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關(guān)于圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題 直線與圓錐曲線相交所得弦中點(diǎn)問題，是解析幾何中的重要內(nèi)容之一，也是高考的一個熱點(diǎn)問題。這類問題一般有以下三種類型： （1）求中點(diǎn)弦所在直線方程問題； （2）求弦中點(diǎn)的軌跡方程問題； （3）求弦中點(diǎn)的坐標(biāo)問題。其解法有代點(diǎn)相減法、設(shè)而不求法、參數(shù)法、待定系數(shù)法及中心對稱變換法等。 一、求中點(diǎn)弦所在直線方程問題 例1 過橢圓內(nèi)一點(diǎn)M（2，1）引一條弦，使弦被點(diǎn)M平分，求這條弦所在的直線方程。 解法一：設(shè)所求直線方程為y-1=k(x-2)，代入橢圓方程并整理得： 又設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A()，B（），則是方程的兩個根，于是 ， 又M為AB的中點(diǎn)，所以， 解得， 故所求直線方程為。 解法二：設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A()，B（），M（2，1）為AB的中點(diǎn)， 所以，， 又A、B兩點(diǎn)在橢圓上，則，， 兩式相減得， 所以，即， 故所求直線方程為。 解法三：設(shè)所求直線與橢圓的一個交點(diǎn)為A()，由于中點(diǎn)為M（2，1）， 則另一個交點(diǎn)為B(4-)， 因?yàn)锳、B兩點(diǎn)在橢圓上，所以有， 兩式相減得， 由于過A、B的直線只有一條， 故所求直線方程為。 二、求弦中點(diǎn)的軌跡方程問題 例2 過橢圓上一點(diǎn)P（-8，0）作直線交橢圓于Q點(diǎn)，求PQ中點(diǎn)的軌跡方程。 解法一：設(shè)弦PQ中點(diǎn)M（），弦端點(diǎn)P（），Q（）， 則有，兩式相減得， 又因?yàn)?，，所以? 所以，而，故。 化簡可得 （）。 解法二：設(shè)弦中點(diǎn)M（），Q（），由，可得，， 又因?yàn)镼在橢圓上，所以，即， 所以PQ中點(diǎn)M的軌跡方程為 （）。 三、弦中點(diǎn)的坐標(biāo)問題 例3 求直線被拋物線截得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)。 解：解法一：設(shè)直線與拋物線交于， ，其中點(diǎn)，由題意得， 消去y得，即， 所以，，即中點(diǎn)坐標(biāo)為。 解法二：設(shè)直線與拋物線交于， ，其中點(diǎn)，由題意得，兩式相減得， 所以， 所以，即，，即中點(diǎn)坐標(biāo)為。 上面我們給出了解決直線與圓錐曲線相交所得弦中點(diǎn)問題的一些基本解法。下面我們看一個結(jié)論 引理 設(shè)A、B是二次曲線C：上的兩點(diǎn)，P為弦AB的中點(diǎn)，則 。 設(shè)A、B則……（1） ……（2） 得 ∴ ∴ ∵∴ ∴即。（說明：當(dāng)時，上面的結(jié)論就是過二次曲線C上的點(diǎn)P的切線斜率公式，即） 推論1 設(shè)圓的弦AB的中點(diǎn)為P（，則。（假設(shè)點(diǎn)P在圓上時，則過點(diǎn)P的切線斜率為） 推論2 設(shè)橢圓的弦AB的中點(diǎn)為P（，則。（注：對a≤b也成立。假設(shè)點(diǎn)P在橢圓上，則過點(diǎn)P的切線斜率為） 推論3 設(shè)雙曲線的弦AB的中點(diǎn)為P（則。（假設(shè)點(diǎn)P在雙曲線上，則過P點(diǎn)的切線斜率為） 推論4 設(shè)拋物線的弦AB的中點(diǎn)為P（則。（假設(shè)點(diǎn)P在拋物線上，則過點(diǎn)P的切線斜率為 我們可以直接應(yīng)用上面這些結(jié)論解決有關(guān)問題，下面舉例說明。 例1、求橢圓斜率為3的弦的中點(diǎn)軌跡方程。 解：設(shè)P（x，y）是所求軌跡上的任一點(diǎn)，則有，故所示的軌跡方程為16x+75y=0 例2、已知橢圓A、B是橢圓上兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線l與x軸相交于P，求證：。 證明：設(shè)AB的中點(diǎn)為T，由題設(shè)可知AB與x軸不垂直，∴， ∴ ∵l⊥AB ∴ ∴l(xiāng)的方程為： 令y=0 得 ∴ ∵ ∴ ∴ 例3、已知拋物線C：，直線 要使拋物線C上存 在關(guān)于對稱的兩點(diǎn)，的取值范圍是什么？ 解：設(shè)C上兩點(diǎn)A、B兩點(diǎn)關(guān)于對稱，AB的 中點(diǎn)為P（ ∴ ∴∵P∈∴ ∴ ∴ ∴ ∵P在拋物線內(nèi) ，∴ ∴ ∴ ∴ 與拋物線有關(guān)的弦的中點(diǎn)的問題 （1）中點(diǎn)弦問題： （上題麻煩了。是圓不用中點(diǎn)法） 例1 由點(diǎn)向拋物線引弦，求弦的中點(diǎn)的軌跡方程。 分析：解決問題的關(guān)鍵是找到弦的端點(diǎn)A、B在直線上的性質(zhì)和在拋物線上的性質(zhì)的內(nèi)在聯(lián)系。 解法1：利用點(diǎn)差法。 設(shè)端點(diǎn)為A，B，則，， 兩式相減得， ① ①式兩邊同時除以，得， ② 設(shè)弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則，， ③ 又點(diǎn)和點(diǎn)在直線AB上，所以有。 ④ 將③、④代入②得， 整理得。 故得中點(diǎn)的軌跡方程是在拋物線內(nèi)部的部分。 解法2：設(shè)弦AB所在直線的方程為， 由方程組 消去并整理得， （3） 設(shè)A、B、中點(diǎn)，對于方程（3），由根與系數(shù)的關(guān)系，有， ∴代入（1）得 故得所求弦中點(diǎn)的軌跡方程是在拋物線內(nèi)部的部分。 評注：（1）求點(diǎn)的軌跡方程即是求曲線上的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)所滿足的關(guān)系式，本題所給出的兩種方法，都是找動點(diǎn)與已知條件的內(nèi)在聯(lián)系，列關(guān)于，的關(guān)系式，進(jìn)而求出軌跡的方程。 （2）弦中點(diǎn)軌跡問題 設(shè)拋物線（）的弦AB，A，B，弦AB的中點(diǎn)C，則有， （1）－（2）得， ∴， 將，，代入上式，并整理得，這就是弦的斜率與中點(diǎn)的關(guān)系，要學(xué)會推導(dǎo)，并能運(yùn)用。 例2 已知拋物線，過點(diǎn)作一條直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，試求弦AB的中點(diǎn)軌跡方程。 解：如圖，設(shè)弦AB的中點(diǎn)為M，并設(shè)A、B、M點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，根據(jù)題意設(shè)有， ① ， ② ， ③ ， ④ ， ⑤ ④代入①－②得，， ∵，∴， ⑥ ⑥代入⑤得，，即。 評注：本題還有其他解答方法，如設(shè)AB的方程為，將方程代入，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求出弦中點(diǎn)的軌跡方程。 例6 求直線被拋物線截得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)。 解：解法一：設(shè)直線與拋物線交于， ，其中點(diǎn)，由題意得， 消去y得，即， 所以，，即中點(diǎn)坐標(biāo)為。 解法二：設(shè)直線與拋物線交于， ，其中點(diǎn)，由題意得，兩式相減得， 所以， 所以，即，，即中點(diǎn)坐標(biāo)為。 用點(diǎn)差法解圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題 　　 與圓錐曲線的弦的中點(diǎn)有關(guān)的問題，我們稱之為圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題。 解圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題的一般方法是：聯(lián)立直線和圓錐曲線的方程，借助于一元二次方程的根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式及參數(shù)法求解。 若設(shè)直線與圓錐曲線的交點(diǎn)（弦的端點(diǎn)）坐標(biāo)為、，將這兩點(diǎn)代入圓錐曲線的方程并對所得兩式作差，得到一個與弦的中點(diǎn)和斜率有關(guān)的式子，可以大大減少運(yùn)算量。我們稱這種代點(diǎn)作差的方法為“點(diǎn)差法”。 本文用這種方法作一些解題的探索。 一、 以定點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線的方程 例1、過橢圓內(nèi)一點(diǎn)引一條弦，使弦被點(diǎn)平分，求這條弦所在直線的方程。 解：設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為、 為的中點(diǎn) 　　 又、兩點(diǎn)在橢圓上，則， 兩式相減得 于是 即，故所求直線的方程為，即。 例2、已知雙曲線，經(jīng)過點(diǎn)能否作一條直線，使與雙曲線交于、，且點(diǎn)是線段的中點(diǎn)。若存在這樣的直線，求出它的方程，若不存在，說明理由。 策略：這是一道探索性習(xí)題，一般方法是假設(shè)存在這樣的直線　，然后驗(yàn)證它是否滿足題設(shè)的條件。本題屬于中點(diǎn)弦問題，應(yīng)考慮點(diǎn)差法或韋達(dá)定理。 解：設(shè)存在被點(diǎn)平分的弦，且、 則， ， 兩式相減，得 　 故直線 由　消去，得 這說明直線與雙曲線不相交，故被點(diǎn)平分的弦不存在，即不存在這樣的直線。 評述：本題如果忽視對判別式的考察，將得出錯誤的結(jié)果，請務(wù)必小心。由此題可看到中點(diǎn)弦問題中判斷點(diǎn)的位置非常重要。（1）若中點(diǎn)在圓錐曲線內(nèi)，則被點(diǎn)平分的弦一般存在；（2） 若中點(diǎn)在圓錐曲線外，則被點(diǎn)平分的弦可能不存在。 二、 過定點(diǎn)的弦和平行弦的中點(diǎn)坐標(biāo)和中點(diǎn)軌跡 例3、已知橢圓的一條弦的斜率為3，它與直線的交點(diǎn)恰為這條弦的中點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)。 解：設(shè)弦端點(diǎn)、，弦的中點(diǎn)，則 ， 又 ， 兩式相減得 即 ，即 點(diǎn)的坐標(biāo)為。 例4、已知橢圓,求它的斜率為3的弦中點(diǎn)的軌跡方程。 解：設(shè)弦端點(diǎn)、，弦的中點(diǎn)，則 ， 又 ， 兩式相減得 即，即 ，即 由，得 點(diǎn)在橢圓內(nèi) 它的斜率為3的弦中點(diǎn)的軌跡方程為 三、 求與中點(diǎn)弦有關(guān)的圓錐曲線的方程 例5、已知中心在原點(diǎn)，一焦點(diǎn)為的橢圓被直線截得的弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求橢圓的方程。 解：設(shè)橢圓的方程為，則┅┅① 設(shè)弦端點(diǎn)、，弦的中點(diǎn)，則 ， ， 又， 兩式相減得 即 ┅┅② 聯(lián)立①②解得， 所求橢圓的方程是 四、圓錐曲線上兩點(diǎn)關(guān)于某直線對稱問題 例6、已知橢圓，試確定的取值范圍，使得對于直線，橢圓上總有不同的兩點(diǎn)關(guān)于該直線對稱。 解：設(shè)，為橢圓上關(guān)于直線的對稱兩點(diǎn)，為弦的中點(diǎn)，則， 兩式相減得， 即 ，， 　　這就是弦中點(diǎn)軌跡方程。 它與直線的交點(diǎn)必須在橢圓內(nèi) 聯(lián)立，得　則必須滿足， 即，解得 五、注意的問題 （1）雙曲線的中點(diǎn)弦存在性問題；（2）弦中點(diǎn)的軌跡應(yīng)在曲線內(nèi)。 利用點(diǎn)差法求解圓錐曲線中點(diǎn)弦問題，方法簡捷明快，結(jié)構(gòu)精巧，很好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)美，而且應(yīng)用特征明顯，是訓(xùn)練思維、熏陶數(shù)學(xué)情感的一個很好的材料，利于培養(yǎng)學(xué)生的解題能力和解題興趣。 Email：lanqi-happy@163.com 13