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,自動控制原理 (Automatic Control Theory),1,,學(xué)時/學(xué)分： 54+8/3+0.5 課程性質(zhì)： 考試課/專業(yè)必修課 教學(xué)內(nèi)容 ：理論課+實(shí)驗(yàn)課（3~4個Matlab仿真實(shí)驗(yàn)，地點(diǎn)在福煤樓C405/407） 考核形式： 平時成績（30%）+期末考試（70%） 平時成績： 實(shí)驗(yàn)、考勤、作業(yè)、課堂提問等。三次考勤未到，取消平時成績！ 考試形式： 閉卷筆試 參考書目： 王敏，秦肖臻編。 自動控制原理。 北京：化學(xué)工業(yè)出版社， 2003 孫德寶主編。自動控制原理。 北京：化學(xué)工業(yè)出版社， 2002 胡壽松主編。自動控制原理。第三版。 北京：國防工業(yè)出版社，1994 王劃一主編。自動控制原理。 北京：國防工業(yè)出版社， 2001,2,,先修課程：高數(shù)、模電、數(shù)電、信號與系統(tǒng)、Matlab等 后續(xù)對接課程： PLC原理及應(yīng)用、畢業(yè)設(shè)計(jì)等 常用數(shù)學(xué)工具：微分方程求解、Laplace變換及其反變換、線性代數(shù)等 課程目的、特色及其應(yīng)用： 幫助大家建立起研發(fā)過程中如何分析系統(tǒng)、設(shè)計(jì)系統(tǒng)及調(diào)試系統(tǒng)的思維 提供給大家的是一種理念，一種分析問題、解決問題的思路 通常具備建立數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行求解的必要流程，對數(shù)學(xué)有一定的要求 是一門綜合性的課程，存在多種知識的交叉和應(yīng)用，與其他多門課程的關(guān)聯(lián)度較大,3,主要內(nèi)容 概述 自動控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 線性系統(tǒng)的時域分析法 根軌跡分析法 頻率特性法 控制系統(tǒng)的校正與設(shè)計(jì) 采樣控制系統(tǒng)（線性離散系統(tǒng)）分析,4,第一章 概述,1.1 自動控制的基本概念：明確什么叫自動控制，正確理解被控對象、控制裝置和自控系統(tǒng)等概念。 1.2 控制系統(tǒng)的分類：明確系統(tǒng)常用的分類方式，掌握各類別的含義和信息特征。 1.3 自動控制理論的發(fā)展：了解自動控制理論發(fā)展的四個主要階段。 1.4 對控制系統(tǒng)的基本要求：明確對自控系統(tǒng)的基本要求，正確理解三大性能指標(biāo)的含義。,5,手動控制,人在控制過程中起三個作用： （1）觀測：用眼睛去觀測溫度計(jì)和閥門開度的指示值； （2）比較與決策：人腦把觀測得到的數(shù)據(jù)與要求的數(shù)據(jù)相比較，并進(jìn)行判斷，根據(jù)給定的控制規(guī)律給出控制量； （3）執(zhí)行：根據(jù)控制量用手具體調(diào)節(jié)，如調(diào)節(jié)閥門開度。,控制：操縱、節(jié)制，使不超出范圍或隨意活動。,水溫手動控制系統(tǒng),6,水溫自動控制系統(tǒng),系統(tǒng)中增加了：,控制器,電機(jī),加入給定信號,工作原理：,,檢測實(shí)際溫度,,產(chǎn)生控制信號,,,,,通過電機(jī)調(diào)節(jié)閥門的開度,從而調(diào)節(jié)蒸汽流入，控制水的溫度. 實(shí)現(xiàn)沒有人直接參入的自動水溫控制.,7,1.1 自動控制的基本概念,在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的眾多領(lǐng)域中，自動控制技術(shù)起著越來越重要的作用。如數(shù)控車床按預(yù)定程序自動切削，人造衛(wèi)星準(zhǔn)確進(jìn)入預(yù)定軌道并回收等。 除了在工業(yè)上廣泛應(yīng)用外，近幾十年來，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展和應(yīng)用，在宇航、機(jī)器人控制、導(dǎo)彈制導(dǎo)及核動力等高新技術(shù)領(lǐng)域中，自動控制技術(shù)更具特別重要的作用。不僅如此，自動控制技術(shù)的應(yīng)用范圍現(xiàn)在已擴(kuò)展到生物、醫(yī)學(xué)、環(huán)境、經(jīng)濟(jì)管理和其它許多社會生活領(lǐng)域中，特別在化學(xué)工業(yè)中的應(yīng)用有傳熱設(shè)備控制，反應(yīng)器控制，流體輸送設(shè)備控制，精餾塔控制等。自動控制已成為現(xiàn)代社會生活中不可缺少的一部分。,8,自動控制：就是在沒有人直接參與的情況下，利用外加的設(shè)備或裝置（控制裝置），使機(jī)器、設(shè)備或生產(chǎn)過程（被控對象）的某個工作狀態(tài)或參數(shù)（被控量）自動地按照預(yù)定的規(guī)律運(yùn)行。,自動控制系統(tǒng)：是指能夠?qū)Ρ豢貙ο蟮墓ぷ鳡顟B(tài)進(jìn)行自動控制的系統(tǒng)。它是控制對象以及參與實(shí)現(xiàn)其被控制量自動控制的裝置或元部件的組合，一般由控制裝置和被控對象組成。一般包括三種機(jī)構(gòu)：測量機(jī)構(gòu)、比較機(jī)構(gòu)、執(zhí)行機(jī)構(gòu)。 自動控制系統(tǒng)的功能和組成是多種多樣的，其結(jié)構(gòu)有簡單也有復(fù)雜。它可以只控制一個物理量，也可以控制多個物理量甚至一個企業(yè)機(jī)構(gòu)的全部生產(chǎn)和管理過程；它可以是一個具體的工程系統(tǒng)，也可以是比較抽象的社會系統(tǒng)、生態(tài)系統(tǒng)或經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)。,9,控制系統(tǒng)分析：已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，求取系統(tǒng)的動態(tài)、靜態(tài)性能指標(biāo)，并據(jù)此評價系統(tǒng)的過程稱為控制系統(tǒng)分析。 控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)（或綜合）：根據(jù)被控對象和給定系統(tǒng)的性能指標(biāo)，合理地確定控制裝置的結(jié)構(gòu)參數(shù)，稱為控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)。 被控量 ：指被控對象中要求保持給定值、按給定規(guī)律變化的物理量。被控量又稱輸出量、輸出信號 。 給定值：系統(tǒng)輸出量應(yīng)達(dá)到的數(shù)值（例如與要求的爐溫對應(yīng)的電壓）。 擾動：是一種對自動控制系統(tǒng)輸出量起反作用的信號，如電源電壓的波動、環(huán)境溫度的變化、噪聲等。,10,方框圖的概念：為了方便分析系統(tǒng)性能，用方框 圖表示系統(tǒng)結(jié)構(gòu),方框 控制裝置和被控對象分別用方框表示 信號線 方框的輸入和輸出以及它們之間的聯(lián)接用帶箭頭的信號線表示 輸入信號 進(jìn)入方框的信號 輸出信號 離開方框的信號,11,開環(huán)控制是指系統(tǒng)的被控制量（輸出量）只受控于控制作用，而對控制作用不能反施任何影響的控制方式。采用開環(huán)控制的系統(tǒng)稱為開環(huán)控制系統(tǒng)。 優(yōu)點(diǎn)：結(jié)構(gòu)簡單，成本低廉，易于實(shí)現(xiàn) 缺點(diǎn)：對擾動沒有抑制能力，控制精度低,控制方式,開環(huán)控制,12,開環(huán)控制系統(tǒng)方框圖,（被控制量）,輸入量：加在電阻絲兩端的電壓 被控制對象：爐子 被控制量（輸出量）：爐溫 控制裝置：開關(guān)K和電熱絲，對被控制量起控制作用。,13,閉環(huán)控制,閉環(huán)控制是指系統(tǒng)的被控制量（輸出量）與控制作用之間存在著負(fù)反饋的控制方式。采用閉環(huán)控制的系統(tǒng)稱為閉環(huán)控制系統(tǒng)或反饋控制系統(tǒng)。閉環(huán)控制是一切生物控制自身運(yùn)動的基本規(guī)律。人本身就是一個具有高度復(fù)雜控制能力的閉環(huán)系統(tǒng)。 優(yōu)點(diǎn)：具有自動補(bǔ)償由于系統(tǒng)內(nèi)部和外部干擾所引起的系統(tǒng)誤差（偏差）的能力，因而有效地提高了系統(tǒng)的精度。 缺點(diǎn)：系統(tǒng)參數(shù)應(yīng)適當(dāng)選擇，否則可能不能正常工作。,14,閉環(huán)控制的電加熱爐方框圖,15,人取書的控制過程,16,閉環(huán)控制系統(tǒng)方框圖,17,反饋的概念,反饋：把輸出量送回到系統(tǒng)的輸入端并與輸入信號比較的過程。若反饋信號是與輸入信號相減而使偏差值越來越小，則稱為負(fù)反饋；反之，則稱為正反饋。顯然，負(fù)反饋控制是一個利用偏差進(jìn)行控制并最后消除偏差的過程，又稱偏差控制。同時，由于有反饋的存在，整個控制過程是閉合的，故也稱為閉環(huán)控制。,18,反饋控制系統(tǒng)方框圖,反饋控制系統(tǒng)的組成、名詞術(shù)語和定義,19,比較以上兩種控制方式,由于開環(huán)控制的特點(diǎn)是控制裝置只按照給定的輸入信號對被控制量進(jìn)行單向控制，而不對控制量進(jìn)行測量并反向影響控制作用。這樣，當(dāng)爐溫偏離希望值時，開關(guān)K的接通或斷開時間不會相應(yīng)改變。因此，開環(huán)控制不具有修正由于擾動（使被控制量偏離希望值的因素）而出現(xiàn)的被控制量與希望值之間偏差的能力，即抗干擾能力差。 在閉環(huán)控制中，被控量一般是由測量裝置檢測并反饋到輸入端，然后由比較裝置將它與輸入信號綜合得到偏差（誤差），有時，測量與綜合作用是由一個裝置完成的，如水銀溫度計(jì)。由于采用了接觸式水銀溫度計(jì)，可以不斷對爐溫進(jìn)行測量和比較，根據(jù)爐溫的實(shí)際偏差進(jìn)行控制，提高了控制精度和抗干擾能力。,20,是開環(huán)和閉環(huán)控制相結(jié)合的一種控制方式。它是在閉環(huán)控制回路的基礎(chǔ)上，附加一個輸入信號或擾動信號的順饋通路，用來提高系統(tǒng)的控制精度。順饋通路通常由對輸入信號的補(bǔ)償器或?qū)_動信號的補(bǔ)償器組成。 優(yōu)點(diǎn)：具有很高的控制精度，可以抑制幾乎所有的可量測擾動 缺點(diǎn):補(bǔ)償器的參數(shù)要有較高的穩(wěn)定性,復(fù)合控制,21,(a) 按輸入前饋補(bǔ)償?shù)膹?fù)合控制,22,(b) 按擾動前饋補(bǔ)償?shù)膹?fù)合控制,23,1.2 控制系統(tǒng)的分類 恒值系統(tǒng)和隨動系統(tǒng)（按參考輸入形式分類） 恒值系統(tǒng)是指參考輸入量保持常值的系統(tǒng)。其任務(wù)是消除或減少擾動信號對系統(tǒng)輸出的影響，使被控制量（即系統(tǒng)的輸出量）保持在給定或希望的數(shù)值上。 隨動系統(tǒng)是指參考輸入量隨時間任意變化的系統(tǒng)。其任務(wù)是要求輸出量以一定的精度和速度跟蹤參考輸入量，跟蹤的速度和精度是隨動系統(tǒng)的兩項(xiàng)主要性能指標(biāo)。,24,集中參數(shù)系統(tǒng) 變量僅僅是時間的函數(shù)。這類系統(tǒng)建立的動態(tài)數(shù)學(xué)模型通常是微分方程。 分布參數(shù)系統(tǒng) 變量不僅是時間函數(shù)，而且還是空間的函數(shù)。這類系統(tǒng)建立的動態(tài)數(shù)學(xué)模型通常是偏微分方程。如很大的蒸餾罐，溫度隨空間位置不同是有梯度變化的。在實(shí)際系統(tǒng)中，大多數(shù)系統(tǒng)都是分布式參數(shù)系統(tǒng)，但由于偏微分方程求解比較困難，因此在一定誤差允許范圍內(nèi)，對系統(tǒng)作一個近似，近似為集中參數(shù)系統(tǒng)，這樣就可以用微分方程進(jìn)行分析。,25,線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)（按照組成系統(tǒng)的元件特性分類） 線性系統(tǒng)是指構(gòu)成系統(tǒng)的所有元件都是線性元件的系統(tǒng)。其動態(tài)性能可用線性微分方程描述，系統(tǒng)滿足疊加原理。 非線性系統(tǒng)是指構(gòu)成系統(tǒng)的元件中含有非線性元件的系統(tǒng)。其只能用非線性微分方程描述，不滿足疊加原理。同時把可以進(jìn)行線性化處理的系統(tǒng)或元件特性稱為非本質(zhì)非線性特性。反之，稱之為本質(zhì)非線性，它只能用非線性理論分析研究。,26,（1）線性定常系統(tǒng)（本課程的研究重點(diǎn)） 如果描述一個線性系統(tǒng)的微分方程的系數(shù)為常數(shù)，那么稱系統(tǒng)為線性定常系統(tǒng)。 如,（2）線性時變系統(tǒng) 如果描述一個線性系統(tǒng)的微分方程的系數(shù)為時間的函數(shù)，那么稱系統(tǒng)為線性時變系統(tǒng)。 如,,,27,連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)（按照系統(tǒng)內(nèi)信號的傳遞形式分類） 連續(xù)系統(tǒng)是指系統(tǒng)內(nèi)各處的信號都是以連續(xù)的模擬量傳遞的系統(tǒng)。 如果系統(tǒng)內(nèi)某處或數(shù)處信號是以脈沖序列或數(shù)碼形式傳遞的系統(tǒng)則稱為離散系統(tǒng)。其脈沖序列可由脈沖信號發(fā)生器或振蕩器產(chǎn)生，也可用采樣開關(guān)將連續(xù)信號變成脈沖序列，這類控制系統(tǒng)又稱為采樣控制系統(tǒng)或脈沖控制系統(tǒng)。而用數(shù)字計(jì)算機(jī)或數(shù)字控制器控制的系統(tǒng)又稱為數(shù)字控制系統(tǒng)或計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)。,28,1.3 自動控制理論的發(fā)展,自動控制理論是研究自動控制共同規(guī)律的技術(shù)科學(xué)。既是一門古老的、已臻成熟的學(xué)科，又是一門正在發(fā)展的、具有強(qiáng)大生命力的新興學(xué)科。從1868年馬克斯威爾（J.C.Maxwell）提出低階系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)至今一百多年里，自動控制理論的發(fā)展可分為四個主要階段： 第一階段：經(jīng)典控制理論（或古典控制理論）的產(chǎn)生、發(fā)展和成熟； 第二階段：現(xiàn)代控制理論的興起和發(fā)展； 第三階段：大系統(tǒng)控制興起和發(fā)展階段； 第四階段：智能控制發(fā)展階段。,29,經(jīng)典控制理論,控制理論的發(fā)展初期，是以反饋理論為基礎(chǔ)的自動調(diào)節(jié)原理，主要用于工業(yè)控制。第二次世界大戰(zhàn)期間，為了設(shè)計(jì)和制造飛機(jī)及船用自動駕駛儀、火炮定位系統(tǒng)、雷達(dá)跟蹤系統(tǒng)等基于反饋原理的軍用裝備，進(jìn)一步促進(jìn)和完善了自動控制理論的發(fā)展。,1868年，馬克斯威爾（J.C.Maxwell）提出了低階系統(tǒng)的穩(wěn)定性代數(shù)判據(jù) 。 1875年和1896年，數(shù)學(xué)家勞斯（Routh）和赫爾威茨（Hurwitz）分別獨(dú)立地提出了高階系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)，即Routh和Hurwitz判據(jù)。 二戰(zhàn)期間（1938-1945年）奈奎斯特（H.Nyquist）提出了頻率響應(yīng)理論 1948年，伊萬斯（W.R.Evans）提出了根軌跡法。至此，控制理論發(fā)展的第一階段基本完成，形成了以頻率法和根軌跡法為主要方法的經(jīng)典控制理論。,30,經(jīng)典控制理論的基本特征,（1）主要用于線性定常系統(tǒng)的研究，即用于常系數(shù)線性微分方程 描述的系統(tǒng)的分析與綜合； （2）只用于單輸入，單輸出的反饋控制系統(tǒng)； （3）只討論系統(tǒng)輸入與輸出之間的關(guān)系，而忽視系統(tǒng)的內(nèi)部狀態(tài)， 是一種對系統(tǒng)的外部描述方法。 基本方法：根軌跡法，頻率法，PID調(diào)節(jié)器 （頻域）,反饋控制是一種最基本最重要的控制方式，引入反饋信號后，系統(tǒng)對來自內(nèi)部和外部干擾的響應(yīng)變得十分遲鈍，從而提高了系統(tǒng)的抗干擾能力和控制精度。與此同時，反饋?zhàn)饔糜謳砹讼到y(tǒng)穩(wěn)定性問題，正是這個曾一度困擾人們的系統(tǒng)穩(wěn)定性問題激發(fā)了人們對反饋控制系統(tǒng)進(jìn)行深入研究的熱情，推動了自動控制理論的發(fā)展與完善。因此從某種意義上講，古典控制理論是伴隨著反饋控制技術(shù)的產(chǎn)生和發(fā)展而逐漸完善和成熟起來的。,31,現(xiàn)代控制理論,經(jīng)典控制理論只適用于單輸入、單輸出的線性定常系統(tǒng)，只注重系統(tǒng)的外部描述而忽視系統(tǒng)的內(nèi)部狀態(tài)。在實(shí)際應(yīng)用中有很大局限性。 隨著航天事業(yè)和計(jì)算機(jī)的發(fā)展，20世紀(jì)60年代初，在經(jīng)典控制理論的基礎(chǔ)上，以線性代數(shù)理論和狀態(tài)空間分析法為基礎(chǔ)的現(xiàn)代控制理論迅速發(fā)展起來。 1954年貝爾曼（R.Belman)提出動態(tài)規(guī)劃理論 1956年龐特里雅金（L.S.Pontryagin）提出極大值原理 1960年卡爾曼（R.K.Kalman)提出多變量最優(yōu)控制和最優(yōu)濾波理論 在數(shù)學(xué)工具、理論基礎(chǔ)和研究方法上不僅能提供系統(tǒng)的外部信息（輸出量和輸入量），而且還能提供系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)變量的信息。它無論對線性系統(tǒng)或非線性系統(tǒng)，定常系統(tǒng)或時變系統(tǒng)，單變量系統(tǒng)或多變量系統(tǒng)，都是一種有效的分析方法。 基本方法：狀態(tài)方程 （時域）,32,大系統(tǒng)理論,20世紀(jì)70年代開始，現(xiàn)代控制理論繼續(xù)向深度和廣度發(fā)展，出現(xiàn)了一些新的控制方法和理論。如（1）現(xiàn)代頻域方法 以傳遞函數(shù)矩陣為數(shù)學(xué)模型，研究線性定常多變量系統(tǒng)；（2）自適應(yīng)控制理論和方法 以系統(tǒng)辨識和參數(shù)估計(jì)為基礎(chǔ)，在實(shí)時辨識基礎(chǔ)上在線確定最優(yōu)控制規(guī)律；（3）魯棒控制方法 在保證系統(tǒng)穩(wěn)定性和其它性能基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)不變的魯棒控制器，以處理數(shù)學(xué)模型的不確定性。,33,隨著控制理論應(yīng)用范圍的擴(kuò)大，從個別小系統(tǒng)的控制，發(fā)展到若干個相互關(guān)聯(lián)的子系統(tǒng)組成的大系統(tǒng)進(jìn)行整體控制，從傳統(tǒng)的工程控制領(lǐng)域推廣到包括經(jīng)濟(jì)管理、生物工程、能源、運(yùn)輸、環(huán)境等大型系統(tǒng)以及社會科學(xué)領(lǐng)域。 大系統(tǒng)理論是過程控制與信息處理相結(jié)合的系統(tǒng)工程理論，具有規(guī)模龐大、結(jié)構(gòu)復(fù)雜、功能綜合、目標(biāo)多樣、因素眾多等特點(diǎn)。它是一個多輸入、多輸出、多干擾、多變量的系統(tǒng)。大系統(tǒng)理論目前仍處于發(fā)展和開創(chuàng)性階段。,34,智能控制,是近年來新發(fā)展起來的一種控制技術(shù)，是人工智能在控制上的應(yīng)用。智能控制的概念和原理主要是針對被控對象、環(huán)境、控制目標(biāo)或任務(wù)的復(fù)雜性提出來的，它的指導(dǎo)思想是依據(jù)人的思維方式和處理問題的技巧，解決那些目前需要人的智能才能解決的復(fù)雜的控制問題。被控對象的復(fù)雜性體現(xiàn)為:模型的不確定性，高度非線性，分布式的傳感器和執(zhí)行器，動態(tài)突變，多時間標(biāo)度，復(fù)雜的信息模式，龐大的數(shù)據(jù)量，以及嚴(yán)格的特性指標(biāo)等。智能控制是驅(qū)動智能機(jī)器自主地實(shí)現(xiàn)其目標(biāo)的過程,35,智能控制是從“仿人”的概念出發(fā)的。其方法包括迭代學(xué)習(xí)控制、模糊控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制和專家控制等方法。,36,1.4 控制系統(tǒng)的性能指標(biāo),37,穩(wěn)定性 系統(tǒng)在受到擾動作用后自動返回原來的平衡狀態(tài)的能力。如果系統(tǒng)受到擾動作用（系統(tǒng)內(nèi)或系統(tǒng)外）后，能自動返回到原來的平衡狀態(tài)，則該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。穩(wěn)定系統(tǒng)的數(shù)學(xué)特征是其輸出量具有非發(fā)散性；反之，系統(tǒng)是不穩(wěn)定系統(tǒng)。,38,動態(tài)性能 當(dāng)系統(tǒng)受到外部擾動的影響或者參考輸入發(fā)生變化時，被控量會隨之發(fā)生變化，經(jīng)過一段時間，被控量恢復(fù)到原來的平衡狀態(tài)或到達(dá)一個新的給定狀態(tài)，稱這一過程為過渡過程 在時域中，常用單位階躍信號作用下，系統(tǒng)輸出的超調(diào)量?p ,上升時間Tr ，峰值時間Tp ,過渡過程時間（或調(diào)整時間）Ts和振蕩次數(shù)N等特征量表示。,,39,穩(wěn)態(tài)誤差 指穩(wěn)定系統(tǒng)在完成過渡過程后的穩(wěn)態(tài)輸出偏離希望值的程度。開環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差通常與系統(tǒng)的增益或放大倍數(shù)有關(guān)，而反饋控制系統(tǒng)（閉環(huán)系統(tǒng)）的控制精度主要取決于它的反饋深度。穩(wěn)態(tài)誤差越小，系統(tǒng)的精度越高，它由系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)反映出來。,40,1.5 控制系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì),1、系統(tǒng)分析 建立數(shù)學(xué)模型 分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，計(jì)算系統(tǒng)的性能指標(biāo) 分析參數(shù)變化對系統(tǒng)性能的影響 常用的分析方法有時域分析法、頻域分析法和根軌跡法等,41,1.5 控制系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì),2、系統(tǒng)設(shè)計(jì),42,小 結(jié) 明確什么叫自動控制，正確理解被控對象、控制裝置和自 控系統(tǒng)等概念。 明確系統(tǒng)常用的分類方式，掌握各類別的含義和信息特征 明確對自控系統(tǒng)的基本要求，正確理解三大性能指標(biāo)的含義。 了解自動控制理論發(fā)展的四個主要階段。,43,第二章 自動控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,2.1 基本概念：數(shù)學(xué)模型及常見的系統(tǒng)。 2.2 時域模型 - 微分方程：微分方程的建立及線性化。 2.3 復(fù)域模型 – 傳遞函數(shù)：借助拉氏變換，給出系統(tǒng)傳遞函 數(shù)。經(jīng)典控制理論中引用最廣泛的一種模型。 2.4 控制系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖：掌握動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的建立及化簡。,44,預(yù)備知識,復(fù)變函數(shù)：Laplace變換（拉氏變換）, Z變換 常微分方程解法：Laplace變換和反變換 電路理論 基本的電子學(xué)和力學(xué)知識,45,2.1 基本概念,定義：數(shù)學(xué)模型是描述系統(tǒng)內(nèi)部物理量（或變量）之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。 建立數(shù)學(xué)模型的目的 是分析和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)的首要工作（或基礎(chǔ)工作）。 自控系統(tǒng)的組成可以是電氣的、機(jī)械的、液壓或氣動的等等，然而描述這些系統(tǒng)發(fā)展的數(shù)學(xué)模型卻可以是相同的。通過數(shù)學(xué)模型來研究自控系統(tǒng)，可以擺脫各種不同類型系統(tǒng)的外部特征，研究其內(nèi)在的共性運(yùn)動規(guī)律。 建立方法 解析法（機(jī)理模型）：依據(jù)系統(tǒng)及元件各變量之間所遵循的物理、化學(xué)定律，列出各變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系式 實(shí)驗(yàn)法（實(shí)驗(yàn)建模 ）：對系統(tǒng)施加典型測試信號（脈沖、階躍或正弦信號），記錄系統(tǒng)的時間響應(yīng)曲線或頻率響應(yīng)曲線，從而獲得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)或頻率特性,46,2.2 時域模型—微分方程,2.2.1. 建立系統(tǒng)或元件微分方程的步驟,確定元件輸入量和輸出量 根據(jù)物理或化學(xué)定律，列出元件的原始方程 在可能條件下，對各元件的原始方程進(jìn)行適當(dāng)簡化，略去一些次要因素或進(jìn)行線性化處理 消去中間變量，得到描述元件輸入和輸出關(guān)系的微分方程 對微分方程進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理：與輸出量相關(guān)的各項(xiàng)置于等號左側(cè)，而與輸入量相關(guān)的置于等號右邊；等號左右各項(xiàng)均按降冪排列；將各項(xiàng)系數(shù)歸化為具有一定物理意義的形式,47,例2.1 機(jī)械位移系統(tǒng),如圖表示一個彈簧—質(zhì)量—阻尼器系統(tǒng)。f (t)為一作用在運(yùn)動部件上 的外加作用力，系統(tǒng)產(chǎn)生的位移為y(t)，運(yùn)動部件質(zhì)量用M表示，B為阻尼器的阻尼系數(shù)， K為彈簧的彈性系數(shù)。要求寫出系統(tǒng)在外力f (t)作用下的運(yùn)動方程式。,① 選擇f (t)為系統(tǒng)的輸入，y(t)為系統(tǒng)的輸出。 ② 列出原始方程式。根據(jù)牛頓第二定律，有：,,式中 f 1(t)——阻尼器阻力； f 2(t)——彈簧力。,,在忽略彈簧質(zhì)量的情況下,,2.2.2. 微分方程,48,f1(t)和f2(t)為中間變量，消去中間變量，整理得,,方程兩邊同時除以 K,令,則有,49,例2.2 RLC電路,設(shè)回路電流為 ,由基爾霍夫定律寫 出回路方程為：,確定元件的輸入、輸出 Input： ur(t) Output: uc(t),消去中間變量 ，得到描述網(wǎng)絡(luò)輸入輸出關(guān)系的微分方程為,50,例2.3,設(shè)流體是不可壓縮的，應(yīng)滿足物質(zhì)守恒定律，可得：,由流量公式得,圖2-4 液位流體系統(tǒng),51,具有相同結(jié)構(gòu)微分方程的系統(tǒng)稱為相似系統(tǒng) 例如：R-L-C電路與彈簧-質(zhì)量-阻尼器系統(tǒng)，雖然這兩個系統(tǒng)就系統(tǒng)本質(zhì)而言完全不同，但其具有相同結(jié)構(gòu)的微分方程。,52,拉氏變換法求解步驟： 1. 考慮初始條件，對微分方程中的每一項(xiàng)分別進(jìn)行拉氏變換，得到變量s的代數(shù)方程； 2. 求出輸出量拉氏變換函數(shù)的表達(dá)式； 3. 對輸出量拉氏變換函數(shù)求反變換，得到輸出量的時域表達(dá)式，即為所求微分方程的解。,2.2.3. 線性定常微分方程的求解,求解方法：經(jīng)典法、拉氏變換法。,53,拉氏(Laplace)變換 定義：設(shè)函數(shù)f(t)當(dāng)t=0時有定義，而且積分 存在，其中s是復(fù)數(shù),則稱F(s)是f(t)的象函數(shù),即f(t)的拉氏變換。記為 f(t)稱為 F(s)的原函數(shù)。,拉氏反變換為,54,單位階躍函數(shù)1(t) 單位階躍函數(shù)的拉氏變換為 單位脈沖函數(shù) 單位脈沖函數(shù)的拉氏變換為,55,幾個重要的拉氏變換,56,拉氏變換的基本性質(zhì) (1) 線性性質(zhì) 原函數(shù)之和的拉氏變換等于各原函數(shù)的拉氏變換之和。 (2) 微分性質(zhì) 若 ，則有 f(0)為原函數(shù)f(t) 在t=0時的初始值。,(3) 積分性質(zhì) 若 則,57,(4) 終值定理 即原函數(shù)的終值等于其象函數(shù)乘以s的初值。,(5) 初值定理： (6) 位移定理： a.實(shí)域中的位移定理，若原函數(shù)在時間上延遲 ，則其 象函數(shù)應(yīng)乘以 b.復(fù)域中的位移定理，象函數(shù)的自變量延遲a，原函數(shù)應(yīng) 乘以 ，即,58,例2.4：用拉氏變換解微分方程,59,60,練習(xí),方程兩邊進(jìn)行拉氏變換得 整理得,方程兩邊進(jìn)行拉氏反變換得 若 則,系統(tǒng)響應(yīng)如圖所示,61,重點(diǎn) 建立微分方程要掌握所涉及系統(tǒng)的關(guān)鍵公式 例如：牛頓第二定律、基爾霍夫定律、質(zhì)量守恒定律，剛體旋轉(zhuǎn)定律等 建立的微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式 特點(diǎn)： 方法直觀，但是微分方程的求解麻煩，尤其是高階系統(tǒng)。,,62,2.3 復(fù)域模型—傳遞函數(shù),2.3.1. 傳遞函數(shù)的定義與性質(zhì),定義： 線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：在零初始條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與系統(tǒng)輸入量的拉氏變換之比。 問題的提出 傳遞函數(shù)不僅可以表征系統(tǒng)的動態(tài)特性，而且還可以用來研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或參數(shù)變化對系統(tǒng)性能的影響,所謂零初始條件是指 1）輸入量在t0時才作用在系統(tǒng)上，即在 時系統(tǒng)輸入及各 項(xiàng)導(dǎo)數(shù)均為零； 2）輸入量在加于系統(tǒng)之前，系統(tǒng)為穩(wěn)態(tài)，即在 時系統(tǒng)輸出 及其所有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)為零。,,63,設(shè)r(t)和c(t)及其各階導(dǎo)數(shù)在t=0時的值為0，即零初始條件，則對上式中各項(xiàng)分別求拉氏變換，可得s的代數(shù)方程為： 由定義得系統(tǒng)得傳遞函數(shù)為,設(shè)線性定常系統(tǒng)由下述n階線性常微分方程描述： 式中c(t)為系統(tǒng)輸出量，r(t)為系統(tǒng)輸入量，ai(i=1，2，3…n)和 bj (j= 1,2,3….m )是與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)的常系數(shù),,,,,分母中s的最高階次n即為系統(tǒng)的階次，該系統(tǒng)稱為n階系統(tǒng)。,64,試列寫網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù) Uc(s)/Ur(s).,例2.5 如圖RLC電路，,解: 零初始條件下取拉氏變換：,傳遞函數(shù)：,65,性質(zhì) 傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的有理真分式函數(shù)，分子多項(xiàng)式的次數(shù)m 低于或等于分母多項(xiàng)的次數(shù)n，所有系數(shù)均為實(shí)數(shù)； 傳遞函數(shù)與微分方程有相通性，可經(jīng)簡單置換而轉(zhuǎn)換； 傳遞函數(shù)表征了系統(tǒng)本身的動態(tài)特性。（傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)參數(shù)，而與輸入和初始條件等外部因素?zé)o關(guān)，可見傳遞函數(shù)有效地描述了系統(tǒng)的固有特性.） 只能描述線性定常系統(tǒng)與單輸入單輸出系統(tǒng)，不能表征內(nèi)部所有狀態(tài)的特征。 只能反映零初始條件下輸入信號引起的輸出，不能反映非零初始條件引起的輸出。 服從不同動力學(xué)規(guī)律的系統(tǒng)可有同樣的傳遞函數(shù)。 傳遞函數(shù)有一定的零、極點(diǎn)分布圖與之對應(yīng)，因此傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)分布圖也表征了系統(tǒng)的動態(tài)性能。,66,,傳遞函數(shù)的物理意義 顯然，在零初始條件下，若線性定常系統(tǒng)的輸入的拉氏變換為R（s），則系統(tǒng)的輸出的拉氏變換為 系統(tǒng)的輸出為 由于單位脈沖輸入信號的拉氏變換為 所以，單位脈沖輸入信號作用下系統(tǒng)的輸出的拉氏變換為,,,,,67,,單位脈沖輸入信號下系統(tǒng)的輸出為g(t),則 可見，系統(tǒng)傳遞函數(shù)的拉氏反變換即為單位脈沖輸入信號下系統(tǒng)的輸出。因此，系統(tǒng)的單位脈沖輸入信號下系統(tǒng)的輸出完全描述了系統(tǒng)動態(tài)特性，所以也是系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，通常稱為脈沖響應(yīng)函數(shù)。,,68,,有理分式形式 傳遞函數(shù)最常用的形式是下列有理分式形式 傳遞函數(shù)的分母多項(xiàng)式 D(s)稱為系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式, D(s)=0稱為系統(tǒng)的特征方程，D(s)=0的根稱為系統(tǒng)的特征根或極點(diǎn)。 分母多項(xiàng)式的階次定義為系統(tǒng)的階次。對于實(shí)際的物理系統(tǒng)，多項(xiàng)式D(s)、N(s)的所有系數(shù)為實(shí)數(shù)，且分母多項(xiàng)式的階次 n高于或等于分子多項(xiàng)式的階次m，即 n≥m。,,,,2.3.2.傳遞函數(shù)的表示方式,69,,零極點(diǎn)形式 將傳遞函數(shù)的分子、分母多項(xiàng)式變?yōu)槭滓欢囗?xiàng)式，然后在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)因式分解，得 n≥m （2.66）,,,,式中 ，稱為系統(tǒng)的零點(diǎn)； 為系統(tǒng)的極點(diǎn)； 為系統(tǒng)的根軌跡增益。 系統(tǒng)零點(diǎn)、極點(diǎn)的分布決定了系統(tǒng)的特性，因此，可以畫出傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)圖，直接分析系統(tǒng)特性。在零極點(diǎn)圖上，用“ ”表示極點(diǎn)位置，用“ ”表示零點(diǎn),,,,,70,,例如，傳遞函數(shù) 的零極點(diǎn)圖如圖2.9所示。,,,71,,時間常數(shù)形式 將傳遞函數(shù)的分子、分母多項(xiàng)式變?yōu)槲惨欢囗?xiàng)式，然后在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)因式分解，得,,式中， 為傳遞系數(shù)，通常也為系統(tǒng)的放大系數(shù)； 為系統(tǒng)的時間常數(shù)。,72,2.3.3. 典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù),比例環(huán)節(jié): 輸出量無滯后，按比例復(fù)現(xiàn)輸入量,,電位器,73,慣性環(huán)節(jié) 該環(huán)節(jié)存在儲能元件，典型慣性環(huán)節(jié)的微分方程為一階常微分方程，其特點(diǎn)是當(dāng)系統(tǒng)輸入有階躍變化時，系統(tǒng)輸出是由零逐漸跟上，如圖所示。(a)為系統(tǒng)的輸入變化，(b)為系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。輸出按單調(diào)指數(shù)規(guī)律上升.,,74,積分環(huán)節(jié) 輸出量與輸入量對時間的積分成正比,微分環(huán)節(jié) 輸出量與輸入量的導(dǎo)數(shù)成正比,積分放大器原理,75,例2.6：如圖所示衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng),對偏航角的控制,,,其中A、B為斜對稱配置的噴氣發(fā)動機(jī)，推力均為F/2，成對工作。每個發(fā)動機(jī)到質(zhì)心的距離為l，那么產(chǎn)生的力矩為T=Fl，假設(shè)衛(wèi)星的轉(zhuǎn)動慣量為J，角位移θ(t)為輸出量，產(chǎn)生的力矩T為輸入量，那么根據(jù)牛頓第二定律，注意到在衛(wèi)星周圍的環(huán)境中不存在摩擦，所以有,,,其中T’＝J/l,這是由兩個積分環(huán)節(jié)組成的。,76,振蕩環(huán)節(jié)（二階環(huán)節(jié)） 該環(huán)節(jié)存在兩個儲能元件，且所儲兩種能量可以互相轉(zhuǎn)換，故動態(tài)過程表現(xiàn)出振蕩特性,,77,：無阻尼自然振蕩頻率 ：阻尼比,78,延滯環(huán)節(jié) 延滯時間（死區(qū)時間） 輸出量相對于輸入量滯后一個恒定時間,79,關(guān)于典型環(huán)節(jié)的幾點(diǎn)說明,一個不可分割的裝置或元件可能含有若干典型環(huán)節(jié) 例如：無源網(wǎng)絡(luò) 同一元部件，若選擇不同的輸入量和輸出量，將由不同的典型環(huán)節(jié)組成,,,,,,,,,,,C,R,ur（t）,uc（t）,80,2.4 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖,2.4.1 結(jié)構(gòu)圖的基本組成 微分方程、傳遞函數(shù)等數(shù)學(xué)模型，都是用純數(shù)學(xué)表達(dá)式來描述系統(tǒng)特性，不能反映系統(tǒng)中各元部件對整個系統(tǒng)性能的影響。 定義: 由具有一定函數(shù)關(guān)系的環(huán)節(jié)組成的，并標(biāo)明信號流向的系統(tǒng)的方框圖，稱為系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。 結(jié)構(gòu)圖又稱為方框圖、方框圖等，既能描述系統(tǒng)中各變量間的定量關(guān)系，又能明顯地表示系統(tǒng)各部件對系統(tǒng)性能的影響。,81,方框（環(huán)節(jié)） 方框表示對信號進(jìn)行數(shù)學(xué)變換。方框中寫入元部件或系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。系統(tǒng)輸出的象函數(shù)等于輸入的象函數(shù)乘以方框中的傳遞函數(shù)或者頻率特性 信號線 信號線是帶有箭頭的直線，箭頭表示信號的流向，在直線旁邊標(biāo)記信號的時間函數(shù)或象函數(shù)。這里的信號引出與測量信號一樣，不影響原信號，所以也稱為測量點(diǎn).,綜合點(diǎn)（比較點(diǎn)） 比較點(diǎn)表示對兩個以上的信號進(jìn)行加減運(yùn)算， “＋”表示相加，“－”表示相減。進(jìn)行相加或相減的量應(yīng)具有相同的量綱單位 分支點(diǎn)（引出點(diǎn)） 引出點(diǎn)表示信號引出或測量的位置。從同一位置引出的信號在數(shù)值和性質(zhì)方面完全相同。,82,結(jié)構(gòu)圖特點(diǎn),結(jié)構(gòu)圖是方框圖與微分方程（傳函）的結(jié)合。一方面它直觀反映了整個系統(tǒng)的原理結(jié)構(gòu)（方框圖優(yōu)點(diǎn)），另一方面對系統(tǒng)進(jìn)行了精確的定量描述（每個信號線上的信號函數(shù)均可確定地計(jì)算出來） 能描述整個系統(tǒng)各元部件之間的內(nèi)在聯(lián)系和零初始條件下的動態(tài)性能，但不能反映非零條件下的動態(tài)性能 結(jié)構(gòu)圖最重要的作用：計(jì)算整個系統(tǒng)的傳函 對同一系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)圖具有非唯一性；簡化也具有非唯一性。但得到的系統(tǒng)傳函是確定唯一的. 結(jié)構(gòu)圖中方塊≠實(shí)際元部件，因?yàn)榉娇蚩纱矶鄠€元件的組合，甚至整個系統(tǒng),83,結(jié)構(gòu)圖的繪制,建立控制系統(tǒng)各元部件的微分方程 對各元件的微分方程進(jìn)行拉氏變換，并作出各元件的方框圖和比較點(diǎn)。 置系統(tǒng)輸入量于左端，輸出量于右端，便得到系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。 從與系統(tǒng)輸入量有關(guān)的比較點(diǎn)開始，依據(jù)信號流向，把各元部件的結(jié)構(gòu)圖連接起來。,,例2.8 繪制如圖所示RC網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖。 中間變量：i, i1, i2; 信號量：ur, uc 根據(jù)電路定律，得到以下方程,,,,,,84,,按照上述方程，可以 分別繪制相應(yīng)元件的結(jié)構(gòu)圖，如圖 (a) ～(d)所示。然后，根據(jù)相互關(guān)系將這些結(jié)構(gòu)圖在相同信號處連接起來，就得到整個系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。,,85,練習(xí) 繪出RC電路的結(jié)構(gòu)圖。,86,為了便于系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)，常常需要對系統(tǒng)的復(fù)雜的結(jié)構(gòu)圖作等價變換，或者通過變換使系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖簡化，求取系統(tǒng)的總傳遞函數(shù)。因此，結(jié)構(gòu)圖變換是控制理論的基本內(nèi)容。,2.4.2 結(jié)構(gòu)圖的化簡,等效變換的原則 結(jié)構(gòu)圖的變換應(yīng)按等效原則進(jìn)行。所謂等效，即對結(jié)構(gòu)圖的任一部分進(jìn)行變換時，變換前后輸入輸出的數(shù)學(xué)關(guān)系保持不變 結(jié)構(gòu)圖的基本組成形式 串聯(lián)連接 并聯(lián)連接 反饋連接,87,等效變換的法則,串聯(lián)連接的等效變換 傳遞函數(shù)的串聯(lián)連接，其等效傳遞函數(shù)為這些傳遞函數(shù)的積。,上述結(jié)論可以推廣到多個傳遞函數(shù)的串聯(lián)，即n個傳遞函數(shù)依次串聯(lián)的等效傳遞函數(shù)，等于n個傳遞函數(shù)的乘積。,88,并聯(lián)連接的等效變換 傳遞函數(shù)的并聯(lián)連接，其等效傳遞函數(shù)為這些傳遞函數(shù)的和。,上述結(jié)論可以推廣到多個傳遞函數(shù)的并聯(lián)，即n個傳遞函數(shù)并聯(lián)的等效傳遞函數(shù)，等于n個傳遞函數(shù)的和。,89,反饋連接的等效變換,90,比較點(diǎn)（綜合點(diǎn)）和引出點(diǎn)的移動 在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖簡化的過程中，有時為了便于進(jìn)行方框的串聯(lián)、并聯(lián)或者反饋連接的計(jì)算，需要移動比較點(diǎn)或引出點(diǎn)的位置。 比較點(diǎn)前后移動,91,引出點(diǎn)前后移動,92,注意,對綜合點(diǎn)和分支點(diǎn)進(jìn)行移動位置，消除交叉回路。但在移動中一定要注意以下幾點(diǎn)： ① 必須保持移動前后信號的等效性； ② 相鄰綜合點(diǎn)可以互相換位和合并； ③ 相鄰分支點(diǎn)可以互相換位； ④ 綜合點(diǎn)和分支點(diǎn)之間一般不宜交換位置。,93,,,,,,,,,,,94,,,,,,,,,,,,,,95,,,,,,,,,,,,,,,,96,例2.9,97,例2.10：試化簡下述系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，并求傳遞函數(shù)C(s)/R(s),顯然若不移動比較點(diǎn)或引出點(diǎn)的位置就無法化簡。,98,首先將 間的引出點(diǎn)后移到方框的輸出端 接著將 組成的內(nèi)反饋網(wǎng)絡(luò)簡化，其等效傳遞函數(shù)為,99,得到圖為 然后將 組成的內(nèi)反饋網(wǎng)絡(luò)簡化，其等效傳遞函數(shù)為：,100,得到圖為 最后將求得其傳遞函數(shù)為：,101,練習(xí)：試化簡下述系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，并求傳遞函數(shù)C(s)/R(s),顯然化簡該結(jié)構(gòu)圖也需要移動比較點(diǎn)和引出點(diǎn)，需要注意得是，引出點(diǎn)和比較點(diǎn)之間是不宜隨便移動的。因此我們將比較點(diǎn)前移，將引出點(diǎn)后移。 得到圖為,102,將兩個比較點(diǎn)合并，并將求出 的等效傳遞函數(shù)： 得到圖為 得到系統(tǒng)等效傳遞函數(shù)：,103,2.4.3 閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和傳遞函數(shù),控制系統(tǒng)常采用反饋結(jié)構(gòu)，又稱閉環(huán)控制系統(tǒng)。通常，控制系統(tǒng)會受到兩類外作用信號的影響。一類是有用信號，或稱為輸入信號、給定值、參考輸入等，常用r(t)表示；另一類則是擾動，或稱為干擾、噪聲等，常用n(t)表示。 通過對反饋控制系統(tǒng)建立微分方程模型，直接在零初始條件下進(jìn)行拉氏變換，可求取反饋控制系統(tǒng)的傳函。 通過對反饋控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖簡化也能求傳函。,104,反饋通道傳遞函數(shù) 從輸出端反送到參考輸入端的信號通道，稱為反饋通道,前向通道傳遞函數(shù) 前向通道是指從輸入端到輸出端的通道,105,系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) 上圖中將反饋的輸出通路斷開，反饋信號對于參考輸入信號的傳遞函數(shù)稱為開環(huán)傳遞函數(shù)。這時前向通路傳遞函數(shù)與反饋通路傳遞函數(shù)的乘積為該系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。,106,作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù) 令 ，這時系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如上圖，系統(tǒng)傳遞函數(shù)為： 系統(tǒng)輸出為：,作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù) 令 ，這時系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如上圖，系統(tǒng)傳遞函數(shù)為： 系統(tǒng)輸出為：,107,系統(tǒng)總輸出 根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理，系統(tǒng)的總輸出應(yīng)為各外作用引起輸出的綜合因而得到系統(tǒng)總輸出為：,108,閉環(huán)系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù) 誤差定義為被控量的測量輸出 和給定輸入 之差 或 作用下的誤差，輸入結(jié)構(gòu)圖 誤差傳遞函數(shù),n(t)作用下系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù) ，輸入結(jié)構(gòu)圖 誤差傳遞函數(shù) 總誤差,109,閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程,上面導(dǎo)出的閉環(huán)傳遞函數(shù)及誤差傳遞函數(shù)雖然各不相同，但是他們的分母卻是一樣的。均為： 令 并稱其為閉環(huán)特征方程。將其改寫為如下形式： 對給定的系統(tǒng)而言，特征多項(xiàng)式是唯一的，即閉環(huán)極點(diǎn)的分布是唯一的。 閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)與控制系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)和系統(tǒng)的穩(wěn)定性密切相關(guān) 特征多項(xiàng)式與開環(huán)傳函相關(guān)，因此其動態(tài)特性可用開環(huán)傳函分析,這是閉環(huán)控制系統(tǒng)各種傳遞函數(shù)都具有的的規(guī)律性，稱其為特征多項(xiàng)式,,,可以是實(shí)數(shù)或共軛復(fù)數(shù)，稱為特征方程的根，或稱為閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn),,110,例2.11 如圖所示位置隨動系統(tǒng)的方框圖，求系統(tǒng)在給定值θr(t)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)及在負(fù)載力矩ML作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)，并求兩信號同時作用下，系統(tǒng)總輸出c(t)的拉氏變換式。,解,（1）求 作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)?,,令ML=0，運(yùn)用串聯(lián)及反饋法則，可求得：,,θr(t),111,（2）求ML作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù),,令θr(t) =0，系統(tǒng)以ML為輸入的方框圖如圖(a)所示。,經(jīng)方框圖變換后如圖(b)所示可求得：,,(a),(b),112,（3）系統(tǒng)在給定值θr(t)作用及在負(fù)載力矩ML作用下的總輸出為兩部分迭加，即,,113,系統(tǒng)信號流圖和梅遜公式,信號流圖起源于梅遜（S. J. MASON）利用圖示法來描述一個和一組線性代數(shù)方程，是由節(jié) 點(diǎn)和支路組成的一種信號傳遞網(wǎng)絡(luò)。,信號流圖及其術(shù)語,節(jié)點(diǎn),表示變量或信號，其值等于所有進(jìn)入該節(jié)點(diǎn)的信號之和。節(jié)點(diǎn)用“?”表示。,114,支路,連接兩個節(jié)點(diǎn)的定向線段，用支路增益（傳遞函數(shù)）表示方程式中兩個變量的因果關(guān)系。支路相當(dāng)于乘法器。信號在支路上沿箭頭單向傳遞。,例：,115,輸入節(jié)點(diǎn)（源節(jié)點(diǎn)）,只有輸出的節(jié)點(diǎn)，代表系統(tǒng)的輸入變量。,輸出節(jié)點(diǎn)（阱節(jié)點(diǎn)、匯點(diǎn)）,只有輸入的節(jié)點(diǎn)，代表系統(tǒng)的輸出變量。,源節(jié)點(diǎn),匯點(diǎn),116,混合節(jié)點(diǎn),既有輸入又有輸出的節(jié)點(diǎn)。若從混合節(jié)點(diǎn)引出一條具有單位增益的支路，可將混合節(jié)點(diǎn)變?yōu)檩敵龉?jié)點(diǎn)。,117,通路,沿支路箭頭方向穿過各相連支路的路徑。,前向通路,從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)的通路上通過任何節(jié)點(diǎn)不多于一次的通路。前向通路上各支路增益之乘積，稱前向通路總增益，一般用pk表示。,118,回路,起點(diǎn)與終點(diǎn)重合且通過任何節(jié)點(diǎn)不多于一次的閉合通路。回路中所有支路增益之乘積稱為回路增益，用La表示。,不接觸回路,相互間沒有任何公共節(jié)點(diǎn)的回路。,119,信號流圖的繪制,由系統(tǒng)微分方程繪制信號流圖,根據(jù)微分方程繪制信號流圖的步驟與繪制方框圖的步驟類似。,由系統(tǒng)方框圖繪制信號流圖,兩種方法：,120,例1：根據(jù)微分方程繪制信號流圖,121,取Ui(s)、I1(s)、UA(s)、I2(s)、Uo (s)作為信號流圖的節(jié)點(diǎn)，其中，Ui(s)、Uo(s)分別為輸入及輸出節(jié)點(diǎn)。按上述方程繪制出各部分的信號流圖，再綜合后即得到系統(tǒng)的 信號流圖。,122,a),b),123,c),d),124,125,例2：根據(jù)方框圖繪制信號流圖,126,※ 比較點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)對應(yīng)關(guān)系：,127,梅遜公式,式中，P — 系統(tǒng)總傳遞函數(shù),Pk— 第k條前向通路的傳遞函數(shù)（通 路增益）,? — 流圖特征式,128,—所有不同回路的傳遞函數(shù)之和；,—每兩個互不接觸回路傳遞函數(shù) 乘積之和,—每三個互不接觸回路傳遞函數(shù) 乘積之和,129,?k— 第k條前向通路特征式的余因子，即對于 流圖的特征式?，將與第k 條前向通路相 接觸的回路傳遞函數(shù)代以零值，余下的? 即為?k。,130,例：用梅遜公式求系統(tǒng)傳遞函數(shù),對于二階RC電路網(wǎng)絡(luò)，輸入U(xiǎn)i(s)與輸出Uo(s)之間只有一條前向通路，其傳遞函數(shù)為：,131,三個不同回路的傳遞函數(shù)分別為：,132,流圖特征式為：,前向通路特征式的余因子為：,所以，,133,3.1 時間響應(yīng)性能指標(biāo) 3.2 一階系統(tǒng)的時域響應(yīng) 3.3 二階系統(tǒng)的時域響應(yīng) 3.4 系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 3.5 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能分析,第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法,134,第三章 線性系統(tǒng)的時域分析,分析和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)的首要任務(wù)是建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。一旦獲得合理的數(shù)學(xué)模型，就可以采用不同的分析方法來分析系統(tǒng)的性能。,經(jīng)典控制理論中常用的工程方法有 時域分析法 頻率特性法 根軌跡法,分析內(nèi)容 瞬態(tài)響應(yīng) 穩(wěn)定性 穩(wěn)態(tài)性能,時域分析法在時間域內(nèi)研究系統(tǒng)在典型輸入信號的作用下，其輸出響應(yīng)隨時間變化規(guī)律的方法。對于任何一個穩(wěn)定的控制系統(tǒng)，輸出響應(yīng)含有瞬態(tài)分量和穩(wěn)態(tài)分量。,135,3.1 時間響應(yīng)性能指標(biāo),工程實(shí)際中，有些系統(tǒng)的輸入信號是已知的（如恒值系統(tǒng)），但對有些控制系統(tǒng)來說，常常不能準(zhǔn)確地知道其輸入量是如何變化的（如隨動系統(tǒng)）。 因此，為了方便系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)，使各種控制系統(tǒng)有一個進(jìn)行比較的統(tǒng)一的基礎(chǔ)，需要選擇一些典型試驗(yàn)信號作為系統(tǒng)的輸入，然后比較各種系統(tǒng)對這些輸入信號的響應(yīng)。 常用的試驗(yàn)信號有階躍信號、斜坡信號、拋物線信號、脈沖信號及正弦信號。這些信號都是簡單的時間函數(shù)，并且易于通過實(shí)驗(yàn)產(chǎn)生，便于數(shù)學(xué)分析和試驗(yàn)研究。,136,3.1.1 典型輸入信號,（一）階躍函數(shù) 階躍函數(shù)的定義是,對系統(tǒng)輸入階躍函數(shù)就是在t=0時，給系統(tǒng)加上一個恒值輸入量，如圖所示。 若A=1，稱為單位階躍函數(shù)，記作1(t)/u(t),階躍函數(shù)的拉氏變換為,單位階躍函數(shù)的拉氏變換為R(s)=1/s。,137,(二) 脈沖函數(shù),脈沖函數(shù)的定義為 脈沖函數(shù)在理論上（數(shù)學(xué)上的假設(shè)）是一個脈寬無窮小，幅值無窮大的脈沖。在實(shí)際中，只要脈沖寬度?極短即可近似認(rèn)為是脈沖函數(shù)。如圖所示。 脈沖函數(shù)的積分，即脈沖的面積為,理想的單位脈沖信號實(shí)際上是不存在的，只具有數(shù)學(xué)意義。任意形式的外作用可以看作是在不同時刻存在的，強(qiáng)度不同的無限多個脈沖函數(shù)的疊加。,138,?（t）函數(shù)的圖形如右圖所示。 脈沖函數(shù)的積分就是階躍函數(shù)。 脈沖函數(shù)的拉氏變換為 單位脈沖函數(shù)的拉氏變換為R(s)=1。,t,0,?(t),1,,,,,當(dāng)A=1時，即面積為1的脈沖函數(shù)稱 為單位脈沖函數(shù)，記為?(t),139,（三）斜坡函數(shù),斜坡函數(shù)也稱等速度函數(shù)。其定義為 輸入斜坡函數(shù)相當(dāng)于對系統(tǒng)輸入一個隨時間作等速變化的信號，其圖形如圖所示。 若A=1,則稱之為單位斜坡函數(shù)。 斜坡函數(shù)等于階躍函數(shù)對時間的積分。 斜坡函數(shù)的拉氏變換為 單位斜坡函數(shù)的拉氏變換為R(s)=1/s2,140,（四）拋物線函數(shù),拋物線函數(shù)也稱加速度函數(shù)，其定義為 輸入拋物線函數(shù)相當(dāng)于對于系統(tǒng)輸入一個隨時間做等加速變化的信號，其圖形如圖所示。 若A=1,稱之為單位拋物線函數(shù)。 拋物線函數(shù)等于斜坡函數(shù)對時間的積分。 拋物線函數(shù)的拉氏變換為 單位拋物線函數(shù)的拉氏變換為R(s)=1/s3,t,1,,,,,,0,141,（五）正弦函數(shù),正弦函數(shù)也稱諧波函數(shù)，表達(dá)式為 用正弦函數(shù)作輸入信號，可求得系統(tǒng)對不同頻率的正弦輸入的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。 正弦輸入的拉氏變換為,142,如果控制系統(tǒng)的實(shí)際輸入大部分是隨時間逐漸增加的信號，則選用斜坡函數(shù)較合適； 如果作用到系統(tǒng)的輸入信號大多具有突變性質(zhì)時，則選用階躍函數(shù)較合適。 需要注意的是，不管采用何種典型輸入型號，對同一系統(tǒng)來說，其過渡過程所反應(yīng)出的系統(tǒng)特性應(yīng)是統(tǒng)一的。這樣，便有可能在同一基礎(chǔ)上去比較各種控制系統(tǒng)的性能。此外，在選取試驗(yàn)信號時，除應(yīng)盡可能簡單，以便于分析處理外，還應(yīng)選擇那些能使系統(tǒng)工作在最不利的情況下的輸入信號作為典型實(shí)驗(yàn)信號。 本章主要討論控制系統(tǒng)在階躍函數(shù)、斜坡函數(shù)、脈沖函數(shù)、拋物線函數(shù)等輸入信號作用下的輸出響應(yīng)。,143,穩(wěn)定性 系統(tǒng)在受到擾動作用后自動返回原來的平衡狀態(tài)的能力。如果系統(tǒng)受到擾動作用（系統(tǒng)內(nèi)或系統(tǒng)外）后，能自動返回到原來的平衡狀態(tài)，則該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。穩(wěn)定系統(tǒng)的數(shù)學(xué)特征是其輸出量具有非發(fā)散性；反之，系統(tǒng)是不穩(wěn)定系統(tǒng)。,144,動態(tài)性能 當(dāng)系統(tǒng)受到外部擾動的影響或者參考輸入發(fā)生變化時，被控量會隨之發(fā)生變化，經(jīng)過一段時間，被控量恢復(fù)到原來的平衡狀態(tài)或到達(dá)一個新的給定狀態(tài)，稱這一過程為過渡過程 在時域中，常用單位階躍信號作用下，系統(tǒng)輸出的超調(diào)量?p ,上升時間Tr ，峰值時間Tp ,過渡過程時間（或調(diào)整時間）Ts和振蕩次數(shù)N等特征量表示。,,145,穩(wěn)態(tài)誤差 指穩(wěn)定系統(tǒng)在完成過渡過程后的穩(wěn)態(tài)輸出偏離希望值的程度。開環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差通常與系統(tǒng)的增益或放大倍數(shù)有關(guān)，而反饋控制系統(tǒng)（閉環(huán)系統(tǒng)）的控制精度主要取決于它的反饋深度。穩(wěn)態(tài)誤差越小，系統(tǒng)的精度越高，它由系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)反映出來。,146,性能指標(biāo)包括 動態(tài)性能指標(biāo)（瞬態(tài)性能指標(biāo)） 穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo) 抗擾性能指標(biāo)（動態(tài)降落和恢復(fù)時間）,147,3.1.2 動態(tài)性能指標(biāo),動態(tài)性能,延遲時間td：響應(yīng)曲線第一次達(dá)到其穩(wěn)態(tài)值一半所需時間。 上升時間tr：響應(yīng)從穩(wěn)態(tài)值的10%上升到穩(wěn)態(tài)值90%所需時間；對有振蕩系統(tǒng)亦可定義為響應(yīng)從零第一次上升到穩(wěn)態(tài)值所需時間。上升時間是響應(yīng)速度的度量。,148,峰值時間tp：響應(yīng)超過其穩(wěn)態(tài)值到達(dá)第一個峰值所需時間。 調(diào)節(jié)時間ts：響應(yīng)到達(dá)并保持在穩(wěn)態(tài)值內(nèi)所需時間。 超調(diào)量?%：響應(yīng)的最大偏離量h(tp)與穩(wěn)態(tài)值h(∞)之差的百分比，即,穩(wěn)態(tài)性能：由穩(wěn)態(tài)誤差ess描述。,149,3.2 一階系統(tǒng)的時域響應(yīng) 由一階微分方程描述的系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng). 典型閉環(huán)控制一階系統(tǒng)如圖所示.其中 是積分環(huán)節(jié)，T為它的時間常數(shù)。,典型的一階系統(tǒng)是一個慣性環(huán)節(jié), 輸出為,一般地，將微分方程為 傳遞函數(shù)為 的系統(tǒng)叫做一階系統(tǒng)。 T的含義隨系統(tǒng)的不同而不同。,150,傳遞函數(shù):,結(jié)構(gòu)圖 ：,微分方程:,如RC電路:,在零初始條件下，利用拉氏反變換或直接求解微分方程，可以求得一階系統(tǒng)在典型輸入信號作用下的輸出響應(yīng)。,151,實(shí)際中，常以輸出量達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的95%或98%的時間作為系統(tǒng)的響應(yīng)時間（即調(diào)節(jié)時間）,這時輸出量與穩(wěn)態(tài)值之間的偏差為5%或2%。在整個工作時間內(nèi)，系統(tǒng)響應(yīng)都不會超過穩(wěn)態(tài)值。由于該響應(yīng)曲線具有非振蕩特征，故也稱為非周期響應(yīng)，如下圖所示。,3.2.1 單位階躍響應(yīng) 設(shè)系統(tǒng)的輸入為單位階躍函數(shù)r(t) = 1(t) ,其拉氏變換為 ,則輸出的拉氏變換為,當(dāng)初始條件為零時，一階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的變化曲線是一條單調(diào)上升的指數(shù)曲線。,152,圖中指數(shù)響應(yīng)曲線的初始（t=0時）斜率為 . 實(shí)際上，響應(yīng)曲線的斜率是不斷下降的，經(jīng)過T 時間后，輸出量C（T）從零上升到穩(wěn)態(tài)值的63.2%。經(jīng)過3T～4T時，C（t）將分別達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的95%～98%?？梢?，時間常數(shù)T反應(yīng)了系統(tǒng)的響應(yīng)速度，T越小，輸出響應(yīng)上升越快，響應(yīng)過程的快速性也越好。,系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線可用實(shí)驗(yàn)的方法確定，將測得的曲線與上圖作比較，就可以確定該系統(tǒng)是否為一階系統(tǒng)或等效為一階系統(tǒng)。,153,特點(diǎn)：1）可以用時間常數(shù)去度量系統(tǒng)的輸出量的數(shù)值； 2）初始斜率為1/T； 3）無峰值時間，無超調(diào)；穩(wěn)態(tài)誤差ess=0 。,性能指標(biāo)：延遲時間：td=0.69T 上升時間：tr=2.20T 調(diào)節(jié)時間：ts=3T (△=0.05) 或 ts=4T (△=0.02),輸入r(t)=1(t)，輸出,154,式中，t-T為穩(wěn)態(tài)分量， 為瞬態(tài)分量，當(dāng)t→∞時，瞬態(tài)分量指數(shù)衰減到零。一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)曲線如圖所示。,（t≥0）,一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng),3.2.2 單位斜坡響應(yīng) 設(shè)系統(tǒng)的輸入為單位斜坡函數(shù)r(t)=t，其拉氏變換為 則輸出的拉氏變換為,155,顯然，系統(tǒng)的響應(yīng)從t=0時開始跟蹤輸入信號而單調(diào)上升，在達(dá)到穩(wěn)態(tài)后，它與輸入信號同速增長，但它們之間存在跟隨誤差。即 且 可見，當(dāng)t趨于無窮大時，誤差趨近于T，因此系統(tǒng)在進(jìn)入穩(wěn)態(tài)以后，在任一時刻，輸出量c (t) 將小于輸入量r(t)一個T值，時間常數(shù)T越小，系統(tǒng)跟蹤斜坡輸入信號的穩(wěn)態(tài)誤差也越小。,穩(wěn)態(tài)誤差ess=T，初始斜率=0，穩(wěn)態(tài)輸出斜率=1 .,156,系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)就是系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的拉氏反變換,3.2.3 單位脈沖響應(yīng) 設(shè)系統(tǒng)的輸入為單位脈沖函數(shù)r(t) = δ(t),其拉氏變換為R(s)=1, 則輸出響應(yīng)的拉氏變換為,對上式進(jìn)行拉氏反變換，求得單位脈沖響應(yīng)為,157,輸入 r(t)=?(t)，輸出,特點(diǎn)： 1) 可以用時間常數(shù)去度量系統(tǒng)的輸出量的數(shù)值； 2) 初始斜率為-1/T2； 3) 無超調(diào)；穩(wěn)態(tài)誤差ess=0 。,158,按照脈沖函數(shù)，階躍函數(shù)、斜坡函數(shù)的順序，前者是后者的導(dǎo)數(shù)，而后者是前者的積分。 脈沖響應(yīng)、階躍響應(yīng)、斜坡響應(yīng)之間也存在同樣的對應(yīng)關(guān)系。表明：,0.368,C(t),,,,,,,3T,斜率,,C(t),T,2T,t,一階系統(tǒng)的脈沖響應(yīng),線性定常系統(tǒng)的一個重要特征,系統(tǒng)對某種輸入信號導(dǎo)數(shù)的響應(yīng)，等于對該輸入信號響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)；對某種輸入信號積分的響應(yīng)，等于系統(tǒng)對該輸入信號響應(yīng)的積分。,單位脈沖響應(yīng)是單調(diào)下降的指數(shù)曲線， 曲線的初始斜率為 ， 輸出量的初始值為 。,159,3.2.4 一階系統(tǒng)的單位加速度(拋物線）響應(yīng),跟蹤誤差：e(t)=r(t)-c(t)=Tt-T2(1-e- t/T )隨時間推移而增長，直至無窮。因此一階系統(tǒng)不能跟蹤加速度函數(shù)。,結(jié)論： 一階系統(tǒng)的典型響應(yīng)與時間常數(shù)T密切相關(guān)。只要時間常數(shù)T小，單位階躍響應(yīng)調(diào)節(jié)時間小，單位斜坡響應(yīng)穩(wěn)態(tài)值滯后時間也小。但一階系統(tǒng)不能跟蹤加速度函數(shù)。 線性系統(tǒng)對輸入信號導(dǎo)數(shù)的響應(yīng)，等于系統(tǒng)對輸入信號響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)。,160,（t≥0）,不僅適用于一階線性定常系統(tǒng)，也適用于高階線性定常系統(tǒng)。,161,解: (1) 與標(biāo)準(zhǔn)形式對比得：T=1/10=0.1, ts=3T=0.3s,例3.1 某一階系統(tǒng)如圖,在單位階躍信號作用下 （1）若Kh=0.1求調(diào)節(jié)時間ts, （2）若要求ts=0.1s,求反饋系數(shù) Kh .,(2) 要求ts=0.1s，即3T=0.1s, 即 , 得,解題關(guān)鍵：化閉環(huán)傳遞函數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)形式。,Kh,162,3.3 二階系統(tǒng)的時域響應(yīng) 由二階微分方程描述的系統(tǒng)稱為二階系統(tǒng)。在控制工程實(shí)踐中，二階系統(tǒng)應(yīng)用極為廣泛，此外，許多高階系統(tǒng)在一定的條件下可以近似為二階系統(tǒng)來研究，因此，討論和分析二階系統(tǒng)的特征具有重要的實(shí)際意義。,,設(shè)二階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖所示。 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 其中K為系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)， T為時間常數(shù)。,163,式中 ，稱為無阻尼自然振蕩角頻率，（簡稱為無阻尼自振頻率）， 稱為阻尼系數(shù)（或阻尼比）。,為了分析方便，將系統(tǒng)的傳遞函數(shù)改寫成如下形式,它的兩個根為 二階系統(tǒng)特征根（即閉環(huán)極點(diǎn)）的形式隨著阻尼比 取值的不同而不同。,系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為,164,3.3.1 二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 設(shè)系統(tǒng)的輸入為單位階躍函數(shù)，則系統(tǒng)輸出響應(yīng)的拉氏變換表達(dá)式為 對上式取拉氏反變換，即可求得二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 。,（一） 過阻尼（ 1 ）的情況,系統(tǒng)具有兩個不相等的負(fù)實(shí)數(shù)極點(diǎn),165,穩(wěn)態(tài)分量為1，瞬態(tài)分量包含兩個衰減指數(shù)項(xiàng)，曲線單調(diào)上升。,分析：當(dāng) 時，極點(diǎn) 比 距虛軸遠(yuǎn)得多，故 比 衰減快的多，可將二階系統(tǒng)近似成一階系統(tǒng)來處理。,阻尼比 1 時二階系統(tǒng)的運(yùn)動狀態(tài)為過阻尼狀態(tài)。系統(tǒng)的單位躍響應(yīng)無振蕩、無超調(diào)、無穩(wěn)態(tài)誤差.,166,欠阻尼時的極點(diǎn)分布,(二)欠阻尼（ ）的情況 系統(tǒng)具有一對在S平面的左半部的共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，,式中 ，稱為阻尼自振頻率,167,168,系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為1，瞬態(tài)分量是一個隨時間t的增大而衰減的正弦振蕩過程。振蕩的角頻率為 ，它取決于阻尼比 和無阻尼自然頻率 。衰減速度取決于 的大小。此時系統(tǒng)工作在欠阻尼狀態(tài)。輸出響應(yīng)如圖所示。,169,穩(wěn)態(tài)部分等于1，表明不存在穩(wěn)態(tài)誤差； 瞬態(tài)部分是阻尼正弦振蕩過程，阻尼的大小由 ??n (即特征根實(shí)部）決定； 振蕩角頻率為阻尼振蕩角頻率?d（特征根虛部），其值由阻尼比ζ和自然振蕩角頻率?n決定。,欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)由穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài) 兩部分組成：,170,（三）臨界阻尼 （ ）的情況 系統(tǒng)具有兩個相等的