高中數(shù)學(xué)圓錐曲線重要結(jié)論.doc
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圓錐曲線重要結(jié)論 橢 圓 1. 點(diǎn)P處的切線PT平分△PF1F2在點(diǎn)P處的外角. 2. PT平分△PF1F2在點(diǎn)P處的外角，則焦點(diǎn)在直線PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑的圓，除去長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn). 3. 以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相離. 4. 以焦點(diǎn)半徑PF1為直徑的圓必與以長(zhǎng)軸為直徑的圓內(nèi)切. 5. 若在橢圓上，則過(guò)的橢圓的切線方程是. 6. 若在橢圓外 ，則過(guò)Po作橢圓的兩條切線切點(diǎn)為P1、P2，則切點(diǎn)弦P1P2的直線方程是. 7. 橢圓 (a＞b＞0)的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn) 2，點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，則橢圓的焦點(diǎn)角形的面積為. 8. 橢圓（a＞b＞0）的焦半徑公式： ,( , ). 9. 設(shè)過(guò)橢圓焦點(diǎn)F作直線與橢圓相交 P、Q兩點(diǎn)，A為橢圓長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié)AP 和AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn)F的橢圓準(zhǔn)線于M、N兩點(diǎn)，則MF⊥NF. 10. 過(guò)橢圓一個(gè)焦點(diǎn)F的直線與橢圓交于兩點(diǎn)P、Q, A1、A2為橢圓長(zhǎng)軸上的頂點(diǎn)，A1P和A2Q交于點(diǎn)M，A2P和A1Q交于點(diǎn)N，則MF⊥NF. 11. AB是橢圓的不平行于對(duì)稱軸的弦，M為AB的中點(diǎn)，則， 即。 雙曲線 1. 點(diǎn)P處的切線PT平分△PF1F2在點(diǎn)P處的內(nèi)角. 2. PT平分△PF1F2在點(diǎn)P處的內(nèi)角，則焦點(diǎn)在直線PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑的圓，除去長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn). 3. 以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相交. 4. 以焦點(diǎn)半徑PF1為直徑的圓必與以實(shí)軸為直徑的圓相切.（內(nèi)切：P在右支；外切：P在左支） 5. 若在雙曲線（a＞0,b＞0）上，則過(guò)的雙曲線的切線方程是. 6. 若在雙曲線（a＞0,b＞0）外 ，則過(guò)Po作雙曲線的兩條切線切點(diǎn)為P1、P2，則切點(diǎn)弦P1P2的直線方程是. 7. 雙曲線（a＞0,b＞o）的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn) 2，點(diǎn)P為雙曲線上任意一點(diǎn)，則雙曲線的焦點(diǎn)角形的面積為. 8. 雙曲線（a＞0,b＞o）的焦半徑公式：( , 當(dāng)在右支上時(shí)，,. 當(dāng)在左支上時(shí)，, 9. 設(shè)過(guò)雙曲線焦點(diǎn)F作直線與雙曲線相交 P、Q兩點(diǎn)，A為雙曲線長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié)AP 和AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn)F的雙曲線準(zhǔn)線于M、N兩點(diǎn)，則MF⊥NF. 10. 過(guò)雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)F的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)P、Q, A1、A2為雙曲線實(shí)軸上的頂點(diǎn)，A1P和A2Q交于點(diǎn)M，A2P和A1Q交于點(diǎn)N，則MF⊥NF. 11. AB是雙曲線（a＞0,b＞0）的不平行于對(duì)稱軸的弦，M為AB的中點(diǎn)，則，即。 12. 若在雙曲線（a＞0,b＞0）內(nèi)，則被Po所平分的中點(diǎn)弦的方程是. 13. 若在雙曲線（a＞0,b＞0）內(nèi)，則過(guò)Po的弦中點(diǎn)的軌跡方程是. 橢圓與雙曲線的對(duì)偶性質(zhì)-- 橢 圓 1. 橢圓（a＞b＞o）的兩個(gè)頂點(diǎn)為,，與y軸平行的直線交橢圓于P1、P2時(shí)A1P1與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程是. 2. 過(guò)橢圓 (a＞0, b＞0)上任一點(diǎn)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交橢圓于B,C兩點(diǎn)，則直線BC有定向且（常數(shù)）. 3. 若P為橢圓（a＞b＞0）上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1, F 2是焦點(diǎn), , ，則. 4. 設(shè)橢圓（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,P（異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)）為橢圓上任意一點(diǎn)，在△PF1F2中，記, ,，則有. 5. 若橢圓（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，左準(zhǔn)線為L(zhǎng)，則當(dāng)0＜e≤時(shí)，可在橢圓上求一點(diǎn)P，使得PF1是P到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線距離d與PF2的比例中項(xiàng). 6. P為橢圓（a＞b＞0）上任一點(diǎn),F1,F2為二焦點(diǎn)，A為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，則,當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立. 7. 橢圓與直線有公共點(diǎn)的充要條件是. 8. 已知橢圓（a＞b＞0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值為;（3）的最小值是. 9. 過(guò)橢圓（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)F作直線交該橢圓右支于M,N兩點(diǎn)，弦MN的垂直平分線交x軸于P，則. 10. 已知橢圓（ a＞b＞0） ,A、B、是橢圓上的兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn), 則. 11. 設(shè)P點(diǎn)是橢圓（ a＞b＞0）上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1、F2為其焦點(diǎn)記，則(1).(2) . 12. 設(shè)A、B是橢圓（ a＞b＞0）的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)，P是橢圓上的一點(diǎn)，, ,，c、e分別是橢圓的半焦距離心率，則有(1).(2) .(3) . 13. 已知橢圓（ a＞b＞0）的右準(zhǔn)線與x軸相交于點(diǎn)，過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)在右準(zhǔn)線上，且軸，則直線AC經(jīng)過(guò)線段EF 的中點(diǎn). 14. 過(guò)橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線，與以長(zhǎng)軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直. 15. 過(guò)橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直. 16. 橢圓焦三角形中,內(nèi)點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率). （注:在橢圓焦三角形中,非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長(zhǎng)軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn).） 17. 橢圓焦三角形中,內(nèi)心將內(nèi)點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比e. 18. 橢圓焦三角形中,半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到橢圓中心的比例中項(xiàng). 橢圓與雙曲線的對(duì)偶性質(zhì)-- 雙曲線 1. 雙曲線（a＞0,b＞0）的兩個(gè)頂點(diǎn)為,，與y軸平行的直線交雙曲線于P1、P2時(shí)A1P1與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程是. 2. 過(guò)雙曲線（a＞0,b＞o）上任一點(diǎn)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交雙曲線于B,C兩點(diǎn)，則直線BC有定向且（常數(shù)）. 3. 若P為雙曲線（a＞0,b＞0）右（或左）支上除頂點(diǎn)外的任一點(diǎn),F1, F 2是焦點(diǎn), , ，則（或）. 4. 設(shè)雙曲線（a＞0,b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,P（異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)）為雙曲線上任意一點(diǎn)，在△PF1F2中，記, ,，則有. 5. 若雙曲線（a＞0,b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，左準(zhǔn)線為L(zhǎng)，則當(dāng)1＜e≤時(shí)，可在雙曲線上求一點(diǎn)P，使得PF1是P到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線距離d與PF2的比例中項(xiàng). 6. P為雙曲線（a＞0,b＞0）上任一點(diǎn),F1,F2為二焦點(diǎn)，A為雙曲線內(nèi)一定點(diǎn)，則,當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線且和在y軸同側(cè)時(shí)，等號(hào)成立. 7. 雙曲線（a＞0,b＞0）與直線有公共點(diǎn)的充要條件是. 8. 已知雙曲線（b＞a ＞0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為雙曲線上兩動(dòng)點(diǎn)，且. （1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值為;（3）的最小值是. 9. 過(guò)雙曲線（a＞0,b＞0）的右焦點(diǎn)F作直線交該雙曲線的右支于M,N兩點(diǎn)，弦MN的垂直平分線交x軸于P，則. 10. 已知雙曲線（a＞0,b＞0）,A、B是雙曲線上的兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn), 則或. 11. 設(shè)P點(diǎn)是雙曲線（a＞0,b＞0）上異于實(shí)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1、F2為其焦點(diǎn)記，則(1).(2) . 12. 設(shè)A、B是雙曲線（a＞0,b＞0）的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)，P是雙曲線上的一點(diǎn)，, ,，c、e分別是雙曲線的半焦距離心率，則有(1). (2) .(3) . 13. 已知雙曲線（a＞0,b＞0）的右準(zhǔn)線與x軸相交于點(diǎn)，過(guò)雙曲線右焦點(diǎn)的直線與雙曲線相交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)在右準(zhǔn)線上，且軸，則直線AC經(jīng)過(guò)線段EF 的中點(diǎn). 14. 過(guò)雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線，與以長(zhǎng)軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直. 15. 過(guò)雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直. 16. 雙曲線焦三角形中,外點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率). (注:在雙曲線焦三角形中,非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長(zhǎng)軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn)). 17. 雙曲線焦三角形中,其焦點(diǎn)所對(duì)的旁心將外點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比e. 18. 雙曲線焦三角形中,半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到雙曲線中心的比例中項(xiàng). 圓錐曲線問(wèn)題解題方法 圓錐曲線中的知識(shí)綜合性較強(qiáng)，因而解題時(shí)就需要運(yùn)用多種基礎(chǔ)知識(shí)、采用多種數(shù)學(xué)手段來(lái)處理問(wèn)題。熟記各種定義、基本公式、法則固然重要，但要做到迅速、準(zhǔn)確解題，還須掌握一些方法和技巧。 一. 緊扣定義，靈活解題 靈活運(yùn)用定義，方法往往直接又明了。 例1. 已知點(diǎn)A（3，2），F(xiàn)（2，0），雙曲線，P為雙曲線上一點(diǎn)。 求的最小值。 解析：如圖所示， 雙曲線離心率為2，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，由第二定律知即點(diǎn)P到準(zhǔn)線距離。 二. 引入?yún)?shù)，簡(jiǎn)捷明快 參數(shù)的引入，尤如化學(xué)中的催化劑，能簡(jiǎn)化和加快問(wèn)題的解決。 例2. 求共焦點(diǎn)F、共準(zhǔn)線的橢圓短軸端點(diǎn)的軌跡方程。 解：取如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為p（定值），橢圓中心坐標(biāo)為M（t，0）（t為參數(shù)） ，而 再設(shè)橢圓短軸端點(diǎn)坐標(biāo)為P（x，y），則 消去t，得軌跡方程 三. 數(shù)形結(jié)合，直觀顯示 將“數(shù)”與“形”兩者結(jié)合起來(lái)，充分發(fā)揮“數(shù)”的嚴(yán)密性和“形”的直觀性，以數(shù)促形，用形助數(shù)，結(jié)合使用，能使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題形象化。熟練的使用它，常能巧妙地解決許多貌似困難和麻煩的問(wèn)題。 例3. 已知，且滿足方程，又，求m范圍。 解析：的幾何意義為，曲線上的點(diǎn)與點(diǎn)（－3，－3）連線的斜率，如圖所示 四. 應(yīng)用平幾，一目了然 用代數(shù)研究幾何問(wèn)題是解析幾何的本質(zhì)特征，因此，很多“解幾”題中的一些圖形性質(zhì)就和“平幾”知識(shí)相關(guān)聯(lián)，要抓住關(guān)鍵，適時(shí)引用，問(wèn)題就會(huì)迎刃而解。 例4. 已知圓和直線的交點(diǎn)為P、Q，則的值為________。 解： 五. 應(yīng)用平面向量，簡(jiǎn)化解題 向量的坐標(biāo)形式與解析幾何有機(jī)融為一體，因此，平面向量成為解決解析幾何知識(shí)的有力工具。 例5. 已知橢圓：，直線：，P是上一點(diǎn)，射線OP交橢圓于一點(diǎn)R，點(diǎn)Q在OP上且滿足，當(dāng)點(diǎn)P在上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)Q的軌跡方程。 分析：考生見到此題基本上用的都是解析幾何法，給解題帶來(lái)了很大的難度，而如果用向量共線的條件便可簡(jiǎn)便地解出。 解：如圖，共線，設(shè)，，，則， 點(diǎn)R在橢圓上，P點(diǎn)在直線上 ， 即 化簡(jiǎn)整理得點(diǎn)Q的軌跡方程為： （直線上方部分） 六. 應(yīng)用曲線系，事半功倍 利用曲線系解題，往往簡(jiǎn)捷明快，收到事半功倍之效。所以靈活運(yùn)用曲線系是解析幾何中重要的解題方法和技巧之一。 例6. 求經(jīng)過(guò)兩圓和的交點(diǎn)，且圓心在直線上的圓的方程。 解：設(shè)所求圓的方程為： 則圓心為，在直線上 解得 故所求的方程為 七. 巧用點(diǎn)差，簡(jiǎn)捷易行 在圓錐曲線中求線段中點(diǎn)軌跡方程，往往采用點(diǎn)差法，此法比其它方法更簡(jiǎn)捷一些。 例7. 過(guò)點(diǎn)A（2，1）的直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)P1、P2，求線段P1P2中點(diǎn)的軌跡方程。 解：設(shè)，，則 <2>－<1>得 即 設(shè)P1P2的中點(diǎn)為，則 又，而P1、A、M、P2共線 ，即 中點(diǎn)M的軌跡方程是 解析幾何題怎么解 高考解析幾何試題一般共有4題(2個(gè)選擇題, 1個(gè)填空題, 1個(gè)解答題), 共計(jì)30分左右, 考查的知識(shí)點(diǎn)約為20個(gè)左右. 其命題一般緊扣課本, 突出重點(diǎn), 全面考查. 選擇題和填空題考查直線, 圓, 圓錐曲線, 參數(shù)方程和極坐標(biāo)系中的基礎(chǔ)知識(shí). 解答題重點(diǎn)考查圓錐曲線中的重要知識(shí)點(diǎn), 通過(guò)知識(shí)的重組與鏈接, 使知識(shí)形成網(wǎng)絡(luò), 著重考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系, 求解有時(shí)還要用到平幾的基本知識(shí),這點(diǎn)值得考生在復(fù)課時(shí)強(qiáng)化. 例1 已知點(diǎn)T是半圓O的直徑AB上一點(diǎn)，AB=2、OT=t (0下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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