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第九章 直線與圓錐曲線位置關(guān)系 解析幾何 直線與圓錐曲線位置關(guān)系 一、基礎(chǔ)知識： （一）直線與橢圓位置關(guān)系 1、直線與橢圓位置關(guān)系：相交（兩個公共點），相切（一個公共點），相離（無公共點） 2、直線與橢圓位置關(guān)系的判定步驟：通過方程根的個數(shù)進行判定， 下面以直線和橢圓：為例 （1）聯(lián)立直線與橢圓方程： （2）確定主變量（或）并通過直線方程消去另一變量（或），代入橢圓方程得到關(guān)于主變量的一元二次方程：，整理可得： （3）通過計算判別式的符號判斷方程根的個數(shù)，從而判定直線與橢圓的位置關(guān)系 ① 方程有兩個不同實根直線與橢圓相交 ② 方程有兩個相同實根直線與橢圓相切 ③ 方程沒有實根直線與橢圓相離 3、若直線上的某點位于橢圓內(nèi)部，則該直線一定與橢圓相交 （二）直線與雙曲線位置關(guān)系 1、直線與雙曲線位置關(guān)系，相交，相切，相離 2、直線與雙曲線位置關(guān)系的判定：與橢圓相同，可通過方程根的個數(shù)進行判定 以直線和橢圓：為例： （1）聯(lián)立直線與雙曲線方程：，消元代入后可得： （2）與橢圓不同，在橢圓中，因為，所以消元后的方程一定是二次方程，但雙曲線中，消元后的方程二次項系數(shù)為，有可能為零。所以要分情況進行討論 當(dāng)且時，方程變?yōu)橐淮畏匠?，有一個根。此時直線與雙曲線相交，只有一個公共點 當(dāng)時，常數(shù)項為，所以恒成立，此時直線與雙曲線相交 當(dāng)或時，直線與雙曲線的公共點個數(shù)需要用判斷： ① 方程有兩個不同實根直線與雙曲線相交 ② 方程有兩個相同實根直線與雙曲線相切 ③ 方程沒有實根直線與雙曲線相離 注：對于直線與雙曲線的位置關(guān)系，不能簡單的憑公共點的個數(shù)來判定位置。尤其是直線與雙曲線有一個公共點時，如果是通過一次方程解出，則為相交；如果是通過二次方程解出相同的根，則為相切 （3）直線與雙曲線交點的位置判定：因為雙曲線上的點橫坐標(biāo)的范圍為，所以通過橫坐標(biāo)的符號即可判斷交點位于哪一支上：當(dāng)時，點位于雙曲線的右支；當(dāng)時，點位于雙曲線的左支。對于方程： ，設(shè)兩個根為 ① 當(dāng)時，則，所以異號，即交點分別位于雙曲線的左，右支 ② 當(dāng)或，且時，，所以同號，即交點位于同一支上 （4）直線與雙曲線位置關(guān)系的幾何解釋：通過（2）可發(fā)現(xiàn)直線與雙曲線的位置關(guān)系與直線的斜率相關(guān)，其分界點剛好與雙曲線的漸近線斜率相同。所以可通過數(shù)形結(jié)合得到位置關(guān)系的判定 ① 且時，此時直線與漸近線平行，可視為漸近線進行平移，則在平移過程中與雙曲線的一支相交的同時，也在遠離雙曲線的另一支，所以只有一個交點 ② 時，直線的斜率介于兩條漸近線斜率之中，通過圖像可得無論如何平移直線，直線均與雙曲線有兩個交點，且兩個交點分別位于雙曲線的左，右支上。 ③ 或時，此時直線比漸近線“更陡”，通過平移觀察可得：直線不一定與雙曲線有公共點（與的符號對應(yīng)），可能相離，相切，相交，如果相交則交點位于雙曲線同一支上。 （三）直線與拋物線位置關(guān)系：相交，相切，相離 1、位置關(guān)系的判定：以直線和拋物線：為例 聯(lián)立方程：，整理后可得： （1）當(dāng)時，此時方程為關(guān)于的一次方程，所以有一個實根。此時直線為水平線，與拋物線相交 （2）當(dāng)時，則方程為關(guān)于的二次方程，可通過判別式進行判定 ① 方程有兩個不同實根直線與拋物線相交 ② 方程有兩個相同實根直線與拋物線相切 ③ 方程沒有實根直線與拋物線相離 2、焦點弦問題：設(shè)拋物線方程：， 過焦點的直線（斜率存在且），對應(yīng)傾斜角為，與拋物線交于 聯(lián)立方程：，整理可得： （1） （2） （3） （四）圓錐曲線問題的解決思路與常用公式： 1、直線與圓錐曲線問題的特點： （1）題目貫穿一至兩個核心變量（其余變量均為配角，早晚利用條件消掉）， （2）條件與直線和曲線的交點相關(guān)，所以可設(shè)，至于坐標(biāo)是否需要解出，則看題目中的條件，以及坐標(biāo)的形式是否復(fù)雜 （3）通過聯(lián)立方程消元，可得到關(guān)于（或）的二次方程，如果所求的問題與兩根的和或乘積有關(guān)，則可利用韋達定理進行整體代入，從而不需求出（所謂“設(shè)而不求”） （4）有些題目會涉及到幾何條件向解析語言的轉(zhuǎn)換，注重數(shù)形幾何，注重整體代入。則可簡化運算的過程 這幾點歸納起來就是“以一個（或兩個）核心變量為中心，以交點為兩個基本點，堅持韋達定理四個基本公式（，堅持數(shù)形結(jié)合，堅持整體代入。直至解決解析幾何問題“ 2、韋達定理：是用二次方程的系數(shù)運算來表示兩個根的和與乘積，在解析幾何中得到廣泛使用的原因主要有兩個：一是聯(lián)立方程消元后的二次方程通常含有參數(shù)，進而導(dǎo)致直接利用求根公式計算出來的實根形式非常復(fù)雜，難以參與后面的運算；二是解析幾何的一些問題或是步驟經(jīng)常與兩個根的和與差產(chǎn)生聯(lián)系。進而在思路上就想利用韋達定理，繞開繁雜的求根結(jié)果，通過整體代入的方式得到答案。所以說，解析幾何中韋達定理的應(yīng)用本質(zhì)上是整體代入的思想，并不是每一道解析題必備的良方。如果二次方程的根易于表示（優(yōu)先求點，以應(yīng)對更復(fù)雜的運算），或者所求的問題與兩根和，乘積無關(guān)，則韋達定理毫無用武之地。 3、直線方程的形式：直線的方程可設(shè)為兩種形式： （1）斜截式：，此直線不能表示豎直線。聯(lián)立方程如果消去則此形式比較好用，且斜率在直線方程中能夠體現(xiàn)，在用斜截式解決問題時要注意檢驗斜率不存在的直線是否符合條件 （2），此直線不能表示水平線，但可以表示斜率不存在的直線。經(jīng)常在聯(lián)立方程后消去時使用，多用于拋物線（消元后的二次方程形式簡單）。此直線不能直接體現(xiàn)斜率，當(dāng)時，斜率 4、弦長公式：（已知直線上的兩點距離）設(shè)直線，上兩點，所以或 （1）證明：因為在直線上，所以 ，代入可得： 同理可證得 （2）弦長公式的適用范圍為直線上的任意兩點，但如果為直線與曲線的交點（即為曲線上的弦），則（或）可進行變形：，從而可用方程的韋達定理進行整體代入。 5、點差法：這是處理圓錐曲線問題的一種特殊方法，適用于所有圓錐曲線。不妨以橢圓方程為例，設(shè)直線與橢圓交于兩點，則該兩點滿足橢圓方程，有： 考慮兩個方程左右分別作差，并利用平方差公式進行分解，則可得到兩個量之間的聯(lián)系： ① ② 由等式可知：其中直線的斜率，中點的坐標(biāo)為，這些要素均在②式中有所體現(xiàn)。所以通過“點差法”可得到關(guān)于直線的斜率與中點的聯(lián)系，從而能夠處理涉及到弦與中點問題時。同時由①可得在涉及坐標(biāo)的平方差問題中也可使用點差法。 二、典型例題 例1：不論為何值，直線與橢圓有公共點，則實數(shù)的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 思路一：可通過聯(lián)立方程，消去變量（如消去），得到關(guān)于的二次方程，因為直線與橢圓有公共點，所以在恒成立，從而將問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題，解出即可 解：，整理可得： 即 思路二：從所給含參直線入手可知直線過定點，所以若過定點的直線均與橢圓有公共點，則該點位于橢圓的內(nèi)部或橢圓上，所以代入后，即，因為是橢圓，所以，故的取值范圍是 答案：C 小煉有話說：（1）比較兩種思路，第一種思路比較傳統(tǒng)，通過根的個數(shù)來確定直線與橢圓位置關(guān)系，進而將問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題求解；第二種思路是抓住點與橢圓位置關(guān)系的特點，即若點在封閉曲線內(nèi)，則過該點的直線必與橢圓相交，從而以定點為突破口巧妙解決問題。在思路二中，從含參直線能發(fā)現(xiàn)定點是關(guān)鍵 （2）本題還要注意細節(jié)，橢圓方程中的系數(shù)不同，所以 例2：已知雙曲線的右焦點為，若過點的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此直線斜率的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 思路：由可得漸近線方程為：，若過右焦點的直線與右支只有一個交點，則直線的斜率的絕對值小于或等于漸近線斜率的絕對值，即 答案：C 小煉有話說：本題是利用“基礎(chǔ)知識”的結(jié)論直接得到的答案，代數(shù)的推理如下： 由可知，設(shè)直線，聯(lián)立方程可得： ，整理后可得： 當(dāng)時，，即位于雙曲線右支，符合題意 當(dāng)時， 直線與雙曲線必有兩個交點，設(shè)為 因為直線與雙曲線的右支有且只有一個交點 ，即 綜上所述： 例3：已知拋物線的方程為，過點和點的直線與拋物線沒有公共點，則實數(shù)的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 思路：由兩點可確定直線的方程（含），再通過與拋物線方程聯(lián)立，利用即可得到關(guān)于的不等式，從而解得的范圍 解：若，則直線與拋物線有公共點，不符題意 若，則 ，與橢圓聯(lián)立方程： 直線與拋物線無公共點 或 答案：D 例4：過雙曲線的右焦點作直線交雙曲線于兩點，若實數(shù)使得的直線恰有3條，則_______ 思路：由雙曲線方程可知，當(dāng)斜率不存在時，可知為通徑，計算可得：，當(dāng)斜率存在時，設(shè)直線，與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長公式可得為關(guān)于的表達式，即?？山獾茫夯颉Ｈ艋?，即時，可得，僅有一解，不符題意。若且，則每個方程只能無解或兩解。所以可知當(dāng)時，方程有兩解，再結(jié)合斜率不存在的情況，共有3解。符合題意，所以 解：由雙曲線可得 ， 當(dāng)斜率不存在時，的方程為 為通徑，即 若直線斜率存在，不妨設(shè)為 則設(shè)， 聯(lián)立直線與橢圓方程：消去可得：，整理可得： 可得：或 ① 當(dāng)時，即，則方程①的解為，只有一解，不符題意 同理，當(dāng)，即，則方程①的解為，只有一解，不符題意 當(dāng)且時，則每個方程的解為0個或兩個，總和無法達到3個，不符題意 所以若的直線恰有3條，只能，方程①解得： 滿足條件的直線的方程為：，， 答案： 例5：已知橢圓，則當(dāng)在此橢圓上存在不同兩點關(guān)于直線對稱，則的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 思路：設(shè)橢圓上兩點，中點坐標(biāo)為，則有，由中點問題想到點差法，則有，變形可得： ①由對稱關(guān)系和對稱軸方程可得，直線的斜率，所以方程①轉(zhuǎn)化為： ，由對稱性可知中點在對稱軸上，所以有，所以解得：，依題意可得：點必在橢圓內(nèi)，所以有，代入可得： ，解得： 答案：D 例6：過點的直線與橢圓交于兩點，線段的中點為，設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，則的值為（ ） A. B. C. D. 思路一：已知與橢圓交于兩個基本點，從而設(shè)，可知，即，從結(jié)構(gòu)上可聯(lián)想到韋達定理，設(shè)，聯(lián)立橢圓方程：，可得：，所以，則，即 思路二：線段為橢圓的弦，且問題圍繞著弦中點展開，在圓錐曲線中處理弦中點問題可用“點差法”，設(shè)，則有，兩式作差，可得：，發(fā)現(xiàn)等式中出現(xiàn)與中點和斜率相關(guān)的要素，其中，所以，且，所以等式化為即，所以 答案：D 小煉有話說：兩類問題適用于點差法，都是圍繞著點差后式子出現(xiàn)平方差的特點。 （1）涉及弦中點的問題，此時點差之后利用平方差進行因式分解可得到中點坐標(biāo)與直線斜率的聯(lián)系 （2）涉及到運用兩點對應(yīng)坐標(biāo)平方差的條件，也可使用點差法 例7：已知點在拋物線上，過點作兩條直線分別交拋物線于點，直線的斜率分別為，若直線過點，則（ ） A. B. C. D. 思路：設(shè)，進而所求，所以可從直線入手，設(shè)直線，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理即可化簡 解：設(shè) ① 設(shè)，則 聯(lián)立方程：，消去可得： 代入①可得： 答案：C 例8：已知拋物線的焦點為，過點的直線交拋物線于兩點，且，則直線的斜率為（ ） A. B. C. D. 思路一：從點的坐標(biāo)出發(fā)，因為三點共線，從而可轉(zhuǎn)化為，考慮將向量坐標(biāo)化，，設(shè)，有，所以，設(shè)直線，聯(lián)立拋物線方程消元后可得：，利用韋達定理可得：，再結(jié)合，消去即可得，直線，即可得到斜率為 思路二：從所給線段關(guān)系恰好為焦半徑出發(fā)，聯(lián)系拋物線的定義，可考慮向準(zhǔn)線引垂線，垂足分別為，便可得到直角梯形，由拋物線定義可知：，將所求斜率轉(zhuǎn)化為直線的傾斜角，即為。不妨設(shè)在第一象限?？紤]將角放入直角三角形，從而可過作于，則，因為而，且，利用勾股定理可得：，從而，即，當(dāng)在第四象限時，同理，可得 綜上所述： 答案：B 例9：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左、右焦點分別為，設(shè)是橢圓上位于軸上方的兩點，且直線與直線平行，與交于點，，則直線的斜率是（ ） A. B. C. D. 思路：先設(shè)出直線，只需一個等量條件即可求出，進而求出斜率?？紤]與橢圓聯(lián)立方程，分別解出的縱坐標(biāo)，然后利用弦長公式即可用表示：，可將已知等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，從而解出，所以斜率為 解：由橢圓方程可得：， 設(shè)，，依圖可知： 聯(lián)立與橢圓方程可得： ，整理可得： 同理可得： 即，解得： 直線的斜率 答案：D 小煉有話說：（1）在運用弦長公式計算時，抓住焦點的縱坐標(biāo)為0的特點，使用縱坐標(biāo)計算線段長度更為簡便，因此在直線的選擇上，本題采用的形式以便于消去得到關(guān)于的方程 （2）直線方程，當(dāng)時，可知斜率與的關(guān)系為： 例10：過橢圓的右焦點作兩條相互垂直的直線分別交橢圓于四點，則的值為（ ） A. B. C. D. 思路：首先先考慮特殊情況，即斜率不存在。則為通徑，；為長軸，所以，從而。再考慮一般情況，所求為焦點弦，所以考慮拆成兩個焦半徑的和，如設(shè)，則，從而想到聯(lián)立直線與橢圓方程并使用韋達定理整體代入，同理也為焦半徑。設(shè)的斜率為，則的斜率為，所以均可用進行表示，再求出的值即可 解：若分別與坐標(biāo)軸平行，不妨設(shè)軸， 則為橢圓的通徑， 由可得： 因為 為長軸長，即 當(dāng)斜率均存在時，設(shè)斜率為，由可得斜率為 由橢圓方程可得： 設(shè)， 聯(lián)立方程可得： 消去可得：，整理后為： 設(shè)，，與橢圓聯(lián)立方程： ，則同理，求只需用替換中的即可 綜上所述： 答案：D 小煉有話說：（1）本題的亮點在于處理，因為發(fā)現(xiàn)與的直線方程結(jié)構(gòu)基本相同（只有斜率不同），并且用的是相同的步驟（聯(lián)立方程，消元，韋達定理，代入焦半徑公式），所以在解決的問題時就可參照的結(jié)果，進行對應(yīng)字母的替換，即可得到答案。所以在處理兩條直線與同一曲線的問題時，可觀察兩直線處理過程的異同，進而簡化運算步驟 （2）本題是選擇題，通過題意可發(fā)現(xiàn)盡管過焦點相互垂直的直線有無數(shù)多對，但從選項中暗示結(jié)果是個常數(shù)，所以就可以利用特殊情況（通徑與長軸長）求出結(jié)果，從而選擇正確的選項