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27.2 反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)（2） 教學(xué)目標(biāo) 【知識(shí)與能力】 1.能根據(jù)反比例函數(shù)y= 的圖像理解和掌握反比例函數(shù)的性質(zhì). 2.能運(yùn)用反比例函數(shù)的性質(zhì)解決有關(guān)問題. 【過程與方法】 1.通過觀察反比例函數(shù)的圖像探究反比例函數(shù)的性質(zhì),感受反比例函數(shù)表達(dá)式與圖像之間的聯(lián)系,體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想的魅力. 2.引導(dǎo)學(xué)生類比一次函數(shù)的研究方法,探究反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì),培養(yǎng)學(xué)生的類比思想和遷移能力. 3.通過引導(dǎo)學(xué)生正確地對(duì)函數(shù)圖像進(jìn)行觀察、分析和抽象概括,培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和抽象概括能力,增強(qiáng)學(xué)生探究問題的本領(lǐng). 【情感態(tài)度價(jià)值觀】 1.在動(dòng)手操作的過程中,體會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣,養(yǎng)成勤于動(dòng)手、勤于思考、勇于探索的習(xí)慣. 2.在探究活動(dòng)中,培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度和勇于探索的精神,通過應(yīng)用反比例函數(shù)的性質(zhì)解決有關(guān)問題,增強(qiáng)學(xué)生的自信,培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣. 3.經(jīng)歷觀察、思考、分析、交流等學(xué)習(xí)過程,提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力及合作精神,逐步提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力. 教學(xué)重難點(diǎn) 【教學(xué)重點(diǎn)】 探究反比例函數(shù)的性質(zhì),能靈活運(yùn)用反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)解決問題. 【教學(xué)難點(diǎn)】 靈活運(yùn)用反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)解決問題. 課前準(zhǔn)備 多媒體課件 教學(xué)過程 一、新課導(dǎo)入： 導(dǎo)入一: 復(fù)習(xí)提問: 1.反比例函數(shù)的圖像是什么形狀的?它有什么特征? (兩條曲線;反比例函數(shù)圖像與x軸、y軸沒有交點(diǎn),兩條曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱等) 2.反比例函數(shù)y=6x的圖像位于哪幾個(gè)象限?反比例函數(shù)y=-6x的圖像呢? (第一、三象限;第二、四象限) 3.你能說出一次函數(shù)的所有性質(zhì)是什么嗎? (一次函數(shù)的增減性、所經(jīng)過象限等) 【師生活動(dòng)】　學(xué)生思考回答,教師點(diǎn)評(píng)補(bǔ)充. 　　[過渡語]　上節(jié)課我們通過畫反比例函數(shù)圖像了解了反比例函數(shù)的一些性質(zhì),類比一次函數(shù)的性質(zhì),反比例函數(shù)是否還有其他性質(zhì)呢?這就是我們這節(jié)課共同探究的內(nèi)容. 導(dǎo)入二: 【課件展示】　長(zhǎng)方體的體積為50 cm3,它的底面積S(單位:cm2)與高h(yuǎn)(單位:cm)之間滿足的函數(shù)關(guān)系是什么?當(dāng)它的高h(yuǎn)增加時(shí),它的底面積S將怎樣變化? 【師生活動(dòng)】　學(xué)生思考回答,并觀察到該反比例函數(shù)中S隨h的增大而減小,教師引出課題. [設(shè)計(jì)意圖]　復(fù)習(xí)上節(jié)課反比例函數(shù)圖像的形狀及簡(jiǎn)單特征,對(duì)本節(jié)課的學(xué)習(xí)起到承上啟下的作用,降低了學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)課的難度.以生活實(shí)際問題導(dǎo)入新課,讓學(xué)生體會(huì)生活中處處有數(shù)學(xué),激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,同時(shí)通過觀察思考問題中底面積S與高h(yuǎn)之間的關(guān)系,很自然地由實(shí)際問題抽象出本課時(shí)學(xué)習(xí)重點(diǎn)之一的反比例函數(shù)圖像的增減性. 二、新知構(gòu)建： 　　[過渡語]　這節(jié)課我們繼續(xù)研究反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì),應(yīng)用反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)能解決哪些問題?讓我們一起去探究吧! 共同探究　反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì) 活動(dòng)一: 【課件展示】　觀察上節(jié)課我們畫出的反比例函數(shù)y=6x與y=-6x的圖像及表達(dá)式,探究下列問題: 表達(dá)式 圖像的位置 y隨x的變化情況 y=6x 圖像在第　　　　、　　　　象限內(nèi)? 在每個(gè)象限內(nèi),y的值隨x的值增大而　　　? y=-6x 圖像在第　　　　、　　　　象限內(nèi)? 在每個(gè)象限內(nèi),y的值隨x的值增大而　　　? 　　【師生活動(dòng)】　學(xué)生觀察兩個(gè)函數(shù)圖像,獨(dú)立思考完成填空,小組內(nèi)交流答案,教師巡視時(shí)幫助有困難的學(xué)生,對(duì)學(xué)生的回答進(jìn)行點(diǎn)評(píng)歸納. 活動(dòng)二: 動(dòng)手操作: 畫出反比例函數(shù)y=2x和y=-2x的圖像. 【思考】 指出反比例函數(shù)y=2x和y=-2x的圖像所在象限,并說明y的值隨x的值的變化而變化的情況. 【師生活動(dòng)】　學(xué)生獨(dú)立完成畫函數(shù)圖像的過程及思考,小組內(nèi)交流答案,教師對(duì)學(xué)生的回答作出點(diǎn)評(píng). [設(shè)計(jì)意圖]　通過學(xué)生動(dòng)手操作、觀察思考、分析交流等數(shù)學(xué)活動(dòng),借助函數(shù)圖像直觀地歸納出反比例函數(shù)圖像的位置及y隨x的變化規(guī)律,教師還可以引導(dǎo)學(xué)生通過觀察對(duì)應(yīng)表或分析函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行認(rèn)識(shí),讓學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用,同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、思考的能力. 　　[過渡語]　我們通過觀察特殊反比例函數(shù)y=6x與y=-6x及y=2x與y=-2x的圖像,得到了它們的性質(zhì),對(duì)于一般反比例函數(shù)y=kx,它有哪些性質(zhì)呢? 思路一 觀察所畫的函數(shù)圖像,學(xué)生在教師的引導(dǎo)下思考回答: (1)反比例函數(shù)圖像的形狀是什么? (雙曲線) (2)反比例函數(shù)圖像無限延伸后與x軸、y軸有公共點(diǎn)嗎?反比例函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱嗎? (函數(shù)圖像與x軸、y軸沒有交點(diǎn),關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱) (3)函數(shù)圖像在哪個(gè)象限內(nèi)?函數(shù)表達(dá)式中誰決定函數(shù)圖像的位置? (當(dāng)k>0時(shí),雙曲線的兩支分別位于第一、三象限;當(dāng)k<0時(shí),雙曲線的兩支分別位于第二、四象限) (4)觀察函數(shù)圖像,在每個(gè)象限內(nèi)隨著x的增大,y如何變化?函數(shù)表達(dá)式中誰決定函數(shù)圖像的增減性? (當(dāng)k>0時(shí),在每個(gè)象限內(nèi),y隨x的增大而減小;當(dāng)k<0時(shí),在每個(gè)象限內(nèi),y隨x的增大而增大) 【師生活動(dòng)】　學(xué)生在教師設(shè)計(jì)的問題下邊思考邊回答,教師提示學(xué)生可以通過表格和圖像兩個(gè)方面思考解決問題,對(duì)回答有困難的問題,教師要給學(xué)生足夠的時(shí)間思考、交流. 共同歸納總結(jié): 【課件展示】　一般地,反比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖像是雙曲線,它具有以下性質(zhì): 1.當(dāng)k>0時(shí),它的圖像位于第一、三象限,在每個(gè)象限內(nèi),y的值隨x的值增大而減小; 2.當(dāng)k<0時(shí),它的圖像位于第二、四象限,在每個(gè)象限內(nèi),y的值隨x的值增大而增大; 3.雙曲線的兩支向兩邊無限延伸,與坐標(biāo)軸沒有交點(diǎn); 4.雙曲線的兩支關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱. [設(shè)計(jì)意圖]　通過教師設(shè)計(jì)的問題,引導(dǎo)學(xué)生由淺入深地思考,使學(xué)生在探究函數(shù)的性質(zhì)的過程中有明確的方向和目的,降低學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)的難度,培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析及歸納總結(jié)的能力,進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想及由特殊到一般的數(shù)學(xué)方法. 思路二 類比以前研究的一次函數(shù)的方法,根據(jù)所列表格、函數(shù)表達(dá)式、所畫函數(shù)圖像,你能得到哪些結(jié)論?看看哪個(gè)小組得到的正確結(jié)論最多? 【師生活動(dòng)】　觀察所畫的四個(gè)函數(shù)圖像后獨(dú)立思考,再小組合作交流,然后學(xué)生展示,教師在巡視過程中及時(shí)幫助有困難的學(xué)生,發(fā)現(xiàn)學(xué)生思考片面時(shí),可以及時(shí)提醒學(xué)生從圖像形狀、增減性、對(duì)稱性等多個(gè)角度觀察思考,學(xué)生展示后,教師點(diǎn)評(píng),師生共同歸納函數(shù)的性質(zhì). 共同總結(jié): 一般地,反比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖像是雙曲線,它具有以下性質(zhì): 1.當(dāng)k>0時(shí),它的圖像位于第一、三象限,在每個(gè)象限內(nèi),y的值隨x的值增大而減小; 2.當(dāng)k<0時(shí),它的圖像位于第二、四象限,在每個(gè)象限內(nèi),y的值隨x的值增大而增大; 3.雙曲線的兩支向兩邊無限延伸,與坐標(biāo)軸沒有交點(diǎn); 4.雙曲線的兩支關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱. 　　[設(shè)計(jì)意圖]　通過小組合作交流,歸納反比例函數(shù)的性質(zhì),學(xué)生之間的合作交流,培養(yǎng)了學(xué)生的合作精神,同時(shí)提高分析問題的能力.類比以前學(xué)過的函數(shù)的方法和性質(zhì)歸納總結(jié),讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)中重要的學(xué)習(xí)方法——類比,同時(shí)進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)最常用的思想方法之一. 例題講解 　(教材135頁(yè)例2)反比例函數(shù)y=kx的圖像如圖所示. (1)判斷k為正數(shù)還是負(fù)數(shù). (2)如果A(-3,y1)和B(-1,y2)為這個(gè)函數(shù)圖像上的兩點(diǎn),那么y1與y2的大小關(guān)系是怎樣的? 【師生活動(dòng)】　學(xué)生獨(dú)立思考后完成解答過程,小組內(nèi)交流答案,對(duì)有疑問的學(xué)生,組長(zhǎng)和老師積極幫助,教師鼓勵(lì)學(xué)生多角度思考比較函數(shù)值的大小,鼓勵(lì)學(xué)生一題多解,對(duì)學(xué)生的回答點(diǎn)評(píng)后課件展示答案,規(guī)范學(xué)生的解答過程. 【課件展示】 解:(1)因?yàn)榉幢壤瘮?shù)y=kx的圖像在第一、三象限, 所以k>0. (2)由k>0可知,在每個(gè)象限內(nèi),y的值隨x的值增大而減小. ∵-3<-1, ∴y1>y2. [設(shè)計(jì)意圖]　通過觀察函數(shù)圖像的位置及增減性,判斷比例系數(shù)k的正負(fù)及比較圖像上點(diǎn)的縱坐標(biāo)的大小,培養(yǎng)學(xué)生的讀圖能力和分析問題的能力,再次體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想的重要應(yīng)用,同時(shí)培養(yǎng)獨(dú)立思考、解決問題的能力. 　如圖所示,點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=3x(x>0)的圖像上,AB⊥x軸于B,AC⊥y軸于C,你能求出矩形OBAC的面積嗎? 教師引導(dǎo)回答問題: (1)矩形的兩條鄰邊長(zhǎng)與點(diǎn)A的坐標(biāo)之間有什么關(guān)系? (2)點(diǎn)A在反比例函數(shù)圖像上,它的橫、縱坐標(biāo)與比例系數(shù)之間是否有等量關(guān)系? (3)你能求出矩形OBAC的面積嗎? (4)求出的矩形面積與比例系數(shù)之間有什么關(guān)系? 【師生活動(dòng)】　學(xué)生獨(dú)立思考后,小組交流,教師幫助有困難的學(xué)生,并對(duì)學(xué)生的展示作出評(píng)價(jià). 解:設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x,y),則xy=3. ∴S矩形OBAC=xy=3. 拓展思考: (1)若點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=3x(x<0)的圖像上,矩形的面積又是多少?它與比例系數(shù)之間有什么關(guān)系? (2)如圖所示,若點(diǎn)A是反比例函數(shù)y=kx(k≠0)圖像上任意一點(diǎn)呢? (3)若連接OA,則△AOB與△AOC的面積又有怎樣的關(guān)系? 【師生活動(dòng)】　學(xué)生獨(dú)立思考后小組合作交流,教師巡視過程中幫助有困難的學(xué)生,對(duì)學(xué)生的回答進(jìn)行點(diǎn)評(píng),師生共同歸納結(jié)論. 結(jié)論: 反比例函數(shù)y=kx(k≠0)中比例系數(shù)k的幾何意義: S矩形OBAC=|x||y|=|k|,S△ABO=S△ACO=12|k|. [設(shè)計(jì)意圖]　通過探究比例系數(shù)k的幾何意義,進(jìn)一步運(yùn)用反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)解決問題,培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析圖像,從圖像中獲取信息的能力.通過挖掘反比例函數(shù)表達(dá)式與面積之間的數(shù)量關(guān)系,培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力,同時(shí)對(duì)不同象限內(nèi)點(diǎn)的討論,讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的嚴(yán)謹(jǐn)性,體會(huì)由特殊到一般的數(shù)學(xué)方法. [知識(shí)拓展]　 1.反比例函數(shù)圖像的位置和函數(shù)的增減性都是由比例系數(shù)k的符號(hào)決定的,反過來,由雙曲線的位置或函數(shù)的增減性可以判斷k的符號(hào). 2.當(dāng)k>0時(shí),雙曲線的兩支分別位于第一、三象限;當(dāng)k<0時(shí),雙曲線的兩支分別位于第二、四象限. 3.反比例函數(shù)的增減性必須強(qiáng)調(diào)“在每一個(gè)象限內(nèi)”.當(dāng)k>0時(shí),在每一個(gè)象限內(nèi),y隨著x的增大而減小,但不能籠統(tǒng)地說:當(dāng)k>0時(shí),y隨著x的增大而減小.同樣,當(dāng)k<0時(shí),在每一個(gè)象限內(nèi),y隨著x的增大而增大,也不能籠統(tǒng)地說:當(dāng)k<0時(shí),y隨著x的增大而增大. 4.過雙曲線y=kx(k≠0)上的任意一點(diǎn)P(x,y)作x軸、y軸的垂線,這一點(diǎn)與垂足、原點(diǎn)所構(gòu)成的矩形的面積為S矩形=|k|,所構(gòu)成的三角形的面積為S△=12|k|. 三、課堂小結(jié)： 1.反比例函數(shù)y=kx的圖像和性質(zhì): 當(dāng)k>0時(shí),它的圖像位于第一、三象限,在每個(gè)象限內(nèi),y的值隨x的值增大而減小;當(dāng)k<0時(shí),它的圖像位于第二、四象限,在每個(gè)象限內(nèi),y的值隨x的值增大而增大. 2.反比例函數(shù)y=kx(k≠0)中比例系數(shù)k的幾何意義. - 6 -