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2017屆高三第一輪復(fù)習(xí)專題訓(xùn)練之 圓錐曲線中的定點定值問題的四種模型 定點問題是常見的出題形式，化解這類問題的關(guān)鍵就是引進(jìn)變的參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量。直線過定點問題通法，是設(shè)出直線方程，通過韋達(dá)定理和已知條件找出k和m的一次函數(shù)關(guān)系式，代入直線方程即可。技巧在于：設(shè)哪一條直線？如何轉(zhuǎn)化題目條件？圓錐曲線是一種很有趣的載體，自身存在很多性質(zhì)，這些性質(zhì)往往成為出題老師的參考。如果大家能夠熟識這些常見的結(jié)論，那么解題必然會事半功倍。下面總結(jié)圓錐曲線中幾種常見的幾種定點模型： 模型一：“手電筒”模型 例題、（07山東）已知橢圓C：若直線與橢圓C相交于A，B兩點（A，B不是左右頂點），且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點。求證：直線過定點，并求出該定點的坐標(biāo)。 解：設(shè)，由得， ， 以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點且， ，， ， 整理得：，解得：，且滿足 當(dāng)時，，直線過定點與已知矛盾； 當(dāng)時，，直線過定點 綜上可知，直線過定點，定點坐標(biāo)為 ◆方法總結(jié)：本題為“弦對定點張直角”的一個例子：圓錐曲線如橢圓上任意一點P做相互垂直的直線交圓錐曲線于AB，則AB必過定點。（參考百度文庫文章：“圓錐曲線的弦對定點張直角的一組性質(zhì)”） ◆模型拓展：本題還可以拓展為“手電筒”模型：只要任意一個限定AP與BP條件（如定值，定值），直線AB依然會過定點（因為三條直線形似手電筒，固名曰手電筒模型）。（參考優(yōu)酷視頻資料尼爾森數(shù)學(xué)第一季第13節(jié)） 此模型解題步驟： Step1：設(shè)AB直線，聯(lián)立曲線方程得根與系數(shù)關(guān)系，求出參數(shù)范圍； Step2：由AP與BP關(guān)系（如），得一次函數(shù)； Step3：將代入，得。 ◆遷移訓(xùn)練 練習(xí)1：過拋物線M:上一點P（1,2）作傾斜角互補(bǔ)的直線PA與PB，交M于A、B兩點，求證：直線AB過定點。（注：本題結(jié)論也適用于拋物線與雙曲線） 練習(xí)2：過拋物線M:的頂點任意作兩條互相垂直的弦OA、OB，求證：直線AB過定點。（經(jīng)典例題，多種解法） 練習(xí)3：過上的點作動弦AB、AC且，證明BC恒過定點。（本題參考答案：） 練習(xí):4：設(shè)A、B是軌跡：上異于原點的兩個不同點，直線和的傾斜角分別為和，當(dāng)變化且時，證明直線恒過定點，并求出該定點的坐標(biāo)。（參考答案） 【答案】設(shè)，由題意得，又直線OA,OB的傾斜角滿足，故，所以直線的斜率存在，否則，OA,OB直線的傾斜角之和為從而設(shè)AB方程為，顯然， 將與聯(lián)立消去，得 由韋達(dá)定理知① 由，得1＝== 將①式代入上式整理化簡可得：，所以， 此時，直線的方程可表示為即 所以直線恒過定點. 練習(xí)5：（2013年高考陜西卷（理））已知動圓過定點A(4,0), 且在y軸上截得的弦MN的長為8. (Ⅰ)求動圓圓心的軌跡C的方程; (Ⅱ)已知點B(-1,0), 設(shè)不垂直于x軸的直線與軌跡C交于不同的兩點P, Q, 若x軸是的角平分線, 證明直線過定點. 【答案】解:(Ⅰ) A(4,0),設(shè)圓心C (Ⅱ) 點B(-1,0), . 直線PQ方程為: 所以,直線PQ過定點(1,0) 練習(xí)6：已知點是平面上一動點，且滿足 （1）求點的軌跡對應(yīng)的方程； （2）已知點在曲線上，過點作曲線的兩條弦和，且，判斷：直線是否過定點？試證明你的結(jié)論. 【解】（1）設(shè) （5分） ） 第22題 練習(xí)7：已知點A（－1，0），B（1，－1）和拋物線.，O為坐標(biāo)原點，過點A的動直線l交拋物線C于M、P，直線MB交拋物線C于另一點Q，如圖. （I）證明: 為定值; （II）若△POM的面積為，求向量與的夾角； （Ⅲ）證明直線PQ恒過一個定點. 解：（I）設(shè)點、M、A三點共線， (II)設(shè)∠POM=α，則 由此可得tanα=1. 又 (Ⅲ)設(shè)點、B、Q三點共線， 即 即 由（*）式，代入上式，得 由此可知直線PQ過定點E（1，－4）. 模型二：切點弦恒過定點 例題：有如下結(jié)論：“圓上一點處的切線方程為”，類比也有結(jié)論：“橢圓處的切線方程為”，過橢圓C：的右準(zhǔn)線l上任意一點M引橢圓C的兩條切線，切點為 A、B. （1）求證：直線AB恒過一定點； （2）當(dāng)點M在的縱坐標(biāo)為1時，求△ABM的面積。 【解】（1）設(shè)M ∵點M在MA上∴ ① 同理可得② 由①②知AB的方程為 易知右焦點F（）滿足③式，故AB恒過橢圓C的右焦點F（） （2）把AB的方程 ∴ 又M到AB的距離 ∴△ABM的面積 ◆方法點評：切點弦的性質(zhì)雖然可以當(dāng)結(jié)論用，但是在正式的考試過程中直接不能直接引用，可以用本題的書寫步驟替換之，大家注意過程。 ◆方法總結(jié)：什么是切點弦？解題步驟有哪些？ 參考：PPT圓錐曲線的切線及切點弦方程，百度文庫 參考：“尼爾森數(shù)學(xué)第一季_3下”，優(yōu)酷視頻 拓展：相交弦的蝴蝶特征——蝴蝶定理，資料 練習(xí)1：（2013年廣東省數(shù)學(xué)（理）卷）已知拋物線的頂點為原點,其焦點到直線:的距離為.設(shè)為直線上的點,過點作拋物線的兩條切線,其中為切點. (Ⅰ) 求拋物線的方程; (Ⅱ) 當(dāng)點為直線上的定點時,求直線的方程; (Ⅲ) 當(dāng)點在直線上移動時,求的最小值. 【答案】(Ⅰ) 依題意,設(shè)拋物線的方程為,由結(jié)合,解得.所以拋物線的方程為. (Ⅱ) 拋物線的方程為,即,求導(dǎo)得 設(shè),(其中), 則切線的斜率分別為,, 所以切線：,即,即 同理可得切線的方程為 因為切線均過點,所以, 所以為方程的兩組解. 所以直線的方程為. (Ⅲ) 由拋物線定義可知,, 所以 聯(lián)立方程,消去整理得 由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得, 所以 又點在直線上,所以, 所以 所以當(dāng)時, 取得最小值,且最小值為. 練習(xí)2：（2013年遼寧數(shù)學(xué)（理））如圖,拋物線,點在拋物線上,過作的切線,切點為(為原點時,重合于),切線的斜率為. (I)求的值;(II)當(dāng)在上運(yùn)動時,求線段中點的軌跡方. 【答案】 模型三：相交弦過定點 相交弦性質(zhì)實質(zhì)是切點弦過定點性質(zhì)的拓展，結(jié)論同樣適用。參考尼爾森數(shù)學(xué)第一季_3下，優(yōu)酷視頻。但是具體解題而言，相交弦過定點涉及坐標(biāo)較多，計算量相對較大，解題過程一定要注意思路，同時注意總結(jié)這類題的通法。 例題：如圖，已知直線L：的右焦點F，且交橢圓C于A、B兩點，點A、B在直線上的射影依次為點D、E。連接AE、BD，試探索當(dāng)m變化時，直線AE、BD是否相交于一定點N？若交于定點N，請求出N點的坐標(biāo)，并給予證明；否則說明理由。 法一：解： 先探索，當(dāng)m=0時，直線L⊥ox軸，則ABED為矩形，由對稱性知，AE與BD相交于FK中點N ,且。猜想：當(dāng)m變化時，AE與BD相交于定點 證明：設(shè)，當(dāng)m變化時首先AE過定點N ∴KAN=KEN ∴A、N、E三點共線 同理可得B、N、D三點共線 ∴AE與BD相交于定點 法2：本題也可以直接得出AE和BD方程，令y=0，得與x軸交點M、N,然后兩個坐標(biāo)相減=0.計算量也不大。 ◆方法總結(jié)：方法1采用歸納猜想證明，簡化解題過程，是證明定點問題一類的通法。這一類題在答題過程中要注意步驟。 例題、已知橢圓C：，若直線與x軸交于點T,點P為直線上異于點T的任一點，直線PA1,PA2分別與橢圓交于M、N點，試問直線MN是否通過橢圓的焦點？并證明你的結(jié)論。 方法1：點A1、A2的坐標(biāo)都知道，可以設(shè)直線PA1、PA2的方程，直線PA1和橢圓交點是A1(-2,0)和M，通過韋達(dá)定理，可以求出點M的坐標(biāo)，同理可以求出點N的坐標(biāo)。動點P在直線上，相當(dāng)于知道了點P的橫坐標(biāo)了，由直線PA1、PA2的方程可以求出P點的縱坐標(biāo)，得到兩條直線的斜率的關(guān)系，通過所求的M、N點的坐標(biāo)，求出直線MN的方程，將交點的坐標(biāo)代入，如果解出的t>2，就可以了，否則就不存在。 解：設(shè)，，直線的斜率為,則直線的方程為，由消y整理得 是方程的兩個根，則，， 即點M的坐標(biāo)為， 同理，設(shè)直線A2N的斜率為k2，則得點N的坐標(biāo)為 ，直線MN的方程為：， 令y=0，得，將點M、N的坐標(biāo)代入，化簡后得： 又，橢圓的焦點為，即 故當(dāng)時，MN過橢圓的焦點。 方法總結(jié)：本題由點A1(-2,0)的橫坐標(biāo)－2是方程的一個根，結(jié)合韋達(dá)定理，得到點M的橫縱坐標(biāo)：，；其實由消y整理得，得到，即，很快。不過如果看到：將中的換下來，前的系數(shù)2用－2換下來，就得點N的坐標(biāo)，如果在解題時，能看到這一點，計算量將減少，這樣真容易出錯，但這樣減少計算量。本題的關(guān)鍵是看到點P的雙重身份：點P即在直線上也在直線A2N上，進(jìn)而得到，由直線MN的方程得直線與x軸的交點，即橫截距，將點M、N的坐標(biāo)代入，化簡易得，由解出，到此不要忘了考察是否滿足。 ◆方法2：先猜想過定點，設(shè)弦MN的方程，得出方程，進(jìn)而得出與T交點Q、S，兩坐標(biāo)相減=0.如下： ◆方法總結(jié)：法2計算量相對較小，細(xì)心的同學(xué)會發(fā)現(xiàn)，這其實是上文“切點弦恒過定點”的一個特例而已。因此，法2采用這類題的通法求解，就不至于思路混亂了。相較法1，未知數(shù)更少，思路更明確。 練習(xí)1：（10江蘇）在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，已知橢圓+=1的左右頂點為A,B，右焦點為F，設(shè)過點T(t,m)的直線TA,TB與橢圓分別交于點M(x1,y1)，N(x2,y2)，其中m>0,y1>0,y2<0. ⑴設(shè)動點P滿足PF2－PB2=4,求點P的軌跡 ⑵設(shè)x1=2,x2=，求點T的坐標(biāo) ⑶設(shè)t=9,求證：直線MN必過x軸上的一定點(其坐標(biāo)與m無關(guān)) 解析：問3與上題同。 練習(xí)2：已知橢圓中心在坐標(biāo)原點，焦點在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過、、三點．過橢圓的右焦點F任做一與坐標(biāo)軸不平行的直線與橢圓交于、兩點，與所在的直線交于點Q. （1）求橢圓的方程： （2）是否存在這樣直線，使得點Q恒在直線上移動？若存在,求出直線方程,若不存在,請說明理由. 解析：（1）設(shè)橢圓方程為 將、、代入橢圓E的方程，得 解得. ∴橢圓的方程 （也可設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程，知類似計分） （2）可知：將直線 代入橢圓的方程并整理．得 設(shè)直線與橢圓的交點， 由根系數(shù)的關(guān)系，得 直線的方程為： 由直線的方程為：，即 由直線與直線的方程消去，得 ∴直線與直線的交點在直線上． 故這樣的直線存在 模型四：動圓過定點問題 動圓過定點問題本質(zhì)上是垂直向量的問題，也可以理解為“弦對定點張直角”的新應(yīng)用。 例題1.已知橢圓 是拋物線的一條切線。（I）求橢圓的方程； （Ⅱ）過點的動直線L交橢圓C于A、B兩點，試問：在坐標(biāo)平面上是否存在一個定點T，使得以AB為直徑的圓恒過點T？若存在，求出點T的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。 解：（I）由 因直線相切 ，故所求橢圓方程為（II）當(dāng)L與x軸平行時，以AB為直徑的圓的方程： 當(dāng)L與x軸平行時，以AB為直徑的圓的方程：,由 即兩圓相切于點（0，1） 因此，所求的點T如果存在，只能是（0，1）.事實上，點T（0，1）就是所求的點，證明如下。 當(dāng)直線L垂直于x軸時，以AB為直徑的圓過點T（0，1） 若直線L不垂直于x軸，可設(shè)直線L： 由 記點、 ∴TA⊥TB，即以AB為直徑的圓恒過點T（0，1）,故在坐標(biāo)平面上存在一個定點T（0，1）滿足條件. ◆方法總結(jié)：圓過定點問題，可以先取特殊值或者極值，找出這個定點，再證明用直徑所對圓周角為直角。 例題2：如圖，已知橢圓的離心率是，分別是橢圓的左、右兩個頂點，點是橢圓的右焦點。點是軸上位于右側(cè)的一點，且滿足。 （1）求橢圓的方程以及點的坐標(biāo)； （2）過點作軸的垂線，再作直線 與橢圓有且僅有一個公共點，直線交直線于點 。求證：以線段為直徑的圓恒過定點，并求出定 點的坐標(biāo)。 解：（1），設(shè)， 由有， 又，，于是 ，又， ，又，，橢圓，且。 （2）方法1：，設(shè)，由 ， 由于（*）， 而由韋達(dá)定理：， ，， 設(shè)以線段為直徑的圓上任意一點，由有 由對稱性知定點在軸上，令，取時滿足上式，故過定點。 法2：本題又解：取極值，PQ與AD平行，易得與X軸相交于F（1,0）。接下來用相似證明PF⊥FQ。 問題得證。 練習(xí)：（10廣州二模文）已知橢圓的右焦點與拋物線的焦點重合，橢圓與拋物線在第一象限的交點為，.圓的圓心是拋物線上的動點,圓與軸交于兩點，且. （1）求橢圓的方程； （2）證明:無論點運(yùn)動到何處,圓恒經(jīng)過橢圓上一定點. （1）解法1：∵拋物線的焦點坐標(biāo)為，∴點的坐標(biāo)為. ∴橢圓的左焦點的坐標(biāo)為，拋物線的準(zhǔn)線方程為.設(shè)點的坐標(biāo)為，由拋物線的定義可知,∵,∴，解得.由，且,得.∴點的坐標(biāo)為. 在橢圓:中， . ∴.∴橢圓的方程為. 解法2：∵拋物線的焦點坐標(biāo)為，∴點的坐標(biāo)為.∴ 拋物線的準(zhǔn)線方程為.設(shè)點的坐標(biāo)為，由拋物線的定義可知, ∵,∴，解得.由，且得. ∴點的坐標(biāo)為.在橢圓:中，. 由解得.∴橢圓的方程為. （2）證法1: 設(shè)點的坐標(biāo)為,圓的半徑為， ∵ 圓與軸交于兩點，且,∴ .∴. ∴圓的方程為. ∵ 點是拋物線上的動點,∴ ().∴. 把代入 消去整理得:. 方程對任意實數(shù)恒成立，∴ 解得 ∵點在橢圓:上,∴無論點運(yùn)動到何處,圓恒經(jīng)過橢圓上一定點. 證法2: 設(shè)點的坐標(biāo)為,圓的半徑為， ∵ 點是拋物線上的動點,∴ (). ∵ 圓與軸交于兩點，且,∴ .∴ . ∴ 圓的方程為. 令,則,得.此時圓的方程為. 由解得∴圓:與橢圓的兩個交點為、. 分別把點、代入方程進(jìn)行檢驗，可知點恒符合方程，點不恒符合方程.∴無論點運(yùn)動到何處,圓恒經(jīng)過橢圓上一定點.