個解的和與積和原來的方程有什么聯(lián)系？ (1)x2－2x＝0； (2)x2＋3x－4＝0； (3)x2－5x＋6＝0. 方程 x1 x2 x1＋x2 x1·x2 二、合作探究 探究點一：一元二次方程的根與系數(shù)的關系 利用根與系數(shù)的關系，求方程3x2＋6x－1＝0的兩根之和、兩根之積． 解析：由一元二次方程根與系數(shù)的關系可求得． 解：這里a＝3，b＝6，c＝－1. Δ＝b2－4ac＝62－4×3×(－1)＝36＋12＝48＞0， ∴方程有兩個實數(shù)根． 設方程的兩個實數(shù)根是x1，x2， 那么x1＋x2＝－2，x1·x2＝－. 方法總結(jié)：如果方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有兩個實數(shù)根x1，x2，那么x1＋x2＝－，x1x2＝. 探究點二：一元二次方程的根與系數(shù)的關系的應用 【類型一】 利用根與系數(shù)的關系求代數(shù)式的值 設x1，x2是方程2x2＋4x－3＝0的兩個根，利用根與系數(shù)的關系，求下列各式的值： (1)(x1＋2)(x2＋2)；　　(2)＋. 解析：先確定a，b，c的值，再求出x1＋x2與x1x2的值，最后將所求式子做適當變形，把x1＋x2與x1x2的值整體代入求解即可． 解：根據(jù)根與系數(shù)的關系，得x1＋x2＝－2，x1x2＝－. (1)(x1＋2)(x2＋2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＝－＋2×(－2)＋4＝－； (2)＋＝＝＝＝－. 方法總結(jié)：先確定a，b，c的值，再求出x1＋x2與x1x2的值，最后將所求式子做適當?shù)淖冃?，把x1＋x2與x1x2的值整體代入求解即可． 【類型二】 已知方程一根，利用根與系數(shù)的關系求方程的另一根 已知方程5x2＋kx－6＝0的一個根為2，求它的另一個根及k的值． 解析：由方程5x2＋kx－6＝0可知二次項系數(shù)和常數(shù)項，所以可根據(jù)兩根之積求出方程另一個根，然后根據(jù)兩根之和求出k的值． 解：設方程的另一個根是x1，則2x1＝－， ∴x1＝－.又∵x1＋2＝－， ∴－＋2＝－，∴k＝－7. 方法總結(jié)：對于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)，當已知二次項系數(shù)和常數(shù)項時，可求得方程的兩根之積；當已知二次項系數(shù)和一次項系數(shù)時，可求得方程的兩根之和． 【類型三】 判別式及根與系數(shù)關系的綜合應用 已知α、β是關于x的一元二次方程x2＋(2m＋3)x＋m2＝0的兩個不相等的實數(shù)根，且滿足＋＝－1，求m的值． 解析：利用韋達定理表示出α＋β，αβ，再由＋＝－1建立方程，求解m的值． 解：∵α、β是方程的兩個不相等的實數(shù)根， ∴α＋β＝－(2m＋3)，αβ＝m2. 又∵＋＝＝＝－1， 化簡整理，得m2－2m－3＝0. 解得m＝3或m＝－1. 當m＝－1時，方程為x2＋x＋1＝0， 此時Δ＝12－4＜0，方程無解， ∴m＝－1應舍去． 當m＝3時，方程為x2＋9x＋9＝0， 此時Δ＝92－4×9＞0， 方程有兩個不相等的實數(shù)根． 綜上所述，m＝3. 易錯提醒：本題由根與系數(shù)的關系求出字母m的值，但一定要代入判別式驗算，字母m的取值必須使判別式大于0，這一點很容易被忽略． 三、板書設計 四、教學反思 讓學生經(jīng)歷探索，嘗試發(fā)現(xiàn)韋達定理，感受不完全的歸納驗證以及演繹證明．通過觀察、實踐、討論等活動，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、發(fā)現(xiàn)關系的過程，養(yǎng)成獨立思考的習慣，培養(yǎng)學生觀察、分析和綜合判斷的能力，激發(fā)學生發(fā)現(xiàn)規(guī)律的積極性，激勵學生勇于探索的精神．通過交流互動，逐步養(yǎng)成合作的意識及嚴謹?shù)闹螌W精神. - 3 -