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期中試卷（1） 一、選擇題（在各小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請在答題卡上指定的位置填涂符合要求的選項前面的字母代號.本大題共15小題，每題3分，計45分） 1．（3分）若一個三角形的兩邊長分別為3和7，則第三邊長可能是（　?。? A．2 B．3 C．5 D．11 2．（3分）甲骨文是我國的一種古代文字，是漢字的早期形式，下列甲骨文中，不是軸對稱的是（　?。? A． B． C． D． 3．（3分）如圖，過△ABC的頂點A，作BC邊上的高，以下作法正確的是（　?。? A． B． C． D． 4．（3分）如圖，在△ABC中，∠A=50°，∠C=70°，則外角∠ABD的度數(shù)是（　?。? A．110° B．120° C．130° D．140° 5．（3分）如圖，在方格紙中，以AB為一邊作△ABP，使之與△ABC全等，從P1，P2，P3，P4四個點中找出符合條件的點P，則點P有（　?。? A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 6．（3分）如圖，已知∠ABC=∠BAD，添加下列條件還不能判定△ABC≌△BAD的是（　　） A．AC=BD B．∠CAB=∠DBA C．∠C=∠D D．BC=AD 7．（3分）一個正多邊形的內(nèi)角和為540°，則這個正多邊形的每一個外角等于（　?。? A．108° B．90° C．72° D．60° 8．（3分）一個等腰三角形的兩邊長分別為4，8，則它的周長為（　?。? A．12 B．16 C．20 D．16或20 9．（3分）兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”，如圖，四邊形ABCD是一個箏形，其中AD=CD，AB=CB，詹姆斯在探究箏形的性質(zhì)時，得到如下結(jié)論： ①AC⊥BD；②AO=CO=AC；③△ABD≌△CBD， 其中正確的結(jié)論有（　?。? A．0個 B．1個 C．2個 D．3個 10．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，以頂點A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交AC，AB于點M，N，再分別以點M，N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線AP交邊BC于點D，若CD=4，AB=15，則△ABD的面積是（　　） A．15 B．30 C．45 D．60 11．（3分）如圖，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，點E在BC的延長線上，∠ABC的平分線BD與∠ACE的平分線CD相交于點D，連接AD，下列結(jié)論中不正確的是（　?。? A．∠BAC=70° B．∠DOC=90° C．∠BDC=35° D．∠DAC=55° 12．（3分）如圖，在△ABC中，AC的垂直平分線分別交AC、BC于E，D兩點，EC=4，△ABC的周長為23，則△ABD的周長為（　?。? A．13 B．15 C．17 D．19 13．（3分）如圖，直線MN是四邊形AMBN的對稱軸，點P是直線MN上的點，下列判斷錯誤的是（　?。? A．AM=BM B．AP=BN C．∠MAP=∠MBP D．∠ANM=∠BNM 14．（3分）如圖，AD是△ABC的角平分線，則AB：AC等于（　　） A．BD：CD B．AD：CD C．BC：AD D．BC：AC 15．（3分）如圖，△ABC是等邊三角形，AQ=PQ，PR⊥AB于點R，PS⊥AC于點S，PR=PS，則下列結(jié)論：①點P在∠A的角平分線上； ②AS=AR； ③QP∥AR； ④△BRP≌△QSP．正確的有（　?。? A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 　 二．解答題（共9小題） 16．（6分）如圖，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分線，它們相交于點O，∠BAC=80°，∠ABC=70°．求∠BAD，∠AOF． 17．（6分）如圖，AB=AD，CB=CD，求證：AC平分∠BAD． 18．（7分）如圖，已知AC=AE，∠BAD=∠CAE，∠B=∠ADE，求證：BC=DE． 19．（7分）如圖，在△ABC中，AB=AC，點D是BC邊上的中點，DE、DF分別垂直AB、AC于點E和F． 求證：DE=DF． 20．（8分）如圖，一艘輪船以18海里/時的速度由西向東航行，在A處測得小島C在北偏東75°方向上，兩小時后，輪船在B處測得小島C在北偏東60°方向上，在小島周圍15海里處有暗礁，若輪船仍然按18海里/時的速度向東航行，請問是否有觸礁危險？并說明理由． 21．（8分）如圖，在等腰三角形ABC中，AC=BC，分別以BC和AC為直角邊向上作等腰直角三角形△BCD和△ACE，AE與BD相交于點F，連接CF并延長交AB于點G．求證：CG垂直平分AB． 22．（10分）如圖，在等邊△ABC中，點F是AC邊上一點，延長BC到點D，使BF=DF，若CD=CF，求證： （1）點F為AC的中點； （2）過點F作FE⊥BD，垂足為點E，請畫出圖形并證明BD=6CE． 23．（11分）如圖，△ABC是邊長為6的等邊三角形，P是AC邊上一動點，由A向C運動（與A、C不重合），Q是CB延長線上一點，與點P同時以相同的速度由B向CB延長線方向運動（Q不與B重合），過P作PE⊥AB于E，連接PQ交AB于D． （1）當(dāng)∠BQD=30°時，求AP的長； （2）當(dāng)運動過程中線段ED的長是否發(fā)生變化？如果不變，求出線段ED的長；如果變化請說明理由． 24．（12分）在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點D是BC邊上一點，BN⊥AD交AD的延長線于點N． （1）如圖1，若CM∥BN交AD于點M． ①直接寫出圖1中所有與∠MCD相等的角：　?。唬ㄗⅲ核业降南嗟汝P(guān)系可以直接用于第②小題的證明過程 ②過點C作CG⊥BN，交BN的延長線于點G，請先在圖1中畫出輔助線，再回答線段AM、CG、BN有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并給予證明． （2）如圖2，若CM∥AB交BN的延長線于點M．請證明：∠MDN+2∠BDN=180°． 　  參考答案與試題解析 一、選擇題（在各小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請在答題卡上指定的位置填涂符合要求的選項前面的字母代號.本大題共15小題，每題3分，計45分） 1．（3分）若一個三角形的兩邊長分別為3和7，則第三邊長可能是（　　） A．2 B．3 C．5 D．11 【考點】三角形三邊關(guān)系． 【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系，兩邊之和第三邊，兩邊之差小于第三邊即可判斷． 【解答】解：設(shè)第三邊長為x，由題意得： 7﹣3＜x＜7+3， 則4＜x＜10， 故選：C． 【點評】本題考查三角形三邊關(guān)系定理，記住兩邊之和第三邊，兩邊之差小于第三邊，屬于基礎(chǔ)題，中考常考題型． 　 2．（3分）甲骨文是我國的一種古代文字，是漢字的早期形式，下列甲骨文中，不是軸對稱的是（　?。? A． B． C． D． 【考點】軸對稱圖形． 【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念求解． 【解答】解：A、是軸對稱圖形，故本選項錯誤； B、是軸對稱圖形，故本選項錯誤； C、是軸對稱圖形，故本選項錯誤； D、不是軸對稱圖形，故本選項正確． 故選D． 【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合． 　 3．（3分）如圖，過△ABC的頂點A，作BC邊上的高，以下作法正確的是（　?。? A． B． C． D． 【考點】三角形的角平分線、中線和高． 【分析】根據(jù)三角形高線的定義：過三角形的頂點向?qū)呉咕€，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線解答． 【解答】解：為△ABC中BC邊上的高的是A選項． 故選A． 【點評】本題考查了三角形的角平分線、中線、高線，熟記高線的定義是解題的關(guān)鍵． 　 4．（3分）如圖，在△ABC中，∠A=50°，∠C=70°，則外角∠ABD的度數(shù)是（　　） A．110° B．120° C．130° D．140° 【考點】三角形的外角性質(zhì)． 【分析】根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和列式計算即可得解． 【解答】解：由三角形的外角性質(zhì)的，∠ABD=∠A+∠C=50°+70°=120°． 故選B． 【點評】本題考查了三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 　 5．（3分）如圖，在方格紙中，以AB為一邊作△ABP，使之與△ABC全等，從P1，P2，P3，P4四個點中找出符合條件的點P，則點P有（　?。? A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 【考點】全等三角形的判定． 【分析】根據(jù)全等三角形的判定得出點P的位置即可． 【解答】解：要使△ABP與△ABC全等，點P到AB的距離應(yīng)該等于點C到AB的距離，即3個單位長度，故點P的位置可以是P1，P3，P4三個， 故選C 【點評】此題考查全等三角形的判定，關(guān)鍵是利用全等三角形的判定進(jìn)行判定點P的位置． 　 6．（3分）如圖，已知∠ABC=∠BAD，添加下列條件還不能判定△ABC≌△BAD的是（　?。? A．AC=BD B．∠CAB=∠DBA C．∠C=∠D D．BC=AD 【考點】全等三角形的判定． 【分析】根據(jù)全等三角形的判定：SAS，AAS，ASA，可得答案． 【解答】解：由題意，得∠ABC=∠BAD，AB=BA， A、∠ABC=∠BAD，AB=BA，AC=BD，（SSA）三角形不全等，故A錯誤； B、在△ABC與△BAD中，，△ABC≌△BAD（ASA），故B正確； C、在△ABC與△BAD中，，△ABC≌△BAD（AAS），故C正確； D、在△ABC與△BAD中，，△ABC≌△BAD（SAS），故D正確； 故選：A． 【點評】本題考查了全等三角形的判定，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角． 　 7．（3分）一個正多邊形的內(nèi)角和為540°，則這個正多邊形的每一個外角等于（　?。? A．108° B．90° C．72° D．60° 【考點】多邊形內(nèi)角與外角． 【分析】首先設(shè)此多邊形為n邊形，根據(jù)題意得：180（n﹣2）=540，即可求得n=5，再由多邊形的外角和等于360°，即可求得答案． 【解答】解：設(shè)此多邊形為n邊形， 根據(jù)題意得：180（n﹣2）=540， 解得：n=5， 故這個正多邊形的每一個外角等于：=72°． 故選C． 【點評】此題考查了多邊形的內(nèi)角和與外角和的知識．注意掌握多邊形內(nèi)角和定理：（n﹣2）?180°，外角和等于360°． 　 8．（3分）一個等腰三角形的兩邊長分別為4，8，則它的周長為（　?。? A．12 B．16 C．20 D．16或20 【考點】等腰三角形的性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系． 【分析】由于題中沒有指明哪邊是底哪邊是腰，則應(yīng)該分兩種情況進(jìn)行分析． 【解答】解：①當(dāng)4為腰時，4+4=8，故此種情況不存在； ②當(dāng)8為腰時，8﹣4＜8＜8+4，符合題意． 故此三角形的周長=8+8+4=20． 故選C． 【點評】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)和三邊關(guān)系，解答此題時注意分類討論，不要漏解． 　 9．（3分）兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”，如圖，四邊形ABCD是一個箏形，其中AD=CD，AB=CB，詹姆斯在探究箏形的性質(zhì)時，得到如下結(jié)論： ①AC⊥BD；②AO=CO=AC；③△ABD≌△CBD， 其中正確的結(jié)論有（　　） A．0個 B．1個 C．2個 D．3個 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】新定義． 【分析】先證明△ABD與△CBD全等，再證明△AOD與△COD全等即可判斷． 【解答】解：在△ABD與△CBD中， ， ∴△ABD≌△CBD（SSS）， 故③正確； ∴∠ADB=∠CDB， 在△AOD與△COD中， ， ∴△AOD≌△COD（SAS）， ∴∠AOD=∠COD=90°，AO=OC， ∴AC⊥DB， 故①②正確； 故選D 【點評】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)SSS證明△ABD與△CBD全等和利用SAS證明△AOD與△COD全等． 　 10．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，以頂點A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交AC，AB于點M，N，再分別以點M，N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線AP交邊BC于點D，若CD=4，AB=15，則△ABD的面積是（　　） A．15 B．30 C．45 D．60 【考點】角平分線的性質(zhì)． 【分析】判斷出AP是∠BAC的平分線，過點D作DE⊥AB于E，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得DE=CD，然后根據(jù)三角形的面積公式列式計算即可得解． 【解答】解：由題意得AP是∠BAC的平分線，過點D作DE⊥AB于E， 又∵∠C=90°， ∴DE=CD， ∴△ABD的面積=AB?DE=×15×4=30． 故選B． 【點評】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)以及角平分線的畫法，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 　 11．（3分）如圖，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，點E在BC的延長線上，∠ABC的平分線BD與∠ACE的平分線CD相交于點D，連接AD，下列結(jié)論中不正確的是（　　） A．∠BAC=70° B．∠DOC=90° C．∠BDC=35° D．∠DAC=55° 【考點】角平分線的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理． 【專題】計算題． 【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式計算即可求出∠BAC=70°，再根據(jù)角平分線的定義求出∠ABO，然后利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠AOB再根據(jù)對頂角相等可得∠DOC=∠AOB，根據(jù)鄰補角的定義和角平分線的定義求出∠DCO，再利用三角形的內(nèi)角和定理列式計算即可∠BDC，判斷出AD為三角形的外角平分線，然后列式計算即可求出∠DAC． 【解答】解：∵∠ABC=50°，∠ACB=60°， ∴∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣50°﹣60°=70°， 故A選項正確， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABO=∠ABC=×50°=25°， 在△ABO中， ∠AOB=180°﹣∠BAC﹣∠ABO=180°﹣70°﹣25°=85°， ∴∠DOC=∠AOB=85°， 故B選項錯誤； ∵CD平分∠ACE， ∴∠ACD=（180°﹣60°）=60°， ∴∠BDC=180°﹣85°﹣60°=35°， 故C選項正確； ∵BD、CD分別是∠ABC和∠ACE的平分線， ∴AD是△ABC的外角平分線， ∴∠DAC=（180°﹣70°）=55°， 故D選項正確． 故選：B． 【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，熟記定理和概念是解題的關(guān)鍵． 　 12．（3分）如圖，在△ABC中，AC的垂直平分線分別交AC、BC于E，D兩點，EC=4，△ABC的周長為23，則△ABD的周長為（　?。? A．13 B．15 C．17 D．19 【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得出AD=DC，AE=CE=4，求出AC=8，AB+BC=15，求出△ABD的周長為AB+BC，代入求出即可． 【解答】解：∵AC的垂直平分線分別交AC、BC于E，D兩點， ∴AD=DC，AE=CE=4， 即AC=8， ∵△ABC的周長為23， ∴AB+BC+AC=23， ∴AB+BC=23﹣8=15， ∴△ABD的周長為AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=15， 故選B． 【點評】本題考查了線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用，能熟記線段垂直平分線性質(zhì)定理的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵，注意：線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等． 　 13．（3分）如圖，直線MN是四邊形AMBN的對稱軸，點P是直線MN上的點，下列判斷錯誤的是（　?。? A．AM=BM B．AP=BN C．∠MAP=∠MBP D．∠ANM=∠BNM 【考點】軸對稱的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)直線MN是四邊形AMBN的對稱軸，得到點A與點B對應(yīng)，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)即可得到結(jié)論． 【解答】解：∵直線MN是四邊形AMBN的對稱軸， ∴點A與點B對應(yīng)， ∴AM=BM，AN=BN，∠ANM=∠BNM， ∵點P時直線MN上的點， ∴∠MAP=∠MBP， ∴A，C，D正確，B錯誤， 故選B． 【點評】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 　 14．（3分）如圖，AD是△ABC的角平分線，則AB：AC等于（　　） A．BD：CD B．AD：CD C．BC：AD D．BC：AC 【考點】角平分線的性質(zhì)． 【專題】壓軸題． 【分析】先過點B作BE∥AC交AD延長線于點E，由于BE∥AC，利用平行線分線段成比例定理的推論、平行線的性質(zhì)，可得∴△BDE∽△CDA，∠E=∠DAC，再利用相似三角形的性質(zhì)可有=，而利用AD時角平分線又知∠E=∠DAC=∠BAD，于是BE=AB，等量代換即可證． 【解答】解：如圖 過點B作BE∥AC交AD延長線于點E， ∵BE∥AC， ∴∠DBE=∠C，∠E=∠CAD， ∴△BDE∽△CDA， ∴=， 又∵AD是角平分線， ∴∠E=∠DAC=∠BAD， ∴BE=AB， ∴=， ∴AB：AC=BD：CD． 故選：A． 【點評】此題考查了角平分線的定義、相似三角形的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比例定理的推論．關(guān)鍵是作平行線． 　 15．（3分）如圖，△ABC是等邊三角形，AQ=PQ，PR⊥AB于點R，PS⊥AC于點S，PR=PS，則下列結(jié)論：①點P在∠A的角平分線上； ②AS=AR； ③QP∥AR； ④△BRP≌△QSP．正確的有（　?。? A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 【考點】等邊三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定；角平分線的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上可得AP平分∠BAC，從而判斷出①正確，然后根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)可得∠APQ=∠PAQ，然后得到∠APQ=∠PAR，然后根據(jù)內(nèi)錯角相等兩直線平行可得QP∥AB，從而判斷出②正確，然后證明出△APR與△APS全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等即可得到③正確，④由△BPR≌△CPS，△BRP≌△QSP，即可得到④正確． 【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，PR⊥AB，PS⊥AC，且PR=PS， ∴P在∠A的平分線上，故①正確； 由①可知，PB=PC，∠B=∠C，PS=PR， ∴△BPR≌△CPS， ∴AS=AR，故②正確； ∵AQ=PQ， ∴∠PQC=2∠PAC=60°=∠BAC， ∴PQ∥AR，故③正確； 由③得，△PQC是等邊三角形， ∴△PQS≌△PCS， 又由②可知，④△BRP≌△QSP，故④也正確， ∵①②③④都正確， 故選D． 【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)與全等三角形的判定與性質(zhì)，準(zhǔn)確識圖并熟練掌握全等三角形的判定方法與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 　 二．解答題（共9小題） 16．（6分）如圖，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分線，它們相交于點O，∠BAC=80°，∠ABC=70°．求∠BAD，∠AOF． 【考點】三角形內(nèi)角和定理；三角形的角平分線、中線和高． 【分析】在直角三角形中，根據(jù)兩銳角互余即可得到∠BAD=20°，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可求出∠BAO和∠ABO，最后由三角形外角的性質(zhì)求得∠AOF=75°． 【解答】解：∵AD是高，∠ABC=70°， ∴∠BAD=90°﹣70°=20°， ∵AE、BF是角平分線，∠BAC=80°，∠ABC=70°， ∴∠ABO=35°，∠BAO=40°， ∴∠AOF=∠ABO+∠BAO=75°． 【點評】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，外角的性質(zhì)，三角形的高線與角平分線的性質(zhì)，熟練掌握各性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵． 　 17．（6分）如圖，AB=AD，CB=CD，求證：AC平分∠BAD． 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理SSS推出△BAC≌△DAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠BAC=∠DAC即可． 【解答】解：在△BAC和△DAC中， ， ∴△BAC≌△DAC（SAS）， ∴∠BAC=∠DAC， ∴AC平分∠BAD． 【點評】本題考查了角平分線定義和全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，關(guān)鍵是推出△BAC≌△DAC，全等三角形的判定方法有SAS、ASA、AAS． 　 18．（7分）如圖，已知AC=AE，∠BAD=∠CAE，∠B=∠ADE，求證：BC=DE． 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】先通過∠BAD=∠CAE得出∠BAC=∠DAE，從而證明△ABC≌△ADE，得到BC=DE． 【解答】證明：∵∠BAD=∠CAE， ∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC． 即∠BAC=∠DAE， 在△ABC和△ADE中， ∴△ABC≌△ADE（AAS）． ∴BC=DE． 【點評】本題考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性質(zhì)，判定兩個三角形全等的一般方法有：AAS、SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角 　 19．（7分）如圖，在△ABC中，AB=AC，點D是BC邊上的中點，DE、DF分別垂直AB、AC于點E和F． 求證：DE=DF． 【考點】等腰三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】D是BC的中點，那么AD就是等腰三角形ABC底邊上的中線，根據(jù)等腰三角形三線合一的特性，可知道AD也是∠BAC的角平分線，根據(jù)角平分線的點到角兩邊的距離相等，那么DE=DF． 【解答】證明： 證法一：連接AD． ∵AB=AC，點D是BC邊上的中點 ∴AD平分∠BAC（三線合一性質(zhì)）， ∵DE、DF分別垂直AB、AC于點E和F． ∴DE=DF（角平分線上的點到角兩邊的距離相等）． 證法二：在△ABC中， ∵AB=AC ∴∠B=∠C（等邊對等角） …（1分） ∵點D是BC邊上的中點 ∴BD=DC …（2分） ∵DE、DF分別垂直AB、AC于點E和F ∴∠BED=∠CFD=90°…（3分） 在△BED和△CFD中 ∵， ∴△BED≌△CFD（AAS）， ∴DE=DF（全等三角形的對應(yīng)邊相等）． 【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)；利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵． 　 20．（8分）如圖，一艘輪船以18海里/時的速度由西向東航行，在A處測得小島C在北偏東75°方向上，兩小時后，輪船在B處測得小島C在北偏東60°方向上，在小島周圍15海里處有暗礁，若輪船仍然按18海里/時的速度向東航行，請問是否有觸礁危險？并說明理由． 【考點】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題． 【分析】作CE⊥AB，利用直角三角形性質(zhì)求出CE長，和15海里比較即可看出船不改變航向是否會觸礁． 【解答】解：作CE⊥AB于E， ∵A處測得小島P在北偏東75°方向， ∴∠CAB=15°， ∵在B處測得小島P在北偏東60°方向， ∴∠ACB=15°， ∴AB=PB=2×18=36（海里）， ∵∠CBD=30°， ∴CE=BC=18＞15， ∴船不改變航向，不會觸礁． 【點評】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵找出題中的等腰三角形，然后再根據(jù)直角三角形性質(zhì)求解． 　 21．（8分）如圖，在等腰三角形ABC中，AC=BC，分別以BC和AC為直角邊向上作等腰直角三角形△BCD和△ACE，AE與BD相交于點F，連接CF并延長交AB于點G．求證：CG垂直平分AB． 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰直角三角形． 【分析】求證△AFC≌△CEB可得∠ACF=∠BCF，根據(jù)等腰三角形底邊三線合一即可解題． 【解答】證明：∵CA=CB ∴∠CAB=∠CBA ∵△AEC和△BCD為等腰直角三角形， ∴∠CAE=∠CBD=45°，∠FAG=∠FBG， ∴∠FAB=∠FBA， ∴AF=BF， 在三角形ACF和△CBF中， ， ∴△AFC≌△BCF（SSS）， ∴∠ACF=∠BCF ∴AG=BG，CG⊥AB（三線合一）， 即CG垂直平分AB． 【點評】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)角相等的性質(zhì)，考查了等腰三角形底邊三線合一的性質(zhì)． 　 22．（10分）如圖，在等邊△ABC中，點F是AC邊上一點，延長BC到點D，使BF=DF，若CD=CF，求證： （1）點F為AC的中點； （2）過點F作FE⊥BD，垂足為點E，請畫出圖形并證明BD=6CE． 【考點】作圖—基本作圖；等邊三角形的性質(zhì)． 【專題】作圖題． 【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠ABC=∠ACB=60°，利用∠CFD=∠D，則根據(jù)三角形外角性質(zhì)得到∠ACB=2∠D，即∠D=∠ACB=30°，然后利用FB=FD得到∠FBD=∠D=30°，則BF平分∠ABC，于是根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得到點F為AC的中點； （2）如圖，過點F作FE⊥BD于E，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到CF=2CE，而CD=CF，則CF=2CE，再利用BC=2CF，所以BD=6CE． 【解答】解：（1）∵△ABC為等邊三角形， ∴∠ABC=∠ACB=60°， ∵CF=CD， ∴∠CFD=∠D， ∴∠ACB=2∠D，即∠D=∠ACB=30°， ∵FB=FD， ∴∠FBD=∠D=30°， ∴BF平分∠ABC， ∴AF=CF，即點F為AC的中點； （2）如圖， 在Rt△EFC中，CF=2CE， 而CD=CF， ∴CF=2CE， 在Rt△BCF中，BC=2CF， ∴BC=4CE， ∴BD=6CE． 【點評】本題考查了作圖﹣基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段．作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線）．記住含30度的直角三角形三邊的關(guān)系． 　 23．（11分）如圖，△ABC是邊長為6的等邊三角形，P是AC邊上一動點，由A向C運動（與A、C不重合），Q是CB延長線上一點，與點P同時以相同的速度由B向CB延長線方向運動（Q不與B重合），過P作PE⊥AB于E，連接PQ交AB于D． （1）當(dāng)∠BQD=30°時，求AP的長； （2）當(dāng)運動過程中線段ED的長是否發(fā)生變化？如果不變，求出線段ED的長；如果變化請說明理由． 【考點】等邊三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；含30度角的直角三角形． 【專題】壓軸題；動點型． 【分析】（1）由△ABC是邊長為6的等邊三角形，可知∠ACB=60°，再由∠BQD=30°可知∠QPC=90°，設(shè)AP=x，則PC=6﹣x，QB=x，在Rt△QCP中，∠BQD=30°，PC=QC，即6﹣x=（6+x），求出x的值即可； （2）作QF⊥AB，交直線AB于點F，連接QE，PF，由點P、Q做勻速運動且速度相同，可知AP=BQ，再根據(jù)全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQF，再由AE=BF，PE=QF且PE∥QF，可知四邊形PEQF是平行四邊形，進(jìn)而可得出EB+AE=BE+BF=AB，DE=AB，由等邊△ABC的邊長為6可得出DE=3，故當(dāng)點P、Q運動時，線段DE的長度不會改變． 【解答】解：（1）∵△ABC是邊長為6的等邊三角形， ∴∠ACB=60°， ∵∠BQD=30°， ∴∠QPC=90°， 設(shè)AP=x，則PC=6﹣x，QB=x， ∴QC=QB+BC=6+x， ∵在Rt△QCP中，∠BQD=30°， ∴PC=QC，即6﹣x=（6+x），解得x=2， ∴AP=2； （2）當(dāng)點P、Q同時運動且速度相同時，線段DE的長度不會改變．理由如下： 作QF⊥AB，交直線AB于點F，連接QE，PF， 又∵PE⊥AB于E， ∴∠DFQ=∠AEP=90°， ∵點P、Q速度相同， ∴AP=BQ， ∵△ABC是等邊三角形， ∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°， 在△APE和△BQF中， ∵∠AEP=∠BFQ=90°， ∴∠APE=∠BQF， ， ∴△APE≌△BQF（AAS）， ∴AE=BF，PE=QF且PE∥QF， ∴四邊形PEQF是平行四邊形， ∴DE=EF， ∵EB+AE=BE+BF=AB， ∴DE=AB， 又∵等邊△ABC的邊長為6， ∴DE=3， ∴點P、Q同時運動且速度相同時，線段DE的長度不會改變． 【點評】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線構(gòu)造出全等三角形是解答此題的關(guān)鍵． 　 24．（12分）在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點D是BC邊上一點，BN⊥AD交AD的延長線于點N． （1）如圖1，若CM∥BN交AD于點M． ①直接寫出圖1中所有與∠MCD相等的角：　∠CAD，∠CBN??；（注：所找到的相等關(guān)系可以直接用于第②小題的證明過程 ②過點C作CG⊥BN，交BN的延長線于點G，請先在圖1中畫出輔助線，再回答線段AM、CG、BN有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并給予證明． （2）如圖2，若CM∥AB交BN的延長線于點M．請證明：∠MDN+2∠BDN=180°． 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；作圖—基本作圖． 【分析】（1）①結(jié)論：∠CAD、CBN．利用同角的余角相等，平行線的性質(zhì)即可證明． ②由△ACM≌△BCG，推出CM=CG，AM=BG，由∠CMN=∠MNG=∠G=90°，推出四邊形MNGC是矩形，推出CM=GN=CG，由此即可證明． （2）過點C作CE平分∠ACB，交AD于點E．由△ACE≌△BCM（ASA），推出CE=CM，又因為∠1=∠2，CD=CD，推出∠CDE=∠CDM，由∠BDN=∠CDE，∠MDN+∠CDE+∠CDM=180°，即可證明． 【解答】解：（1）①∵CM∥BN，BN⊥AN， ∴∠CMD=∠N=90°，∠MCD=∠CBN， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACM+∠CAD=90°，∠MCD+∠ACM=90°， ∴∠MCD=∠CAD， 故答案為∠CAD、∠CBN． ②在圖1中畫出圖形，如圖所示， 結(jié)論：AM=CG+BN， 證明：在△ACM和△BCG中， ， ∴△ACM≌△BCG， ∴CM=CG，AM=BG， ∵∠CMN=∠MNG=∠G=90°， ∴四邊形MNGC是矩形， ∴CM=GN=CG， ∴AM=BG=BN+GN=BN+CG． （2）過點C作CE平分∠ACB，交AD于點E． ∵在△ACD和△BDN中，∠ACB=90°，AN⊥ND ∴∠4+∠ADC=90°=∠5+∠BDN 又∵∠ADC=∠BDN ∴∠4=∠5， ∵∠ACB=90°，AC=BC，CE平分∠ACB， ∴∠6=45°，∠2=∠3=45° 又∵CM∥AB， ∴∠1=∠6=45°=∠2=∠3， 在△ACE和△BCM中， ， ∴△ACE≌△BCM（ASA） ∴CE=CM 又∵∠1=∠2，CD=CD ∴∠CDE=∠CDM 又∵∠BDN=∠CDE，∠MDN+∠CDE+∠CDM=180° ∴∠MDN+2∠BDN=180°． 【點評】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識，學(xué)會添加常用輔助線、構(gòu)造全等三角形，屬于中考常考題型． 第30頁（共30頁）