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第四章 根軌跡法,4-2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,4-3 廣義根軌跡,4-4 滯后系統(tǒng)的根軌跡,4-1 根軌跡的基本概念,4-5 利用根軌跡法分析系統(tǒng)的性能,4-6 用MATLAB繪制系統(tǒng)的根軌跡,1,控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，由其閉環(huán)極點唯一確定，系統(tǒng)暫態(tài)響應和穩(wěn)態(tài)響應的基本特性與系統(tǒng)的閉環(huán)零、極點在S平面上分布的位置有關。 決定系統(tǒng)基本特性的是系統(tǒng)特征方程的根，如果搞清楚這些根在S平面上的分布與系統(tǒng)參數(shù)之間的關系，那就掌握了系統(tǒng)的基本特性。 為此目的，依萬斯（W.R.EVans）在1984年提出了根軌跡法，令開環(huán)函數(shù)的一個參數(shù)——開環(huán)增益Ｋ（或另一個感興趣的參數(shù)）從0變化到∞，與此對應，特征方程的根，便在S平面上描出一條軌跡，稱這條軌跡為根軌跡。 根軌跡法是研究自動控制系統(tǒng)的一種有效方法，它已發(fā)展成為經(jīng)典控制理論中最基本的方法之一。,2,二階系統(tǒng)暫態(tài)響應 分為：二階無阻尼、欠阻尼、臨界阻尼和過阻尼系統(tǒng) 其阻尼比、極點分布和單位階躍響應如下圖所示：,3,§4-1 根軌跡的基本概念,一．舉例說明根軌跡的概念 特征方程 的根為,4,令開環(huán)增益Ｋ從０變化到∞，用解析方法求不同Ｋ所對應的特征根的值，將這些值標在S平面上，并連成光滑的粗實線，這就是該系統(tǒng)的根軌跡。箭頭表示隨著Ｋ值的增加，根軌跡的變化趨勢。,§４－１根軌跡的基本概念,當K=0時，S1=0，S2=-1,,,-1,jω,σ,5,§４－１根軌跡的基本概念,從系統(tǒng)的根軌跡圖，可以獲得下述信息: 1、穩(wěn)定性：因為根軌跡全部位于左半S平面，故閉環(huán)系統(tǒng)對所有的Ｋ值都是穩(wěn)定的。 2、穩(wěn)態(tài)性能：因為開環(huán)傳函有一個位于坐標原點的極點，所以是Ⅰ型系統(tǒng)，階躍作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為0。,,,-1,jω,σ,6,,3、暫態(tài)性能 （1）當0K 0.25時，閉環(huán)特征根為實根，系統(tǒng)是過阻尼狀態(tài)，階躍響應為非周期過程。,（2）當K＝0.25時，兩特征根重合，均為-0.5，系統(tǒng)處于臨界阻尼狀態(tài)。,（3）當K＞0.25時，兩特征根變?yōu)楣曹棌透?，系統(tǒng)處于欠阻尼狀態(tài)，階躍響應為衰減振蕩過程。,,,-1,jω,σ,7,由以上分析得知：,8,,二．繪制系統(tǒng)根軌跡的依據(jù),圖示系統(tǒng)的特征方程,繪制根軌跡是求解特征方程的根，特征方程可改寫為,,——開環(huán)傳函,是復變量Ｓ的函數(shù)，根據(jù)上式兩邊的幅 值和相角分別相等的條件，可以得到,9,這就是滿足特征方程的幅值條件和相角條件，是繪制系統(tǒng)根軌跡的重要依據(jù)。 現(xiàn)進一步將繪制根軌跡的幅值條件和相角條件轉換成實用的形式。,,…,10,,此時，幅值條件和相角條件可寫成,－開環(huán)零點； －開環(huán)極點,注意這個形式和求穩(wěn)態(tài)誤差的式子不同，需變換成這種形式。,將開環(huán)傳遞函數(shù)寫成下列標準的因子式,,11,,§４－１根軌跡的基本概念,三．根據(jù)相角條件確定根軌跡上的點,設某一系統(tǒng)的開環(huán)零極點如圖，在Ｓ平面中的任意一點 S0 ，用相角條件可以判斷 S0 是不是根軌跡的點。,1、從 S0 到各零極點連直線,2、用量角器量 ，…等各個角,3、將量好的值代入（＊＊）式，若等式成立，則 S0 就是根軌跡上的點,,,,,,,,12,§４－１根軌跡的基本概念,不滿足，故 S0 不是根軌跡上的點。,,在繪制根軌跡時，在感興趣的區(qū)段，要比較細致地繪制，可用試探法，根據(jù)相角條件確定幾個根軌跡上的點。允許有一定的誤差，比如±５°。而其它區(qū)段的根軌跡則可根據(jù)一些規(guī)則迅速的勾畫出來。,繪制根軌跡圖時，Ｓ平面虛軸和實軸的坐標比例應取得一致。,,,,,,,,,,13,§4-2 繪制根軌跡的基本規(guī)則,繪制根軌跡的基本規(guī)則實際上是系統(tǒng)根軌跡的一些基本性質(zhì)，掌握了這些基本規(guī)則，將能幫助我們更準確、更迅速的繪制根軌跡。,一．根軌跡的對稱性,實際系統(tǒng)的特征方程的系數(shù)是實數(shù)，其特征根為實數(shù)或共軛復數(shù)，因此，根軌跡對稱于實軸。,二．根軌跡的起點和終點,根軌跡的起點對應于 時特征根在S平面上的分布位置，而根軌跡的終點則對應于 時，特征根在S平面上的分布位置。,14,幅值條件改寫,,當 ，必有S= ，即起點是開環(huán)極點。 當 ，必有S= ，即終點是開環(huán)零點。,但在控制系統(tǒng)中，總有nm，所以根軌跡從n個開環(huán)極點處起始，到m個開環(huán)零點處終止，剩下的n-m條根軌跡將趨于無窮遠處。 舉例如題， ，起點：0、-1，無零點， n=2，m=0，n-m=2，有兩條根軌跡→∞,,,-1,jω,σ,15,§４－２繪制根軌跡的基本規(guī)則,三．根軌跡的分支數(shù),根軌跡由若干分支構成，分支數(shù)與開環(huán)極點數(shù)相同。,四．實軸上的根軌跡,在實軸上存在根軌跡的條件是，其右邊開環(huán)零點和開環(huán)極點數(shù)目之和為奇數(shù)。,設系統(tǒng)開環(huán)零、極點分布如圖所示。為在實軸上確定屬于根軌跡的線段，首先在 和 之間任選一個試驗點 。,16,§４－２繪制根軌跡的基本規(guī)則,1、共軛復數(shù)極點到 的幅角之和為0°，相互抵消，因此開環(huán)共軛復數(shù)極點、零點對實軸上根軌跡的位置沒有影響，僅取決于實軸上的開環(huán)零、極點。 2、若實軸上的某一段是根軌跡，一定滿足相角條件。試驗點左側的開環(huán)零、極點提供的相角為0°,而右側的相角為180°。 點滿足相角條件，所以 ～ 之間是根軌跡。,17,例4-1：,（單位反饋）,① ∵有三個極點， ∴根軌跡有三條分支,,,σ,jω,,,,② ∵n=3, m=2 ∴有3-2=1條根軌跡→∞， 2條終止于開環(huán)零點。,③在實軸上不同段上取試驗點,18,§４－２繪制根軌跡的基本規(guī)則,五．根軌跡的漸近線,1、根軌跡中（n-m）條趨向無窮遠處的分支的漸近線的 傾角為,…，（n-m-1),當 時，求得的漸近線傾角最??；,增大，傾角值將重復出現(xiàn)，而獨立的漸近線只有(n-m)條,19,§４－２繪制根軌跡的基本規(guī)則,2、漸近線與實軸的交點,漸近線的交點總在實軸上，即 必為實數(shù)。在計算時，考慮到共軛復數(shù)極點、零點的虛部總是相互抵消，只須把開環(huán)零、極點的實部代入即可。,20,例4-2,求根軌跡,解：①在Ｓ平面中確定開環(huán)零、極點的位置。,,,σ,jω,,,②確定實軸上的根軌跡。,③n=3,m=0,應有三個分支，并且都趨向無窮遠處。,④確定漸近線的位置,21,§４－２繪制根軌跡的基本規(guī)則,六、分離點和會合點,兩條根軌跡分支在S平面上某一點相遇，然后又立即分開的點，稱根軌跡的分離點（或會合點）。它對應于特征方程中的二重根（如例4-2，實軸上的根軌跡要從某一點分開，然后沿漸近線方向趨向無窮遠處，把分離點所對應的Ｋ1值代入特征方程，應求得二重根）。 ∵根軌跡關于實軸對稱， ∴分離點或會合點必然是實數(shù)或共軛復數(shù) 常見的分離點或或會合點位于實軸上。 求方程式 的根，可以確定分離點或會合點。,22,§４－２繪制根軌跡的基本規(guī)則,例4-2，求分離點上的坐標。 系統(tǒng)的特征方程為 或,上式的根,因為分離點在0至-1之間，故 為分離點的坐標，而舍棄,用幅值條件確定分離點的增益：,23,七、根軌跡與虛軸的交點,當 增加到一定數(shù)值時，根軌跡可能穿過虛軸，進入右半S平面，這表示將出現(xiàn)實部為正的特征根，系統(tǒng)將不穩(wěn)定。必須確定根軌跡與虛軸的交點，并計算對應的使系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)的開環(huán)增益 。 在根軌跡與虛軸的交點處，在系統(tǒng)中出現(xiàn)虛根。因此可以根據(jù)這一特點確定根軌跡與虛軸的交點?？梢杂? 代入特征方程求解，或者利用勞斯判據(jù)確定。,24,,續(xù)例4-2，將 代入特征方程。,當 時，系統(tǒng)出現(xiàn)共軛虛根 ，此時系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。,25,在確定根軌跡與虛軸的交點，求出分離點，并做出漸近線以后，根軌跡的大概趨勢知道了，為了能較精確的畫出根軌跡，需在分離點附近取幾個試驗點，使其滿足相角條件。然后連成光滑曲線，最后逐漸靠近漸近線。,§４－２繪制根軌跡的基本規(guī)則,26,§４－２繪制根軌跡的基本規(guī)則,,八、根軌跡的出射角和入射角,當系統(tǒng)存在共軛復數(shù)極點（或零點）時，為了準確地做出根軌跡的起始段（或終止段），必須確定根軌跡的出射角（或入射角）。 根軌跡離開開環(huán)復數(shù)極點的切線方向與實軸正方向的夾角稱為出射角。出射角表示根軌跡從復數(shù)極點出發(fā)時的走向。,開環(huán)復數(shù)零點處，根軌跡的入射角為,式中,即 為其它開環(huán)零、極點對出射點或入射點提供的相角,開環(huán)復數(shù)極點處，根軌跡的出射角為,27,§４－２繪制根軌跡的基本規(guī)則,求從 出發(fā)根軌跡的出射角。,用量角器量后，得 ， 在圖上標出 。 的出射角和 對稱。,28,根軌跡繪制舉例,例1.具有一個零點和3個實極點的三階系統(tǒng)的根軌跡。,設系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：,解：,把開環(huán)傳遞函數(shù)化為零、極點形式,29,1.根軌跡有3條分支，起點為開環(huán)極點0、0、-1/T，終點為開環(huán)零點-1/τ及無窮遠處。,2.根軌跡在實軸上的分布為 [-1/T，-1/ τ]。,,3.根軌跡有n-m=2條漸近線，,,,30,例2.具有一對開環(huán)復根和一個開環(huán)實零點的四階系統(tǒng)的根軌跡。,設系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：,解：,1.根軌跡有4條分支，起點為開環(huán)極點 0、 -3、 -1+j、-1-j，終點為開環(huán)零點-2及無窮遠處。,2.根軌跡在實軸上的分布為(-∞,-3]和[-2，0]。,31,3.根軌跡有n-m=3條漸近線，,4.極點-1+j的出射角為-26.6o 極點-1-j的出射角為+26.6o,32,5.根軌跡與虛軸的交點,系統(tǒng)特征方程為,把s=jω代入上式可解得,即根軌跡與虛軸的交點為 ，相應的根軌跡 增益為Kgc=7 。,33,34,§4-3 廣義根軌跡,其它種類的根軌跡:,3.正反饋回路和零度根軌跡,2.多回路系統(tǒng)的根軌跡,1.參數(shù)根軌跡,35,在實際系統(tǒng)設計中，除了根軌跡增益Kg外，還常常要分析其它參數(shù)變化時對閉環(huán)特征根的影響。比如，特殊的開環(huán)零、極點，校正環(huán)節(jié)的參數(shù)等。,除Kg以外的其它參數(shù)變化時閉環(huán)系統(tǒng)特征方程根的軌跡，就是參數(shù)根軌跡。,繪制方法：用特征方程中不含可變參數(shù)的部分去除特征方程，得到等效的開環(huán)傳遞函數(shù)，使參變量的位置與Kg 的位置相當。,一、參數(shù)根軌跡,36,例1.一隨動系統(tǒng)如圖所示，試用根軌跡法分析其反饋系數(shù) Kf 對系統(tǒng)暫態(tài)性能的影響。,解：,開環(huán)傳遞函數(shù)為,等效開環(huán)傳遞函數(shù)為,特征方程為,37,等效開環(huán)傳函,1. 根軌跡有兩條分支，起點為開環(huán)極點-1+j3、 -1-j3 ， 終點為開環(huán)零點0及無窮遠處。,2. 根軌跡在實軸上的分布為(-∞,0] 。,3.求分離點和會合點。,s1=-3.16為會合點，相應的Kf =0.432 s1=+3.16不在根軌跡上，舍去。,38,4. 求極點p1= –1+j3處的出射角,由對稱性可知 p2=-1-j3處的出射角為,以Kf為參變量的根軌跡如圖所示。,等效開環(huán)傳函,39,等效開環(huán)傳遞函數(shù)為,分析：,Kf為任何值系統(tǒng)都是穩(wěn)定的。,當Kf0.432時，系統(tǒng)有一對共軛復根，階躍響應為欠阻尼情況，且Kf越小，阻尼比越??；,當Kf=0.432時，系統(tǒng)有二重根，階躍響應為臨界阻尼情況；,當Kf 0.432時，系統(tǒng)有兩個不相等的實根，階躍響應為過阻尼情況。,40,等效開環(huán)傳遞函數(shù)為,分析：,用幅值條件可求得相應的Kf 值。,求 時的閉環(huán)極點及Kf 值。,作 的射線與根軌跡的交點即為所求閉環(huán)極點。,41,二、多回路系統(tǒng)的根軌跡,根軌跡不僅適合于單回路,也適用于多回路。,系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù),系統(tǒng)特征方程,以α為參數(shù),,42,,,,43,研究以Kc 為變量的根軌跡,系統(tǒng)有兩個環(huán)，內(nèi)環(huán)的閉環(huán)極點就是外環(huán)的開環(huán)極點??！,1）繪制內(nèi)環(huán)的根軌跡圖,內(nèi)環(huán)的開環(huán)傳遞函數(shù),根據(jù)根軌跡繪制規(guī)則繪制出以Kf為參數(shù)的內(nèi)環(huán)根軌跡圖,44,45,2)確定內(nèi)環(huán)的閉環(huán)極點,要求內(nèi)環(huán)的反饋系數(shù) 3.2Kf3.5,內(nèi)環(huán)的特征方程,在實軸上選取試驗點進行試探，P1=-1.6時，Kf =3.36,3)繪制外環(huán)的根軌跡圖,外環(huán)的開環(huán)傳遞函數(shù),可求得內(nèi)環(huán)的另外兩個閉環(huán)極點為,46,47,1、局部正反饋系統(tǒng)的框圖,正反饋回路的閉環(huán)傳遞函數(shù),特征方程,三、正反饋回路和零度根軌跡,48,幅值條件,相角條件,特征方程,對于正反饋回路： 相角條件為 ， 因此通常也稱為零度根軌跡。,49,繪制正反饋回路根軌跡的基本規(guī)則：,（1）根軌跡的分支數(shù) (相同) （2）根軌跡的起點和終點 (相同) （3）根軌跡的對稱性 (相同),（4）實鈾上的根軌跡： 實軸上具有根軌跡的區(qū)間是：其右方開環(huán)實數(shù)零、 極點數(shù)目之和為偶數(shù)。,（5）根軌跡的漸近線： 根軌跡漸近線與實袖的交點 (相同) 根軌跡漸近線與實軸正方向的夾角為,50,（6）根軌跡的會合點和分離點 (相同),（7）根軌跡的出射角和入射角,（8）根軌跡與虛軸的交點 (相同) （9）閉環(huán)極點的和 (相同),51,例：控制系統(tǒng)方框圖如下所示,系統(tǒng)的內(nèi)環(huán)為正反饋，繪制內(nèi)環(huán)根軌跡圖。,解：,（1）內(nèi)環(huán)的開環(huán)傳遞函數(shù),（3）實軸上的根軌跡,（2）根軌跡的起點 0，-1，-3 終點 均為∞,52,（4）根軌跡的漸近線,（6）根軌跡的分離點,特征方程,53,54,在自動控制系統(tǒng)中有時會出現(xiàn)純時間滯后現(xiàn)象,滯后環(huán)節(jié)的存在使系統(tǒng)的根軌跡具有一定的特殊性，對系統(tǒng)的穩(wěn)定性會帶來不利的影響。,系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù),特征方程,這是一個超越方程，閉環(huán)系統(tǒng)的特征根不再是有限個，而是無限多個，這是滯后系統(tǒng)的重要特征。,§ 4-4 滯后系統(tǒng)的根軌跡,55,滯后系統(tǒng)根軌跡繪制條件,滯后系統(tǒng)根軌跡方程,滯后系統(tǒng)特征方程,56,幅值條件,相角條件,滯后系統(tǒng)根軌跡方程,57,繪制滯后系統(tǒng)根軌跡的基本規(guī)則：,（3）實軸上的根軌跡：實軸上根軌跡區(qū)段的右側開環(huán)實零、 極點數(shù)目之和為奇數(shù)。,（1）滯后系統(tǒng)的根軌跡是連續(xù)的并對稱于實軸,（2）根軌跡的起點和終點,,起點,終點,58,（4）根軌跡的漸近線：,根軌跡漸近線有無數(shù)條，且平行于實軸,根軌跡漸近線僅與虛軸相交，交點為,（5）根軌跡的分離點：,59,（6）根軌跡的出射角和入射角：,（7）根軌跡與虛軸的交點：,60,例：設滯后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為,要求繪制此系統(tǒng)的根軌跡圖。,繪制根軌跡的相角條件為,（1）根軌跡的起點和終點,起點 - p1=-1 , σ=-∞ 終點 趨于無窮遠,61,（2）實軸上的根軌跡（-∞，-1],（3）根軌跡的漸近線平行于實軸并與虛軸交于,（4）令k=0畫出主根軌跡,k=0 的根軌跡，稱為主根軌跡,k=1、2、… 的根軌跡，稱為輔助根軌跡,作圖方法,62,63,系統(tǒng)中滯后環(huán)節(jié)的存在對系統(tǒng)的穩(wěn)定性帶來不利影響,如果系統(tǒng)的開環(huán)增益較大,即使原來為一階的系統(tǒng)也可能變?yōu)椴环€(wěn)定系統(tǒng)。,說明：,1、以近似式畫出的根軌跡圖與主根軌跡近似。,2、當開環(huán)增益較大時，近似方法誤差很大。,近似方法：,64,§ 4-5 利用根軌跡分析系統(tǒng)的性能,一、閉環(huán)零、極點分布與暫態(tài)響應的定性關系,對一個控制系統(tǒng)的基本要求是：系統(tǒng)要穩(wěn)定；暫態(tài)過程的快速性、平穩(wěn)性要好；穩(wěn)態(tài)誤差要小。,閉環(huán)系統(tǒng)零、極點分布與系統(tǒng)性能的關系為：,1、要求系統(tǒng)穩(wěn)定，則系統(tǒng)的閉環(huán)極點均位于s平面左半平面。,2、如果閉環(huán)極點均為負實數(shù)，且無零點，則系統(tǒng)的暫態(tài)響應為非振蕩的，響應時間取決于距離虛軸最近的極點，若其它極點距離虛軸的距離比最近極點的距離大5倍以上，可以忽略不計。,65,3. 如果系統(tǒng)具有一對閉環(huán)主導極點，則系統(tǒng)的暫態(tài)響應呈振蕩性質(zhì)，其超調(diào)量主要取決于主導極點的衰減率,并與其它極點接近原點的程度有關，調(diào)整時間主要取決于主導極點的實部,66,4. 如果系統(tǒng)中存在非常接近的零點和極點，其相互距離比其本身的模值小一個數(shù)量級以上，則把這對閉環(huán)零、極點稱為偶極子。偶極子的位置距離原點非常近時，其對暫態(tài)響應的影響一般需要考慮，但不會影響閉環(huán)主導極點的主導作用。偶極子的位置距離原點較遠時，其對暫態(tài)響應的影響可以忽略。,單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)零點和閉環(huán)零點相同，在設計時可以有意識地在系統(tǒng)中加入適當?shù)牧泓c，以抵消對暫態(tài)過程影響較大的不利的極點，使系統(tǒng)的暫態(tài)性能得到改善。,67,5. 除主導閉環(huán)極點外的其它實數(shù)極點的存在會增大系統(tǒng)的阻尼比，使響應速度減慢，超調(diào)量減少。閉環(huán)實數(shù)零點的存在減小系統(tǒng)阻尼，使響應速度加快，超調(diào)量增加。,68,二、附加開環(huán)零點對根軌跡的影響,漸近線與實軸傾角隨著m數(shù)增大而增加,根軌跡向左方向彎曲,漸近線與實軸交點隨著zc增大（zc點在實軸上向右移）而左移,提高了系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性,在控制系統(tǒng)設計中有時為改善系統(tǒng)的性能而增設開環(huán)零點，由此給根軌跡帶來明顯的改變。,69,例：一個系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為,分析附加一個零點-z 時系統(tǒng)根軌跡的變化,70,,,,,,,,,71,附加一個零點相當于增加一個比例微分環(huán)節(jié)，在實際中，能夠得到的比例微分作用的環(huán)節(jié)是比例微分環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)而成的復合環(huán)節(jié)。,只要選取p5z，可以產(chǎn)生類似附加單純零點的作用。,72,開環(huán)傳遞函數(shù)上附加極點,降低了系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性,三、附加開環(huán)極點對根軌跡的影響,73,增加開環(huán)極點的影響,74,如果系統(tǒng)的閉環(huán)極點位置已經(jīng)確定，適當配置零點，可以對系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差產(chǎn)生積極的影響。 實際上附加開環(huán)零點后，除了改變了閉環(huán)極點在s平面的分布，而且也使閉環(huán)傳遞函數(shù)增加了零點，從而對閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差產(chǎn)生影響。,四、穩(wěn)態(tài)性能分析,75,