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對數(shù)函數(shù) 一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請把正確答案的代號填在題后的括號內(nèi). 1．對數(shù)式中，實數(shù)a的取值范圍是 （ ） A． B．(2,5) C． D． 2．如果lgx=lga+3lgb－5lgc，那么 （ ） A．x=a+3b－c B． C． D．x=a+b3－c3 3．設函數(shù)y=lg(x2－5x)的定義域為M，函數(shù)y=lg(x－5)+lgx的定義域為N，則 （ ） A．M∪N=R B．M=N C．MN D．MN 4．若函數(shù)log2(kx2+4kx+3)的定義域為R，則k的取值范圍是 （ ） A． B． C． D． 5．下列函數(shù)圖象正確的是 （ ） A B C D 6．已知函數(shù)，其中l(wèi)og2f(x)=2x，xR，則g(x) （ ） A．是奇函數(shù)又是減函數(shù) B．是偶函數(shù)又是增函數(shù) C．是奇函數(shù)又是增函數(shù) D．是偶函數(shù)又是減函數(shù) 8．如果y=log2a－1x在(0，+∞)內(nèi)是減函數(shù)，則a的取值范圍是 （ ） A．｜a｜＞1 B．｜a｜＜2 C．a(chǎn) D． 二、填空題：請把答案填在題中橫線上. 9．函數(shù)的定義域是 ，值域是 . 10．方程log2(2x+1)log2(2x+1+2)=2的解為 . 11．將函數(shù)的圖象向左平移一個單位，得到圖象C1，再將C1向上平移一個單位得到圖象C2，作出C2關于直線y=x對稱的圖象C3，則C3的解析式為 . 12．函數(shù)y= 的單調(diào)遞增區(qū)間是 . 三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 13．已知函數(shù). (1)求函數(shù)f (x)的定義域；(2)求函數(shù)f (x)的值域. 14．設函數(shù). (1)確定函數(shù)f (x)的定義域； (2)判斷函數(shù)f (x)的奇偶性； (3)證明函數(shù)f (x)在其定義域上是單調(diào)增函數(shù)； (4)求函數(shù)f(x)的反函數(shù). 15．現(xiàn)有某種細胞100個，其中有占總數(shù)的細胞每小時分裂一次，即由1個細胞分裂成2個細胞，按這種規(guī)律發(fā)展下去，經(jīng)過多少小時，細胞總數(shù)可以超過個？（參考數(shù)據(jù)：）. 16．如圖，A，B，C為函數(shù)的圖象 上的三點，它們的橫坐標分別是t, t+2, t+4(t1). (1)設ABC的面積為S 求S=f (t) ； (2)判斷函數(shù)S=f (t)的單調(diào)性； (3) 求S=f (t)的最大值. 17．已求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. 參考答案 一、DCCB BDBD 二、9． ， ； 10．0； 11．； 12． ； 三、 13． 解：(1)函數(shù)的定義域為(1，p). (2)當p＞3時，f (x)的值域為(－∞，2log2(p+1)－2)； 當1＜p3時，f (x)的值域為(－，1+log2(p+1)). 14．解： (1)由得x∈R，定義域為R. (2)是奇函數(shù). (3)設x1，x2∈R，且x1＜x2， 則. 令， 則. = = = ∵x1－x2＜0，，，， ∴t1－t2＜0，∴0＜t1＜t2，∴， ∴f (x1)－f (x2)＜lg1=0，即f (x1)＜f (x2)，∴ 函數(shù)f(x)在R上是單調(diào)增函數(shù). (4)反函數(shù)為(xR). 15．解：現(xiàn)有細胞100個，先考慮經(jīng)過1、2、3、4個小時后的細胞總數(shù)， 1小時后，細胞總數(shù)為； 2小時后，細胞總數(shù)為； 3小時后，細胞總數(shù)為； 4小時后，細胞總數(shù)為； 可見，細胞總數(shù)與時間（小時）之間的函數(shù)關系為： ， 由，得，兩邊取以10為底的對數(shù)，得， ∴， ∵， ∴. 16．解：（1）過A,B,C,分別作AA1,BB1,CC1垂直于x軸，垂足為A1,B1,C1， 則S=S梯形AA1B1B+S梯形BB1C1C－S梯形AA1C1C. （2）因為v=在上是增函數(shù),且v5, 上是減函數(shù)，且10得01時, 函數(shù)的值域為 當01時，函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù). 指數(shù)函數(shù) 2. 函數(shù)y=的圖象與直線y=x的位置關系是( ) 3.若函數(shù)y=ax+b-1(a>0且a≠1)的圖象經(jīng)過二、三、四象限，則一定有( ) A.00 B.a>1且b>0 C.01且b<0 4. 函數(shù)y=－ex的圖象 A.與y=ex的圖象關于y軸對稱 B.與y=ex的圖象關于坐標原點對稱 C.與y=e－x的圖象關于y軸對稱 D.與y=e－x的圖象關于坐標原點對稱 5. 若直線y=2a與函數(shù)y=|ax－1|（a＞0且a≠1）的圖象有兩個公共點，則a的取值范圍是__________. 6.函數(shù)的遞增區(qū)間是___________. 題型一：指數(shù)式的運算 1、已知，求的值； 題型二：指數(shù)方程及應用 3、解方程 ⑴ 4x+2x-2=0 ⑵ 4x+|1－2x|=11. 4.若函數(shù) 則不等式的解集為____________. 解：本題主要考查分段函數(shù)和簡單絕對值不等式的解法. 屬于基礎知識、基本運算的考查. （1）由. （2）由. ∴不等式的解集為，∴應填. 題型三：指數(shù)函數(shù)的圖像與應用 5、右圖是指數(shù)函數(shù)①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的圖象，則a、b、c、d與1的大小關系是( ) A.a0，a≠1)，滿足f(1)＝，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(　　) A．(－∞，2] B．[2，＋∞) C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2] 由f(1)＝得a2＝， ∴a＝(a＝－舍去)，即f(x)＝|2x－4|. 由于y＝|2x－4|在(－∞，2)上遞減，在(2，＋∞)上遞增，所以f(x)在(－∞，2)上遞增，在(2，＋∞)上遞減．故選B. 8、方程2x=2－x的解的個數(shù)為______________. 題型四：指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的運用 9、⑴ 函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是 .⑵ 函數(shù)y=2的遞增區(qū)間是 . 10、已知 ≤， 求函數(shù)y=的值域。 11、設函數(shù)時x的取值范圍。 12、要使函數(shù)y=1+2x+4xa在x∈(－∞,1]上y＞0恒成立，求a的取值范圍. 13、已知f（x）=（a＞0且a≠1） ①求f（x）的定義域、值域；②討論f（x）的奇偶性；③討論f（x）的單調(diào)性。 14、定義在R上的奇函數(shù)f(x)有最小正周期2，x∈(0,1)時， ⑴求f(x)在 上的解析式；⑵討論f(x)在（0,1）上的單調(diào)性。 15．已知函數(shù). (1)若a＝－1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)若f(x)有最大值3，求a的值． (3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的取值范圍． 解：(1)當a＝－1時，，令g(x)＝－x2－4x＋3， 由于g(x)在(－∞，－2)上單調(diào)遞增，在(－2，＋∞)上單調(diào)遞減，而y＝t在R上單調(diào)遞減， 所以f(x)在(－∞，－2)上單調(diào)遞減，在(－2，＋∞)上單調(diào)遞增， 即函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間是(－2，＋∞)，遞減區(qū)間是(－∞，－2)． (2)令h(x)＝ax2－4x＋3，y＝h(x)，由于f(x)有最大值3，所以h(x)應有最小值－1，因此必有 ，解得a＝1.即當f(x)有最大值3時，a的值等于1. (3)由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，要使y＝h(x)的值域為(0，＋∞)．應使h(x)＝ax2－4x＋3的值域為R，因此只能有a＝0.因為若a≠0，則h(x)為二次函數(shù)，其值域不可能為R.故a的取值范圍是a＝0. 評析：求解與指數(shù)函數(shù)有關的復合函數(shù)問題，首先要熟知指數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等相關性質(zhì)，其次要明確復合函數(shù)的構成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問題時，都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷，最終將問題歸納為內(nèi)層函數(shù)相關的問題加以解決． 16．已知函數(shù)f(x)＝2x－. (1)若f(x)＝2，求x的值；(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0對于t∈[1,2]恒成立，求實數(shù)m的取值范圍． 解：(1)當x<0時，f(x)＝0； 當x≥0時，f(x)＝2x－. 由條件可知2x－＝2，即22x－2·2x－1＝0， 解得2x＝1±. ∵2x>0，∴x＝log2(1＋)． (2)當t∈[1,2]時，2t＋m≥0， 即m(22t－1)≥－(24t－1)． ∵22t－1>0，∴m≥－(22t＋1)． ∵t∈[1,2]， ∴－(1＋22t)∈[－17，－5]， 故m的取值范圍是[－5，＋∞)． 五、作業(yè) 1、若 a＞1，－ 1＜b＜０，則函數(shù)y=+b的圖象一定不過 （ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2、函數(shù)在上的最大值與最小值的和為3，則a等于 （ ） A． B．2 C．4 D． 3、下列函數(shù)中值域為正實數(shù)的是 （ ） A. y=－5x B.y=()1-x C.y= D.y= 4、（07山東）已知集合，則 (A) (B) (C) (D) 5、函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間是 ；單調(diào)減區(qū)間是 ；值域是 ； 6、設則= ； 7、下列各式：⑴； ⑵；⑶ ；⑷。 其中正確的是______________ 8、（06上海）若曲線與直線沒有公共點，則的取值范圍是 9、（07重慶）若函數(shù)的定義域為R，則的取值范圍是 10、（08湖北）方程的實數(shù)解的個數(shù)為 . 11、函數(shù)的最小值為 ； 12、計算：⑴ ； ⑵ 。 13．已知函數(shù)f(x)＝b·ax(其中a，b為常量且a>0，a≠1)的圖象經(jīng)過點A(1,6)，B(3,24)． (1)試確定f(x)； (2)若不等式x＋x－m≥0在x∈(－∞，1]時恒成立，求實數(shù)m的取值范圍． 解：(1)∵f(x)＝b·ax的圖象過點A(1,6)，B(3,24) ∴ ②÷①得a2＝4， 又a>0，且a≠1，∴a＝2，b＝3， ∴f(x)＝3·2x. (2)x＋x－m≥0在(－∞，1]上恒成立化為m≤x＋x在(－∞，1]上恒成立． 令g(x)＝x＋x，g(x)在(－∞，1]上單調(diào)遞減， ∴m≤g(x)min＝g(1)＝＋＝，故所求實數(shù)m的取值范圍是.