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3.3二元一次方程組及其解法 第1課時(shí) 二元一次方程與二元一次方程組 教學(xué)目標(biāo) 1. 理解二元一次方程（組）及其解的概念, 能判別一組數(shù)是否是二元一次方程（組）的解； 2. 會(huì)根據(jù)實(shí)際問題列簡單的二元一次方程或二元一次方程組； 3. 通過加深對概念的理解，提高對“元”和“次”的認(rèn)識，而且能夠逐步培養(yǎng)類比分析和歸納概括的能力,了解變與不變的辯證統(tǒng)一的思想。 教學(xué)重難點(diǎn) 【教學(xué)重點(diǎn)】 1. 掌握二元一次方程及二元一次方程組的概念，理解它們解的含義； 2. 判斷一組數(shù)是不是某個(gè)二元一次方程組的解。 【教學(xué)難點(diǎn)】 從實(shí)際問題中抽象出二元一次方程組的過程，體會(huì)方程的模型思想。 課前準(zhǔn)備 課件、教具等。 教學(xué)過程 本節(jié)課設(shè)計(jì)了四個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)： 第一環(huán)節(jié)：情境引入；第二環(huán)節(jié)：新課講解，練習(xí)提高；第三環(huán)節(jié)：課堂小結(jié)；第四環(huán)節(jié)：布置作業(yè). 第一環(huán)節(jié)：情境引入 內(nèi)容： （一） 情境1 實(shí)物投影，并呈現(xiàn)問題：在一望無際的呼倫貝爾大草原上，一頭老牛和一匹小馬馱著包裹吃力地行走著，老牛喘著氣吃力地說：“累死我了”，小馬說：“你還累，這么大的個(gè)，才比我多馱2個(gè).”老牛氣不過地說：“哼，我從你背上拿來一個(gè)，我的包裹就是你的2倍！”，小馬天真而不信地說：“真的？！”同學(xué)們，你們能否用數(shù)學(xué)知識幫助小馬解決問題呢？ 請每個(gè)學(xué)習(xí)小組討論（討論2分鐘，然后發(fā)言）.教師注意引導(dǎo)學(xué)生設(shè)兩個(gè)未知數(shù)，從而得出二元一次方程. 這個(gè)問題由于涉及到老牛和小馬的馱包裹的兩個(gè)未知數(shù)，我們設(shè)老牛馱x個(gè)包裹，小馬馱y個(gè)包裹，老牛的包裹數(shù)比小馬多2個(gè)，由此得方程，若老牛從小馬背上拿來1個(gè)包裹，這時(shí)老牛的包裹是小馬的2倍， 得方程：. （二）情境2 實(shí)物投影，并呈現(xiàn)問題：昨天，有8個(gè)人去紅山公園玩，他們買門票共花了34元.每張成人票5元，每張兒童票3元.那么他們到底去了幾個(gè)成人、幾個(gè)兒童呢？同學(xué)們，你們能否用所學(xué)的方程知識解決呢？ 仍請每個(gè)學(xué)習(xí)小組討論（討論2分鐘，然后發(fā)言），老師注意引導(dǎo)學(xué)生分析其中有幾個(gè)未知量，如果分別設(shè)未知數(shù)，將得到什么樣的關(guān)系式？ 這個(gè)問題由于涉及到有幾個(gè)成年人和幾個(gè)兒童兩個(gè)未知數(shù)，我們設(shè)他們中有x個(gè)成年人，有y個(gè)兒童，在題目的條件中，我們可以找到的等量關(guān)系為：成人人數(shù)＋兒童人數(shù)＝8，成人票款＋兒童票款＝34.由此我們可以得到方程和. 在這個(gè)問題中，可能會(huì)有學(xué)生認(rèn)為用一元一次方程也可以解答，我們要肯定學(xué)生的做法，并將學(xué)生的答案保留下來，放到第二節(jié)二元一次方程組解法的學(xué)習(xí)中去，讓學(xué)生更有學(xué)習(xí)的好奇心與積極性.同時(shí)告訴學(xué)生在某些有兩個(gè)等量關(guān)系的實(shí)際問題中，列二元一次方程組比列一元一次方程更快捷、清楚. 目的：通過現(xiàn)實(shí)情景再現(xiàn)，讓學(xué)生體會(huì)到方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的有效數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識. 設(shè)計(jì)效果：學(xué)生通過前面的情景引入，在老師的引導(dǎo)下，列出關(guān)注兩個(gè)未知數(shù)的方程，為后續(xù)關(guān)于二元一次方程的討論提供了素材，同時(shí)，有趣的情境，也激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣. 第二環(huán)節(jié)：新課講解，練習(xí)提高 內(nèi)容： （一） 二元一次方程概念的概括 提請學(xué)生思考：上面所列方程有幾個(gè)未知數(shù)？所含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是多少？從而歸納出二元一次方程的概念：含有兩個(gè)未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程.教師對概念進(jìn)行解析，要求學(xué)生注意：這個(gè)定義有兩個(gè)要求： ①含有兩個(gè)未知數(shù)； ②所含未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是一次. 再呈現(xiàn)一些關(guān)于二元一次方程概念的辨析題，進(jìn)行鞏固練習(xí)： 1.下列方程有哪些是二元一次方程： （1），（2），（3）， （4），（5），（6）. 2.如果方程是二元一次方程，那么m＝ ，n＝ . （二）二元一次方程組概念的概括 師提請學(xué)生思考：上面的方程 中的x含義相同嗎？y呢？（兩個(gè)方程中x的表示老牛馱的包裹數(shù)，y表示小馬的包裹數(shù)，x、y的含義分別相同.）由于x、y的含義分別相同，因而必同時(shí)滿足和，我們把這兩個(gè)方程用大括號聯(lián)立起來，寫成，從而得出二元一次方程組的概念：像這樣共含有兩個(gè)未知數(shù)的兩個(gè)一次方程所組成的一組方程.如： 注意：在方程組中的各方程中的同一個(gè)字母必須表示同一個(gè)對象. 再呈現(xiàn)一些辨析題，讓學(xué)生進(jìn)行鞏固練習(xí)： 判斷下列方程組是否是二元一次方程組： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （三）因承上面的情境，得出有關(guān)方程的解的概念 1.適合方程嗎？呢？呢？你還能找到其他x,y值適合方程嗎？ 2. 適合方程嗎？呢？ 3.你能找到一組值x,y同時(shí)適合方程和嗎？各小組合作完成，各同學(xué)分別代入驗(yàn)算，教師巡回參與小組活動(dòng)，并幫助找到3題的結(jié)論. 由學(xué)生回答上面3個(gè)問題，老師作出結(jié)論： 適合一個(gè)二元一次方程的一組未知數(shù)的值，叫做這個(gè)二元一次方程的解. 如x=6, y=2是方程x+ y =8的一個(gè)解，記作 ；同樣，也是方程的一個(gè)解，同時(shí) 又是方程的一個(gè)解. 二元一次方程組中各個(gè)方程的公共解，叫做二元一次方程組的解. 例如，就是二元一次方程組的解. 然后，同樣呈現(xiàn)一些辨析性練習(xí)：（投影） 1.下列四組數(shù)值中，哪些是二元一次方程的解？ （A） （B） （C） （D） 2.二元一次方程的解有： …… 3.二元一次方程組的解是（ ） （A） （B） （C） （D） 4.以為解的二元一次方程組是（ ） （A） （B） （C） （D） 5.二元一次方程的正整數(shù)解為 . 6.如果是的解，那么m＝ ，n＝ . 7.寫出一個(gè)以為解的二元一次方程組為 . （答案不唯一） 目的：通過新課的講解以及學(xué)生的練習(xí)，充分做到講練結(jié)合，讓學(xué)生更好鞏固新知識. 設(shè)計(jì)效果：通過本環(huán)節(jié)的講解與訓(xùn)練，讓學(xué)生對利用新知識解決一些簡單問題有更加明確的認(rèn)識，同時(shí)也盡量讓學(xué)生明白知識點(diǎn)不是孤立的，需要前后聯(lián)系，才能更好地處理一些新問題. 第三環(huán)節(jié)：課堂小結(jié) 內(nèi)容： 1.含有兩未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的整式方程叫做二元一次方程. 2.二元一次方程的解是一個(gè)互相關(guān)聯(lián)的兩個(gè)數(shù)值，它有無數(shù)個(gè)解. 3.含有兩個(gè)未知數(shù)的兩個(gè)二元一次方程組成的一組方程，叫做二元一次方程組，它的解是兩個(gè)方程的公共解，是一組確定的值. 目的：引導(dǎo)學(xué)生自己小結(jié)本節(jié)課的知識要點(diǎn)及數(shù)學(xué)方法，從而將本節(jié)知識點(diǎn)進(jìn)行很好的回顧以加深學(xué)生的印象，同時(shí)使知識系統(tǒng)化. 設(shè)計(jì)效果：本環(huán)節(jié)雖然用時(shí)不多，卻是必不可少的教學(xué)環(huán)節(jié)，對學(xué)生回顧與整理本節(jié)課的知識效果明顯. 第四環(huán)節(jié)：布置作業(yè) 四 .教學(xué)設(shè)計(jì)反思 1.本節(jié)課充分體現(xiàn)了從問題情景中抽象數(shù)學(xué)問題、使用各種數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、建立數(shù)學(xué)關(guān)系式、獲得合理的解答、理解并掌握相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識與技能的有意義的這一變化學(xué)習(xí)過程.在教學(xué)中力求體現(xiàn)“問題情景——建立數(shù)學(xué)模型——解釋、應(yīng)用與拓展”的模式，使學(xué)生在自主探索和合作交流的過程中建立二元一次方程的數(shù)學(xué)模型，學(xué)會(huì)逐步掌握基本的數(shù)學(xué)知識和方法，形成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣和應(yīng)用意識，提高自己解決問題的能力，感受數(shù)學(xué)創(chuàng)造的樂趣，增進(jìn)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，獲得對數(shù)學(xué)較全面的體驗(yàn)和理解. 2.通過情境引入，讓同學(xué)們體會(huì)到了生活中的數(shù)學(xué)無處不在，激發(fā)了學(xué)生強(qiáng)烈的求知欲望，學(xué)生的反應(yīng)非常積極踴躍，豐富了學(xué)生們的情感與態(tài)度.充分利用小組合作交流，讓同學(xué)們自己找出方程中的等量關(guān)系，啟發(fā)同學(xué)們自己說出各個(gè)定義的理解.在同學(xué)們合作做題的時(shí)候，老師進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)小組合作交流、合理分配時(shí)間會(huì)取得更好的效果.教學(xué)過程各環(huán)節(jié)緊緊相扣，整個(gè)教學(xué)過程邏輯思維清晰，問題與問題之間銜接緊密，每一步都為下一步做了很好的鋪墊. 3.這個(gè)案例主要針對中等生而設(shè)計(jì)，教師可根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)能力再進(jìn)行設(shè)計(jì)上的側(cè)重.比如，學(xué)生學(xué)習(xí)能力較強(qiáng)，可在實(shí)際問題中抽象二元一次方程組的模型環(huán)節(jié)、課后的拓展環(huán)節(jié)增加適當(dāng)?shù)纳顚哟蔚膬?nèi)容，以滿足學(xué)生的學(xué)習(xí)需要. - 6 -