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第12章 全等三角形 測試卷（3） 一、選擇題 1．如圖，已知等邊△ABC，AB=2，點D在AB上，點F在AC的延長線上，BD=CF，DE⊥BC于E，F(xiàn)G⊥BC于G，DF交BC于點P，則下列結論：①BE=CG；②△EDP≌△GFP；③∠EDP=60°；④EP=1中，一定正確的是（　　） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②④ 　 二、填空題 2．如圖，正方形ABCD的邊長為3cm，E為CD邊上一點，∠DAE=30°，M為AE的中點，過點M作直線分別與AD、BC相交于點P、Q．若PQ=AE，則AP等于　　cm． 3．如圖，矩形ABCD中，AB=8，點E是AD上的一點，有AE=4，BE的垂直平分線交BC的延長線于點F，連結EF交CD于點G．若G是CD的中點，則BC的長是　　． 4．如圖，正方形ABCD的邊長為6，點O是對角線AC、BD的交點，點E在CD上，且DE=2CE，過點C作CF⊥BE，垂足為F，連接OF，則OF的長為　?。? 5．如圖，點B、E、C、F在一條直線上，AB∥DE，AB=DE，BE=CF，AC=6，則DF=　　． 6．已知在平面直角坐標系中放置了5個如圖所示的正方形（用陰影表示），點B1在y軸上且坐標是（0，2），點C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x軸上，C1的坐標是（1，0）．B1C1∥B2C2∥B3C3，以此繼續(xù)下去，則點A2014到x軸的距離是　?。? 7．如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，E是AB邊上一點，G是AD延長線上一點，BE=DG，連接EG，CF⊥EG交EG于點H，交AD于點F，連接CE，BH．若BH=8，則FG=　?。? 8．如圖，已知△ABC三個內角的平分線交于點O，點D在CA的延長線上，且DC=BC，AD=AO，若∠BAC=80°，則∠BCA的度數為　　． 9．如圖，在四邊形ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，則BD的長為　　． 10．如圖，在△ABC中，分別以AC，BC為邊作等邊△ACD和等邊△BCE．設△ACD、△BCE、△ABC的面積分別是S1、S2、S3，現(xiàn)有如下結論： ①S1：S2=AC2：BC2； ②連接AE，BD，則△BCD≌△ECA； ③若AC⊥BC，則S1?S2=S32． 其中結論正確的序號是　?。? 　 三、解答題 11．如圖，已知點E、F在四邊形ABCD的對角線延長線上，AE=CF，DE∥BF，∠1=∠2． （1）求證：△AED≌△CFB； （2）若AD⊥CD，四邊形ABCD是什么特殊四邊形？請說明理由． 12．如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉100°．得到△ADE，連接BD，CE交于點F． （1）求證：△ABD≌△ACE； （2）求∠ACE的度數； （3）求證：四邊形ABFE是菱形． 13．如圖，已知△ABC是等腰三角形，頂角∠BAC=α（α＜60°），D是BC邊上的一點，連接AD，線段AD繞點A順時針旋轉α到AE，過點E作BC的平行線，交AB于點F，連接DE，BE，DF． （1）求證：BE=CD； （2）若AD⊥BC，試判斷四邊形BDFE的形狀，并給出證明． 14．如圖，在四邊形ABCD中，點H是BC的中點，作射線AH，在線段AH及其延長線上分別取點E，F(xiàn)，連結BE，CF． （1）請你添加一個條件，使得△BEH≌△CFH，你添加的條件是　　，并證明． （2）在問題（1）中，當BH與EH滿足什么關系時，四邊形BFCE是矩形，請說明理由． 15．如圖，E、F分別是等邊三角形ABC的邊AB，AC上的點，且BE=AF，CE、BF交于點P． （1）求證：CE=BF； （2）求∠BPC的度數． 16．在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線MN過點A且MN∥BC，過點B為一銳角頂點作Rt△BDE，∠BDE=90°，且點D在直線MN上（不與點A重合），如圖1，DE與AC交于點P，易證：BD=DP．（無需寫證明過程） （1）在圖2中，DE與CA延長線交于點P，BD=DP是否成立？如果成立，請給予證明；如果不成立，請說明理由； （2）在圖3中，DE與AC延長線交于點P，BD與DP是否相等？請直接寫出你的結論，無需證明． 17．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，且DE=CF，連接OE，OF．求證：OE=OF． 18．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的平分線交BC于點E，EF⊥AB于點F，點F恰好是AB的一個三等分點（AF＞BF）． （1）求證：△ACE≌△AFE； （2）求tan∠CAE的值． 19．探究：如圖①，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=60°，延長BA至點D，延長CB至點E，使BE=AD，連結CD，AE，求證：△ACE≌△CBD． 應用：如圖②，在菱形ABCF中，∠ABC=60°，延長BA至點D，延長CB至點E，使BE=AD，連結CD，EA，延長EA交CD于點G，求∠CGE的度數． 20．如圖，在正方形ABCD中，P是對角線AC上的一點，連接BP、DP，延長BC到E，使PB=PE．求證：∠PDC=∠PEC． 21．如圖，已知△ABC中AB=AC． （1）作圖：在AC上有一點D，延長BD，并在BD的延長線上取點E，使AE=AB，連AE，作∠EAC的平分線AF，AF交DE于點F（用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）； （2）在（1）的條件下，連接CF，求證：∠E=∠ACF． 22．（1）如圖1，點E，F(xiàn)在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，求證：∠A=∠D． （2）如圖2，在邊長為1個單位長度的小正方形所組成的網格中，△ABC的頂點均在格點上． ①sinB的值是　??； ②畫出△ABC關于直線l對稱的△A1B1C1（A與A1，B與B1，C與C1相對應），連接AA1，BB1，并計算梯形AA1B1B的面積． 23．在平面內正方形ABCD與正方形CEFH如圖放置，連DE，BH，兩線交于M．求證： （1）BH=DE． （2）BH⊥DE． 24．如圖，點D是線段BC的中點，分別以點B，C為圓心，BC長為半徑畫弧，兩弧相交于點A，連接AB，AC，AD，點E為AD上一點，連接BE，CE． （1）求證：BE=CE； （2）以點E為圓心，ED長為半徑畫弧，分別交BE，CE于點F，G．若BC=4，∠EBD=30°，求圖中陰影部分（扇形）的面積． 25．如圖，在等邊△ABC中，點D在直線BC上，連接AD，作∠ADN=60°，直線DN交射線AB于點E，過點C作CF∥AB交直線DN于點F． （1）當點D在線段BC上，∠NDB為銳角時，如圖①，求證：CF+BE=CD； （提示：過點F作FM∥BC交射線AB于點M．） （2）當點D在線段BC的延長線上，∠NDB為銳角時，如圖②；當點D在線段CB的延長線上，∠NDB為鈍角時，如圖③，請分別寫出線段CF，BE，CD之間的數量關系，不需要證明； （3）在（2）的條件下，若∠ADC=30°，S△ABC=4，則BE=　　，CD=　?。? 26．如圖所示，已知∠1=∠2，請你添加一個條件，證明：AB=AC． （1）你添加的條件是　??； （2）請寫出證明過程． 27．如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，在BC的同側作任意Rt△DBC，∠BDC=90°． （1）若CD=2BD，M是CD中點（如圖1），求證：△ADB≌△AMC； 下面是小明的證明過程，請你將它補充完整： 證明：設AB與CD相交于點O， ∵∠BDC=90°，∠BAC=90°， ∴∠DOB+∠DBO=∠AOC+∠ACO=90°． ∵∠DOB=∠AOC， ∴∠DBO=∠①　　． ∵M是DC的中點， ∴CM=CD=②　　． 又∵AB=AC， ∴△ADB≌△AMC． （2）若CD＜BD（如圖2），在BD上是否存在一點N，使得△ADN是以DN為斜邊的等腰直角三角形？若存在，請在圖2中確定點N的位置，并加以證明；若不存在，請說明理由； （3）當CD≠BD時，線段AD，BD與CD滿足怎樣的數量關系？請直接寫出． 28．如圖，正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD上的點，且AE⊥BF，垂足為點G． 求證：AE=BF． 29．如圖，四邊形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF與BC交于點G． （1）求證：AE=CF； （2）若∠ABE=55°，求∠EGC的大?。? 30．如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于點E．在△ABC外有一點F，使FA⊥AE，F(xiàn)C⊥BC． （1）求證：BE=CF； （2）在AB上取一點M，使BM=2DE，連接MC，交AD于點N，連接ME． 求證：①ME⊥BC；②DE=DN． 　  參考答案與試題解析 一、選擇題 1．如圖，已知等邊△ABC，AB=2，點D在AB上，點F在AC的延長線上，BD=CF，DE⊥BC于E，F(xiàn)G⊥BC于G，DF交BC于點P，則下列結論：①BE=CG；②△EDP≌△GFP；③∠EDP=60°；④EP=1中，一定正確的是（　?。? A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②④ 【考點】全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質． 【分析】由等邊三角形的性質可以得出△DEB≌△FGC，就可以得出BE=CG，DE=FG，就可以得出△DEP≌△FGP，得出∠EDP=∠GFP，EP=PG，得出PC+BE=PE，就可以得出PE=1，從而得出結論． 【解答】解：∵△ABC是等邊三角形， ∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠ACB=60°． ∵∠ACB=∠GCF， ∵DE⊥BC，F(xiàn)G⊥BC， ∴∠DEB=∠FGC=∠DEP=90°． 在△DEB和△FGC中， ， ∴△DEB≌△FGC（AAS）， ∴BE=CG，DE=FG，故①正確； 在△DEP和△FGP中， ， ∴△DEP≌△FGP（AAS），故②正確； ∴PE=PG∠EDP=∠GFP≠60°，故③錯誤； ∵PG=PC+CG， ∴PE=PC+BE． ∵PE+PC+BE=2， ∴PE=1．故④正確． 正確的有①②④， 故選D． 【點評】本題考查了等邊三角形的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，解答時證明三角形全等是關鍵． 　 二、填空題 2．如圖，正方形ABCD的邊長為3cm，E為CD邊上一點，∠DAE=30°，M為AE的中點，過點M作直線分別與AD、BC相交于點P、Q．若PQ=AE，則AP等于　1或2　cm． 【考點】全等三角形的判定與性質；正方形的性質；解直角三角形． 【專題】分類討論． 【分析】根據題意畫出圖形，過P作PN⊥BC，交BC于點N，由ABCD為正方形，得到AD=DC=PN，在直角三角形ADE中，利用銳角三角函數定義求出DE的長，進而利用勾股定理求出AE的長，根據M為AE中點求出AM的長，利用HL得到三角形ADE與三角形PQN全等，利用全等三角形對應邊，對應角相等得到DE=NQ，∠DAE=∠NPQ=30°，再由PN與DC平行，得到∠PFA=∠DEA=60°，進而得到PM垂直于AE，在直角三角形APM中，根據AM的長，利用銳角三角函數定義求出AP的長，再利用對稱性確定出AP′的長即可． 【解答】解：根據題意畫出圖形，過P作PN⊥BC，交BC于點N， ∵四邊形ABCD為正方形， ∴AD=DC=PN， 在Rt△ADE中，∠DAE=30°，AD=3cm， ∴tan30°=，即DE=cm， 根據勾股定理得：AE==2cm， ∵M為AE的中點， ∴AM=AE=cm， 在Rt△ADE和Rt△PNQ中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△PNQ（HL）， ∴DE=NQ，∠DAE=∠NPQ=30°， ∵PN∥DC， ∴∠PFA=∠DEA=60°， ∴∠PMF=90°，即PM⊥AF， 在Rt△AMP中，∠MAP=30°，cos30°=， ∴AP===2cm； 由對稱性得到AP′=DP=AD﹣AP=3﹣2=1cm， 綜上，AP等于1cm或2cm． 故答案為：1或2． 【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質，正方形的性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解本題的關鍵． 　 3．如圖，矩形ABCD中，AB=8，點E是AD上的一點，有AE=4，BE的垂直平分線交BC的延長線于點F，連結EF交CD于點G．若G是CD的中點，則BC的長是　7?。? 【考點】全等三角形的判定與性質；線段垂直平分線的性質；勾股定理；矩形的性質． 【專題】幾何圖形問題． 【分析】根據線段中點的定義可得CG=DG，然后利用“角邊角”證明△DEG和△CFG全等，根據全等三角形對應邊相等可得DE=CF，EG=FG，設DE=x，表示出BF，再利用勾股定理列式求EG，然后表示出EF，再根據線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等可得BF=EF，然后列出方程求出x的值，從而求出AD，再根據矩形的對邊相等可得BC=AD． 【解答】解：∵矩形ABCD中，G是CD的中點，AB=8， ∴CG=DG=×8=4， 在△DEG和△CFG中， ， ∴△DEG≌△CFG（ASA）， ∴DE=CF，EG=FG， 設DE=x， 則BF=BC+CF=AD+CF=4+x+x=4+2x， 在Rt△DEG中，EG==， ∴EF=2， ∵FH垂直平分BE， ∴BF=EF， ∴4+2x=2， 解得x=3， ∴AD=AE+DE=4+3=7， ∴BC=AD=7． 故答案為：7． 【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，矩形的性質，線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等的性質，勾股定理，熟記各性質并利用勾股定理列出方程是解題的關鍵． 　 4．如圖，正方形ABCD的邊長為6，點O是對角線AC、BD的交點，點E在CD上，且DE=2CE，過點C作CF⊥BE，垂足為F，連接OF，則OF的長為　　． 【考點】全等三角形的判定與性質；等腰直角三角形；正方形的性質． 【專題】計算題；幾何圖形問題． 【分析】在BE上截取BG=CF，連接OG，證明△OBG≌△OCF，則OG=OF，∠BOG=∠COF，得出等腰直角三角形GOF，在RT△BCE中，根據射影定理求得GF的長，即可求得OF的長． 【解答】解：如圖，在BE上截取BG=CF，連接OG， ∵RT△BCE中，CF⊥BE， ∴∠EBC=∠ECF， ∵∠OBC=∠OCD=45°， ∴∠OBG=∠OCF， 在△OBG與△OCF中 ∴△OBG≌△OCF（SAS） ∴OG=OF，∠BOG=∠COF， ∴OG⊥OF， 在RT△BCE中，BC=DC=6，DE=2EC， ∴EC=2， ∴BE===2， ∵BC2=BF?BE， 則62=BF，解得：BF=， ∴EF=BE﹣BF=， ∵CF2=BF?EF， ∴CF=， ∴GF=BF﹣BG=BF﹣CF=， 在等腰直角△OGF中 OF2=GF2， ∴OF=． 故答案為：． 【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質，直角三角形的判定以及射影定理、勾股定理的應用． 　 5．如圖，點B、E、C、F在一條直線上，AB∥DE，AB=DE，BE=CF，AC=6，則DF=　6　． 【考點】全等三角形的判定與性質． 【專題】幾何圖形問題． 【分析】根據題中條件由SAS可得△ABC≌△DEF，根據全等三角形的性質可得AC=DF=6． 【解答】證明：∵AB∥DE， ∴∠B=∠DEF ∵BE=CF， ∴BC=EF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）， ∴AC=DF=6． 故答案是：6． 【點評】本題主要考查了全等三角形的判定及性質問題，應熟練掌握．全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當的判定條件． 　 6．已知在平面直角坐標系中放置了5個如圖所示的正方形（用陰影表示），點B1在y軸上且坐標是（0，2），點C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x軸上，C1的坐標是（1，0）．B1C1∥B2C2∥B3C3，以此繼續(xù)下去，則點A2014到x軸的距離是　?。? 【考點】全等三角形的判定與性質；規(guī)律型：點的坐標；正方形的性質；相似三角形的判定與性質． 【專題】規(guī)律型． 【分析】根據勾股定理可得正方形A1B1C1D1的邊長為=，根據相似三角形的性質可得后面正方形的邊長依次是前面正方形邊長的，依次得到第2014個正方形和第2014個正方形的邊長，進一步得到點A2014到x軸的距離． 【解答】解：如圖，∵點C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x軸上，B1C1∥B2C2∥B3C3， ∴△B1OC1∽△B2E2C2∽B3E4C3…，△B1OC1≌△C1E1D1，…， ∴B2E2=1，B3E4=，B4E6=，B5E8=…， ∴B2014E4016=， 作A1E⊥x軸，延長A1D1交x軸于F， 則△C1D1F∽△C1D1E1， ∴=， 在Rt△OB1C1中，OB1=2，OC1=1， 正方形A1B1C1D1的邊長為為=， ∴D1F=， ∴A1F=， ∵A1E∥D1E1， ∴=， ∴A1E=3，∴=， ∴點A2014到x軸的距離是×= 故答案為：． 【點評】此題主要考查了正方形的性質以及解直角三角形的知識，得出正方形各邊長是解題關鍵． 　 7．如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，E是AB邊上一點，G是AD延長線上一點，BE=DG，連接EG，CF⊥EG交EG于點H，交AD于點F，連接CE，BH．若BH=8，則FG=　5　． 【考點】全等三角形的判定與性質；等腰直角三角形；正方形的性質；相似三角形的判定與性質． 【專題】幾何圖形問題；壓軸題． 【分析】如解答圖，連接CG，首先證明△CGD≌△CEB，得到△GCE是等腰直角三角形；過點H作AB、BC的垂線，垂足分別為點M、N，進而證明△HEM≌△HCN，得到四邊形MBNH為正方形，由此求出CH、HN、CN的長度；最后利用相似三角形Rt△HCN∽Rt△GFH，求出FG的長度． 【解答】解：如圖所示，連接CG． 在△CGD與△CEB中 ∴△CGD≌△CEB（SAS）， ∴CG=CE，∠GCD=∠ECB， ∴∠GCE=90°，即△GCE是等腰直角三角形． 又∵CH⊥GE， ∴CH=EH=GH． 過點H作AB、BC的垂線，垂足分別為點M、N，則∠MHN=90°， 又∵∠EHC=90°， ∴∠1=∠2， ∴∠HEM=∠HCN． 在△HEM與△HCN中， ∴△HEM≌△HCN（ASA）． ∴HM=HN， ∴四邊形MBNH為正方形． ∵BH=8， ∴BN=HN=4， ∴CN=BC﹣BN=6﹣4=2． 在Rt△HCN中，由勾股定理得：CH=2． ∴GH=CH=2． ∵HM∥AG， ∴∠1=∠3， ∴∠2=∠3． 又∵∠HNC=∠GHF=90°， ∴Rt△HCN∽Rt△GFH． ∴，即， ∴FG=5． 故答案為：5． 【點評】本題是幾何綜合題，考查了全等三角形、相似三角形、正方形、等腰直角三角形、勾股定理等重要知識點，難度較大．作出輔助線構造全等三角形與相似三角形，是解決本題的關鍵． 　 8．如圖，已知△ABC三個內角的平分線交于點O，點D在CA的延長線上，且DC=BC，AD=AO，若∠BAC=80°，則∠BCA的度數為　60°?。? 【考點】全等三角形的判定與性質；等腰三角形的性質． 【專題】幾何圖形問題． 【分析】可證明△COD≌△COB，得出∠D=∠CBO，再根據∠BAC=80°，得∠BAD=100°，由角平分線可得∠BAO=40°，從而得出∠DAO=140°，根據AD=AO，可得出∠D=20°，即可得出∠CBO=20°，則∠ABC=40°，最后算出∠BCA=60° 【解答】解：∵△ABC三個內角的平分線交于點O， ∴∠ACO=∠BCO， 在△COD和△COB中， ， ∴△COD≌△COB， ∴∠D=∠CBO， ∵∠BAC=80°， ∴∠BAD=100°， ∴∠BAO=40°， ∴∠DAO=140°， ∵AD=AO，∴∠D=20°， ∴∠CBO=20°， ∴∠ABC=40°， ∴∠BCA=60°， 故答案為：60°． 【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質以及等腰三角形的性質，證明三角形全等是解決此題的關鍵． 　 9．如圖，在四邊形ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，則BD的長為　?。? 【考點】全等三角形的判定與性質；勾股定理；等腰直角三角形． 【專題】計算題；壓軸題． 【分析】根據等式的性質，可得∠BAD與∠CAD′的關系，根據SAS，可得△BAD與△CAD′的關系，根據全等三角形的性質，可得BD與CD′的關系，根據勾股定理，可得答案． 【解答】解：作AD′⊥AD，AD′=AD，連接CD′，DD′，如圖： ∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD， 即∠BAD=∠CAD′， 在△BAD與△CAD′中， ， ∴△BAD≌△CAD′（SAS）， ∴BD=CD′． ∠DAD′=90° 由勾股定理得DD′=， ∠D′DA+∠ADC=90° 由勾股定理得CD′=， ∴BD=CD′=， 故答案為：． 【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，利用了全等三角形的判定與性質，勾股定理，作出全等圖形是解題關鍵． 　 10．如圖，在△ABC中，分別以AC，BC為邊作等邊△ACD和等邊△BCE．設△ACD、△BCE、△ABC的面積分別是S1、S2、S3，現(xiàn)有如下結論： ①S1：S2=AC2：BC2； ②連接AE，BD，則△BCD≌△ECA； ③若AC⊥BC，則S1?S2=S32． 其中結論正確的序號是?、佗冖邸。? 【考點】全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質． 【分析】①根據相似三角形面積的比等于相似比的平方判斷； ②根據SAS即可求得全等； ③根據面積公式即可判斷． 【解答】①S1：S2=AC2：BC2正確， 解：∵△ADC與△BCE是等邊三角形， ∴△ADC∽△BCE， ∴S1：S2=AC2：BC2． ②△BCD≌△ECA正確， 證明：∵△ADC與△BCE是等邊三角形， ∴∠ACD=∠BCE=60° ∴∠ACD+∠ACB=∠BCE+∠ACD， 即∠ACE=∠DCB， 在△ACE與△DCB中， ， ∴△BCD≌△ECA（SAS）． ③若AC⊥BC，則S1?S2=S32正確， 解：設等邊三角形ADC的邊長=a，等邊三角形BCE邊長=b，則△ADC的高=a，△BCE的高=b， ∴S1=aa=a2，S2=bb=b2， ∴S1?S2=a2b2=a2b2， ∵S3=ab， ∴S32=a2b2， ∴S1?S2=S32． 【點評】本題考查了三角形全等的判定，等邊三角形的性質，面積公式以及相似三角形面積的比等于相似比的平方，熟知各性質是解題的關鍵． 　 三、解答題 11．如圖，已知點E、F在四邊形ABCD的對角線延長線上，AE=CF，DE∥BF，∠1=∠2． （1）求證：△AED≌△CFB； （2）若AD⊥CD，四邊形ABCD是什么特殊四邊形？請說明理由． 【考點】全等三角形的判定與性質；矩形的判定． 【專題】證明題． 【分析】（1）根據兩直線平行，內錯角相等可得∠E=∠F，再利用“角角邊”證明△AED和△CFB全等即可； （2）根據全等三角形對應邊相等可得AD=BC，∠DAE=∠BCF，再求出∠DAC=∠BCA，然后根據內錯角相等，兩直線平行可得AD∥BC，再根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明四邊形ABCD是平行四邊形，再根據有一個角是直角的平行四邊形是矩形解答． 【解答】（1）證明：∵DE∥BF， ∴∠E=∠F， 在△AED和△CFB中， ， ∴△AED≌△CFB（AAS）； （2）解：四邊形ABCD是矩形． 理由如下：∵△AED≌△CFB， ∴AD=BC，∠DAE=∠BCF， ∴∠DAC=∠BCA， ∴AD∥BC， ∴四邊形ABCD是平行四邊形， 又∵AD⊥CD， ∴四邊形ABCD是矩形． 【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，矩形的判定，平行四邊形的判定以及平行四邊形與矩形的聯(lián)系，熟記各圖形的判定方法和性質是解題的關鍵． 　 12．如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉100°．得到△ADE，連接BD，CE交于點F． （1）求證：△ABD≌△ACE； （2）求∠ACE的度數； （3）求證：四邊形ABFE是菱形． 【考點】全等三角形的判定與性質；菱形的判定；旋轉的性質． 【專題】證明題． 【分析】（1）根據旋轉角求出∠BAD=∠CAE，然后利用“邊角邊”證明△ABD和△ACE全等． （2）根據全等三角形對應角相等，得出∠ACE=∠ABD，即可求得． （3）根據對角相等的四邊形是平行四邊形，可證得四邊形ABFE是平行四邊形，然后依據鄰邊相等的平行四邊形是菱形，即可證得． 【解答】（1）證明：∵△ABC繞點A按逆時針方向旋轉100°， ∴∠BAC=∠DAE=40°， ∴∠BAD=∠CAE=100°， 又∵AB=AC， ∴AB=AC=AD=AE， 在△ABD與△ACE中 ∴△ABD≌△ACE（SAS）． （2）解：∵∠CAE=100°，AC=AE， ∴∠ACE=（180°﹣∠CAE）=（180°﹣100°）=40°； （3）證明：∵∠BAD=∠CAE=100°AB=AC=AD=AE， ∴∠ABD=∠ADB=∠ACE=∠AEC=40°． ∵∠BAE=∠BAD+∠DAE=140°， ∴∠BFE=360°﹣∠BAE﹣∠ABD﹣∠AEC=140°， ∴∠BAE=∠BFE， ∴四邊形ABFE是平行四邊形， ∵AB=AE， ∴平行四邊形ABFE是菱形． 【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質、旋轉的性質以及菱形的判定，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解本題的關鍵． 　 13．如圖，已知△ABC是等腰三角形，頂角∠BAC=α（α＜60°），D是BC邊上的一點，連接AD，線段AD繞點A順時針旋轉α到AE，過點E作BC的平行線，交AB于點F，連接DE，BE，DF． （1）求證：BE=CD； （2）若AD⊥BC，試判斷四邊形BDFE的形狀，并給出證明． 【考點】全等三角形的判定與性質；菱形的判定；旋轉的性質． 【專題】證明題． 【分析】（1）根據旋轉可得∠BAE=∠CAD，從而SAS證明△ACD≌△ABE，得出答案BE=CD； （2）由AD⊥BC，SAS可得△ACD≌△ABE≌△ABD，得出BE=BD=CD，∠EBF=∠DBF，再由EF∥BC，∠DBF=∠EFB，從而得出∠EBF=∠EFB，則EB=EF，證明得出四邊形BDFE為菱形． 【解答】證明：（1）∵△ABC是等腰三角形，頂角∠BAC=α（α＜60°），線段AD繞點A順時針旋轉α到AE， ∴AB=AC， ∴∠BAE=∠CAD， 在△ACD和△ABE中， ， ∴△ACD≌△ABE（SAS）， ∴BE=CD； （2）∵AD⊥BC， ∴BD=CD， ∴BE=BD=CD，∠BAD=∠CAD， ∴∠BAE=∠BAD， 在△ABD和△ABE中， ， ∴△ABD≌△ABE（SAS）， ∴∠EBF=∠DBF， ∵EF∥BC， ∴∠DBF=∠EFB， ∴∠EBF=∠EFB， ∴EB=EF， ∴BD=BE=EF=FD， ∴四邊形BDFE為菱形． 【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質以及菱形的判定、旋轉的性質． 　 14．如圖，在四邊形ABCD中，點H是BC的中點，作射線AH，在線段AH及其延長線上分別取點E，F(xiàn)，連結BE，CF． （1）請你添加一個條件，使得△BEH≌△CFH，你添加的條件是　EH=FH　，并證明． （2）在問題（1）中，當BH與EH滿足什么關系時，四邊形BFCE是矩形，請說明理由． 【考點】全等三角形的判定與性質；矩形的判定． 【專題】幾何綜合題；分類討論． 【分析】（1）根據全等三角形的判定方法，可得出當EH=FH，BE∥CF，∠EBH=∠FCH時，都可以證明△BEH≌△CFH， （2）由（1）可得出四邊形BFCE是平行四邊形，再根據對角線相等的平行四邊形為矩形可得出BH=EH時，四邊形BFCE是矩形． 【解答】（1）答：添加：EH=FH， 證明：∵點H是BC的中點， ∴BH=CH， 在△BEH和△CFH中， ， ∴△BEH≌△CFH（SAS）； （2）解：∵BH=CH，EH=FH， ∴四邊形BFCE是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形為平行四邊形）， ∵當BH=EH時，則BC=EF， ∴平行四邊形BFCE為矩形（對角線相等的平行四邊形為矩形）． 【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質以及平行四邊形的判定，是基礎題，難度不大． 　 15．如圖，E、F分別是等邊三角形ABC的邊AB，AC上的點，且BE=AF，CE、BF交于點P． （1）求證：CE=BF； （2）求∠BPC的度數． 【考點】全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質． 【分析】（1）欲證明CE=BF，只需證得△BCE≌△ABF； （2）利用（1）中的全等三角形的性質得到∠BCE=∠ABF，則由圖示知∠PBC+∠PCB=∠PBC+∠ABF=∠ABC=60°，即∠PBC+∠PCB=60°，所以根據三角形內角和定理求得∠BPC=120°． 【解答】（1）證明：如圖，∵△ABC是等邊三角形， ∴BC=AB，∠A=∠EBC=60°， ∴在△BCE與△ABF中， ， ∴△BCE≌△ABF（SAS）， ∴CE=BF； （2）解：∵由（1）知△BCE≌△ABF， ∴∠BCE=∠ABF， ∴∠PBC+∠PCB=∠PBC+∠ABF=∠ABC=60°，即∠PBC+∠PCB=60°， ∴∠BPC=180°﹣60°=120°． 即：∠BPC=120°． 【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質、等邊三角形的性質．全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當的判定條件． 　 16．在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線MN過點A且MN∥BC，過點B為一銳角頂點作Rt△BDE，∠BDE=90°，且點D在直線MN上（不與點A重合），如圖1，DE與AC交于點P，易證：BD=DP．（無需寫證明過程） （1）在圖2中，DE與CA延長線交于點P，BD=DP是否成立？如果成立，請給予證明；如果不成立，請說明理由； （2）在圖3中，DE與AC延長線交于點P，BD與DP是否相等？請直接寫出你的結論，無需證明． 【考點】全等三角形的判定與性質；等腰直角三角形；平行四邊形的性質． 【專題】幾何綜合題． 【分析】（1）如答圖2，作輔助線，構造全等三角形△BDF≌△PDA，可以證明BD=DP； （2）如答圖3，作輔助線，構造全等三角形△BDF≌△PDA，可以證明BD=DP． 【解答】題干引論： 證明：如答圖1，過點D作DF⊥MN，交AB于點F， 則△ADF為等腰直角三角形，∴DA=DF． ∵∠1+∠FDP=90°，∠FDP+∠2=90°， ∴∠1=∠2． 在△BDF與△PDA中， ∴△BDF≌△PDA（ASA） ∴BD=DP． （1）答：BD=DP成立． 證明：如答圖2，過點D作DF⊥MN，交AB的延長線于點F， 則△ADF為等腰直角三角形，∴DA=DF． ∵∠1+∠ADB=90°，∠ADB+∠2=90°， ∴∠1=∠2． 在△BDF與△PDA中， ∴△BDF≌△PDA（ASA） ∴BD=DP． （2）答：BD=DP． 證明：如答圖3，過點D作DF⊥MN，交AB的延長線于點F， 則△ADF為等腰直角三角形，∴DA=DF． 在△BDF與△PDA中， ∴△BDF≌△PDA（ASA） ∴BD=DP． 【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質、平行線的性質等知識點，作輔助線構造全等三角形是解題的關鍵． 　 17．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，且DE=CF，連接OE，OF．求證：OE=OF． 【考點】全等三角形的判定與性質；矩形的性質． 【專題】證明題． 【分析】欲證明OE=OF，只需證得△ODE≌△OCF即可． 【解答】證明：如圖，∵四邊形ABCD是矩形， ∴∠ADC=∠BCD=90°， AC=BD，OD=BD，OC=AC， ∴OD=OC， ∴∠ODC=∠OCD， ∴∠ADC﹣∠ODC=∠BCD﹣∠OCD， 即∠EDO=∠FCO， 在△ODE與△OCF中， ， ∴△ODE≌△OCF（SAS）， ∴OE=OF． 【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，矩形的性質．全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當的判定條件． 　 18．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的平分線交BC于點E，EF⊥AB于點F，點F恰好是AB的一個三等分點（AF＞BF）． （1）求證：△ACE≌△AFE； （2）求tan∠CAE的值． 【考點】全等三角形的判定與性質；角平分線的性質；勾股定理；銳角三角函數的定義． 【專題】證明題． 【分析】（1）根據角的平分線的性質可求得CE=EF，然后根據直角三角形的判定定理求得三角形全等． （2）由△ACE≌△AFE，得出AC=AF，CE=EF，設BF=m，則AC=2m，AF=2m，AB=3m，根據勾股定理可求得，tan∠B==，CE=EF=，在RT△ACE中，tan∠CAE===； 【解答】（1）證明：∵AE是∠BAC的平分線，EC⊥AC，EF⊥AF， ∴CE=EF， 在Rt△ACE與Rt△AFE中， ， ∴Rt△ACE≌Rt△AFE（HL）； （2）解：由（1）可知△ACE≌△AFE， ∴AC=AF，CE=EF， 設BF=m，則AC=2m，AF=2m，AB=3m， ∴BC===m， 解法一：∵∠C=∠EFB=90°， ∴△EFB∽△ACB， ∴=， ∵CE=EF， ∴==； 解法二：∴在RT△ABC中，tan∠B===， 在RT△EFB中，EF=BF?tan∠B=， ∴CE=EF=， 在RT△ACE中，tan∠CAE===； ∴tan∠CAE=． 【點評】本題考查了直角三角形的判定、性質和利用三角函數解直角三角形，根據已知條件表示出線段的值是解本題的關鍵． 　 19．探究：如圖①，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=60°，延長BA至點D，延長CB至點E，使BE=AD，連結CD，AE，求證：△ACE≌△CBD． 應用：如圖②，在菱形ABCF中，∠ABC=60°，延長BA至點D，延長CB至點E，使BE=AD，連結CD，EA，延長EA交CD于點G，求∠CGE的度數． 【考點】全等三角形的判定與性質；等邊三角形的判定與性質；菱形的性質． 【專題】幾何圖形問題． 【分析】探究：先判斷出△ABC是等邊三角形，根據等邊三角形的性質可得BC=AC，∠ACB=∠ABC，再求出CE=BD，然后利用“邊角邊”證明即可； 應用：連接AC，易知△ABC是等邊三角形，由探究可知△ACE和△CBD全等，根據全等三角形對應角相等可得∠E=∠D，然后根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和求出∠CGE=∠ABC即可． 【解答】解：探究：∵AB=AC，∠ABC=60°， ∴△ABC是等邊三角形， ∴BC=AC，∠ACB=∠ABC， ∵BE=AD， ∴BE+BC=AD+AB， 即CE=BD， 在△ACE和△CBD中， ， ∴△ACE≌△CBD（SAS）； 應用：如圖，連接AC，易知△ABC是等邊三角形， 由探究可知△ACE≌△CBD， ∴∠E=∠D， ∵∠BAE=∠DAG， ∴∠E+∠BAE=∠D+∠DAG， ∴∠CGE=∠ABC， ∵∠ABC=60°， ∴∠CGE=60°． 【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，等邊三角形的判定與性質，菱形的性質，熟記性質并確定出三角形全等的條件是解題的關鍵，（2）作輔助線構造出探究的條件是解題的關鍵． 　 20．如圖，在正方形ABCD中，P是對角線AC上的一點，連接BP、DP，延長BC到E，使PB=PE．求證：∠PDC=∠PEC． 【考點】全等三角形的判定與性質；正方形的性質． 【專題】證明題． 【分析】根據正方形的四條邊都相等可得BC=CD，對角線平分一組對角可得∠BCP=∠DCP，再利用“邊角邊”證明△BCP和△DCP全等，根據全等三角形對應角相等可得∠PDC=∠PBC，再根據等邊對等角可得∠PBC=∠PEC，從而得證． 【解答】證明：在正方形ABCD中，BC=CD，∠BCP=∠DCP， 在△BCP和△DCP中， ， ∴△BCP≌△DCP（SAS）， ∴∠PDC=∠PBC， ∵PB=PE， ∴∠PBC=∠PEC， ∴∠PDC=∠PEC． 【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，正方形的性質，等邊對等角的性質，熟記各性質并判斷出全等三角形是解題的關鍵． 　 21．如圖，已知△ABC中AB=AC． （1）作圖：在AC上有一點D，延長BD，并在BD的延長線上取點E，使AE=AB，連AE，作∠EAC的平分線AF，AF交DE于點F（用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）； （2）在（1）的條件下，連接CF，求證：∠E=∠ACF． 【考點】全等三角形的判定與性質；等腰三角形的性質；作圖—復雜作圖． 【專題】作圖題；證明題． 【分析】（1）以A為圓心，以AB長為半徑畫弧，與BD的延長線的交點即為點E，再以點A為圓心，以任意長為半徑畫弧，分別與AC、AE相交，然后以這兩點為圓心，以大于它們長度為半徑畫弧，兩弧相交于一點，過點A與這一點作出射線與BE的交點即為所求的點F； （2）求出AE=AC，根據角平分線的定義可得∠EAF=∠CAF，再利用“邊角邊”證明△AEF和△ACF全等，根據全等三角形對應角相等可得∠E=∠ACF． 【解答】（1）解：如圖所示； （2）證明：∵AB=AC，AE=AB， ∴AE=AC， ∵AF是∠EAC的平分線， ∴∠EAF=∠CAF， 在△AEF和△ACF中， ， ∴△AEF≌△ACF（SAS）， ∴∠E=∠ACF． 【點評】本題考查了全等三角形的判斷與性質，等腰三角形的性質，作一條線段等于已知線段，角平分線的作法，確定出全等三角形的條件是解題的關鍵． 　 22．（1）如圖1，點E，F(xiàn)在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，求證：∠A=∠D． （2）如圖2，在邊長為1個單位長度的小正方形所組成的網格中，△ABC的頂點均在格點上． ①sinB的值是　??； ②畫出△ABC關于直線l對稱的△A1B1C1（A與A1，B與B1，C與C1相對應），連接AA1，BB1，并計算梯形AA1B1B的面積． 【考點】全等三角形的判定與性質；作圖-軸對稱變換；銳角三角函數的定義． 【專題】網格型． 【分析】（1）根據全等三角形的判定與性質，可得答案； （2）根據正弦函數的定義，可得答案；根據軸對稱性質，可作軸對稱圖形，根據梯形的面積公式，可得答案． 【解答】（1）證明：BE=CF， ∴BE+EF=CF+EF． 即BF=CE． 在△ABF和△DCE中， ， ∴△ABF≌△DCE（SAS）． ∴∠A=∠D； （2）解：①∵AC=3，BC=4， ∴AB=5． sinB=； ②如圖所示： 由軸對稱性質得AA1=2，BB1=8，高是4， ∴==20． 【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，利用了等式的性質，全等三角形的判定與性質． 　 23．在平面內正方形ABCD與正方形CEFH如圖放置，連DE，BH，兩線交于M．求證： （1）BH=DE． （2）BH⊥DE． 【考點】全等三角形的判定與性質；正方形的性質． 【專題】證明題． 【分析】（1）根據正方形的性質可得BC=CD，CE=CH，∠BCD=∠ECH=90°，然后求出∠BCH=∠DCE，再利用“邊角邊”證明△BCH和△DCE全等，根據全等三角形對應邊相等證明即可； （2）根據全等三角形對應角相等可得∠CBH=∠CDE，然后根據三角形的內角和定理求出∠DMB=∠BCD=90°，再根據垂直的定義證明即可． 【解答】證明：（1）在正方形ABCD與正方形CEFH中， BC=CD，CE=CH，∠BCD=∠ECH=90°， ∴∠BCD+∠DCH=∠ECH+∠DCH， 即∠BCH=∠DCE， 在△BCH和△DCE中， ， ∴△BCH≌△DCE（SAS）， ∴BH=DE； （2）∵△BCH≌△DCE， ∴∠CBH=∠CDE， 又∵∠CGB=∠MGD， ∴∠DMB=∠BCD=90°， ∴BH⊥DE． 【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，正方形的性質，熟記性質并確定出全等三角形是解題的關鍵，也是本題的難點． 　 24．如圖，點D是線段BC的中點，分別以點B，C為圓心，BC長為半徑畫弧，兩弧相交于點A，連接AB，AC，AD，點E為AD上一點，連接BE，CE． （1）求證：BE=CE； （2）以點E為圓心，ED長為半徑畫弧，分別交BE，CE于點F，G．若BC=4，∠EBD=30°，求圖中陰影部分（扇形）的面積． 【考點】全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質；扇形面積的計算． 【分析】（1）由點D是線段BC的中點得到BD=CD，再由AB=AC=BC可判斷△ABC為等邊三角形，于是得到AD為BC的垂直平分線，根據線段垂直平分線的性質得BE=CE； （2）由EB=EC，根據等腰三角形的性質得∠EBC=∠ECB=30°，則根據三角形內角和定理計算得∠BEC=120°，在Rt△BDE中，BD=BC=2，∠EBD=30°，根據含30°的直角三角形三邊的關系得到ED=BD=，然后根據扇形的面積公式求解． 【解答】（1）證明：∵點D是線段BC的中點， ∴BD=CD， ∵AB=AC=BC， ∴△ABC為等邊三角形， ∴AD為BC的垂直平分線， ∴BE=CE； （2）解：∵EB=EC， ∴∠EBC=∠ECB=30°， ∴∠BEC=120°， 在Rt△BDE中，BD=BC=2，∠EBD=30°， ∴ED=BD?tan30°=BD=， ∴陰影部分（扇形）的面積==π． 【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質：全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．也考查了等邊三角形的判定與性質、相等垂直平分線的性質以及扇形的面積公式． 　 25．如圖，在等邊△ABC中，點D在直線BC上，連接AD，作∠ADN=60°，直線DN交射線AB于點E，過點C作CF∥AB交直線DN于點F． （1）當點D在線段BC上，∠NDB為銳角時，如圖①，求證：CF+BE=CD； （提示：過點F作FM∥BC交射線AB于點M．） （2）當點D在線段BC的延長線上，∠NDB為銳角時，如圖②；當點D在線段CB的延長線上，∠NDB為鈍角時，如圖③，請分別寫出線段CF，BE，CD之間的數量關系，不需要證明； （3）在（2）的條件下，若∠ADC=30°，S△ABC=4，則BE=　8　，CD=　4或8?。? 【考點】全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質；含30度角的直角三角形；平行四邊形的判定與性質． 【專題】幾何綜合題． 【分析】（1）通過△MEF≌△CDA即可求得ME=CD，因為通過證四邊形BCFM是平行四邊形可以得出BM=CF，從而證得CF+BE=CD； （2）作FM∥BC，得出四邊形BCFM是平行四邊形，然后通過證得△MEF≌△CDA即可求得， （3）根據△ABC的面積可求得AB=BC=AC=4，所以BD=2AB=8，所以 BE=8，圖②CD=4圖③CD=8， 【解答】（1）證明：如圖①，過點F作FM∥BC交射線AB于點M， ∵CF∥AB， ∴四邊形BMFC是平行四邊形， ∴BC=MF，CF=BM， ∴∠ABC=∠EMF，∠BDE=∠MFE， ∵△ABC是等邊三角形， ∴∠ABC=∠ACB=60°，BC=AC， ∴∠EMF=∠ACB，AC=MF， ∵∠ADN=60°， ∴∠BDE+∠ADC=120°，∠ADC+∠DAC=120°， ∴∠BDE=∠DAC， ∴∠MFE=∠DAC， 在△MEF與△CDA中， ， ∴△MEF≌△CDA（AAS）， ∴CD=ME=EB+BM， ∴CD=BE+CF． （2）如圖②，CF+CD=BE，如圖③，CF﹣CD=BE； （3）∵△ABC是等邊三角形，S△ABC=4， ∴易得AB=BC=AC=4， 如圖②， ∵∠ADC=30°，∠ACB=60°， ∴CD=AC=4， ∵∠ADN=60°， ∴∠CDF=30°， 又∵CF∥AB， ∴∠BCF=∠ABC=60°， ∴∠CFD=∠CDF=30°， ∴CD=CF， 由（2）知BE=CF+CD， ∴BE=4+4=8． 如圖③， ∵∠ADC=30°，∠ABC=60°， ∴∠BAD=∠ADC=30°， ∴BD=BA=4， ∴CD=BD+BC=4+4=8， ∵∠ADN=60°，∠ADC=30°， ∴∠BDE=90°， 又∵∠DBE=∠ABC=60°， ∴∠DEB=30°， 在Rt△BDE中，∠DEB=30°，BD=4， ∴BE=2BD=8， 綜上，BE=8，CD=4或8． 【點評】本題考查了等邊三角形的性質，平行四邊形的判定和性質，三角形全等的判定和性質，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半等． 　 26．如圖所示，已知∠1=∠2，請你添加一個條件，證明：AB=AC． （1）你添加的條件是　∠B=∠C??； （2）請寫出證明過程． 【考點】全等三角形的判定與性質． 【專題】幾何綜合題． 【分析】（1）此題是一道開放型的題目，答案不唯一，如∠B=∠C或∠ADB=∠ADC等； （2）根據全等三角形的判定定理AAS推出△ABD≌△ACD，再根據全等三角形的性質得出即可． 【解答】解：（1）添加的條件是∠B=∠C， 故答案為：∠B=∠C； （2）證明：在△ABD和△ACD中 ， ∴△ABD≌△ACD（AAS）， ∴AB=AC． 【點評】本題考查了全等三角形的性質和判定的應用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的對應角相等，對應邊相等． 　 27．如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，在BC的同側作任意Rt△DBC，∠BDC=90°． （1）若