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《排列組合》 一、排列與組合 1.從9人中選派2人參加某一活動(dòng)，有多少種不同選法？ 2.從9人中選派2人參加文藝活動(dòng)，1人下鄉(xiāng)演出，1人在本地演出，有多少種不同選派方法？ 3. 現(xiàn)從男、女8名學(xué)生干部中選出2名男同學(xué)和1名女同學(xué)分別參加全?！百Y源”、“生態(tài)”和“環(huán)?！比齻€(gè)夏令營(yíng)活動(dòng)，已知共有90種不同的方案，那么男、女同學(xué)的人數(shù)是 A.男同學(xué)2人，女同學(xué)6人 B.男同學(xué)3人，女同學(xué)5人 C. 男同學(xué)5人，女同學(xué)3人 D. 男同學(xué)6人，女同學(xué)2人 4.一條鐵路原有m個(gè)車站，為了適應(yīng)客運(yùn)需要新增加n個(gè)車站（n>1），則客運(yùn)車票增加了58種（從甲站到乙站與乙站到甲站需要兩種不同車票），那么原有的車站有 A.12個(gè) B.13個(gè) C.14個(gè) D.15個(gè) 5．用0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字， （1）可以組成多少個(gè)數(shù)字不重復(fù)的三位數(shù)？ （2）可以組成多少個(gè)數(shù)字允許重復(fù)的三位數(shù)？ （3）可以組成多少個(gè)數(shù)字不允許重復(fù)的三位數(shù)的奇數(shù)？ （4）可以組成多少個(gè)數(shù)字不重復(fù)的小于1000的自然數(shù)？ （5）可以組成多少個(gè)大于3000，小于5421的數(shù)字不重復(fù)的四位數(shù)？ 二、注意附加條件 1.6人排成一列 （1）甲乙必須站兩端，有多少種不同排法？ （2）甲乙必須站兩端，丙站中間，有多少種不同排法？ 2.由1、2、3、4、5、6六個(gè)數(shù)字可組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字且是6的倍數(shù)的五位數(shù)？ 3.由數(shù)字1，2，3，4，5，6，7所組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，按從小到大的順序排列起來(lái)，第379個(gè)數(shù)是 A.3761 B.4175 C.5132 D.6157 4. 設(shè)有編號(hào)為1、2、3、4、5的五個(gè)茶杯和編號(hào)為1、2、3、4、5的五個(gè)杯蓋，將五個(gè)杯蓋蓋在五個(gè)茶杯上，至少有兩個(gè)杯蓋和茶杯的編號(hào)相同的蓋法有 A.30種 B.31種 C.32種 D.36種 5.從編號(hào)為1，2，…，10,11的11個(gè)球中取5個(gè)，使這5個(gè)球中既有編號(hào)為偶數(shù)的球又有編號(hào)為奇數(shù)的球，且它們的編號(hào)之和為奇數(shù)，其取法總數(shù)是 A.230種 B.236種 C.455種 D.2640種 6.從6雙不同顏色的手套中任取4只，其中恰好有1雙同色的取法有 A.240種 B.180種 C.120種 D.60種 7. 用0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)，將這些四位數(shù)從小到大排列起來(lái)，第71個(gè)數(shù)是 。 三、間接與直接 1.有4名女同學(xué)，6名男同學(xué)，現(xiàn)選3名同學(xué)參加某一比賽，至少有1名女同學(xué)，由多少種不同選法？ 2. 6名男生4名女生排成一行，女生不全相鄰的排法有多少種？ 3.已知集合A和B各12個(gè)元素，含有4個(gè)元素，試求同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件的集合C的個(gè)數(shù)：（1）且C中含有三個(gè)元素；（2）,表示空集。 4. 從5門不同的文科學(xué)科和4門不同的理科學(xué)科中任選4門，組成一個(gè)綜合高考科目組，若要求這組科目中文理科都有，則不同的選法的種數(shù) A.60種 B.80種 C.120種 D.140種 5.四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共有10個(gè)點(diǎn)，在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)不同取法有多少種？ 6. 以正方體的8個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四棱錐有多少個(gè)？ 7. 對(duì)正方體的8個(gè)頂點(diǎn)兩兩連線，其中能成異面直線的有多少對(duì)？ 四、分類與分步 1.求下列集合的元素個(gè)數(shù)． （1）； （2）． 2.一個(gè)文藝團(tuán)隊(duì)有9名成員，有7人會(huì)唱歌，5人會(huì)跳舞，現(xiàn)派2人參加演出，其中1名會(huì)唱歌，1名會(huì)跳舞，有多少種不同選派方法？ 3.已知直線，在上取3個(gè)點(diǎn)，在上取4個(gè)點(diǎn)，每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)連成直線，那么這些直線在和之間的交點(diǎn)（不包括、上的點(diǎn)）最多有 A. 18個(gè) B.20個(gè) C.24個(gè) D.36個(gè) 4. 9名翻譯人員中，6人懂英語(yǔ)，4人懂日語(yǔ)，從中選拔5人參加外事活動(dòng)，要求其中3人擔(dān)任英語(yǔ)翻譯，2人擔(dān)任日語(yǔ)翻譯，選拔的方法有 種（用數(shù)字作答）。 5.某博物館要在20天內(nèi)接待8所學(xué)校的學(xué)生參觀，每天只安排一所學(xué)校，其中一所人數(shù)較多的學(xué)校要連續(xù)參觀3天，其余學(xué)校只參觀1天，則在這20天內(nèi)不同的安排方法為 A.種 B.種 C.種 D.種 6. 從10種不同的作物種子選出6種放入6個(gè)不同的瓶子展出，如果甲乙兩種種子不許放第一號(hào)瓶?jī)?nèi)，那么不同的放法共有 A.種 B.種 C.種 D.種 7. 在畫廊要展出1幅水彩畫、4幅油畫、5幅國(guó)畫，要求排成一排，并且同一種的畫擺放在一起，還要求水彩畫不能擺兩端，那么不同的陳列方式有 A.種 B.種 C.種 D.種 8. 把一個(gè)圓周24等分，過(guò)其中任意3個(gè)分點(diǎn)，可以連成圓的內(nèi)接三角形，其中直角三角形的個(gè)數(shù)是 A.122 B.132 C.264 9. 有三張紙片，正、反面分別寫著數(shù)字1、2、3和4、5、6 ，將這三張紙片上的數(shù)字排成三位數(shù)，共能組不同三位數(shù)的個(gè)數(shù)是 A. 24 B.36 C.48 D.64 10.在1～20共20個(gè)整數(shù)中取兩個(gè)數(shù)相加,使其和為偶數(shù)的不同取法共有多少種? 11. 如下圖,共有多少個(gè)不同的三角形? 解:所有不同的三角形可分為三類： 第一類:其中有兩條邊是原五邊形的邊,這樣的三角形共有5個(gè) 第二類:其中有且只有一條邊是原五邊形的邊,這樣的三角形共有5×4=20個(gè) 第三類:沒(méi)有一條邊是原五邊形的邊,即由五條對(duì)角線圍成的三角形,共有5+5=10個(gè) 由分類計(jì)數(shù)原理得,不同的三角形共有5+20+10=35個(gè). 12.從5部不同的影片中選出4部，在3個(gè)影院放映，每個(gè)影院至少放映一部，每部影片只放映一場(chǎng)，共有 種不同的放映方法（用數(shù)字作答）。 五、元素與位置——位置分析 1.7人爭(zhēng)奪5項(xiàng)冠軍，結(jié)果有多少種情況？ 2. 75600有多少個(gè)正約數(shù)?有多少個(gè)奇約數(shù)? 解:75600的約數(shù)就是能整除75600的整數(shù),所以本題就是分別求能整除75600的整數(shù)和奇約數(shù)的個(gè)數(shù). 由于 75600=24×33×52×7 (1) 75600的每個(gè)約數(shù)都可以寫成的形式,其中,,, 于是,要確定75600的一個(gè)約數(shù),可分四步完成,即分別在各自的范圍內(nèi)任取一個(gè)值,這樣有5種取法,有4種取法,有3種取法,有2種取法,根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得約數(shù)的個(gè)數(shù)為5×4×3×2=120個(gè). (2)奇約數(shù)中步不含有2的因數(shù),因此75600的每個(gè)奇約數(shù)都可以寫成的形式,同上奇約數(shù)的個(gè)數(shù)為4×3×2=24個(gè). 3. 2名醫(yī)生和4名護(hù)士被分配到兩所學(xué)校為學(xué)生體檢，每校分配1名醫(yī)生和2名護(hù)士，不同分配方法有多少種？ 4．有四位同學(xué)參加三項(xiàng)不同的比賽， （1）每位同學(xué)必須參加一項(xiàng)競(jìng)賽，有多少種不同的結(jié)果？ （2）每項(xiàng)競(jìng)賽只許一位學(xué)生參加，有多少種不同的結(jié)果？ 解：（1）每位學(xué)生有三種選擇，四位學(xué)生共有參賽方法：種； （2）每項(xiàng)競(jìng)賽被選擇的方法有四種，三項(xiàng)競(jìng)賽共有參賽方法：種. 六、染色問(wèn)題 1.如圖一,要給①,②,③,④四塊區(qū)域分別涂上五種顏色中的某一種,允許同一種顏色使用多次,但相鄰區(qū)域必須涂不同顏色,則不同涂色方法種數(shù)為() A. 180 B. 160 C. 96 D. 60 ① ③ ④ ② ① ② ③ ④ ④ ③ ② ① 圖一 圖二 圖三 若變?yōu)閳D二,圖三呢?(240種,5×4×4×4=320種) 2. 某班宣傳小組一期國(guó)慶?？?，現(xiàn)有紅、 黃、白、綠、藍(lán)五種顏色的粉筆供選用， 要求在黑板中A、B、C、D（如圖）每一 部分只寫一種顏色，相鄰兩塊顏色不同， 則不同顏色粉筆書寫的方法共有 種（用具體數(shù)字作答）。 七、消序 1. 有4名男生，3名女生?，F(xiàn)將他們排成一行，要求從左到右女生從矮到高排列，有多少種排法？ 2. 書架上有6本書，現(xiàn)再放入3本書，要求不改變?cè)瓉?lái)6本書前后的相對(duì)順序，有多少種不同排法？ 八、分組分配 1.某校高中一年級(jí)有6個(gè)班，分派3名教師任教，每名教師任教二個(gè)班，不同的安排方法有多少種？ 2. 高三級(jí)8個(gè)班，分派4名數(shù)學(xué)老師任教，每位教師任教2個(gè)班，則不同安排方法有多少種？ 3. 6本不同的書分給甲、乙、丙三人，每人一本、二本、三本的不同分法有多少種？ 4.8項(xiàng)工程，甲承包三項(xiàng)，乙承包一項(xiàng)，丙、丁各承包二項(xiàng)，不同的承包方案有 種 5..六人住A、B、C三間房，每房最多住三人， （1）每間住兩人，有 種不同的住法， （2）一間住三人，一間住二人，一間住一人，有 種不同的住宿方案。 6. 8人住ABC三個(gè)房間，每間最多住3人，有多少種不同住宿方案？ 7.有4個(gè)不同小球放入四個(gè)不同盒子，其中有且只有一個(gè)盒子留空，有多少種不同放法？ 7. 把標(biāo)有a，b，c，d，…的8件不同紀(jì)念品平均贈(zèng)給甲、乙兩位同學(xué)，其中a、b不贈(zèng)給同一個(gè)人，則不同的贈(zèng)送方法有 種（用數(shù)字作答）。 九、捆綁 1. A、B、C、D、E五個(gè)人并排站成一列，若A、B必相鄰，則有多少種不同排法？ 2. 有8本不同的書， 其中科技書3本，文藝書2本，其它書3本，將這些書豎排在書架上，則科技書連在一起，文藝書也連在一起的不同排法種數(shù)與這8本書的不同排法之比為 A.1:14 B.1:28 C.1:140 D.1:336 十、插空 1.要排一個(gè)有6個(gè)歌唱節(jié)目和4個(gè)舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單，任何兩個(gè)舞蹈節(jié)目都不相鄰，有多少種不同排法？ 2、4名男生和4名女生站成一排，若要求男女相間，則不同的排法數(shù)有（ ） A.2880 B.1152 C.48 D.144 3. 要排一個(gè)有5個(gè)歌唱節(jié)目和3個(gè)舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單，如果舞蹈節(jié)目不相鄰，則有多少種不同排法？ 4. 5人排成一排，要求甲、乙之間至少有1人，共有多少種不同排法？ 5..把5本不同的書排列在書架的同一層上，其中某3本書要排在中間位置，有多少種不同排法？ 6.1到7七個(gè)自然數(shù)組成一個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)，其中偶數(shù)不相鄰的個(gè)數(shù)有 個(gè). 7.排成一排的8個(gè)空位上，坐3人，使每人兩邊都有空位，有多少種不同坐法？ 8.8張椅子放成一排，4人就坐，恰有連續(xù)三個(gè)空位的坐法有多少種？ 9. 排成一排的9個(gè)空位上，坐3人，使三處有連續(xù)二個(gè)空位，有多少種不同坐法？ 10. 排成一排的9個(gè)空位上，坐3人，使三處空位中有一處一個(gè)空位、有一處連續(xù)二個(gè)空位、有一處連續(xù)三個(gè)空位，有多少種不同坐法？ 11. 某城市修建的一條道路上有12只路燈，為了節(jié)省用電而又不影響正常的照明，可以熄滅其中三只燈，但不能熄滅兩端的燈，也不能熄滅相鄰的兩只燈，那么熄燈的方法共有 種 A. B. C. D. 12. 在一次文藝演出中，需給舞臺(tái)上方安裝一排彩燈共15只，以不同的點(diǎn)燈方式增加舞臺(tái)效果，要求設(shè)計(jì)者按照每次點(diǎn)亮?xí)r，必需有6只燈是關(guān)的，且相鄰的燈不能同時(shí)被關(guān)掉，兩端的燈必需點(diǎn)亮的要求進(jìn)行設(shè)計(jì)，那么不同的點(diǎn)亮方式是 A.28種 B.84種 C.180種 D.360種 13. 一排長(zhǎng)椅上共有10個(gè)座位，現(xiàn)有4人就座，恰有五個(gè)連續(xù)空位的坐法種數(shù)為 。（用數(shù)字作答） 十一、隔板法 1. 不定方程的正整數(shù)解的組數(shù)是 ，非負(fù)整數(shù)解的組數(shù)是 。 2.某運(yùn)輸公司有7個(gè)車隊(duì)，每個(gè)車隊(duì)的車多于4輛，現(xiàn)從這7個(gè)車隊(duì)中抽出10輛車，且每個(gè)車隊(duì)至少抽一輛組成運(yùn)輸隊(duì)，則不同的抽法有 A.84種 B.120種 C.63種 D.301種 3. 要從7所學(xué)校選出10人參加素質(zhì)教育研討班，每所學(xué)校至少參加1人，則這10個(gè)名額共有 種分配方法。 4.有編號(hào)為1、2、3的3個(gè)盒子和10個(gè)相同的小球，現(xiàn)把10個(gè)小球全部裝入3個(gè)盒子中，使得每個(gè)盒子所裝球數(shù)不小于盒子的編號(hào)數(shù)，這種裝法共有 A.9種 B.12種 C.15種 D.18種 5.將7只相同的小球全部放入4個(gè)不同盒子，每盒至少1球的方法有多少種？ 6.某中學(xué)從高中7個(gè)班中選出12名學(xué)生組成校代表隊(duì)，參加市中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題競(jìng)賽活動(dòng)，使代表中每班至少有1人參加的選法有多少種？ 十二、對(duì)應(yīng)的思想 1.在100名選手之間進(jìn)行單循環(huán)淘汰賽（即一場(chǎng)比賽失敗要退出比賽），最后產(chǎn)生一名冠軍，問(wèn)要舉行幾場(chǎng)？ 十三、找規(guī)律 1.在1～20共20個(gè)整數(shù)中取兩個(gè)數(shù)相加,使其和大于20的不同取法共有多少種? 解:分類標(biāo)準(zhǔn)一,固定小加數(shù).小加數(shù)為1時(shí),大加數(shù)只有20這1種取法;小加數(shù)為2時(shí),大加數(shù)有19或20兩種取法;小加數(shù)為3時(shí),大加數(shù)為18,19或20共3種取法…小加數(shù)為10時(shí),大加數(shù)為11,12,…,20共10種取法;小加數(shù)為11時(shí),大加數(shù)有9種取法…小加數(shù)取19時(shí),大加數(shù)有1種取法.由分類計(jì)數(shù)原理,得不同取法共有1+2+…+9+10+9+…+2+1=100種. 分類標(biāo)準(zhǔn)二:固定和的值.有和為21,22,…,39這幾類,依次有取法10,9,9,8,8, …,2,2,1,1種.由分類計(jì)數(shù)原理得不同取法共有10+9+9+…+2+2+1+1=100種. 2.從1到100的自然數(shù)中，每次取出不同的兩個(gè)數(shù)，使它們的和大于一百，則不同的取法有 A.50種 B.100種 C.1275種 D.2500種 十四、實(shí)驗(yàn)——寫出所有的排列或組合 1.將數(shù)字1,2,3,4填入標(biāo)號(hào)1,2,3,4的四個(gè)方格中，每個(gè)格填一個(gè)，則每一個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填的數(shù)字均不同的填法有 種. A.6 B.9 C.11 D.23 解:列表排出所有的分配方案,共有3+3+3=9種,或種． 未歸類幾道題 1.從數(shù)字0，1，3，5，7中取出不同的三位數(shù)作系數(shù)，可以組成多少個(gè)不同的一元二次方程ax+bx+c=0?其中有實(shí)根的方程有多少個(gè)？ 變式：若直線Ax+By+C=0的系數(shù)A、B可以從0，1，2，3，6，7這六個(gè)數(shù)字中取不同的數(shù)值，則這些方程所表示的直線條數(shù)是（ A） A.18 B.20 C.12 D.22 2.在100件產(chǎn)品中,有98件合格品,2件不合格品.從這100件產(chǎn)品中任意抽出3件 (1)一共有多少種不同的抽法? (2)抽出的3件中恰好有一件是不合格品的抽法有多少種? (3)抽出的3件中至少有一件是不合格品的抽法有多少種? 3.10雙互不相同的鞋子混裝在一只口袋中，從中任意抽取4只，試求各有多少種情況出現(xiàn)如下結(jié)果 (1)4只鞋子沒(méi)有成雙；(2) 4只鞋子恰好成雙； (3) 4只鞋子有2只成雙，另2只不成雙 4.f是集合M={a,b,c,d}到N{0,1,2}的映射，且f(a)+f(b)+f(c)+f(d)=4,則不同的映射有多少個(gè)？ 解：根據(jù)a,b,c,d對(duì)應(yīng)的象為2的個(gè)數(shù)分類，可分為三類： 第一類，沒(méi)有一個(gè)元素的象為2，其和又為4，則集合M所有元素的象都為1，這樣的映射只有1個(gè) 第二類，有一個(gè)元素的象為2，其和又為4，則其余3個(gè)元素的象為0，1，1，這樣的映射有C41C3 1C22個(gè) 第三類，有兩個(gè)元素的象為2，其和又為4，則其余2個(gè)元素的象必為0，這樣的映射有C42C22個(gè) 根據(jù)加法原理共有 1+ C41C3 1C22 +C42 C22=19個(gè) 5.四個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)盒子中，則恰有一個(gè)空盒的方法共有多少種？ 6.由12個(gè)人組成的課外文娛小組，其中5個(gè)人只會(huì)跳舞，5個(gè)人只會(huì)唱歌，2個(gè)人既會(huì)跳舞又會(huì)唱歌，若從中選出4個(gè)會(huì)跳舞和4個(gè)會(huì)唱歌的人去排演節(jié)目，共有多少種不同選法？ 排列、組合練習(xí)題參考答案: 1. 2. 3.解析：設(shè)男生有n人，則女生有（8-n）人，由題意得 即 用選支驗(yàn)證選（B） 4.分類：①恰有兩個(gè)杯蓋和茶杯的編號(hào)相同的蓋法有種； ②恰有三個(gè)杯蓋和茶杯的編號(hào)相同的蓋法有種； ③無(wú)恰有四個(gè)杯蓋和茶杯的編號(hào)相同的蓋法，只有五個(gè)杯蓋和茶杯的編號(hào)完全相同的蓋法1種。 故選（B）31種。 5 .分類：①1奇4偶： ②3奇2偶： 選（A） 6.分步：選（A） A 4 B 8 8 7.間接法： 或分類： 8. 間接法： 9. 間接法： 10.對(duì)應(yīng)：一交點(diǎn)對(duì)應(yīng)、上各兩點(diǎn)：個(gè)選（A） 11. 分類：①英語(yǔ)翻譯從單會(huì)英語(yǔ)中選派： 懂英語(yǔ) 1 懂日語(yǔ) 5 6 ②英語(yǔ)翻譯選派中一人既會(huì)英語(yǔ)又會(huì)日語(yǔ)： 填90 12. 分步： 選（D） 13.元素與位置：以冠軍為位置，選人： 14.①；② 15. 分步： 填180 16.消序：=504 或分步插空：=504 或 17.先分組后分配： 或位置分析： 18. 先分組后分配： 19. 位置分析： 20.（1）仿17題；（2）先分組后分配： 21. 先分組后分配： 或分類，先確定住兩人的房間——位置分析： 重復(fù)題目: 先分組后分配： 或分類——位置分析：3 22.捆綁： 選（B） 23. 插空: 24. 插空: 25. 插空: 26. 插空: 27. 插空: 28.(A) 29. 隔板法： 選（A） 30.先在編號(hào)為2、3的2個(gè)盒子分別放入1個(gè)小球、2個(gè)小球； 對(duì)余下7個(gè)小球用隔板法。選（C） 31.對(duì)應(yīng)的思想：100名選手之間進(jìn)行單循環(huán)淘汰賽，最后產(chǎn)生一名冠軍，要環(huán)淘99名選手，每淘汰1名選手，對(duì)應(yīng)一場(chǎng)比賽。故要舉行99場(chǎng)比賽。 32.[ 解法一]:找規(guī)律：固定小加數(shù).小加數(shù)為1時(shí),大加數(shù)只有20這1種取法;小加數(shù)為2時(shí),大加數(shù)有19或20兩種取法;小加數(shù)為3時(shí),大加數(shù)為18,19或20共3種取法…小加數(shù)為10時(shí),大加數(shù)為11,12,…,20共10種取法;小加數(shù)為11時(shí),大加數(shù)有9種取法…小加數(shù)取19時(shí),大加數(shù)有1種取法.由分類計(jì)數(shù)原理,得不同取法共有1+2+…+9+10+9+…+2+1=100種. [法二]:固定和的值.有和為21,22,…,39這幾類,依次有取法10,9,9,8,8, …,2,2,1,1種.由分類計(jì)數(shù)原理得不同取法共有10+9+9+…+2+2+1+1=100種. 以上兩種方法是兩種不同的分類。 33. 解:列表排出所有的分配方案,共有3+3+3=9種,或種． 34.(1) (2) (3) 35. 解：根據(jù)a,b,c,d對(duì)應(yīng)的象為2的個(gè)數(shù)分類，可分為三類： 第一類，沒(méi)有一個(gè)元素的象為2，其和又為4，則集合M所有元素的象都為1，這樣的映射只有1個(gè) 第二類，有一個(gè)元素的象為2，其和又為4，則其余3個(gè)元素的象為0，1，1，這樣的映射有=12個(gè) 第三類，有兩個(gè)元素的象為2，其和又為4，則其余2個(gè)元素的象必為0，這樣的映射有=6個(gè) 根據(jù)加法原理共有 1+ + =1+12+6=19個(gè) 12 惠來(lái)一中數(shù)學(xué)組 方文湃