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高考二輪復習專項：圓錐曲線大題集 1. 如圖，直線l1與l2是同一平面內兩條互相垂直的直線，交點是A，點B、D在直線l1上(B、D 位于點A右側)，且|AB|=4，|AD|=1，M是該平面上的一個動點，M在l1上的射影點是N，且|BN|=2|DM|. (Ⅰ) 建立適當?shù)淖鴺讼?，求動點M的軌跡C的方程． (Ⅱ)過點D且不與l1、l2垂直的直線l交(Ⅰ)中的軌跡C于E、F兩點；另外平面上的點G、H滿足： A D M B N l2 l1 ??? 求點G的橫坐標的取值范圍． 2. 設橢圓的中心是坐標原點，焦點在軸上，離心率，已知點到這個橢圓上的點的最遠距離是4，求這個橢圓的方程. 3. 已知橢圓的一條準線方程是其左、右頂點分別 是A、B；雙曲線的一條漸近線方程為3x－5y=0. （Ⅰ）求橢圓C1的方程及雙曲線C2的離心率； （Ⅱ）在第一象限內取雙曲線C2上一點P，連結AP交橢圓C1于點M，連結PB并延長交橢圓C1于點N，若. 求證： 4. 橢圓的中心在坐標原點O,右焦點F（c,0）到相應準線的距離為1，傾斜角為45°的直線交橢圓于A，B兩點.設AB中點為M，直線AB與OM的夾角為a. （1）用半焦距c表示橢圓的方程及tan; （2）若20,b>0）的右準線一條漸近線交于兩點P、Q，F(xiàn)是雙曲線的右焦點。 （I）求證：PF⊥； （II）若△PQF為等邊三角形，且直線y=x+b交雙曲線于A，B兩點，且，求雙曲線的方程； （III）延長FP交雙曲線左準線和左支分別為點M、N，若M為PN的中點，求雙曲線的離心率e。 22. 已知又曲線 在左右頂點分別是A，B，點P是其右準線上的一點，若點A關于點P的對稱點是M，點P關于點B的對稱點是N，且M、N都在此雙曲線上。 （I）求此雙曲線的方程； （II）求直線MN的傾斜角。 23. 如圖，在直角坐標系中，點A（-1，0），B（1，0），P（x，y）（）。設與x軸正方向的夾角分別為α、β、γ，若。 （I）求點P的軌跡G的方程； （II）設過點C（0，-1）的直線與軌跡G交于不同兩點M、N。問在x軸上是否存在一點，使△MNE為正三角形。若存在求出值；若不存在說明理由。 24. 設橢圓過點，且焦點為。 （1）求橢圓的方程； （2）當過點的動直線與橢圓相交與兩不同點A、B時，在線段上取點， 滿足，證明：點總在某定直線上。 25. 平面直角坐標系中，O為坐標原點，給定兩點A（1，0）、B（0，－2），點C滿足、 （1）求點C的軌跡方程； （2）設點C的軌跡與雙曲線交于兩點M、N，且以MN為直徑的圓過原點，求證：. 26. 設，、分別為軸、軸上的點，且，動點滿足：. （1）求動點的軌跡的方程； （2）過定點任意作一條直線與曲線交與不同的兩點、，問在軸上是否存在一定點，使得直線、的傾斜角互補？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由. 27. 如圖，直角梯形ABCD中，∠，AD∥BC，AB=2，AD=，BC= 橢圓F以A、B為焦點，且經過點D， （Ⅰ）建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，求橢圓F的方程； C B D A （Ⅱ）是否存在直線與兩點，且線段，若存在，求直線的方程；若不存在，說明理由. 28. 如圖所示，B（– c，0），C（c，0），AH⊥BC，垂足為H，且． （1）若= 0，求以B、C為焦點并且經過點A的橢圓的離心率； （2）D分有向線段的比為，A、D同在以B、C為焦點的橢圓上， 當 ―5≤≤ 時，求橢圓的離心率e的取值范圍． 29. 在直角坐標平面中，的兩個頂點的坐標分別為，，平面內兩點同時滿足下列條件： ①；②；③∥ （1）求的頂點的軌跡方程； （2）過點的直線與（1）中軌跡交于兩點，求的取值范圍  答案： 1.解：(Ⅰ) 以A點為坐標原點，l1為x軸，建立如圖所示的坐標系，則D(1，0)，B(4，0)，設M（x，y）， 則N（x，0）. ∵|BN|=2|DM|， ∴|4－x|=2, 整理得3x2+4y2=12, ∴動點M的軌跡 方程為. (Ⅱ)∵ ∴A、D、G三點共線，即點G在x軸上；又∵∴H點為線段EF的中點；又∵∴點G是線段EF的垂直平分線GH與x軸的交點。 設l：y=k(x－1)(k≠0)，代入3x2+4y2=12得 (3+4k2)x2－8k2x+4k2－12=0，由于l過點D(1，0)是橢圓的焦點， ∴l(xiāng)與橢圓必有兩個交點， 設E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)，EF的中點H的坐標為（x0，y0）， ∴x1+x2= ，x1x2= ， x0= = ，y0=k(x0－1)= ， ∴線段EF的垂直平分線為 y－ y0 =－ (x－x0)，令y=0得， 點G的橫坐標xG = ky0+x0 = + = = －， ∵k≠0，∴k2>0，∴3+4k2>3，0<<，∴－<－<0， ∴xG= －(0，） ∴點G的橫坐標的取值范圍為(0，）. 2.解：∵，∴ 由得 ∴設橢圓的方程為（） 即（） 設是橢圓上任意一點，則 （） 若即，則當時， 由已知有，得； 若即，則當時， 由已知有，得（舍去）. 綜上所述，，. 所以，橢圓的方程為. 3.解：（I）由已知 ∴橢圓的方程為，雙曲線的方程. 又 ∴雙曲線的離心率 （Ⅱ）由（Ⅰ）A（－5，0），B（5，0） 設M得M為AP的中點 ∴P點坐標為 將M、p坐標代入c1、c2方程得 消去y0得 解之得 由此可得P（10， 當P為（10， 時 PB： 即 代入 MN⊥x軸 即 4.解：（1）由題意可知所以橢圓方程為 設，將其代入橢圓方程相減，將 代入 可化得 （2）若2|CA|=2，于是點 Q的軌跡是以點C，A為焦點，半焦距c=1，長半軸a=的橢圓，短半軸 點Q的軌跡E方程是：. （2）設Ｆ（x1，y1）H（x2，y2），則由， 消去y得 又點O到直線FH的距離d=1， 18.解：（1）以直線AB為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立直角坐標系，則A（－c，0），B（c，0） 依題意： ∴點P的軌跡為以A、B為焦點，實半軸為a，虛半軸為的雙曲線右支 ∴軌跡方程為：。 （2）法一：設M（，），N（，） 依題意知曲線E的方程為 ，l的方程為 設直線m的方程為 由方程組，消去y得 ① ∴ ∵直線與雙曲線右支交于不同的兩點 ∴及，從而 由①得 解得且 當x＝2時，直線m垂直于x軸，符合條件，∴ 又設M到l的距離為d，則 ∵ ∴ 設， 由于函數(shù)與均為區(qū)間的增函數(shù) ∴在單調遞減 ∴的最大值＝ 又∵ 而M的橫坐標，∴ 法二：為一條漸近線 ①m位于時，m在無窮遠，此時 ②m位于時，，d較大 由 點M ∴ 故 19.解：(1) 曲線表示以為圓心,以3為半徑的圓, 圓上兩點P、Q滿足關于直線對稱,則圓心在直線上,代入解得 (2)直線PQ與直線垂直,所以設PQ方程為 ,. 將直線與圓的方程聯(lián)立得 由解得. . 又以PQ為直徑的圓過O點 解得 故所求直線方程為 20.解：（1）∵，且， ∴動點到兩個定點的距離的和為4， ∴軌跡是以為焦點的橢圓，方程為 （2）設，直線的方程為，代入， 消去得 ， 由得 ， 且， ∴ 設點，由可得 ∵點在上， ∴ ∴， 又因為的任意性，∴， ∴，又， 得 ， 代入檢驗，滿足條件，故的值是。 21.解：(1) 不妨設. , F.(c,0) 設 k2= ∴k1k2=－1. 即PF⊥. （2）由題 . x2－bx－b2=0, ∴a=1, ∴雙曲線方程為 （3） y=－ M(－ ∴N（－）. 又N在雙曲線上。∴ ∴e= 22.解：（I）點A、B的坐標為A（-3，0），B（3，0），設點P、M、N的坐標依次為 　　 則有 　　　　　 　　 ② 4-①得 ，解得c=5 　　 故所求方程是 　　　 （II）由②得， 　　　 　　 所以，M、N的坐標為 　　 　　 所以MN的傾斜角是 23.解：（I）由已知，當時， 當時，，也滿足方程<1> ∴所求軌跡G方程為 （II）假設存在點，使為正△ 設直線方程：代入 得： ∴MN中點 在正△EMN中， 與矛盾 ∴不存在這樣的點使△MNE為正△ 24.解：（1）由題意： ，解得， 所求橢圓方程為 （2）解：設過P的直線方程為：， 設，， 則 ， ∵，∴，即， 化簡得：， ∴， 去分母展開得： 化簡得：，解得： 又∵Q在直線上， ∴，∴ 即， ∴Q恒在直線上。 25.解：（1）解：設 即點C的軌跡方程為x+y=1 26.解：（1）設，則、， 又，，即. （2）設直線的方程為：，、 假設存在點滿足題意，則， ，即，， ，又 ， 由于，則 對不同的值恒成立，即對不同的值恒成立， 則，即，故存在點符合題意. 27.解：（Ⅰ）以AB中點為原點O，AB所在直線為x軸，建立直角坐標系，如圖 則A（-1,0） B(1,0) D(-1,) 設橢圓F的方程為 得 得 所求橢圓F方程 （Ⅱ）解：若存在這樣的直線l，依題意，l不垂直x軸 設 l方程 代入 設、 有 得 又內部 故所求直線l方程 （Ⅱ）解法2：若存在這樣的直線l，設， 有 兩式相減得 有 得 即l斜率為 又，故所求直線l方程 28.解：（1）因為，所以H ，又因為AH⊥BC，所以設A，由　得 即　　　　　3分　　 所以|AB| = ，|AC | = 橢圓長軸2a = |AB| + |AC| = (+ 1)c，　　　　所以，．　 （2）設D (x1，y1)，因為D分有向線段的比為，所以，，　　 　設橢圓方程為= 1 (a > b > 0)，將A、D點坐標代入橢圓方程得 .① …………………………….. ② 由①得，代入②并整理得，　　　 因為 – 5≤≤，所以，又0 < e < 1，所以≤e≤． 29.解：（1）設 ， 點在線段的中垂線上 由已知；又∥， 又　 ，頂點的軌跡方程為 . (2)設直線方程為：，， 由 消去得： ① ， 而 由方程①知 ＞＜ ，＜＜， .