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圓錐曲線的七種?？碱}型 題型一：定義的應(yīng)用 1、 圓錐曲線的定義： （1）橢圓 （2）雙曲線 （3）拋物線 2、定義的應(yīng)用 （1）尋找符合條件的等量關(guān)系 （2）等價(jià)轉(zhuǎn)換，數(shù)形結(jié)合 3、定義的適用條件： 典型例題 例1、動(dòng)圓M與圓C1：內(nèi)切,與圓C2：外切,求圓心M的軌跡方程。 例2、方程表示的曲線是 題型二：圓錐曲線焦點(diǎn)位置的判斷（首先化成標(biāo)準(zhǔn)方程，然后再判斷）： 1、 橢圓：由分母的大小決定，焦點(diǎn)在分母大的坐標(biāo)軸上。 2、 雙曲線：由系數(shù)的正負(fù)決定，焦點(diǎn)在系數(shù)為正的坐標(biāo)軸上； 3、 拋物線：焦點(diǎn)在一次項(xiàng)的坐標(biāo)軸上，一次項(xiàng)的符號(hào)決定開口方向。 典型例題 例1、已知方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則m的取值范圍是 例2、當(dāng)k為何值時(shí),方程表示的曲線： (1)是橢圓；(2)是雙曲線. 題型三：圓錐曲線焦點(diǎn)三角形（橢圓或雙曲線上的一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形）問題 1、 常利用定義和正弦、余弦定理求解 2、 ，四者的關(guān)系在圓錐曲線中的應(yīng)用 典型例題 例1、橢圓上一點(diǎn)P與兩個(gè)焦點(diǎn)的張角， 求的面積。 例2、已知雙曲線的離心率為2，F(xiàn)1、F2是左右焦點(diǎn)，P為雙曲線上一點(diǎn)，且，．求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 題型四：圓錐曲線中離心率，漸近線的求法 1、a,b,c三者知道任意兩個(gè)或三個(gè)的相等關(guān)系式，可求離心率，漸進(jìn)線的值； 2、a,b,c三者知道任意兩個(gè)或三個(gè)的不等關(guān)系式，可求離心率，漸進(jìn)線的最值或范圍； 3、注重?cái)?shù)形結(jié)合思想不等式解法 典型例題 例1、已知、是雙曲線（）的兩焦點(diǎn)，以線段為邊作正三角形，若邊的中點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲線的離心率是（ ） A. 　　B. 　　C. 　　D. 例2、雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,若P為其上一點(diǎn)，且|PF1|=2|PF2|,則雙曲線離心率的取值范圍為 A. (1，3) B. C.(3,+) D. 例3、橢圓：的兩焦點(diǎn)為，橢圓上存在 點(diǎn)使. 求橢圓離心率的取值范圍； 例4、已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，若過點(diǎn)F且傾斜角為的直線 與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是 （A）　　　?。˙）　　　?。–）　　　?。―） 題型五：點(diǎn)、直線與圓錐的位置關(guān)系判斷 1、 點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系 點(diǎn)在橢圓內(nèi) 點(diǎn)在橢圓上 點(diǎn)在橢圓外 2、直線與圓錐曲線有無公共點(diǎn)或有幾個(gè)公共點(diǎn)的問題： >0相交 =0相切 （需要注意二次項(xiàng)系數(shù)為0的情況） <0相離 3、弦長公式： 4、圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題： 1、 韋達(dá)定理： 2、 點(diǎn)差法： （1） 帶點(diǎn)進(jìn)圓錐曲線方程，做差化簡 （2） 得到中點(diǎn)坐標(biāo)比值與直線斜率的等式關(guān)系 典型例題 例1、雙曲線x2－4y2=4的弦AB－被點(diǎn)M(3,-1)平分,求直線AB的方程. 例2、已知中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸在坐標(biāo)軸上的橢圓與直線l:x+y=1交于A,B兩點(diǎn)，C是AB的中點(diǎn)，若|AB|=2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC的斜率為，求橢圓的方程。 題型六：動(dòng)點(diǎn)軌跡方程： 1、求軌跡方程的步驟：建系、設(shè)點(diǎn)、列式、化簡、確定點(diǎn)的范圍；? 2、求軌跡方程的常用方法： （1）直接法：直接利用條件建立之間的關(guān)系； 例1、如已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到定點(diǎn)F(1,0)和直線的距離之和等于4，求P的軌跡方程． （2） 待定系數(shù)法：已知所求曲線的類型，求曲線方程――先根據(jù)條件設(shè)出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數(shù)。 例2、如線段AB過x軸正半軸上一點(diǎn)M（m，0），端點(diǎn)A、B到x軸距離之積為2m，以x軸為對(duì)稱軸，過A、O、B三點(diǎn)作拋物線，則此拋物線方程為????????????????? 　 (3) 定義法：先根據(jù)條件得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程； 例3、由動(dòng)點(diǎn)P向圓作兩條切線PA、PB，切點(diǎn)分別為A、B，∠APB=600，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為??????? ??????????? 例4、點(diǎn)M與點(diǎn)F(4,0)的距離比它到直線的距離小于1，則點(diǎn)M的軌跡方程是_______ 例5、一動(dòng)圓與兩圓⊙M：和⊙N：都外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡為????? ?? ? (4) 代入轉(zhuǎn)移法：動(dòng)點(diǎn)依賴于另一動(dòng)點(diǎn)的變化而變化，并且又在某已知曲線上，則可先用的代數(shù)式表示，再將代入已知曲線得要求的軌跡方程: 例6、如動(dòng)點(diǎn)P是拋物線上任一點(diǎn)，定點(diǎn)為,點(diǎn)M分所成的比為2，則M的軌跡方程為__________ ? (5)參數(shù)法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系不易直接找到，也沒有相關(guān)動(dòng)點(diǎn)可用時(shí)，可考慮將均用一中間變量（參數(shù)）表示，得參數(shù)方程，再消去參數(shù)得普通方程）。 例7、過拋物線的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，則弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程是 題型七：（直線與圓錐曲線常規(guī)解題方法） 一、設(shè)直線與方程；（提醒：①設(shè)直線時(shí)分斜率存在與不存在；②設(shè)為y=kx+b與x=my+n的區(qū)別） 二、設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)；（提醒:之所以要設(shè)是因?yàn)椴蝗デ蟪鏊?即“設(shè)而不求”） 三、聯(lián)立方程組； 四、消元韋達(dá)定理；（提醒：拋物線時(shí)經(jīng)常是把拋物線方程代入直線方程反而簡單） 五、根據(jù)條件重轉(zhuǎn)化；常有以下類型： ①“以弦AB為直徑的圓過點(diǎn)0”（提醒：需討論K是否存在） ②“點(diǎn)在圓內(nèi)、圓上、圓外問題” “直角、銳角、鈍角問題” “向量的數(shù)量積大于、等于、小于0問題” >0； ③“等角、角平分、角互補(bǔ)問題” 斜率關(guān)系（或）； ④“共線問題” （如： 數(shù)的角度：坐標(biāo)表示法；形的角度：距離轉(zhuǎn)化法）； （如：A、O、B三點(diǎn)共線直線OA與OB斜率相等）； ⑤“點(diǎn)、線對(duì)稱問題” 坐標(biāo)與斜率關(guān)系； ⑥“弦長、面積問題” 轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)與弦長公式問題（提醒：注意兩個(gè)面積公式的合理選擇）； 六、化簡與計(jì)算； 七、細(xì)節(jié)問題不忽略； ①判別式是否已經(jīng)考慮；②拋物線問題中二次項(xiàng)系數(shù)是否會(huì)出現(xiàn)0. 基本解題思想： 1、“常規(guī)求值”問題：需要找等式，“求范圍”問題需要找不等式； 2、“是否存在”問題：當(dāng)作存在去求，若不存在則計(jì)算時(shí)自然會(huì)無解； 3、證明定值問題的方法：⑴常把變動(dòng)的元素用參數(shù)表示出來，然后證明計(jì)算結(jié)果與參數(shù)無關(guān)；⑵也可先在特殊條件下求出定值，再給出一般的證明。 4、處理定點(diǎn)問題的方法：⑴常把方程中參數(shù)的同次項(xiàng)集在一起，并令各項(xiàng)的系數(shù)為零，求出定點(diǎn)；⑵也可先取參數(shù)的特殊值探求定點(diǎn)，然后給出證明 5、求最值問題時(shí)：將對(duì)象表示為變量的函數(shù)，幾何法、配方法（轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值）、三角代換法（轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值）、利用切線的方法、利用均值不等式的方法等再解決； 6、轉(zhuǎn)化思想：有些題思路易成，但難以實(shí)施。這就要優(yōu)化方法，才能使計(jì)算具有可行性，關(guān)鍵是積累“轉(zhuǎn)化”的經(jīng)驗(yàn)； 7、思路問題：大多數(shù)問題只要忠實(shí)、準(zhǔn)確地將題目每個(gè)條件和要求表達(dá)出來，即可自然而然產(chǎn)生思路。 典型例題： 例1、已知點(diǎn)，直線：，為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，且． （1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程； （2）已知圓過定點(diǎn)，圓心在軌跡上運(yùn)動(dòng)，且圓與軸交于、兩點(diǎn)，設(shè)，，求的最大值． 例2、如圖半圓，AB為半圓直徑，O為半圓圓心，且OD⊥AB，Q為線段OD的中點(diǎn)，已知|AB|=4，曲線C過Q點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在曲線C上運(yùn)動(dòng)且保持|PA|+|PB|的值不變. (1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求曲線C的方程； (2)過D點(diǎn)的直線l與曲線C相交于不同的兩點(diǎn)M、N，且M在D、N之間，設(shè)=λ，求λ的取值范圍. 例3、設(shè)、分別是橢圓：的左右焦點(diǎn)。 （1）設(shè)橢圓上點(diǎn)到兩點(diǎn)、距離和等于，寫出橢圓的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)； （2）設(shè)是（1）中所得橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程； （3）設(shè)點(diǎn)是橢圓上的任意一點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，當(dāng)直線 ， 的斜率都存在，并記為，?，試探究的值是否與點(diǎn)及直線有關(guān)，并證明你的結(jié)論。 例4、已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為，最小值為． （Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （Ⅱ）若直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)（不是左右頂點(diǎn)），且以為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)，求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)． 例5、已知橢圓兩焦點(diǎn)、在軸上，短軸長為，離心率為，是橢圓在第一 象限弧上一點(diǎn)，且，過P作關(guān)于直線F1P對(duì)稱的兩條直線PA、PB分別交橢圓 于A、B兩點(diǎn)。 （1）求P點(diǎn)坐標(biāo)； （2）求證直線AB的斜率為定值； 典型例題： 例1、 由①、②解得，． 不妨設(shè)，， ∴，． ∴ ， ③ 當(dāng)時(shí)，由③得，． 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立． 當(dāng)時(shí)，由③得，． 故當(dāng)時(shí)，的最大值為． 例2、解：(1)以AB、OD所在直線分別為x軸、y軸，O為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系， ∵|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2＞|AB|=4. ∴曲線C為以原點(diǎn)為中心，A、B為焦點(diǎn)的橢圓. 設(shè)其長半軸為a,短半軸為b,半焦距為c,則2a=2,∴a=,c=2,b=1. ∴曲線C的方程為+y2=1. (2)設(shè)直線l的方程為y=kx+2, 代入+y2=1,得(1+5k2)x2+20kx+15=0. Δ=(20k)2－4×15(1+5k2)＞0,得k2＞.由圖可知=λ 由韋達(dá)定理得 將x1=λx2代入得 兩式相除得 ① M在D、N中間，∴λ＜1 ② 又∵當(dāng)k不存在時(shí)，顯然λ= (此時(shí)直線l與y軸重合) 綜合得：1/3 ≤λ＜1. 例3、解：（1）由于點(diǎn)在橢圓上，得2=4, …2分 橢圓C的方程為 ，焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為 ……4分 （2）設(shè)的中點(diǎn)為B（x, y）則點(diǎn) ………………………5分 把K的坐標(biāo)代入橢圓中得……………7分 線段的中點(diǎn)B的軌跡方程為 ………………………8分 （3）過原點(diǎn)的直線L與橢圓相交的兩點(diǎn)M，N關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱 設(shè), 在橢圓上，應(yīng)滿足橢圓方程，得 ……10分 == ……………………………13分 故：的值與點(diǎn)P的位置無關(guān)，同時(shí)與直線L無關(guān)， ………………14分 例4、解：（Ⅰ）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為． …………（5分） （Ⅱ）設(shè)，， 聯(lián)立得， 又， 因?yàn)橐詾橹睆降膱A過橢圓的右焦點(diǎn)， ，即， ，， ． 解得：，，且均滿足， 1、當(dāng)時(shí)，的方程為，直線過定點(diǎn)，與已知矛盾； 2、當(dāng)時(shí)，的方程為，直線過定點(diǎn)． 所以，直線過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為． …………（14分） 例5、解（1）。 ，設(shè) 則 點(diǎn)在曲線上，則 從而，得，則點(diǎn)的坐標(biāo)為 （2）由（1）知軸，直線PA、PB斜率互為相反數(shù)，設(shè)PB斜率為， 則PB的直線方程為： 由得 設(shè)則 同理可得，則 所以：AB的斜率為定值 例6、 解：（1）由， 得……………………3分 ∴夾角的取值范圍是（）……6分 （2） ………8分 ………………10分 ∴當(dāng)且僅當(dāng) 或 …………12分 橢圓長軸 或 故所求橢圓方程為.或 …………14分