圓錐曲線經(jīng)典題目(含答案).doc
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圓錐曲線經(jīng)典題型 一.選擇題(共10小題) 1.直線y=x﹣1與雙曲線x2﹣=1(b>0)有兩個不同的交點,則此雙曲線離心率的范圍是( ?。? A.(1,) B.(,+∞) C.(1,+∞) D.(1,)∪(,+∞) 2.已知M(x0,y0)是雙曲線C:=1上的一點,F(xiàn)1,F(xiàn)2是C的左、右兩個焦點,若<0,則y0的取值范圍是( ) A. B. C. D. 3.設(shè)F1,F(xiàn)2分別是雙曲線(a>0,b>0)的左、右焦點,若雙曲線右支上存在一點P,使得,其中O為坐標(biāo)原點,且,則該雙曲線的離心率為( ?。? A. B. C. D. 4.過雙曲線﹣=1(a>0,b>0)的右焦點F作直線y=﹣x的垂線,垂足為A,交雙曲線左支于B點,若=2,則該雙曲線的離心率為( ) A. B.2 C. D. 5.若雙曲線=1(a>0,b>0)的漸近線與圓(x﹣2)2+y2=2相交,則此雙曲線的離心率的取值范圍是( ?。? A.(2,+∞) B.(1,2) C.(1,) D.(,+∞) 6.已知雙曲線C:的右焦點為F,以F為圓心和雙曲線的漸近線相切的圓與雙曲線的一個交點為M,且MF與雙曲線的實軸垂直,則雙曲線C的離心率為( ?。? A. B. C. D.2 7.設(shè)點P是雙曲線=1(a>0,b>0)上的一點,F(xiàn)1、F2分別是雙曲線的左、右焦點,已知PF1⊥PF2,且|PF1|=2|PF2|,則雙曲線的一條漸近線方程是( ?。? A. B. C.y=2x D.y=4x 8.已知雙曲線的漸近線與圓x2+(y﹣2)2=1相交,則該雙曲線的離心率的取值范圍是( ?。? A.(,+∞) B.(1,) C.(2.+∞) D.(1,2) 9.如果雙曲線經(jīng)過點P(2,),且它的一條漸近線方程為y=x,那么該雙曲線的方程是( ) A.x2﹣=1 B.﹣=1 C.﹣=1 D.﹣=1 10.已知F是雙曲線C:x2﹣=1的右焦點,P是C上一點,且PF與x軸垂直,點A的坐標(biāo)是(1,3),則△APF的面積為( ?。? A. B. C. D. 二.填空題(共2小題) 11.過雙曲線的左焦點F1作一條l交雙曲線左支于P、Q兩點,若|PQ|=8,F(xiàn)2是雙曲線的右焦點,則△PF2Q的周長是 ?。? 12.設(shè)F1,F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點,若雙曲線右支上存在一點P,使,O為坐標(biāo)原點,且,則該雙曲線的離心率為 ?。? 三.解答題(共4小題) 13.已知點F1、F2為雙曲線C:x2﹣=1的左、右焦點,過F2作垂直于x軸的直線,在x軸上方交雙曲線C于點M,∠MF1F2=30°. (1)求雙曲線C的方程; (2)過雙曲線C上任意一點P作該雙曲線兩條漸近線的垂線,垂足分別為P1、P2,求?的值. 14.已知曲線C1:﹣=1(a>0,b>0)和曲線C2:+=1有相同的焦點,曲線C1的離心率是曲線C2的離心率的倍. (Ⅰ)求曲線C1的方程; (Ⅱ)設(shè)點A是曲線C1的右支上一點,F(xiàn)為右焦點,連AF交曲線C1的右支于點B,作BC垂直于定直線l:x=,垂足為C,求證:直線AC恒過x軸上一定點. 15.已知雙曲線Γ:的離心率e=,雙曲線Γ上任意一點到其右焦點的最小距離為﹣1. (Ⅰ)求雙曲線Γ的方程; (Ⅱ)過點P(1,1)是否存在直線l,使直線l與雙曲線Γ交于R、T兩點,且點P是線段RT的中點?若直線l存在,請求直線l的方程;若不存在,說明理由. 16.已知雙曲線C:的離心率e=,且b=. (Ⅰ)求雙曲線C的方程; (Ⅱ)若P為雙曲線C上一點,雙曲線C的左右焦點分別為E、F,且?=0,求△PEF的面積. 一.選擇題(共10小題) 1.直線y=x﹣1與雙曲線x2﹣=1(b>0)有兩個不同的交點,則此雙曲線離心率的范圍是( ?。? A.(1,) B.(,+∞) C.(1,+∞) D.(1,)∪(,+∞) 【解答】解:∵直線y=x﹣1與雙曲線x2﹣=1(b>0)有兩個不同的交點, ∴1>b>0或b>1. ∴e==>1且e≠. 故選:D. 2.已知M(x0,y0)是雙曲線C:=1上的一點,F(xiàn)1,F(xiàn)2是C的左、右兩個焦點,若<0,則y0的取值范圍是( ) A. B. C. D. 【解答】解:由題意,=(﹣﹣x0,﹣y0)?(﹣x0,﹣y0)=x02﹣3+y02=3y02﹣1<0, 所以﹣<y0<. 故選:A. 3.設(shè)F1,F(xiàn)2分別是雙曲線(a>0,b>0)的左、右焦點,若雙曲線右支上存在一點P,使得,其中O為坐標(biāo)原點,且,則該雙曲線的離心率為( ) A. B. C. D. 【解答】解:取PF2的中點A,則 ∵, ∴⊥ ∵O是F1F2的中點 ∴OA∥PF1, ∴PF1⊥PF2, ∵|PF1|=3|PF2|, ∴2a=|PF1|﹣|PF2|=2|PF2|, ∵|PF1|2+|PF2|2=4c2, ∴10a2=4c2, ∴e= 故選C. 4.過雙曲線﹣=1(a>0,b>0)的右焦點F作直線y=﹣x的垂線,垂足為A,交雙曲線左支于B點,若=2,則該雙曲線的離心率為( ?。? A. B.2 C. D. 【解答】解:設(shè)F(c,0),則直線AB的方程為y=(x﹣c)代入雙曲線漸近線方程y=﹣x得A(,﹣), 由=2,可得B(﹣,﹣), 把B點坐標(biāo)代入雙曲線方程﹣=1, 即=1,整理可得c=a, 即離心率e==. 故選:C. 5.若雙曲線=1(a>0,b>0)的漸近線與圓(x﹣2)2+y2=2相交,則此雙曲線的離心率的取值范圍是( ?。? A.(2,+∞) B.(1,2) C.(1,) D.(,+∞) 【解答】解:∵雙曲線漸近線為bx±ay=0,與圓(x﹣2)2+y2=2相交 ∴圓心到漸近線的距離小于半徑,即 ∴b2<a2, ∴c2=a2+b2<2a2, ∴e=< ∵e>1 ∴1<e< 故選C. 6.已知雙曲線C:的右焦點為F,以F為圓心和雙曲線的漸近線相切的圓與雙曲線的一個交點為M,且MF與雙曲線的實軸垂直,則雙曲線C的離心率為( ) A. B. C. D.2 【解答】解:設(shè)F(c,0),漸近線方程為y=x, 可得F到漸近線的距離為=b, 即有圓F的半徑為b, 令x=c,可得y=±b=±, 由題意可得=b, 即a=b,c==a, 即離心率e==, 故選C. 7.設(shè)點P是雙曲線=1(a>0,b>0)上的一點,F(xiàn)1、F2分別是雙曲線的左、右焦點,已知PF1⊥PF2,且|PF1|=2|PF2|,則雙曲線的一條漸近線方程是( ?。? A. B. C.y=2x D.y=4x 【解答】解:由雙曲線的定義可得|PF1|﹣|PF2|=2a, 又|PF1|=2|PF2|, 得|PF2|=2a,|PF1|=4a; 在RT△PF1F2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2, ∴4c2=16a2+4a2,即c2=5a2, 則b2=4a2.即b=2a, 雙曲線=1一條漸近線方程:y=2x; 故選:C. 8.已知雙曲線的漸近線與圓x2+(y﹣2)2=1相交,則該雙曲線的離心率的取值范圍是( ) A.(,+∞) B.(1,) C.(2.+∞) D.(1,2) 【解答】解:∵雙曲線漸近線為bx±ay=0,與圓x2+(y﹣2)2=1相交 ∴圓心到漸近線的距離小于半徑,即<1 ∴3a2<b2, ∴c2=a2+b2>4a2, ∴e=>2 故選:C. 9.如果雙曲線經(jīng)過點P(2,),且它的一條漸近線方程為y=x,那么該雙曲線的方程是( ?。? A.x2﹣=1 B.﹣=1 C.﹣=1 D.﹣=1 【解答】解:由雙曲線的一條漸近線方程為y=x, 可設(shè)雙曲線的方程為x2﹣y2=λ(λ≠0), 代入點P(2,),可得 λ=4﹣2=2, 可得雙曲線的方程為x2﹣y2=2, 即為﹣=1. 故選:B. 10.已知F是雙曲線C:x2﹣=1的右焦點,P是C上一點,且PF與x軸垂直,點A的坐標(biāo)是(1,3),則△APF的面積為( ) A. B. C. D. 【解答】解:由雙曲線C:x2﹣=1的右焦點F(2,0), PF與x軸垂直,設(shè)(2,y),y>0,則y=3, 則P(2,3), ∴AP⊥PF,則丨AP丨=1,丨PF丨=3, ∴△APF的面積S=×丨AP丨×丨PF丨=, 同理當(dāng)y<0時,則△APF的面積S=, 故選D. 二.填空題(共2小題) 11.過雙曲線的左焦點F1作一條l交雙曲線左支于P、Q兩點,若|PQ|=8,F(xiàn)2是雙曲線的右焦點,則△PF2Q的周長是 20?。? 【解答】解: ∵|PF1|+|QF1|=|PQ|=8 ∵雙曲線x2﹣=1的通徑為==8 ∵PQ=8 ∴PQ是雙曲線的通徑 ∴PQ⊥F1F2,且PF1=QF1=PQ=4 ∵由題意,|PF2|﹣|PF1|=2,|QF2|﹣|QF1|=2 ∴|PF2|+|QF2|=|PF1|+|QF1|+4=4+4+4=12 ∴△PF2Q的周長=|PF2|+|QF2|+|PQ|=12+8=20, 故答案為20. 12.設(shè)F1,F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點,若雙曲線右支上存在一點P,使,O為坐標(biāo)原點,且,則該雙曲線的離心率為 ?。? 【解答】解:取PF2的中點A,則 ∵, ∴2?=0, ∴, ∵OA是△PF1F2的中位線, ∴PF1⊥PF2,OA=PF1. 由雙曲線的定義得|PF1|﹣|PF2|=2a, ∵|PF1|=|PF2|, ∴|PF2|=,|PF1|=. △PF1F2中,由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=4c2, ∴()2+()2=4c2, ∴e=. 故答案為:. 三.解答題(共4小題) 13.已知點F1、F2為雙曲線C:x2﹣=1的左、右焦點,過F2作垂直于x軸的直線,在x軸上方交雙曲線C于點M,∠MF1F2=30°. (1)求雙曲線C的方程; (2)過雙曲線C上任意一點P作該雙曲線兩條漸近線的垂線,垂足分別為P1、P2,求?的值. 【解答】解:(1)設(shè)F2,M的坐標(biāo)分別為, 因為點M在雙曲線C上,所以,即,所以, 在Rt△MF2F1中,∠MF1F2=30°,,所以…(3分) 由雙曲線的定義可知: 故雙曲線C的方程為:…(6分) (2)由條件可知:兩條漸近線分別為…(8分) 設(shè)雙曲線C上的點Q(x0,y0),設(shè)兩漸近線的夾角為θ, 則點Q到兩條漸近線的距離分別為,…(11分) 因為Q(x0,y0)在雙曲線C:上, 所以,又cosθ=, 所以=﹣…(14分) 14.已知曲線C1:﹣=1(a>0,b>0)和曲線C2:+=1有相同的焦點,曲線C1的離心率是曲線C2的離心率的倍. (Ⅰ)求曲線C1的方程; (Ⅱ)設(shè)點A是曲線C1的右支上一點,F(xiàn)為右焦點,連AF交曲線C1的右支于點B,作BC垂直于定直線l:x=,垂足為C,求證:直線AC恒過x軸上一定點. 【解答】(Ⅰ)解:由題知:a2+b2=2,曲線C2的離心率為…(2分) ∵曲線C1的離心率是曲線C2的離心率的倍, ∴=即a2=b2,…(3分) ∴a=b=1,∴曲線C1的方程為x2﹣y2=1; …(4分) (Ⅱ)證明:由直線AB的斜率不能為零知可設(shè)直線AB的方程為:x=ny+ …(5分) 與雙曲線方程x2﹣y2=1聯(lián)立,可得(n2﹣1)y2+2ny+1=0 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=﹣,y1y2=,…(7分) 由題可設(shè)點C(,y2), 由點斜式得直線AC的方程:y﹣y2=(x﹣) …(9分) 令y=0,可得x=== …(11分) ∴直線AC過定點(,0). …(12分) 15.已知雙曲線Γ:的離心率e=,雙曲線Γ上任意一點到其右焦點的最小距離為﹣1. (Ⅰ)求雙曲線Γ的方程; (Ⅱ)過點P(1,1)是否存在直線l,使直線l與雙曲線Γ交于R、T兩點,且點P是線段RT的中點?若直線l存在,請求直線l的方程;若不存在,說明理由. 【解答】解:(Ⅰ)由題意可得e==, 當(dāng)P為右頂點時,可得PF取得最小值, 即有c﹣a=﹣1, 解得a=1,c=,b==, 可得雙曲線的方程為x2﹣=1; (Ⅱ)過點P(1,1)假設(shè)存在直線l,使直線l與雙曲線Γ交于R、T兩點, 且點P是線段RT的中點. 設(shè)R(x1,y1),T(x2,y2),可得x12﹣=1,x22﹣=1, 兩式相減可得(x1﹣x2)(x1+x2)=(y1﹣y2)(y1+y2), 由中點坐標(biāo)公式可得x1+x2=2,y1+y2=2, 可得直線l的斜率為k===2, 即有直線l的方程為y﹣1=2(x﹣1),即為y=2x﹣1, 代入雙曲線的方程,可得2x2﹣4x+3=0, 由判別式為16﹣4×2×3=﹣8<0, 可得二次方程無實數(shù)解. 故這樣的直線l不存在. 16.已知雙曲線C:的離心率e=,且b=. (Ⅰ)求雙曲線C的方程; (Ⅱ)若P為雙曲線C上一點,雙曲線C的左右焦點分別為E、F,且?=0,求△PEF的面積. 【解答】解:(Ⅰ)∵C:的離心率e=,且b=, ∴=,且b=, ∴a=1,c= ∴雙曲線C的方程; (Ⅱ)令|PE|=p,|PF|=q 由雙曲線定義:|p﹣q|=2a=2 平方得:p2﹣2pq+q2=4 ?=0,∠EPF=90°,由勾股定理得:p2+q2=|EF|2=12 所以pq=4 即S=|PE|?|PF|=2. 第14頁(共14頁)- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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