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第13章 軸對稱 測試卷（3） 一、選擇題 1．如圖，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5．若點M、N分別是線段AC，AB上的兩個動點，則BM+MN的最小值為（　?。? A．10 B．8 C．5 D．6 2．如圖，四邊形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E、F分別是BC、DC上的點，當(dāng)△AEF的周長最小時，∠EAF的度數(shù)為（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 3．如圖，直線l外不重合的兩點A、B，在直線l上求作一點C，使得AC+BC的長度最短，作法為：①作點B關(guān)于直線l的對稱點B′；②連接AB′與直線l相交于點C，則點C為所求作的點．在解決這個問題時沒有運用到的知識或方法是（　?。? A．轉(zhuǎn)化思想 B．三角形的兩邊之和大于第三邊 C．兩點之間，線段最短 D．三角形的一個外角大于與它不相鄰的任意一個內(nèi)角 4．如圖，點P是∠AOB內(nèi)任意一點，OP=5cm，點M和點N分別是射線OA和射線OB上的動點，△PMN周長的最小值是5cm，則∠AOB的度數(shù)是（　?。? A．25° B．30° C．35° D．40° 5．如圖，正方形ABCD的面積為12，△ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內(nèi)，在對角線AC上有一點P，使PD+PE最小，則這個最小值為（　?。? A． B．2 C．2 D． 6．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D是AB上的動點，E是BC上的動點，則AE+DE的最小值為（　?。? A．3+2 B．10 C． D． 7．如圖，AB是⊙O的直徑，AB=8，點M在⊙O上，∠MAB=20°，N是弧MB的中點，P是直徑AB上的一動點．若MN=1，則△PMN周長的最小值為（　?。? A．4 B．5 C．6 D．7 8．如圖，MN是半徑為1的⊙O的直徑，點A在⊙O上，∠AMN=30°，點B為劣弧AN的中點．P是直徑MN上一動點，則PA+PB的最小值為（　?。? A． B．1 C．2 D．2 9．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是∠BAC的平分線．若P，Q分別是AD和AC上的動點，則PC+PQ的最小值是（　?。? A． B．4 C． D．5 　 二、填空題 10．如圖，已知正方形ABCD邊長為3，點E在AB邊上且BE=1，點P，Q分別是邊BC，CD的動點（均不與頂點重合），當(dāng)四邊形AEPQ的周長取最小值時，四邊形AEPQ的面積是　?。? 11．如圖，在邊長為2的等邊△ABC中，D為BC的中點，E是AC邊上一點，則BE+DE的最小值為　　． 12．如圖，∠AOB=30°，點M、N分別在邊OA、OB上，且OM=1，ON=3，點P、Q分別在邊OB、OA上，則MP+PQ+QN的最小值是　?。? 13．在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中．點A，B，C，D均在格點上，點E、F分別為線段BC、DB上的動點，且BE=DF． （Ⅰ）如圖①，當(dāng)BE=時，計算AE+AF的值等于　　 （Ⅱ）當(dāng)AE+AF取得最小值時，請在如圖②所示的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺，畫出線段AE，AF，并簡要說明點E和點F的位置如何找到的（不要求證明）　?。? 14．如圖，正方形ABCD的邊長為4，E為BC上一點，BE=1，F(xiàn)為AB上一點，AF=2，P為AC上一點，則PF+PE的最小值為　?。? 15．如圖，∠AOB=30°，點M、N分別是射線OA、OB上的動點，OP平分∠AOB，且OP=6，當(dāng)△PMN的周長取最小值時，四邊形PMON的面積為　?。? 16．在⊙O中，AB是⊙O的直徑，AB=8cm，==，M是AB上一動點，CM+DM的最小值是　　cm． 17．如圖，正方形ABCD的邊長為2，點E為邊BC的中點，點P在對角線BD上移動，則PE+PC的最小值是　?。? 18．如圖，菱形ABCD的邊長為2，∠DAB=60°，E為BC的中點，在對角線AC上存在一點P，使△PBE的周長最小，則△PBE的周長的最小值為　　． 19．如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，E是AB邊上的一點，且AE=3，點Q為對角線AC上的動點，則△BEQ周長的最小值為　?。? 20．如圖，菱形ABCD中，對角線AC=6，BD=8，M、N分別是BC、CD的中點，P是線段BD上的一個動點，則PM+PN的最小值是　?。? 21．在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，點P是直線y=x上的動點，A（1，0），B（2，0）是x軸上的兩點，則PA+PB的最小值為　?。? 22．菱形ABCD的邊長為2，∠ABC=60°，E是AD邊中點，點P是對角線BD上的動點，當(dāng)AP+PE的值最小時，PC的長是　?。? 23．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A（2，3），點B（﹣2，1），在x軸上存在點P到A，B兩點的距離之和最小，則P點的坐標(biāo)是　?。? 　 三、解答題 24．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A（0，3），B（2，4），C（4，0），D（2，﹣3），E（0，﹣4）．寫出D，C，B關(guān)于y軸對稱點F，G，H的坐標(biāo)，并畫出F，G，H點．順次而平滑地連接A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H，A各點．觀察你畫出的圖形說明它具有怎樣的性質(zhì)，它象我們熟知的什么圖形？ 25．如圖，在每個小正方形的邊長均為1個單位長度的方格紙中，有線段AB和直線MN，點A，B，M，N均在小正方形的頂點上． （1）在方格紙中畫四邊形ABCD（四邊形的各頂點均在小正方形的頂點上），使四邊形ABCD是以直線MN為對稱軸的軸對稱圖形，點A的對稱點為點D，點B的對稱點為點C； （2）請直接寫出四邊形ABCD的周長． 26．在圖示的方格紙中 （1）作出△ABC關(guān)于MN對稱的圖形△A1B1C1； （2）說明△A2B2C2是由△A1B1C1經(jīng)過怎樣的平移得到的？ 27．如圖，方格紙中每個小正方形的邊長均為1，四邊形ABCD的四個頂點都在小正方形的頂點上，點E在BC邊上，且點E在小正方形的頂點上，連接AE． （1）在圖中畫出△AEF，使△AEF與△AEB關(guān)于直線AE對稱，點F與點B是對稱點； （2）請直接寫出△AEF與四邊形ABCD重疊部分的面積． 28．如圖，已知拋物線的頂點為A（1，4），拋物線與y軸交于點B（0，3），與x軸交于C、D兩點，點P是x軸上的一個動點． （1）求此拋物線的解析式； （2）當(dāng)PA+PB的值最小時，求點P的坐標(biāo)． 29．作圖題：（不要求寫作法）如圖，△ABC在平面直角坐標(biāo)系中，其中，點A、B、C的坐標(biāo)分別為A（﹣2，1），B（﹣4，5），C（﹣5，2）． （1）作△ABC關(guān)于直線l：x=﹣1對稱的△A1B1C1，其中，點A、B、C的對應(yīng)點分別為A1、B1、C1； （2）寫出點A1、B1、C1的坐標(biāo)． 30．如圖，在邊長為1的小正方形組成的10×10網(wǎng)格中（我們把組成網(wǎng)格的小正方形的頂點稱為格點），四邊形ABCD在直線l的左側(cè)，其四個頂點A、B、C、D分別在網(wǎng)格的格點上． （1）請你在所給的網(wǎng)格中畫出四邊形A′B′C′D′，使四邊形A′B′C′D′和四邊形ABCD關(guān)于直線l對稱，其中點A′、B′、C′、D′分別是點A、B、C、D的對稱點； （2）在（1）的條件下，結(jié)合你所畫的圖形，直接寫出線段A′B′的長度． 　  參考答案與試題解析 一、選擇題 1．如圖，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5．若點M、N分別是線段AC，AB上的兩個動點，則BM+MN的最小值為（　?。? A．10 B．8 C．5 D．6 【考點】軸對稱-最短路線問題． 【分析】過B點作AC的垂線，使AC兩邊的線段相等，到E點，過E作EF垂直AB交AB于F點，EF就是所求的線段． 【解答】解：過B點作AC的垂線，使AC兩邊的線段相等，到E點，過E作EF垂直AB交AB于F點， AC=5， AC邊上的高為2，所以BE=4． ∵△ABC∽△EFB， ∴=，即= EF=8． 故選B． 【點評】本題考查最短路徑問題，關(guān)鍵確定何時路徑最短，然后運用勾股定理和相似三角形的性質(zhì)求得解． 　 2．如圖，四邊形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E、F分別是BC、DC上的點，當(dāng)△AEF的周長最小時，∠EAF的度數(shù)為（　?。? A．50° B．60° C．70° D．80° 【考點】軸對稱-最短路線問題． 【專題】壓軸題． 【分析】據(jù)要使△AEF的周長最小，即利用點的對稱，使三角形的三邊在同一直線上，作出A關(guān)于BC和CD的對稱點A′，A″，即可得出∠AA′E+∠A″=∠HAA′=50°，進而得出∠AEF+∠AFE=2（∠AA′E+∠A″），即可得出答案． 【解答】解：作A關(guān)于BC和CD的對稱點A′，A″，連接A′A″，交BC于E，交CD于F，則A′A″即為△AEF的周長最小值．作DA延長線AH， ∵∠C=50°， ∴∠DAB=130°， ∴∠HAA′=50°， ∴∠AA′E+∠A″=∠HAA′=50°， ∵∠EA′A=∠EAA′，∠FAD=∠A″， ∴∠EAA′+∠A″AF=50°， ∴∠EAF=130°﹣50°=80°， 故選：D． 【點評】本題考查的是軸對稱﹣最短路線問題，涉及到平面內(nèi)最短路線問題求法以及三角形的外角的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出E，F(xiàn)的位置是解題關(guān)鍵． 　 3．如圖，直線l外不重合的兩點A、B，在直線l上求作一點C，使得AC+BC的長度最短，作法為：①作點B關(guān)于直線l的對稱點B′；②連接AB′與直線l相交于點C，則點C為所求作的點．在解決這個問題時沒有運用到的知識或方法是（　?。? A．轉(zhuǎn)化思想 B．三角形的兩邊之和大于第三邊 C．兩點之間，線段最短 D．三角形的一個外角大于與它不相鄰的任意一個內(nèi)角 【考點】軸對稱-最短路線問題． 【分析】利用兩點之間線段最短分析并驗證即可即可． 【解答】解：∵點B和點B′關(guān)于直線l對稱，且點C在l上， ∴CB=CB′， 又∵AB′交l與C，且兩條直線相交只有一個交點， ∴CB′+CA最短， 即CA+CB的值最小， 將軸對稱最短路徑問題利用線段的性質(zhì)定理兩點之間，線段最短，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想，驗證時利用三角形的兩邊之和大于第三邊． 故選D． 【點評】此題主要考查了軸對稱最短路線問題，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合本節(jié)所學(xué)軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點關(guān)于某直線的對稱點． 　 4．如圖，點P是∠AOB內(nèi)任意一點，OP=5cm，點M和點N分別是射線OA和射線OB上的動點，△PMN周長的最小值是5cm，則∠AOB的度數(shù)是（　?。? A．25° B．30° C．35° D．40° 【考點】軸對稱-最短路線問題． 【專題】壓軸題． 【分析】分別作點P關(guān)于OA、OB的對稱點C、D，連接CD，分別交OA、OB于點M、N，連接OC、OD、PM、PN、MN，由對稱的性質(zhì)得出PM=DM，OP=OC，∠COA=∠POA；PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，得出∠AOB=∠COD，證出△OCD是等邊三角形，得出∠COD=60°，即可得出結(jié)果． 【解答】解：分別作點P關(guān)于OA、OB的對稱點C、D，連接CD， 分別交OA、OB于點M、N，連接OC、OD、PM、PN、MN，如圖所示： ∵點P關(guān)于OA的對稱點為D，關(guān)于OB的對稱點為C， ∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA； ∵點P關(guān)于OB的對稱點為C， ∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB， ∴OC=OP=OD，∠AOB=∠COD， ∵△PMN周長的最小值是5cm， ∴PM+PN+MN=5， ∴DM+CN+MN=5， 即CD=5=OP， ∴OC=OD=CD， 即△OCD是等邊三角形， ∴∠COD=60°， ∴∠AOB=30°； 故選：B． 【點評】本題考查了軸對稱的性質(zhì)、最短路線問題、等邊三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握軸對稱的性質(zhì)，證明三角形是等邊三角形是解決問題的關(guān)鍵． 　 5．如圖，正方形ABCD的面積為12，△ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內(nèi)，在對角線AC上有一點P，使PD+PE最小，則這個最小值為（　?。? A． B．2 C．2 D． 【考點】軸對稱-最短路線問題；正方形的性質(zhì)． 【分析】由于點B與D關(guān)于AC對稱，所以BE與AC的交點即為P點．此時PD+PE=BE最小，而BE是等邊△ABE的邊，BE=AB，由正方形ABCD的面積為12，可求出AB的長，從而得出結(jié)果． 【解答】解：由題意，可得BE與AC交于點P． ∵點B與D關(guān)于AC對稱， ∴PD=PB， ∴PD+PE=PB+PE=BE最?。? ∵正方形ABCD的面積為12， ∴AB=2． 又∵△ABE是等邊三角形， ∴BE=AB=2． 故所求最小值為2． 故選B． 【點評】此題考查了軸對稱﹣﹣最短路線問題，正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，找到點P的位置是解決問題的關(guān)鍵． 　 6．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D是AB上的動點，E是BC上的動點，則AE+DE的最小值為（　?。? A．3+2 B．10 C． D． 【考點】軸對稱-最短路線問題． 【分析】作點A關(guān)于BC的對稱點A′，過點A′作A′D⊥AB交BC、AB分別于點E、D，根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，A′D的長度即為AE+DE的最小值，利用勾股定理列式求出AB，再利用∠ABC的正弦列式計算即可得解． 【解答】解：如圖，作點A關(guān)于BC的對稱點A′，過點A′作A′D⊥AB交BC、AB分別于點E、D， 則A′D的長度即為AE+DE的最小值，AA′=2AC=2×6=12， ∵∠ACB=90°，BC=8，AC=6， ∴AB===10， ∴sin∠BAC===， ∴A′D=AA′?sin∠BAC=12×=， 即AE+DE的最小值是． 故選D． 【點評】本題考查了利用軸對稱確定最短路線問題，主要利用了勾股定理，垂線段最短，銳角三角函數(shù)的定義，難點在于確定出點D、E的位置． 　 7．如圖，AB是⊙O的直徑，AB=8，點M在⊙O上，∠MAB=20°，N是弧MB的中點，P是直徑AB上的一動點．若MN=1，則△PMN周長的最小值為（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【考點】軸對稱-最短路線問題；圓周角定理． 【專題】壓軸題． 【分析】作N關(guān)于AB的對稱點N′，連接MN′，NN′，ON′，ON，由兩點之間線段最短可知MN′與AB的交點P′即為△PMN周長的最小時的點，根據(jù)N是弧MB的中點可知∠A=∠NOB=∠MON=20°，故可得出∠MON′=60°，故△MON′為等邊三角形，由此可得出結(jié)論． 【解答】解：作N關(guān)于AB的對稱點N′，連接MN′，NN′，ON′，ON． ∵N關(guān)于AB的對稱點N′， ∴MN′與AB的交點P′即為△PMN周長的最小時的點， ∵N是弧MB的中點， ∴∠A=∠NOB=∠MON=20°， ∴∠MON′=60°， ∴△MON′為等邊三角形， ∴MN′=OM=4， ∴△PMN周長的最小值為4+1=5． 故選：B． 【點評】本題考查的是軸對稱﹣最短路徑問題，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合本節(jié)所學(xué)軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點關(guān)于某直線的對稱點． 　 8．如圖，MN是半徑為1的⊙O的直徑，點A在⊙O上，∠AMN=30°，點B為劣弧AN的中點．P是直徑MN上一動點，則PA+PB的最小值為（　?。? A． B．1 C．2 D．2 【考點】軸對稱-最短路線問題；勾股定理；垂徑定理． 【分析】作點B關(guān)于MN的對稱點B′，連接OA、OB、OB′、AB′，根據(jù)軸對稱確定最短路線問題可得AB′與MN的交點即為PA+PB的最小時的點，根據(jù)在同圓或等圓中，同弧所對的圓心角等于圓周角的2倍求出∠AON=60°，然后求出∠BON=30°，再根據(jù)對稱性可得∠B′ON=∠BON=30°，然后求出∠AOB′=90°，從而判斷出△AOB′是等腰直角三角形，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AB′=OA，即為PA+PB的最小值． 【解答】解：作點B關(guān)于MN的對稱點B′，連接OA、OB、OB′、AB′， 則AB′與MN的交點即為PA+PB的最小時的點，PA+PB的最小值=AB′， ∵∠AMN=30°， ∴∠AON=2∠AMN=2×30°=60°， ∵點B為劣弧AN的中點， ∴∠BON=∠AON=×60°=30°， 由對稱性，∠B′ON=∠BON=30°， ∴∠AOB′=∠AON+∠B′ON=60°+30°=90°， ∴△AOB′是等腰直角三角形， ∴AB′=OA=×1=， 即PA+PB的最小值=． 故選：A． 【點評】本題考查了軸對稱確定最短路線問題，在同圓或等圓中，同弧所對的圓心角等于圓周角的2倍的性質(zhì)，作輔助線并得到△AOB′是等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵． 　 9．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是∠BAC的平分線．若P，Q分別是AD和AC上的動點，則PC+PQ的最小值是（　?。? A． B．4 C． D．5 【考點】軸對稱-最短路線問題． 【分析】過點C作CM⊥AB交AB于點M，交AD于點P，過點P作PQ⊥AC于點Q，由AD是∠BAC的平分線．得出PQ=PM，這時PC+PQ有最小值，即CM的長度，運用勾股定理求出AB，再運用S△ABC=AB?CM=AC?BC，得出CM的值，即PC+PQ的最小值． 【解答】解：如圖，過點C作CM⊥AB交AB于點M，交AD于點P，過點P作PQ⊥AC于點Q， ∵AD是∠BAC的平分線． ∴PQ=PM，這時PC+PQ有最小值，即CM的長度， ∵AC=6，BC=8，∠ACB=90°， ∴AB===10． ∵S△ABC=AB?CM=AC?BC， ∴CM===， 即PC+PQ的最小值為． 故選：C． 【點評】本題主要考查了軸對稱問題，解題的關(guān)鍵是找出滿足PC+PQ有最小值時點P和Q的位置． 　 二、填空題 10．如圖，已知正方形ABCD邊長為3，點E在AB邊上且BE=1，點P，Q分別是邊BC，CD的動點（均不與頂點重合），當(dāng)四邊形AEPQ的周長取最小值時，四邊形AEPQ的面積是　3?。? 【考點】軸對稱-最短路線問題；正方形的性質(zhì)． 【專題】計算題；壓軸題． 【分析】根據(jù)最短路徑的求法，先確定點E關(guān)于BC的對稱點E′，再確定點A關(guān)于DC的對稱點A′，連接A′E′即可得出P，Q的位置；再根據(jù)相似得出相應(yīng)的線段長從而可求得四邊形AEPQ的面積． 【解答】解：如圖1所示， 作E關(guān)于BC的對稱點E′，點A關(guān)于DC的對稱點A′，連接A′E′，四邊形AEPQ的周長最小， ∵AD=A′D=3，BE=BE′=1， ∴AA′=6，AE′=4． ∵DQ∥AE′，D是AA′的中點， ∴DQ是△AA′E′的中位線， ∴DQ=AE′=2；CQ=DC﹣CQ=3﹣2=1， ∵BP∥AA′， ∴△BE′P∽△AE′A′， ∴=，即=，BP=，CP=BC﹣BP=3﹣=， S四邊形AEPQ=S正方形ABCD﹣S△ADQ﹣S△PCQ﹣SBEP=9﹣AD?DQ﹣CQ?CP﹣BE?BP =9﹣×3×2﹣×1×﹣×1×=， 故答案為：． 【點評】本題考查了軸對稱，利用軸對稱確定A′、E′，連接A′E′得出P、Q的位置是解題關(guān)鍵，又利用了相似三角形的判定與性質(zhì)，圖形分割法是求面積的重要方法． 　 11．如圖，在邊長為2的等邊△ABC中，D為BC的中點，E是AC邊上一點，則BE+DE的最小值為　?。? 【考點】軸對稱-最短路線問題；等邊三角形的性質(zhì)． 【分析】作B關(guān)于AC的對稱點B′，連接BB′、B′D，交AC于E，此時BE+ED=B′E+ED=B′D，根據(jù)兩點之間線段最短可知B′D就是BE+ED的最小值，故E即為所求的點． 【解答】解：作B關(guān)于AC的對稱點B′，連接BB′、B′D，交AC于E，此時BE+ED=B′E+ED=B′D，根據(jù)兩點之間線段最短可知B′D就是BE+ED的最小值， ∵B、B′關(guān)于AC的對稱， ∴AC、BB′互相垂直平分， ∴四邊形ABCB′是平行四邊形， ∵三角形ABC是邊長為2， ∵D為BC的中點， ∴AD⊥BC， ∴AD=，BD=CD=1，BB′=2AD=2， 作B′G⊥BC的延長線于G， ∴B′G=AD=， 在Rt△B′BG中， BG===3， ∴DG=BG﹣BD=3﹣1=2， 在Rt△B′DG中，B′D===． 故BE+ED的最小值為． 故答案為：． 【點評】本題考查的是最短路線問題，涉及的知識點有：軸對稱的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理等，有一定的綜合性，但難易適中． 　 12．如圖，∠AOB=30°，點M、N分別在邊OA、OB上，且OM=1，ON=3，點P、Q分別在邊OB、OA上，則MP+PQ+QN的最小值是　　． 【考點】軸對稱-最短路線問題． 【專題】壓軸題． 【分析】作M關(guān)于OB的對稱點M′，作N關(guān)于OA的對稱點N′，連接M′N′，即為MP+PQ+QN的最小值． 【解答】解：作M關(guān)于OB的對稱點M′，作N關(guān)于OA的對稱點N′， 連接M′N′，即為MP+PQ+QN的最小值． 根據(jù)軸對稱的定義可知：∠N′OQ=∠M′OB=30°，∠ONN′=60°， ∴△ONN′為等邊三角形，△OMM′為等邊三角形， ∴∠N′OM′=90°， ∴在Rt△M′ON′中， M′N′==． 故答案為． 【點評】本題考查了軸對稱﹣﹣最短路徑問題，根據(jù)軸對稱的定義，找到相等的線段，得到等邊三角形是解題的關(guān)鍵． 　 13．在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中．點A，B，C，D均在格點上，點E、F分別為線段BC、DB上的動點，且BE=DF． （Ⅰ）如圖①，當(dāng)BE=時，計算AE+AF的值等于　　 （Ⅱ）當(dāng)AE+AF取得最小值時，請在如圖②所示的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺，畫出線段AE，AF，并簡要說明點E和點F的位置如何找到的（不要求證明）　取格點H，K，連接BH，CK，相交于點P，連接AP，與BC相交，得點E，取格點M，N連接DM，CN，相交于點G，連接AG，與BD相交，得點F，線段AE，AF即為所求．?。? 【考點】軸對稱-最短路線問題；勾股定理． 【專題】作圖題；壓軸題． 【分析】（1）根據(jù)勾股定理得出DB=5，進而得出AF=2.5，由勾股定理得出AE=，再解答即可； （2）首先確定E點，要使AE+AF最小，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊可知，需要將AF移到AE的延長線上，因此可以構(gòu)造全等三角形，首先選擇格點H使∠HBC=∠ADB，其次需要構(gòu)造長度BP使BP=AD=4，根據(jù)勾股定理可知BH==5，結(jié)合相似三角形選出格點K，根據(jù)，得BP=BH==4=DA，易證△ADF≌△PBE，因此可得到PE=AF，線段AP即為所求的AE+AF的最小值；同理可確定F點，因為AB⊥BC，因此首先確定格點M使DM⊥DB，其次確定格點G使DG=AB=3，此時需要先確定格點N，同樣根據(jù)相似三角形性質(zhì)得到，得DG=DM=×5=3，易證△DFG≌△BEA，因此可得到AE=GF，故線段AG即為所求的AE+AF的最小值． 【解答】解：（1）根據(jù)勾股定理可得：DB=， 因為BE=DF=， 所以可得AF==2.5， 根據(jù)勾股定理可得：AE=，所以AE+AF=， 故答案為：； （2）如圖， 首先確定E點，要使AE+AF最小，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊可知，需要將AF移到AE的延長線上，因此可以構(gòu)造全等三角形，首先選擇格點H使∠HBC=∠ADB，其次需要構(gòu)造長度BP使BP=AD=4，根據(jù)勾股定理可知BH==5，結(jié)合相似三角形選出格點K，根據(jù)，得BP=BH==4=DA，易證△ADF≌△PBE，因此可得到PE=AF，線段AP即為所求的AE+AF的最小值；同理可確定F點，因為AB⊥BC，因此首先確定格點M使DM⊥DB，其次確定格點G使DG=AB=3，此時需要先確定格點N，同樣根據(jù)相似三角形性質(zhì)得到，得DG=DM=×5=3，易證△DFG≌△BEA，因此可得到AE=GF，故線段AG即為所求的AE+AF的最小值． 故答案為：取格點H，K，連接BH，CK，相交于點P，連接AP，與BC相交，得點E，取格點M，N連接DM，CN，相交于點G，連接AG，與BD相交，得點F，線段AE，AF即為所求． 【點評】此題考查最短路徑問題，關(guān)鍵是根據(jù)軸對稱的性質(zhì)進行分析解答． 　 14．如圖，正方形ABCD的邊長為4，E為BC上一點，BE=1，F(xiàn)為AB上一點，AF=2，P為AC上一點，則PF+PE的最小值為　?。? 【考點】軸對稱-最短路線問題；正方形的性質(zhì)． 【專題】壓軸題． 【分析】作E關(guān)于直線AC的對稱點E′，連接E′F，則E′F即為所求，過F作FG⊥CD于G，在Rt△E′FG中，利用勾股定理即可求出E′F的長． 【解答】解：作E關(guān)于直線AC的對稱點E′，連接E′F，則E′F即為所求， 過F作FG⊥CD于G， 在Rt△E′FG中， GE′=CD﹣BE﹣BF=4﹣1﹣2=1，GF=4， 所以E′F=． 故答案為：． 【點評】本題考查的是最短線路問題，熟知兩點之間線段最短是解答此題的關(guān)鍵． 　 15．如圖，∠AOB=30°，點M、N分別是射線OA、OB上的動點，OP平分∠AOB，且OP=6，當(dāng)△PMN的周長取最小值時，四邊形PMON的面積為　36﹣54?。? 【考點】軸對稱-最短路線問題． 【專題】壓軸題． 【分析】設(shè)點P關(guān)于OA的對稱點為C，關(guān)于OB的對稱點為D，當(dāng)點M、N在CD上時，△PMN的周長最小，此時△COD是等邊三角形，求得三角形PMN和△COD的面積，根據(jù)四邊形PMON的面積為：（ S△COD+S△PMN）求得即可． 【解答】解：分別作點P關(guān)于OA、OB的對稱點C、D，連接CD，分別交OA、OB于點M、N，連接OC、OD、PC、PD． ∵點P關(guān)于OA的對稱點為C，關(guān)于OB的對稱點為D， ∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA； ∵點P關(guān)于OB的對稱點為D， ∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB， ∴OC=OD=OP=6，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°， ∴△COD是等邊三角形， ∴CD=OC=OD=6． ∵∠POC=∠POD， ∴OP⊥CD， ∴OQ=6×=3， ∴PQ=6﹣3 設(shè)MQ=x，則PM=CM=3﹣x， ∴（3﹣x）2﹣x2=（6﹣3）2，解得x=6﹣9， ∵S△PMN=MN×PQ， S△MON=MN×OQ， ∴S四邊形PMON=S△MON+S△PMN=MN×PQ+MN×OQ=MN×OP=×（6﹣9）×6=36﹣54． 故答案為36﹣54． 【點評】此題主要考查軸對稱﹣﹣最短路線問題，熟知兩點之間線段最短是解答此題的關(guān)鍵． 　 16．在⊙O中，AB是⊙O的直徑，AB=8cm，==，M是AB上一動點，CM+DM的最小值是　8　cm． 【考點】軸對稱-最短路線問題；勾股定理；垂徑定理． 【分析】作點C關(guān)于AB的對稱點C′，連接C′D與AB相交于點M，根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，點M為CM+DM的最小值時的位置，根據(jù)垂徑定理可得=，然后求出C′D為直徑，從而得解． 【解答】解：如圖，作點C關(guān)于AB的對稱點C′，連接C′D與AB相交于點M， 此時，點M為CM+DM的最小值時的位置， 由垂徑定理，=， ∴=， ∵==，AB為直徑， ∴C′D為直徑， ∴CM+DM的最小值是8cm． 故答案為：8． 【點評】本題考查了軸對稱確定最短路線問題，垂徑定理，熟記定理并作出圖形，判斷出CM+DM的最小值等于圓的直徑的長度是解題的關(guān)鍵． 　 17．如圖，正方形ABCD的邊長為2，點E為邊BC的中點，點P在對角線BD上移動，則PE+PC的最小值是　?。? 【考點】軸對稱-最短路線問題；正方形的性質(zhì)． 【專題】計算題． 【分析】要求PE+PC的最小值，PE，PC不能直接求，可考慮通過作輔助線轉(zhuǎn)化PE，PC的值，從而找出其最小值求解． 【解答】解：如圖，連接AE， ∵點C關(guān)于BD的對稱點為點A， ∴PE+PC=PE+AP， 根據(jù)兩點之間線段最短可得AE就是AP+PE的最小值， ∵正方形ABCD的邊長為2，E是BC邊的中點， ∴BE=1， ∴AE==， 故答案為：． 【點評】此題主要考查了正方形的性質(zhì)和軸對稱及勾股定理等知識的綜合應(yīng)用．根據(jù)已知得出兩點之間線段最短可得AE就是AP+PE的最小值是解題關(guān)鍵． 　 18．如圖，菱形ABCD的邊長為2，∠DAB=60°，E為BC的中點，在對角線AC上存在一點P，使△PBE的周長最小，則△PBE的周長的最小值為　+1?。? 【考點】軸對稱-最短路線問題；菱形的性質(zhì)． 【分析】連接BD，與AC的交點即為使△PBE的周長最小的點P；由菱形的性質(zhì)得出∠BPC=90°，由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出PE=BE，證明△PBE是等邊三角形，得出PB=BE=PE=1，即可得出結(jié)果． 【解答】解：連結(jié)DE． ∵BE的長度固定， ∴要使△PBE的周長最小只需要PB+PE的長度最小即可， ∵四邊形ABCD是菱形， ∴AC與BD互相垂直平分， ∴P′D=P′B， ∴PB+PE的最小長度為DE的長， ∵菱形ABCD的邊長為2，E為BC的中點，∠DAB=60°， ∴△BCD是等邊三角形， 又∵菱形ABCD的邊長為2， ∴BD=2，BE=1，DE=， ∴△PBE的最小周長=DE+BE=+1， 故答案為：+1． 【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)、軸對稱以及最短路線問題、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)；熟練掌握菱形的性質(zhì)，并能進行推理計算是解決問題的關(guān)鍵． 　 19．如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，E是AB邊上的一點，且AE=3，點Q為對角線AC上的動點，則△BEQ周長的最小值為　6?。? 【考點】軸對稱-最短路線問題；正方形的性質(zhì)． 【專題】計算題． 【分析】連接BD，DE，根據(jù)正方形的性質(zhì)可知點B與點D關(guān)于直線AC對稱，故DE的長即為BQ+QE的最小值，進而可得出結(jié)論． 【解答】解：連接BD，DE， ∵四邊形ABCD是正方形， ∴點B與點D關(guān)于直線AC對稱， ∴DE的長即為BQ+QE的最小值， ∵DE=BQ+QE===5， ∴△BEQ周長的最小值=DE+BE=5+1=6． 故答案為：6． 【點評】本題考查的是軸對稱﹣最短路線問題，熟知軸對稱的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵． 　 20．如圖，菱形ABCD中，對角線AC=6，BD=8，M、N分別是BC、CD的中點，P是線段BD上的一個動點，則PM+PN的最小值是　5?。? 【考點】軸對稱-最短路線問題；勾股定理的應(yīng)用；平行四邊形的判定與性質(zhì)；菱形的性質(zhì)． 【專題】幾何圖形問題． 【分析】作M關(guān)于BD的對稱點Q，連接NQ，交BD于P，連接MP，此時MP+NP的值最小，連接AC，求出CP、PB，根據(jù)勾股定理求出BC長，證出MP+NP=QN=BC，即可得出答案． 【解答】解：作M關(guān)于BD的對稱點Q，連接NQ，交BD于P，連接MP，此時MP+NP的值最小，連接AC， ∵四邊形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，∠QBP=∠MBP， 即Q在AB上， ∵MQ⊥BD， ∴AC∥MQ， ∵M為BC中點， ∴Q為AB中點， ∵N為CD中點，四邊形ABCD是菱形， ∴BQ∥CD，BQ=CN， ∴四邊形BQNC是平行四邊形， ∴NQ=BC， ∵四邊形ABCD是菱形， ∴CP=AC=3，BP=BD=4， 在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC=5， 即NQ=5， ∴MP+NP=QP+NP=QN=5， 故答案為：5． 【點評】本題考查了軸對稱﹣最短路線問題，平行四邊形的性質(zhì)和判定，菱形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能根據(jù)軸對稱找出P的位置． 　 21．在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，點P是直線y=x上的動點，A（1，0），B（2，0）是x軸上的兩點，則PA+PB的最小值為　?。? 【考點】軸對稱-最短路線問題；一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征． 【分析】利用一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)性質(zhì)得出OA′=1，進而利用勾股定理得出即可． 【解答】解：如圖所示：作A點關(guān)于直線y=x的對稱點A′，連接A′B，交直線y=x于點P， 此時PA+PB最小， 由題意可得出：OA′=1，BO=2，PA′=PA， ∴PA+PB=A′B==． 故答案為：． 【點評】此題主要考查了利用軸對稱求最短路線以及一次函數(shù)圖象上點的特征等知識，得出P點位置是解題關(guān)鍵． 　 22．菱形ABCD的邊長為2，∠ABC=60°，E是AD邊中點，點P是對角線BD上的動點，當(dāng)AP+PE的值最小時，PC的長是　　． 【考點】軸對稱-最短路線問題；菱形的性質(zhì)． 【專題】幾何綜合題． 【分析】作點E關(guān)于直線BD的對稱點E′，連接AE′，則線段AE′的長即為AP+PE的最小值，再由軸對稱的性質(zhì)可知DE=DE′=1，故可得出△AE′D是直角三角形，由菱形的性質(zhì)可知∠PDE′=∠ADC=30°，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出PE的長，進而可得出PC的長． 【解答】解：如圖所示， 作點E關(guān)于直線BD的對稱點E′，連接AE′，則線段AE′的長即為AP+PE的最小值， ∵菱形ABCD的邊長為2，E是AD邊中點， ∴DE=DE′=AD=1， ∴△AE′D是直角三角形， ∵∠ABC=60°， ∴∠PDE′=∠ADC=30°， ∴PE′=DE′?tan30°=， ∴PC===． 故答案為：． 【點評】本題考查的是軸對稱﹣最短路線問題，熟知菱形的性質(zhì)及銳角三角函數(shù)的定義是解答此題的關(guān)鍵． 　 23．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A（2，3），點B（﹣2，1），在x軸上存在點P到A，B兩點的距離之和最小，則P點的坐標(biāo)是?。ī?，0）?。? 【考點】軸對稱-最短路線問題；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)． 【專題】壓軸題． 【分析】作A關(guān)于x軸的對稱點C，連接BC交x軸于P，則此時AP+BP最小，求出C的坐標(biāo)，設(shè)直線BC的解析式是y=kx+b，把B、C的坐標(biāo)代入求出k、b，得出直線BC的解析式，求出直線與x軸的交點坐標(biāo)即可． 【解答】解：作A關(guān)于x軸的對稱點C，連接BC交x軸于P，則此時AP+BP最小， ∵A點的坐標(biāo)為（2，3），B點的坐標(biāo)為（﹣2，1）， ∴C（2，﹣3）， 設(shè)直線BC的解析式是：y=kx+b， 把B、C的坐標(biāo)代入得： 解得． 即直線BC的解析式是y=﹣x﹣1， 當(dāng)y=0時，﹣x﹣1=0， 解得：x=﹣1， ∴P點的坐標(biāo)是（﹣1，0）． 故答案為：（﹣1，0）． 【點評】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，軸對稱﹣最短路線問題的應(yīng)用，關(guān)鍵是能找出P點，題目具有一定的代表性，難度適中． 　 三、解答題 24．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A（0，3），B（2，4），C（4，0），D（2，﹣3），E（0，﹣4）．寫出D，C，B關(guān)于y軸對稱點F，G，H的坐標(biāo)，并畫出F，G，H點．順次而平滑地連接A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H，A各點．觀察你畫出的圖形說明它具有怎樣的性質(zhì)，它象我們熟知的什么圖形？ 【考點】作圖-軸對稱變換． 【專題】作圖題． 【分析】關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)的特點是：縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，得出F，G，H的坐標(biāo)，順次連接各點即可． 【解答】解：由題意得，F(xiàn)（﹣2，﹣3），G（﹣4，0），H（﹣2，4）， 這個圖形關(guān)于y軸對稱，是我們熟知的軸對稱圖形． 【點評】本題考查了軸對稱作圖的知識，解答本題的關(guān)鍵是掌握關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)的特點，及軸對稱圖形的特點． 　 25．如圖，在每個小正方形的邊長均為1個單位長度的方格紙中，有線段AB和直線MN，點A，B，M，N均在小正方形的頂點上． （1）在方格紙中畫四邊形ABCD（四邊形的各頂點均在小正方形的頂點上），使四邊形ABCD是以直線MN為對稱軸的軸對稱圖形，點A的對稱點為點D，點B的對稱點為點C； （2）請直接寫出四邊形ABCD的周長． 【考點】作圖-軸對稱變換；勾股定理． 【分析】（1）根據(jù)四邊形ABCD是以直線MN為對稱軸的軸對稱圖形，分別得出對稱點畫出即可； （2）根據(jù)勾股定理求出四邊形ABCD的周長即可． 【解答】解；（1）如圖所示： （2）四邊形ABCD的周長為：AB+BC+CD+AD=+2++3=2+5． 【點評】此題主要考查了勾股定理以及軸對稱圖形的作法，根據(jù)已知得出A，B點關(guān)于MN的對稱點是解題關(guān)鍵． 　 26．在圖示的方格紙中 （1）作出△ABC關(guān)于MN對稱的圖形△A1B1C1； （2）說明△A2B2C2是由△A1B1C1經(jīng)過怎樣的平移得到的？ 【考點】作圖-軸對稱變換；作圖-平移變換． 【專題】作圖題． 【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點A、B、C關(guān)于MN的對稱點A1、B1、C1的位置，然后順次連接即可； （2）根據(jù)平移的性質(zhì)結(jié)合圖形解答． 【解答】解：（1）△A1B1C1如圖所示； （2）向右平移6個單位，再向下平移2個單位（或向下平移2個單位，再向右平移6個單位）． 【點評】本題考查了利用軸對稱變換作圖，利用平移變換作圖，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)準確找出對應(yīng)點的位置以及變化情況是解題的關(guān)鍵． 　 27．如圖，方格紙中每個小正方形的邊長均為1，四邊形ABCD的四個頂點都在小正方形的頂點上，點E在BC邊上，且點E在小正方形的頂點上，連接AE． （1）在圖中畫出△AEF，使△AEF與△AEB關(guān)于直線AE對稱，點F與點B是對稱點； （2）請直接寫出△AEF與四邊形ABCD重疊部分的面積． 【考點】作圖-軸對稱變換． 【專題】作圖題． 【分析】（1）根據(jù)AE為網(wǎng)格正方形的對角線，作出點B關(guān)于AE的對稱點F，然后連接AF、EF即可； （2）根據(jù)圖形，重疊部分為兩個直角三角形的面積的差，列式計算即可得解． 【解答】解：（1）△AEF如圖所示； （2）重疊部分的面積=×4×4﹣×2×2 =8﹣2 =6． 【點評】本題考查了利用軸對稱變換作圖，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)并觀察出AE為網(wǎng)格正方形的對角線是解題的關(guān)鍵． 　 28．如圖，已知拋物線的頂點為A（1，4），拋物線與y軸交于點B（0，3），與x軸交于C、D兩點，點P是x軸上的一個動點． （1）求此拋物線的解析式； （2）當(dāng)PA+PB的值最小時，求點P的坐標(biāo)． 【考點】軸對稱-最短路線問題；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式． 【專題】數(shù)形結(jié)合． 【分析】（1）設(shè)拋物線頂點式解析式y(tǒng)=a（x﹣1）2+4，然后把點B的坐標(biāo)代入求出a的值，即可得解； （2）先求出點B關(guān)于x軸的對稱點B′的坐標(biāo)，連接AB′與x軸相交，根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，交點即為所求的點P，然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出直線AB′的解析式，再求出與x軸的交點即可． 【解答】解：（1）∵拋物線的頂點為A（1，4）， ∴設(shè)拋物線的解析式y(tǒng)=a（x﹣1）2+4， 把點B（0，3）代入得，a+4=3， 解得a=﹣1， ∴拋物線的解析式為y=﹣（x﹣1）2+4； （2）點B關(guān)于x軸的對稱點B′的坐標(biāo)為（0，﹣3）， 由軸對稱確定最短路線問題，連接AB′與x軸的交點即為點P， 設(shè)直線AB′的解析式為y=kx+b（k≠0）， 則， 解得， ∴直線AB′的解析式為y=7x﹣3， 令y=0，則7x﹣3=0， 解得x=， 所以，當(dāng)PA+PB的值最小時的點P的坐標(biāo)為（，0）． 【點評】本題考查了軸對稱確定最短路線問題，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，（1）利用頂點式解析式求解更簡便，（2）熟練掌握點P的確定方法是解題的關(guān)鍵． 　 29．作圖題：（不要求寫作法）如圖，△ABC在平面直角坐標(biāo)系中，其中，點A、B、C的坐標(biāo)分別為A（﹣2，1），B（﹣4，5），C（﹣5，2）． （1）作△ABC關(guān)于直線l：x=﹣1對稱的△A1B1C1，其中，點A、B、C的對應(yīng)點分別為A1、B1、C1； （2）寫出點A1、B1、C1的坐標(biāo)． 【考點】作圖-軸對稱變換． 【專題】作圖題． 【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點A、B、C關(guān)于直線l的對稱點A1、B1、C1的位置，然后順次連接即可； （2）根據(jù)平面直角坐標(biāo)系寫出點A1、B1、C1的坐標(biāo)即可． 【解答】解：（1）△A1B1C1如圖所示； （2）A1（0，1），B1（2，5），C1（3，2）． 【點評】本題考查了利用軸對稱變換作圖，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，準確找出對應(yīng)點的位置是解題的關(guān)鍵． 　 30．如圖，在邊長為1的小正方形組成的10×10網(wǎng)格中（我們把組成網(wǎng)格的小正方形的頂點稱為格點），四邊形ABCD在直線l的左側(cè)，其四個頂點A、B、C、D分別在網(wǎng)格的格點上． （1）請你在所給的網(wǎng)格中畫出四邊形A′B′C′D′，使四邊形A′B′C′D′和四邊形ABCD關(guān)于直線l對稱，其中點A′、B′、C′、D′分別是點A、B、C、D的對稱點； （2）在（1）的條件下，結(jié)合你所畫的圖形，直接寫出線段A′B′的長度． 【考點】作圖-軸對稱變換． 【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，找到各點的對稱點，順次連接即可； （2）結(jié)合圖形即可得出線段A′B′的長度． 【解答】解：（1）所作圖形如下： ． （2）A'B'==． 【點評】本題考查了軸對稱變換的知識，要求同學(xué)們掌握軸對稱的性質(zhì)，能用格點三角形求線段的長度． 第45頁（共45頁）