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。 二項(xiàng)分布 1．次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) 一般地，由次試驗(yàn)構(gòu)成，且每次試驗(yàn)相互獨(dú)立完成，每次試驗(yàn)的結(jié)果僅有兩種對(duì)立的狀態(tài)，即與，每次試驗(yàn)中。我們將這樣的試驗(yàn)稱為次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，也稱為伯努利試驗(yàn)。 （1）獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)滿足的條件 第一：每次試驗(yàn)是在同樣條件下進(jìn)行的；第二：各次試驗(yàn)中的事件是互相獨(dú)立的；第三：每次試驗(yàn)都只有兩種結(jié)果。 （2）次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件恰好發(fā)生次的概率。 2．二項(xiàng)分布 若隨機(jī)變量的分布列為，其中則稱服從參數(shù)為的二項(xiàng)分布，記作。 1．一盒零件中有9個(gè)正品和3個(gè)次品，每次取一個(gè)零件，如果取出的次品不再放回，求在取得正品前已取出的次品數(shù)的概率分布。 3.甲乙兩人各進(jìn)行3次射擊，甲每次擊中目標(biāo)的概率為，乙每次擊中目標(biāo)的概率為. （1）記甲擊中目標(biāo)的此時(shí)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望； （2）求乙至多擊中目標(biāo)2次的概率； （3）求甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次的概率. 【鞏固練習(xí)】 1.（2012年高考（浙江理））已知箱中裝有4個(gè)白球和5個(gè)黑球,且規(guī)定:取出一個(gè)白球的2分,取出一個(gè)黑球的1分.現(xiàn)從該箱中任取(無(wú)放回,且每球取到的機(jī)會(huì)均等)3個(gè)球,記隨機(jī)變量X為取出3球所得分?jǐn)?shù)之和. (Ⅰ)求X的分布列; (Ⅱ)求X的數(shù)學(xué)期望E(X). 2．（2012年高考（重慶理））(本小題滿分13分,(Ⅰ)小問5分,(Ⅱ)小問8分.) 甲、乙兩人輪流投籃,每人每次投一球,.約定甲先投且先投中者獲勝,一直到有人獲勝或每人都已投球3次時(shí)投籃結(jié)束.設(shè)甲每次投籃投中的概率為,乙每次投籃投中的概率為,且各次投籃互不影響. (Ⅰ) 求甲獲勝的概率; (Ⅱ) 求投籃結(jié)束時(shí)甲的投籃次數(shù)的分布列與期望 3．設(shè)籃球隊(duì)與進(jìn)行比賽，每場(chǎng)比賽均有一隊(duì)勝，若有一隊(duì)勝場(chǎng)則比賽宣告結(jié)束，假定在每場(chǎng)比賽中獲勝的概率都是，試求需要比賽場(chǎng)數(shù)的期望． 3．（2012年高考（遼寧理））電視傳媒公司為了了解某地區(qū)電視觀眾對(duì)某類體育節(jié)目的收視情況,隨機(jī)抽取了100名觀眾進(jìn)行調(diào)查.下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時(shí)間的頻率分布直方圖; 將日均收看該體育節(jié)目時(shí)間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”. (Ⅰ)根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表,并據(jù)此資料你是否認(rèn)為“體育迷”與性別 有關(guān)? (Ⅱ)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率.現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中,采用隨機(jī)抽 樣方法每次抽取1名觀眾,抽取3次,記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為X.若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的,求X的分布列,期望和方差. 5.（2007陜西理）某項(xiàng)選拔共有三輪考核，每輪設(shè)有一個(gè)問題，能正確回答問題者進(jìn)入下一輪考試，否則即被淘汰，已知某選手能正確回答第一、二、三輪的問題的概率分別為、、，且各輪問題能否正確回答互不影響. （Ⅰ）求該選手被淘汰的概率； （Ⅱ）該選手在選拔中回答問題的個(gè)數(shù)記為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列與數(shù)數(shù)期望.（注：本小題結(jié)果可用分?jǐn)?shù)表示 6. 一批產(chǎn)品共10件，其中7件正品，3件次品，每次從這批產(chǎn)品中任取一件，在下述三種情況下，分別求直至取得正品時(shí)所需次數(shù)的概率分別布. (1)每次取出的產(chǎn)品不再放回去； （2）每次取出的產(chǎn)品仍放回去； （3）每次取出一件次品后，總是另取一件正品放回到這批產(chǎn)品中. 7. （2007?山東）設(shè)b和c分別是先后拋擲一枚骰子得到的點(diǎn)數(shù)，用隨機(jī)變量ξ表示方程x2+bx+c=0實(shí)根的個(gè)數(shù)（重根按一個(gè)計(jì)）． （I）求方程x2+bx+c=0有實(shí)根的概率； （II）求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望； 8.（本題滿分12分）某商場(chǎng)為吸引顧客消費(fèi)推出一項(xiàng)優(yōu)惠活動(dòng).活動(dòng)規(guī)則如下：消費(fèi)額每滿100元可轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的轉(zhuǎn)盤一次，并獲得相應(yīng)金額的返券，假定指針等可能地停在任一位置. 若指針停在A區(qū)域返券60元；停在B區(qū)域返券30元；停在C區(qū)域不返券. 例如：消費(fèi)218元，可轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤2次，所獲得的返券金額是兩次金額之和. （I）若某位顧客消費(fèi)128元，求返券金額不低于30元的概率； （II）若某位顧客恰好消費(fèi)280元，并按規(guī)則參與了活動(dòng)，他獲得返券的金額記為（元），求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望. 9. (本題滿分12分)中國(guó)黃石第三屆國(guó)際礦冶文化旅游節(jié)將于2012年8月20日在黃石鐵山舉行，為了搞好接待工作，組委會(huì)準(zhǔn)備在湖北理工學(xué)院和湖北師范學(xué)院分別招募8名和12名志愿者，將這20名志愿者的身高編成如下莖葉圖（單位：cm） 湖北理工學(xué)院 湖北師范學(xué)院 9 9 6　5　0 7　2 1 15 16 17 18 19 8　9 1　2　5　8　9 3　4　6 0　1 若身高在175cm以上（包括175cm）定義為“高個(gè)子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定義為“非高個(gè)子”，且只有湖北師范學(xué)院的“高個(gè)子”才能擔(dān)任“兼職導(dǎo)游”。 （1）根據(jù)志愿者的身高編莖葉圖指出湖北師范學(xué)院志愿者身高的中位數(shù)； （2）如果用分層抽樣的方法從“高個(gè)子”和“非高個(gè)子”中抽取5人，再?gòu)倪@5人中選2人，那么至少有一人是“高個(gè)子”的概率是多少？ （3）若從所有“高個(gè)子”中選3名志愿者，用表示所選志愿者中能擔(dān)任“兼職導(dǎo)游”的人數(shù)，試寫出的分布列，并求的數(shù)學(xué)期望。 10.某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)分成8個(gè)等級(jí)，等級(jí)系數(shù)X依次為1,2，……，8，其中X≥5為標(biāo)準(zhǔn)A，X≥3為標(biāo)準(zhǔn)B，已知甲廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)A生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價(jià)為6元/件；乙廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)B生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價(jià)為4元/件，假定甲、乙兩廠得產(chǎn)品都符合相應(yīng)的執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn) （I）已知甲廠產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)X1的概率分布列如下所示： 5 6 7 8 P 0．4 a b 0．1 且X1的數(shù)字期望EX1=6，求a，b的值； （II）為分析乙廠產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)X2，從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取30件，相應(yīng)的等級(jí)系數(shù)組成一個(gè)樣本，數(shù)據(jù)如下： 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7 用這個(gè)樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，將頻率視為概率，求等級(jí)系數(shù)X2的數(shù)學(xué)期望. 11. 受轎車在保修期內(nèi)維修費(fèi)等因素的影響，企業(yè)產(chǎn)生每輛轎車的利潤(rùn)與該轎車首次出現(xiàn)故障的時(shí)間有關(guān)，某轎車制造廠生產(chǎn)甲、乙兩種品牌轎車，保修期均為2年，現(xiàn)從該廠已售出的兩種品牌轎車中隨機(jī)抽取50輛，統(tǒng)計(jì)書數(shù)據(jù)如下： 將頻率視為概率，解答下列問題： （I）從該廠生產(chǎn)的甲品牌轎車中隨機(jī)抽取一輛，求首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率； （II）若該廠生產(chǎn)的轎車均能售出，記住生產(chǎn)一輛甲品牌轎車的利潤(rùn)為，生產(chǎn)一輛乙品牌轎車的利潤(rùn)為，分別求，的分布列； （III）該廠預(yù)計(jì)今后這兩種品牌轎車銷量相當(dāng)，由于資金限制，只能生產(chǎn)其中一種品牌轎車，若從經(jīng)濟(jì)效益的角度考慮，你認(rèn)為應(yīng)該產(chǎn)生哪種品牌的轎車？說明理由。 鞏固練習(xí)答案 【解析】本題主要考察分布列,數(shù)學(xué)期望等知識(shí)點(diǎn). (Ⅰ) X的可能取值有:3,4,5,6. ; ; ; . 故,所求X的分布列為 X 3 4 5 6 P (Ⅱ) 所求X的數(shù)學(xué)期望E(X)為: E(X)=. 【答案】(Ⅰ)見解析;(Ⅱ) . 【考點(diǎn)定位】本題考查離散隨機(jī)變量的分布列和期望與相互獨(dú)立事件的概率,考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問題的能力,相互獨(dú)立事件是指兩事件發(fā)生的概率互不影響,注意應(yīng)用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式. 解:設(shè)分別表示甲、乙在第次投籃投中,則 ,, (1)記“甲獲勝”為事件C,由互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率與相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式知, (2)的所有可能為: 由獨(dú)立性知: 綜上知,有分布列 1 2 3 從而,(次) 3. 解：（1）事件“”表示，勝場(chǎng)或勝場(chǎng)（即負(fù)場(chǎng)或負(fù)場(chǎng)），且兩兩互斥． ； （2）事件“”表示，在第5場(chǎng)中取勝且前場(chǎng)中勝3場(chǎng)，或在第5場(chǎng)中取勝且前場(chǎng)中勝3場(chǎng)（即第5場(chǎng)負(fù)且場(chǎng)中負(fù)了3場(chǎng)），且這兩者又是互斥的，所以 （3）類似地，事件“”、 “”的概率分別為 ， 比賽場(chǎng)數(shù)的分布列為 4 5 6 7 故比賽的期望為（場(chǎng)） 這就是說，在比賽雙方實(shí)力相當(dāng)?shù)那闆r下，平均地說，進(jìn)行6場(chǎng)才能分出勝負(fù)． 4.【答案及解析】 (I)由頻率頒布直方圖可知,在抽取的100人中,“體育迷”有25人,從而2×2列聯(lián)表如下: 由2×2列聯(lián)表中數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算,得: 因?yàn)?.030<3.841,所以,沒有理由認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān). (II)由頻率頒布直方圖知抽到“體育迷”的頻率為0.25,將頻率視為概率,即從觀眾中抽取一名“體育迷”的概率為,由題意, ,從而X的分布列為: 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查統(tǒng)計(jì)中的頻率分布直方圖、獨(dú)立性檢驗(yàn)、離散型隨機(jī)變量的分布列,期望和方差,考查分析解決問題的能力、運(yùn)算求解能力,難度適中.準(zhǔn)確讀取頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)是解題的關(guān)鍵. 5.（Ⅰ）解法一：記“該選手能正確回答第輪的問題”的事件為， 則，，， 該選手被淘汰的概率 ． （Ⅰ）解法二：記“該選手能正確回答第輪的問題”的事件為， 則，，． 該選手被淘汰的概率 ． （Ⅱ）的可能值為，， ， ． 的分布列為 1 2 3 ． 6.（1）X的所有可能值為1，2，3，4。X的分布列為 P(X=1)=7/10， P(X=2)=3/10×7/9=7/30， P(X=3)=3/10×2/9×7/8=7/120， P(X=4)=3/10×2/9×1/8=1/120。 （2）X的所有可能值為1，2，3，4。X的分布列為 P(X=k)= ，k=1，2，3，…… （3）X的所有可能值為1，2，3，4。X的分布列為 P(X=1)=7/10， P(X=2)=3/10×8/10=6/25， P(X=3)=3/10×2/10×9/10=27/500， P(X=4)=3/10×2/10×1/10=3/500。 7. 解：（I）由題意知，本題是一個(gè)等可能事件的概率， 試驗(yàn)發(fā)生包含的基本事件總數(shù)為6×6=36， 滿足條件的事件是使方程有實(shí)根，則△=b2-4c≥0，即b≥ 下面針對(duì)于c的取值進(jìn)行討論 當(dāng)c=1時(shí)，b=2，3，4，5，6； 當(dāng)c=2時(shí)，b=3，4，5，6； 當(dāng)c=3時(shí)，b=4，5，6； 當(dāng)c=4時(shí)，b=4，5，6； 當(dāng)c=5時(shí)，b=5，6； 當(dāng)c=6時(shí)，b=5，6， 目標(biāo)事件個(gè)數(shù)為5+4+3+3+2+2=19， 因此方程x2+bx+c=0有實(shí)根的概率為 （II）由題意知用隨機(jī)變量ξ表示方程x2+bx+c=0實(shí)根的個(gè)數(shù)得到ξ=0，1，2 根據(jù)第一問做出的結(jié)果得到 則P(ξ=0)= ，P(ξ=1)= =，P(ξ=2)= ， ∴ξ的分布列為 ∴ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=0×+1×+2×=1， 8.設(shè)指針落在A,B,C區(qū)域分別記為事件A,B,C. 則. ………………3分 （Ⅰ）若返券金額不低于30元，則指針落在A或B區(qū)域. ………………4分 即消費(fèi)128元的顧客，返券金額不低于30元的概率是. （Ⅱ）由題意得，該顧客可轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤2次. 隨機(jī)變量的可能值為0，30，60，90，120. ………………5分 …………10分 所以，隨機(jī)變量的分布列為： 0 30 60 90 120 …………11分 其數(shù)學(xué)期望 …………12分 9、解：（1）根據(jù)志愿者的身高編莖葉圖知湖北師范學(xué)院志愿者身高的中位數(shù)為：.…2分 （2）由莖葉圖可知，“高個(gè)子”有8人，“非高個(gè)子”有12人， 按照分層抽樣抽取的5人中“高個(gè)子”為人，“非高個(gè)子”為人； 則至少有1人為高個(gè)子的概率＝1－……6分 （3）由題可知：湖北師范學(xué)院的高個(gè)子只有3人，則的可能取值為0,1，2,3； 故，，，， 即的分布列為： 0 1 2[來(lái)源:Z+xx+k.Com] 3 ＝0＋1＋2＋3＝。 答：（略） ………………12分 10. 解：（I）因?yàn)? 又由X1的概率分布列得 由 （II）由已知得，樣本的頻率分布表如下： 3 4 5 6 7 8 0．3 0．2 0．2 0．1 0．1 0．1 用這個(gè)樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，將頻率視為概率，可得等級(jí)系數(shù)X2的概率分布列如下： 3 4 5 6 7 8 P 0．3 0．2 0．2 0．1 0．1 0．1 所以 即乙廠產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于4.8. （III）乙廠的產(chǎn)品更具可購(gòu)買性，理由如下： 因?yàn)榧讖S產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)的期望數(shù)學(xué)等于6，價(jià)格為6元/件，所以其性價(jià)比為 因?yàn)橐覐S產(chǎn)呂的等級(jí)系數(shù)的期望等于4.8，價(jià)格為4元/件，所以其性價(jià)比為 據(jù)此，乙廠的產(chǎn)品更具可購(gòu)買性。 11. （I）首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率為 （II）隨機(jī)變量的分布列為 隨機(jī)變量的分布列為 （III）(萬(wàn)元) (萬(wàn)元) 所以應(yīng)該生產(chǎn)甲品牌汽車。  THANKS !!! 致力為企業(yè)和個(gè)人提供合同協(xié)議，策劃案計(jì)劃書，學(xué)習(xí)課件等等 打造全網(wǎng)一站式需求 歡迎您的下載，資料僅供參考 -可編輯修改-