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高中數(shù)學(xué)排列與組合 （一）典型分類講解 一.特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字五位奇數(shù). 解:由于末位和首位有特殊要求,應(yīng)該優(yōu)先安排,以免不合要求的元素占了這兩個(gè)位置. 先排末位共有 然后排首位共有 最后排其它位置共有 由分步計(jì)數(shù)原理得 練習(xí)題:7種不同的花種在排成一列的花盆里,若兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆里，問有多少不同的種法？ 二.相鄰元素捆綁策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相鄰且丙丁相鄰, 共有多少種不同的排法. 解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成一個(gè)復(fù)合元素，同時(shí)丙丁也看成一個(gè)復(fù)合元素，再與其它元素進(jìn)行排列，同時(shí)對相鄰元素內(nèi)部進(jìn)行自排。由分步計(jì)數(shù)原理可得共有種不同的排法 要求某幾個(gè)元素必須排在一起的問題,可以用捆綁法來解決問題.即將需要相鄰的元素合并為一個(gè)元素,再與其它元素一起作排列,同時(shí)要注意合并元素內(nèi)部也必須排列. 練習(xí)題:某人射擊8槍，命中4槍，4槍命中恰好有3槍連在一起的情形的不同種數(shù)為 20 三.不相鄰問題插空策略 例3.一個(gè)晚會的節(jié)目有4個(gè)舞蹈,2個(gè)相聲,3個(gè)獨(dú)唱,舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場,則節(jié)目的出場順序有多少種？ 解:分兩步進(jìn)行第一步排2個(gè)相聲和3個(gè)獨(dú)唱共有種，第二步將4舞蹈插入第一步排好的6個(gè)元素中間包含首尾兩個(gè)空位共有種不同的方法,由分步計(jì)數(shù)原理,節(jié)目的不同順序共有 種 元素相離問題可先把沒有位置要求的元素進(jìn)行排隊(duì)再把不相鄰元素插入中間和兩端 練習(xí)題：某班新年聯(lián)歡會原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目.如果將這兩個(gè)新節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個(gè)新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為 30 四.定序問題倍縮空位插入策略 例4. 7人排隊(duì),其中甲乙丙3人順序一定共有多少不同的排法 解:(倍縮法)對于某幾個(gè)元素順序一定的排列問題,可先把這幾個(gè)元素與其他元素一起進(jìn)行排列,然后用總排列數(shù)除以這幾個(gè)元素之間的全排列數(shù),則共有不同排法種數(shù)是： (空位法)設(shè)想有7把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有種方法，其余的三個(gè)位置甲乙丙共有 1種坐法，則共有種方法。 思考:可以先讓甲乙丙就坐嗎? （插入法)先排甲乙丙三個(gè)人,共有1種排法,再把其余4四人依次插入共有 方法 定序問題可以用倍縮法，還可轉(zhuǎn)化為占位插空模型處理 練習(xí)題:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求從左至右身高逐漸增加，共有多少排法？ 五.重排問題求冪策略 例5.把6名實(shí)習(xí)生分配到7個(gè)車間實(shí)習(xí),共有多少種不同的分法 解:完成此事共分六步:把第一名實(shí)習(xí)生分配到車間有 7 種分法.把第二名實(shí)習(xí)生分配到車間也有7種分依此類推,由分步計(jì)數(shù)原理共有種不同的排法 允許重復(fù)的排列問題的特點(diǎn)是以元素為研究對象，元素不受位置的約束，可以逐一安排各個(gè)元素的位置，一般地n不同的元素沒有限制地安排在m個(gè)位置上的排列數(shù)為種 練習(xí)題： 1． 某班新年聯(lián)歡會原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目.如果將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為 42 2. 某8層大樓一樓電梯上來8名乘客人,他們到各自的一層下電梯,下電梯的方法 六.環(huán)排問題線排策略 例6. 8人圍桌而坐,共有多少種坐法? 解：圍桌而坐與坐成一排的不同點(diǎn)在于，坐成圓形沒有首尾之分，所以固定一人并從此位置把圓形展成直線其余7人共有（8-1）！種排法即！ 一般地,n個(gè)不同元素作圓形排列,共有(n-1)!種排法.如果從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素作圓形排列共有 練習(xí)題：6顆顏色不同的鉆石，可穿成幾種鉆石圈 120 七.多排問題直排策略 例7.8人排成前后兩排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法 解:8人排前后兩排,相當(dāng)于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.個(gè)特殊元素有種,再排后4個(gè)位置上的特殊元素丙有種,其余的5人在5個(gè)位置上任意排列有種,則共有種 一般地,元素分成多排的排列問題,可歸結(jié)為一排考慮,再分段研究. 練習(xí)題：有兩排座位，前排11個(gè)座位，后排12個(gè)座位，現(xiàn)安排2人就座規(guī)定前排中間的3個(gè)座位不能坐，并且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)是 346 八.排列組合混合問題先選后排策略 例8.有5個(gè)不同的小球,裝入4個(gè)不同的盒內(nèi),每盒至少裝一個(gè)球,共有多少不同的裝法. 解:第一步從5個(gè)球中選出2個(gè)組成復(fù)合元共有種方法.再把4個(gè)元素(包含一個(gè)復(fù)合元素)裝入4個(gè)不同的盒內(nèi)有種方法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理裝球的方法共有 解決排列組合混合問題,先選后排是最基本的指導(dǎo)思想.此法與相鄰元素捆綁策略相似嗎? 練習(xí)題：一個(gè)班有6名戰(zhàn)士,其中正副班長各1人現(xiàn)從中選4人完成四種不同的任務(wù),每人完成一種任務(wù),且正副班長有且只有1人參加,則不同的選法有 192 種 九.小集團(tuán)問題先整體后局部策略 例9.用1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)其中恰有兩個(gè)偶數(shù)夾1,５在兩個(gè)奇數(shù)之間,這樣的五位數(shù)有多少個(gè)？ 解：把１,５,２,４當(dāng)作一個(gè)小集團(tuán)與３排隊(duì)共有種排法，再排小集團(tuán)內(nèi)部共有種排法，由分步計(jì)數(shù)原理共有種排法 . 練習(xí)題： １.計(jì)劃展出10幅不同的畫,其中1幅水彩畫,４幅油畫,５幅國畫, 排成一行陳列,要求同一　 品種的必須連在一起，并且水彩畫不在兩端，那么共有陳列方式的種數(shù)為 2. 5男生和５女生站成一排照像,男生相鄰,女生也相鄰的排法有種 十.元素相同問題隔板策略 例10.有10個(gè)運(yùn)動員名額，分給7個(gè)班，每班至少一個(gè),有多少種分配方案？ 解：因?yàn)?0個(gè)名額沒有差別，把它們排成一排。相鄰名額之間形成９個(gè)空隙。在９個(gè)空檔中選６個(gè)位置插個(gè)隔板，可把名額分成７份，對應(yīng)地分給７個(gè)班級，每一種插板方法對應(yīng)一種分法共有種分法。 將n個(gè)相同的元素分成m份（n，m為正整數(shù)）,每份至少一個(gè)元素,可以用m-1塊隔板，插入n個(gè)元素排成一排的n-1個(gè)空隙中，所有分法數(shù)為 練習(xí)題： 1． 10個(gè)相同的球裝5個(gè)盒中,每盒至少一有多少裝法？ 2 .求這個(gè)方程組的自然數(shù)解的組數(shù) 十一.正難則反總體淘汰策略 例11.從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個(gè)數(shù)字中取出三個(gè)數(shù)，使其和為不小于10的偶數(shù),不同的 取法有多少種？ 解：這問題中如果直接求不小于10的偶數(shù)很困難,可用總體淘汰法。這十個(gè)數(shù)字中有5個(gè)偶數(shù)5個(gè)奇數(shù),所取的三個(gè)數(shù)含有3個(gè)偶數(shù)的取法有,只含有1個(gè)偶數(shù)的取法有,和為偶數(shù)的取法共有。再淘汰和小于10的偶數(shù)共9種，符合條件的取法共有 有些排列組合問題,正面直接考慮比較復(fù)雜,而它的反面往往比較簡捷,可以先求出它的反面,再從整體中淘汰. 練習(xí)題：我們班里有43位同學(xué),從中任抽5人,正、副班長、團(tuán)支部書記至少有一人在內(nèi)的 抽法有多少種? 十二.平均分組問題除法策略 例12. 6本不同的書平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？ 解: 分三步取書得種方法,但這里出現(xiàn)重復(fù)計(jì)數(shù)的現(xiàn)象,不妨記6本書為ABCDEF，若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF該分法記為(AB,CD,EF),則中還有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有種取法 ,而這些分法僅是(AB,CD,EF)一種分法,故共有種分法。 平均分成的組,不管它們的順序如何,都是一種情況,所以分組后要一定要除以(為均分的組數(shù))避免重復(fù)計(jì)數(shù)。 練習(xí)題： 1 將13個(gè)球隊(duì)分成3組,一組5個(gè)隊(duì),其它兩組4個(gè)隊(duì), 有多少分法？（） 2.10名學(xué)生分成3組,其中一組4人, 另兩組3人但正副班長不能分在同一組,有多少種不同的分組方法 （1540） 3.某校高二年級共有六個(gè)班級，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn) 入4名學(xué)生，要安排到該年級的兩個(gè)班級且每班安排2名，則不同的安排方案種數(shù)為______ （） 十三. 合理分類與分步策略 例13.在一次演唱會上共10名演員,其中8人能能唱歌,5人會跳舞,現(xiàn)要演出一個(gè)2人唱歌2人伴舞的節(jié)目,有多少選派方法 解：10演員中有5人只會唱歌，2人只會跳舞3人為全能演員。選上唱歌人員為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行研究只會唱的5人中沒有人選上唱歌人員共有種,只會唱的5人中只有1人選上唱歌人員種,只會唱的5人中只有2人選上唱歌人員有種，由分類計(jì)數(shù)原理共有 種。 解含有約束條件的排列組合問題，可按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類，按事件發(fā)生的連續(xù)過程分步，做到標(biāo)準(zhǔn)明確。分步層次清楚，不重不漏，分類標(biāo)準(zhǔn)一旦確定要貫穿于解題過程的始終。 練習(xí)題： 1.從4名男生和3名女生中選出4人參加某個(gè)座 談會，若這4人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有34 2. 3成人2小孩乘船游玩,1號船最多乘3人, 2號船最多乘2人,3號船只能乘1人,他們?nèi)芜x2只船或3只船,但小孩不能單獨(dú)乘一只船, 這3人共有多少乘船方法. （27） 本題還有如下分類標(biāo)準(zhǔn)： *以3個(gè)全能演員是否選上唱歌人員為標(biāo)準(zhǔn) *以3個(gè)全能演員是否選上跳舞人員為標(biāo)準(zhǔn) *以只會跳舞的2人是否選上跳舞人員為標(biāo)準(zhǔn) 都可經(jīng)得到正確結(jié)果 十四.構(gòu)造模型策略 例14. 馬路上有編號為1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路燈,現(xiàn)要關(guān)掉其中的3盞,但不能關(guān)掉相鄰的2盞或3盞,也不能關(guān)掉兩端的2盞,求滿足條件的關(guān)燈方法有多少種？ 解：把此問題當(dāng)作一個(gè)排隊(duì)模型在6盞亮燈的5個(gè)空隙中插入3個(gè)不亮的燈有 種 一些不易理解的排列組合題如果能轉(zhuǎn)化為非常熟悉的模型，如占位填空模型，排隊(duì)模型，裝盒模型等，可使問題直觀解決 練習(xí)題：某排共有10個(gè)座位，若4人就坐，每人左右兩邊都有空位，那么不同的坐法有多少種？（120） 十五.實(shí)際操作窮舉策略 例15.設(shè)有編號1,2,3,4,5的五個(gè)球和編號1,2,3,4,5的五個(gè)盒子,現(xiàn)將5個(gè)球投入這五個(gè)盒子內(nèi),要求每個(gè)盒子放一個(gè)球，并且恰好有兩個(gè)球的編號與盒子的編號相同,有多少投法 解：從5個(gè)球中取出2個(gè)與盒子對號有種還剩下3球3盒序號不能對應(yīng)，利用實(shí)際操作法，如果剩下3,4,5號球, 3,4,5號盒3號球裝4號盒時(shí)，則4,5號球有只有1種裝法，同理3號球裝5號盒時(shí),4,5號球有也只有1種裝法,由分步計(jì)數(shù)原理有種 3號盒 4號盒 5號盒 對于條件比較復(fù)雜的排列組合問題，不易用公式進(jìn)行運(yùn)算，往往利用窮舉法或畫出樹狀圖會收到意想不到的結(jié)果 練習(xí)題： 1.同一寢室4人,每人寫一張賀年卡集中起來,然后每人各拿一張別人的賀年卡，則四張賀年卡不同的分配方式有多少種？ (9) 2.給圖中區(qū)域涂色,要求相鄰區(qū) 域不同色,現(xiàn)有4種可選顏色,則不同的著色方法有 72種 十六. 分解與合成策略 例16. 30030能被多少個(gè)不同的偶數(shù)整除 分析：先把30030分解成質(zhì)因數(shù)的乘積形式30030=2×3×5 × 7 ×11×13，依題意可知偶因數(shù)必先取2,再從其余5個(gè)因數(shù)中任取若干個(gè)組成乘積，所有的偶因數(shù)為： 練習(xí):正方體的8個(gè)頂點(diǎn)可連成多少對異面直線 解：我們先從8個(gè)頂點(diǎn)中任取4個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成四體共有體共,每個(gè)四面體有3對異面直線,正方體中的8個(gè)頂點(diǎn)可連成對異面直線 分解與合成策略是排列組合問題的一種最基本的解題策略,把一個(gè)復(fù)雜問題分解成幾個(gè)小問題逐一解決,然后依據(jù)問題分解后的結(jié)構(gòu),用分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理將問題合成,從而得到問題的答案 ,每個(gè)比較復(fù)雜的問題都要用到這種解題策略 十七.化歸策略 例17. 25人排成5×5方陣,現(xiàn)從中選3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的選法有多少種？ 解：將這個(gè)問題退化成9人排成3×3方陣,現(xiàn)從中選3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少選法.這樣每行必有1人從其中的一行中選取1人后,把這人所在的行列都劃掉，如此繼續(xù)下去.從3×3方隊(duì)中選3人的方法有種。再從5×5方陣選出3×3方陣便可解決問題.從5×5方隊(duì)中選取3行3列有選法所以從5×5方陣選不在同一行也不在同一列的3人有選法。 處理復(fù)雜的排列組合問題時(shí)可以把一個(gè)問題退化成一個(gè)簡要的問題，通過解決這個(gè)簡要的問題的解決找到解題方法，從而進(jìn)下一步解決原來的問題 練習(xí)題:某城市的街區(qū)由12個(gè)全等的矩形區(qū)組成其中實(shí)線表示馬路，從A走到B的最短路徑有多少種？() 十八.數(shù)字排序問題查字典策略 例18．由0，1，2，3，4，5六個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)的比324105大的數(shù)？ 解: 數(shù)字排序問題可用查字典法,查字典的法應(yīng)從高位向低位查,依次求出其符合要求的個(gè)數(shù),根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理求出其總數(shù)。 練習(xí):用0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)的四位偶數(shù),將這些數(shù)字從小到大排列起來,第71個(gè)數(shù)是 3140 十九.樹圖策略 例19．人相互傳球,由甲開始發(fā)球,并作為第一次傳球,經(jīng)過次傳求后,球仍回到甲的手中,則不同的傳球方式有______ 對于條件比較復(fù)雜的排列組合問題，不易用 公式進(jìn)行運(yùn)算，樹圖會收到意想不到的結(jié)果 練習(xí): 分別編有1，2，3，4，5號碼的人與椅，其中號人不坐號椅（）的不同坐法有多少種？ 二十.復(fù)雜分類問題表格策略 例20．有紅、黃、蘭色的球各5只,分別標(biāo)有A、B、C、D、E五個(gè)字母,現(xiàn)從中取5只,要求各字母均有且三色齊備,則共有多少種不同的取法 紅 1 1 1 2 2 3 黃 1 2 3 1 2 1 蘭 3 2 1 2 1 1 取法 解: 一些復(fù)雜的分類選取題,要滿足的條件比較多, 無從入手,經(jīng)常出現(xiàn)重復(fù)遺漏的情況,用表格法,則分類明確,能保證題中須滿足的條件,能達(dá)到好的效果. 二十一：住店法策略 解決“允許重復(fù)排列問題”要注意區(qū)分兩類元素：一類元素可以重復(fù)，另一類不能重復(fù)，把不能重復(fù)的元素看作“客”，能重復(fù)的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解. 例21.七名學(xué)生爭奪五項(xiàng)冠軍，每項(xiàng)冠軍只能由一人獲得，獲得冠軍的可能的種數(shù)有 . 分析：因同一學(xué)生可以同時(shí)奪得n項(xiàng)冠軍，故學(xué)生可重復(fù)排列，將七名學(xué)生看作7家“店”，五項(xiàng)冠軍看作5名“客”，每個(gè)“客”有7種住宿法，由乘法原理得7種. 排列組合易錯(cuò)題正誤解析 1沒有理解兩個(gè)基本原理出錯(cuò) 排列組合問題基于兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理，即加法原理和乘法原理，故理解“分類用加、分步用乘”是解決排列組合問題的前提. 例1 從6臺原裝計(jì)算機(jī)和5臺組裝計(jì)算機(jī)中任意選取5臺,其中至少有原裝與組裝計(jì)算機(jī)各兩臺,則不同的取法有 種. 誤解：因?yàn)榭梢匀?臺原裝與3臺組裝計(jì)算機(jī)或是3臺原裝與2臺組裝計(jì)算機(jī)，所以只有2種取法. 錯(cuò)因分析：誤解的原因在于沒有意識到“選取2臺原裝與3臺組裝計(jì)算機(jī)或是3臺原裝與2臺組裝計(jì)算機(jī)”是完成任務(wù)的兩“類”辦法，每類辦法中都還有不同的取法. 正解：由分析，完成第一類辦法還可以分成兩步：第一步在原裝計(jì)算機(jī)中任意選取2臺，有種方法；第二步是在組裝計(jì)算機(jī)任意選取3臺，有種方法，據(jù)乘法原理共有種方法.同理，完成第二類辦法中有種方法.據(jù)加法原理完成全部的選取過程共有種方法. 例2 在一次運(yùn)動會上有四項(xiàng)比賽的冠軍在甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，那么不同的奪冠情況共有（ ）種. （A）????????? （B）?????? （C）???????? （D） 誤解：把四個(gè)冠軍，排在甲、乙、丙三個(gè)位置上，選A. 正解：四項(xiàng)比賽的冠軍依次在甲、乙、丙三人中選取，每項(xiàng)冠軍都有3種選取方法，由乘法原理共有種. 說明：本題還有同學(xué)這樣誤解，甲乙丙奪冠均有四種情況，由乘法原理得.這是由于沒有考慮到某項(xiàng)冠軍一旦被一人奪得后，其他人就不再有4種奪冠可能. 2判斷不出是排列還是組合出錯(cuò) 在判斷一個(gè)問題是排列還是組合問題時(shí)，主要看元素的組成有沒有順序性，有順序的是排列，無順序的是組合. 例3 有大小形狀相同的3個(gè)紅色小球和5個(gè)白色小球，排成一排，共有多少種不同的排列方法？ 誤解：因?yàn)槭?個(gè)小球的全排列，所以共有種方法. 錯(cuò)因分析：誤解中沒有考慮3個(gè)紅色小球是完全相同的，5個(gè)白色小球也是完全相同的，同色球之間互換位置是同一種排法. 正解：8個(gè)小球排好后對應(yīng)著8個(gè)位置，題中的排法相當(dāng)于在8個(gè)位置中選出3個(gè)位置給紅球，剩下的位置給白球，由于這3個(gè)紅球完全相同，所以沒有順序，是組合問題.這樣共有：排法. 3重復(fù)計(jì)算出錯(cuò) 在排列組合中常會遇到元素分配問題、平均分組問題等，這些問題要注意避免重復(fù)計(jì)數(shù)，產(chǎn)生錯(cuò)誤。 例4 5本不同的書全部分給4個(gè)學(xué)生，每個(gè)學(xué)生至少一本，不同的分法種數(shù)為（ ） （A）480?種???????? （B）240種?????? （C）120種???????? （D）96種 誤解：先從5本書中取4本分給4個(gè)人，有種方法，剩下的1本書可以給任意一個(gè)人有4種分法，共有種不同的分法，選A. 錯(cuò)因分析：設(shè)5本書為、、、、，四個(gè)人為甲、乙、丙、丁.按照上述分法可能如下的表1和表2： 乙 丙 丁 甲 表1 乙 丙 丁 甲 表2 表1是甲首先分得、乙分得、丙分得、丁分得，最后一本書給甲的情況；表2是甲首先分得、乙分得、丙分得、丁分得，最后一本書給甲的情況.這兩種情況是完全相同的，而在誤解中計(jì)算成了不同的情況。正好重復(fù)了一次. 正解：首先把5本書轉(zhuǎn)化成4本書，然后分給4個(gè)人.第一步：從5本書中任意取出2本捆綁成一本書，有種方法；第二步：再把4本書分給4個(gè)學(xué)生，有種方法.由乘法原理，共有種方法，故選B. 例5 某交通崗共有3人，從周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值2天，其不同的排法共有（ ）種. （A）5040????????? （B）1260?????? （C）210???????? （D）630 誤解：第一個(gè)人先挑選2天，第二個(gè)人再挑選2天，剩下的3天給第三個(gè)人，這三個(gè)人再進(jìn)行全排列.共有：，選B. 錯(cuò)因分析：這里是均勻分組問題.比如：第一人挑選的是周一、周二，第二人挑選的是周三、周四；也可能是第一個(gè)人挑選的是周三、周四，第二人挑選的是周一、周二，所以在全排列的過程中就重復(fù)計(jì)算了.正解：種. 0 1，3 4遺漏計(jì)算出錯(cuò) 在排列組合問題中還可能由于考慮問題不夠全面，因?yàn)檫z漏某些情況，而出錯(cuò)。 例6 用數(shù)字0，1，2，3，4組成沒有重復(fù)數(shù)字的比1000大的奇數(shù)共有（ ） （A）36個(gè)??????? （B）48個(gè)???? （C）66個(gè)?????? （D）72個(gè) 誤解：如右圖，最后一位只能是1或3有兩種取法，又因?yàn)榈?位不能是0，在最后一位取定后只有3種取 法，剩下3個(gè)數(shù)排中間兩個(gè)位置有種排法，共有個(gè). 錯(cuò)因分析：誤解只考慮了四位數(shù)的情況，而比1000大的奇數(shù)還可能是五位數(shù). 正解：任一個(gè)五位的奇數(shù)都符合要求，共有個(gè)，再由前面分析四位數(shù)個(gè)數(shù)和五位數(shù)個(gè)數(shù)之和共有72個(gè)，選D. 5忽視題設(shè)條件出錯(cuò) 在解決排列組合問題時(shí)一定要注意題目中的每一句話甚至每一個(gè)字和符號，不然就可能多解或者漏解. 1 3 2 5 4 例7 如圖，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有4 種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有 種.（以數(shù)字作答） 誤解：先著色第一區(qū)域，有4種方法，剩下3種顏色涂四個(gè)區(qū)域，即有一種顏色涂相對的 兩塊區(qū)域，有種，由乘法原理共有：種. 錯(cuò)因分析：沒有看清題設(shè)“有4種顏色可供選擇”，不一定需要4種顏色全部使用，用3種也可以完成任務(wù). 正解：當(dāng)使用四種顏色時(shí)，由前面的誤解知有48種著色方法；當(dāng)僅使用三種顏色時(shí)：從4種顏色中選取3種有種方法，先著色第一區(qū)域，有3種方法，剩下2種顏色涂四個(gè)區(qū)域，只能是一種顏色涂第2、4區(qū)域，另一種顏色涂第3、5區(qū)域，有2種著色方法，由乘法原理有種.綜上共有：種. 例8 已知是關(guān)于的一元二次方程，其中、，求解集不同的一元二次方程的個(gè)數(shù). 誤解：從集合中任意取兩個(gè)元素作為、，方程有個(gè)，當(dāng)、取同一個(gè)數(shù)時(shí)方程有1個(gè)，共有個(gè). 錯(cuò)因分析：誤解中沒有注意到題設(shè)中：“求解集不同的……”所以在上述解法中要去掉同解情況，由于同解、同解，故要減去2個(gè)。 正解：由分析，共有個(gè)解集不同的一元二次方程. 6未考慮特殊情況出錯(cuò) 在排列組合中要特別注意一些特殊情況，一有疏漏就會出錯(cuò). 例9 現(xiàn)有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民幣各一張，100元人民幣2張，從中至少取一張，共可組成不同的幣值種數(shù)是（ ） (A)1024種 (B)1023種 (C)1536種 (D)1535種 誤：因?yàn)楣灿腥嗣駧?0張，每張人民幣都有取和不取2種情況，減去全不取的1種情況，共有種. 錯(cuò)因分析：這里100元面值比較特殊有兩張，在誤解中被計(jì)算成 4 種情況，實(shí)際上只有不取、取一張和取二張3種情況. 正解：除100元人民幣以外每張均有取和不取2種情況，100元人民幣的取法有3種情況，再減去全不取的1種情況，所以共有種. 7題意的理解偏差出錯(cuò) 例10 現(xiàn)有8個(gè)人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不能相鄰的排法有（ ）種. （A）???（B）??（C）???（D） 誤解：除了甲、乙、丙三人以外的5人先排，有種排法，5人排好后產(chǎn)生6個(gè)空檔，插入甲、乙、丙三人有種方法，這樣共有種排法，選A. 錯(cuò)因分析：誤解中沒有理解“甲、乙、丙三人不能相鄰”的含義，得到的結(jié)果是“甲、乙、丙三人互不相鄰”的情況.“甲、乙、丙三人不能相鄰”是指甲、乙、丙三人不能同時(shí)相鄰，但允許其中有兩人相鄰. 正解：在8個(gè)人全排列的方法數(shù)中減去甲、乙、丙全相鄰的方法數(shù)，就得到甲、乙、丙三人不相鄰的方法數(shù)，即，故選B. 8解題策略的選擇不當(dāng)出錯(cuò) 例10 高三年級的三個(gè)班到甲、乙、丙、丁四個(gè)工廠進(jìn)行社會實(shí)踐，其中工廠甲必須有班級去，每班去何工廠可自由選擇，則不同的分配方案有（ ）. （A）16種 （B）18種 （C）37種 （D）48種 誤解：甲工廠先派一個(gè)班去，有3種選派方法，剩下的2個(gè)班均有4種選擇，這樣共有種方案. 錯(cuò)因分析：顯然這里有重復(fù)計(jì)算.如：班先派去了甲工廠，班選擇時(shí)也去了甲工廠，這與班先派去了甲工廠，班選擇時(shí)也去了甲工廠是同一種情況，而在上述解法中當(dāng)作了不一樣的情況，并且這種重復(fù)很難排除. 正解：用間接法.先計(jì)算3個(gè)班自由選擇去何工廠的總數(shù)，再扣除甲工廠無人去的情況，即：種方案. （二）典型例題講解 例1 用0到9這10 個(gè)數(shù)字．可組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？ 分析：這一問題的限制條件是：①沒有重復(fù)數(shù)字；②數(shù)字“0”不能排在千位數(shù)上；③個(gè)位數(shù)字只能是0、2、4、6、8、，從限制條件入手，可劃分如下： 如果從個(gè)位數(shù)入手，四位偶數(shù)可分為：個(gè)位數(shù)是“0”的四位偶做，個(gè)位數(shù)是 2、4、6、8的四位偶數(shù)（這是因?yàn)榱悴荒芊旁谇粩?shù)上）．由此解法一與二． 如果從千位數(shù)入手．四位偶數(shù)可分為：千位數(shù)是1、3、5、7、9和千位數(shù)是2、4、6、8兩類，由此得解法三． 如果四位數(shù)劃分為四位奇數(shù)和四位偶數(shù)兩類，先求出四位個(gè)數(shù)的個(gè)數(shù)，用排除法，得解法四． 解法1：當(dāng)個(gè)位數(shù)上排“0”時(shí)，千位，百位，十位上可以從余下的九個(gè)數(shù)字中任選3個(gè)來排列，故有個(gè)； 當(dāng)個(gè)位上在“2、4、6、8”中任選一個(gè)來排，則千位上從余下的八個(gè)非零數(shù)字中任選一個(gè)，百位，十位上再從余下的八個(gè)數(shù)字中任選兩個(gè)來排，按乘法原理有（個(gè)）． ∴ 沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有 個(gè)． 解法2：當(dāng)個(gè)位數(shù)上排“0”時(shí)，同解一有個(gè)；當(dāng)個(gè)位數(shù)上排2、4、6、8中之一時(shí)，千位，百位，十位上可從余下9個(gè)數(shù)字中任選3個(gè)的排列數(shù)中減去千位數(shù)是“0”排列數(shù)得：個(gè) ∴ 沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有 個(gè)． 解法3：千位數(shù)上從1、3、5、7、9中任選一個(gè)，個(gè)位數(shù)上從0、2、4、6、8中任選一個(gè)，百位，十位上從余下的八個(gè)數(shù)字中任選兩個(gè)作排列有 個(gè) 干位上從2、4、6、8中任選一個(gè)，個(gè)位數(shù)上從余下的四個(gè)偶數(shù)中任意選一個(gè)（包括0在內(nèi)），百位，十位從余下的八個(gè)數(shù)字中任意選兩個(gè)作排列，有 個(gè) ∴ 沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有 個(gè)． 解法4：將沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)字劃分為兩類：四位奇數(shù)和四位偶數(shù)． 沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有個(gè)． 其中四位奇數(shù)有個(gè) ∴ 沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有 個(gè) 說明：這是典型的簡單具有限制條件的排列問題，上述四種解法是基本、常見的解法、要認(rèn)真體會每種解法的實(shí)質(zhì)，掌握其解答方法，以期靈活運(yùn)用． 典型例題二 例2 三個(gè)女生和五個(gè)男生排成一排 （1）如果女生必須全排在一起，可有多少種不同的排法？ （2）如果女生必須全分開，可有多少種不同的排法？ （3）如果兩端都不能排女生，可有多少種不同的排法？ （4）如果兩端不能都排女生，可有多少種不同的排法？ 解：（1）（捆綁法）因?yàn)槿齻€(gè)女生必須排在一起，所以可以先把她們看成一個(gè)整體，這樣同五個(gè)男生合一起共有六個(gè)元素，然成一排有種不同排法．對于其中的每一種排法，三個(gè)女生之間又都有對種不同的排法，因此共有種不同的排法． （2）（插空法）要保證女生全分開，可先把五個(gè)男生排好，每兩個(gè)相鄰的男生之間留出一個(gè)空檔．這樣共有4個(gè)空檔，加上兩邊兩個(gè)男生外側(cè)的兩個(gè)位置，共有六個(gè)位置，再把三個(gè)女生插入這六個(gè)位置中，只要保證每個(gè)位置至多插入一個(gè)女生，就能保證任意兩個(gè)女生都不相鄰．由于五個(gè)男生排成一排有種不同排法，對于其中任意一種排法，從上述六個(gè)位置中選出三個(gè)來讓三個(gè)女生插入都有種方法，因此共有種不同的排法． （3）解法1：（位置分析法）因?yàn)閮啥瞬荒芘排?，所以兩端只能挑選5個(gè)男生中的2個(gè)，有種不同的排法，對于其中的任意一種排法，其余六位都有種排法，所以共有種不同的排法． 解法2：（間接法）3個(gè)女生和5個(gè)男生排成一排共有種不同的排法，從中扣除女生排在首位的種排法和女生排在末位的種排法，但這樣兩端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情況時(shí)被扣去一次，在扣除女生排在未位的情況時(shí)又被扣去一次，所以還需加一次回來，由于兩端都是女生有種不同的排法，所以共有種不同的排法． 解法3：（元素分析法）從中間6個(gè)位置中挑選出3個(gè)來讓3個(gè)女生排入，有種不同的排法，對于其中的任意一種排活，其余5個(gè)位置又都有種不同的排法，所以共有種不同的排法， （4）解法1：因?yàn)橹灰髢啥瞬欢寂排?，所以如果首位排了男生，則未位就不再受條件限制了，這樣可有種不同的排法；如果首位排女生，有種排法，這時(shí)末位就只能排男生，有種排法，首末兩端任意排定一種情況后，其余6位都有種不同的排法，這樣可有種不同排法．因此共有種不同的排法． 解法2：3個(gè)女生和5個(gè)男生排成一排有種排法，從中扣去兩端都是女生排法種，就能得到兩端不都是女生的排法種數(shù)． 因此共有種不同的排法． 說明：解決排列、組合（下面將學(xué)到，由于規(guī)律相同，順便提及，以下遇到也同樣處理）應(yīng)用問題最常用也是最基本的方法是位置分析法和元素分析法． 若以位置為主，需先滿足特殊位置的要求，再處理其它位置，有兩個(gè)以上約束條件，往往是考慮一個(gè)約束條件的同時(shí)要兼顧其它條件． 若以元素為主，需先滿足特殊元素要求再處理其它的元素． 間接法有的也稱做排除法或排異法，有時(shí)用這種方法解決問題來得簡單、明快． 捆綁法、插入法對于有的問題確是適用的好方法，要認(rèn)真搞清在什么條件下使用． 典型例題三 例3 排一張有5個(gè)歌唱節(jié)目和4個(gè)舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單。 （1）任何兩個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰的排法有多少種？ （2）歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的方法有多少種？ 解：（1）先排歌唱節(jié)目有種，歌唱節(jié)目之間以及兩端共有6個(gè)位子，從中選4個(gè)放入舞蹈節(jié)目，共有中方法，所以任兩個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰排法有：＝43200. （2）先排舞蹈節(jié)目有中方法，在舞蹈節(jié)目之間以及兩端共有5個(gè)空位，恰好供5個(gè)歌唱節(jié)目放入。所以歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的排法有：＝2880種方法。 說明：對于“間隔”排列問題，我們往往先排個(gè)數(shù)較少的元素，再讓其余元素插空排列。否則，若先排個(gè)數(shù)較多的元素，再讓其余元素插空排時(shí)，往往個(gè)數(shù)較多的元素有相鄰情況。如本題（2）中，若先排歌唱節(jié)目有，再排舞蹈節(jié)目有，這樣排完之后，其中含有歌唱節(jié)目相鄰的情況，不符合間隔排列的要求。 典型例題四 例4 某一天的課程表要排入政治、語文、數(shù)學(xué)、物理、體育、美術(shù)共六節(jié)課，如果第一節(jié)不排體育，最后一節(jié)不排數(shù)學(xué)，那么共有多少種不同的排課程表的方法． 分析與解法1：6六門課總的排法是，其中不符合要求的可分為：體育排在第一書有種排法，如圖中Ⅰ；數(shù)學(xué)排在最后一節(jié)有種排法，如圖中Ⅱ；但這兩種排法，都包括體育排在第一書數(shù)學(xué)排在最后一節(jié)，如圖中Ⅲ，這種情況有種排法，因此符合條件的排法應(yīng)是： （種）． 分析與解法2：根據(jù)要求，課程表安排可分為4種情況： （1）體育、數(shù)學(xué)既不排在第一節(jié)也不排在最后一節(jié)，這種排法有種； （2）數(shù)學(xué)排在第一節(jié)但體育不排在最后一節(jié)，有排法種； （3）體育排在最后一節(jié)但數(shù)學(xué)不排在第一節(jié)，有排法種； （4）數(shù)學(xué)排在第一節(jié)，體育排在最后一節(jié)，有排法 這四類排法并列，不重復(fù)也不遺漏，故總的排法有： （種）． 分析與解法3：根據(jù)要求，課表安排還可分下述4種情況： （1）體育，數(shù)學(xué)既不在最后也不在開頭一節(jié)，有種排法； （2）數(shù)學(xué)排在第一節(jié)，體育不排在最后一節(jié)，有4種排法； （3）體育在最后一書，數(shù)學(xué)木在第一節(jié)有4種排法； （4）數(shù)學(xué)在第一節(jié)，體育在最后一節(jié)有1種排法． 上述 21種排法確定以后，僅剩余下四門課程排法是種，故總排法數(shù)為（種）． 下面再提出一個(gè)問題，請予解答． 問題：有6個(gè)人排隊(duì)，甲不在排頭，乙不在排尾，問并肩多少種不同的排法． 請讀者完成此題． 說明：解答排列、組合問題要注意一題多解的練習(xí)，不僅能提高解題能力，而且是檢驗(yàn)所解答問題正確與否的行之有效的方法． 典型例題五 例5　現(xiàn)有輛公交車、位司機(jī)和位售票員，每輛車上需配位司機(jī)和位售票員．問車輛、司機(jī)、售票員搭配方案一共有多少種？ 分析：可以把輛車看成排了順序的三個(gè)空：，然后把名司機(jī)和名售票員分別填入．因此可認(rèn)為事件分兩步完成，每一步都是一個(gè)排列問題． 解：分兩步完成．第一步，把名司機(jī)安排到輛車中，有種安排方法；第二步把名售票員安排到輛車中，有種安排方法．故搭配方案共有 種． 說明：許多復(fù)雜的排列問題，不可能一步就能完成．而應(yīng)分解開來考慮：即經(jīng)適當(dāng)?shù)胤诸惓煞只蚍植街螅瑧?yīng)用分類計(jì)數(shù)原理、分步計(jì)數(shù)原理原理去解決．在分類或分步時(shí)，要盡量把整個(gè)事件的安排過程考慮清楚，防止分類或分步的混亂． 典型例題六 例6　下是表是高考第一批錄取的一份志愿表．如果有所重點(diǎn)院校，每所院校有個(gè)專業(yè)是你較為滿意的選擇．若表格填滿且規(guī)定學(xué)校沒有重復(fù)，同一學(xué)校的專業(yè)也沒有重復(fù)的話，你將有多少種不同的填表方法？ 分析：填寫學(xué)校時(shí)是有順序的，因?yàn)檫@涉及到第一志愿、第二志愿、第三志愿的問題；同一學(xué)校的兩個(gè)專業(yè)也有順序，要區(qū)分出第一專業(yè)和第二專業(yè)．因此這是一個(gè)排列問題． 解：填表過程可分兩步．第一步，確定填報(bào)學(xué)校及其順序，則在所學(xué)校中選出所并加排列，共有種不同的排法；第二步，從每所院校的個(gè)專業(yè)中選出個(gè)專業(yè)并確定其順序，其中又包含三小步，因此總的排列數(shù)有種．綜合以上兩步，由分步計(jì)數(shù)原理得不同的填表方法有：種． 說明：要完成的事件與元素的排列順序是否有關(guān)，有時(shí)題中并未直接點(diǎn)明，需要根據(jù)實(shí)際情景自己判斷，特別是學(xué)習(xí)了后面的“組合”之后這一點(diǎn)尤其重要．“選而且排”（元素之間有順序要求）的是排列，“選而不排”（元素之間無順序要求）的是組合．另外，較復(fù)雜的事件應(yīng)分解開考慮． 典型例題七 例5　名同學(xué)排隊(duì)照相． (1)若分成兩排照，前排人，后排人，有多少種不同的排法？ (2)若排成兩排照，前排人，后排人，但其中甲必須在前排，乙必須在后排，有多少種不同的排法？ (3)若排成一排照，甲、乙、丙三人必須相鄰，有多少種不同的排法？ (4)若排成一排照，人中有名男生，名女生，女生不能相鄰，有多少種不面的排法？ 分析：(1)可分兩步完成：第一步，從人中選出人排在前排，有種排法；第二步，剩下的人排在后排，有種排法，故一共有種排法．事實(shí)上排兩排與排成一排一樣，只不過把第個(gè)位子看成第二排而已，排法總數(shù)都是，相當(dāng)于個(gè)人的全排列．(2)優(yōu)先安排甲、乙．(3)用“捆綁法”．(4)用“插空法”． 解：(1) 種． (2)第一步安排甲，有種排法；第二步安排乙，有種排法；第三步余下的人排在剩下的個(gè)位置上，有種排法，由分步計(jì)數(shù)原理得，符合要求的排法共有種． (3)第一步，將甲、乙、丙視為一個(gè)元素，有其余個(gè)元素排成一排，即看成個(gè)元素的全排列問題，有種排法；第二步，甲、乙、丙三人內(nèi)部全排列，有種排法．由分步計(jì)數(shù)原理得，共有種排法． (4)第一步，名男生全排列，有種排法；第二步，女生插空，即將名女生插入名男生之間的個(gè)空位，這樣可保證女生不相鄰，易知有種插入方法．由分步計(jì)數(shù)原理得，符合條件的排法共有：種． 說明：(1)相鄰問題用“捆綁法”，即把若干個(gè)相鄰的特殊元素“捆綁”為一個(gè)“大元素”，與其他普通元素全排列；最后再“松綁”，將這些特殊元素進(jìn)行全排列．(2)不相鄰問題用“插空法”，即先安排好沒有限制條件的元素，然后再將有限制條件的元素按要求插入排好的元素之間． 典型例題八 例8　從五個(gè)數(shù)字中每次取出三個(gè)不同的數(shù)字組成三位數(shù)，求所有三位數(shù)的和． 分析：可以從每個(gè)數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)來分析，例如“”，當(dāng)它位于個(gè)位時(shí)，即形如的數(shù)共有個(gè)（從四個(gè)數(shù)中選兩個(gè)填入前面的兩個(gè)空），當(dāng)這些數(shù)相加時(shí)，由“”所產(chǎn)生的和是．當(dāng)位于十位時(shí)，即形如的數(shù)也有，那么當(dāng)這些數(shù)相加時(shí)，由“”產(chǎn)生的和應(yīng)是．當(dāng)位于面位時(shí)，可同理分析．然后再依次分析的情況． 解：形如的數(shù)共有個(gè)，當(dāng)這些數(shù)相加時(shí)，由“”產(chǎn)生的和是；形如的數(shù)也有個(gè)，當(dāng)這些數(shù)相加時(shí)，由“”產(chǎn)生的和是；形如的數(shù)也有個(gè)，當(dāng)這些數(shù)相加時(shí)，由“”產(chǎn)生的和應(yīng)是．這樣在所有三位數(shù)的和中，由“”產(chǎn)生的和是．同理由產(chǎn)生的和分別是，，，，因此所有三位數(shù)的和是． 說明：類似于這種求“數(shù)字之和”的問題都可以用分析數(shù)字出現(xiàn)次數(shù)的辦法來解決．如“由四個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，若所有這些四位數(shù)的各數(shù)位上的數(shù)字之和為，求數(shù)”．本題的特殊性在于，由于是全排列，每個(gè)數(shù)字都要選用，故每個(gè)數(shù)字均出現(xiàn)了次，故有，得． 典型例題九 例9　計(jì)算下列各題： (1) ；　　(2) ；　　(3) ； (4) 　　(5) 解：(1) ； (2) ; (3)原式 ； (4)原式 ； (5)∵， ∴ ． 說明：準(zhǔn)確掌握好排列公式是順利進(jìn)行計(jì)算的關(guān)鍵． 本題計(jì)算中靈活地用到下列各式： ；；；使問題解得簡單、快捷． 典型例題十 例10　六人排一列縱隊(duì)，限定要排在的前面（與可以相鄰，也可以不相鄰），求共有幾種排法．對這個(gè)題目，、、、四位同學(xué)各自給出了一種算式：的算式是；的算式是；的算式是； 的算式是．上面四個(gè)算式是否正確，正確的加以解釋，不正確的說明理由． 解：中很顯然，“在前的六人縱隊(duì)”的排隊(duì)數(shù)目與“在前的六人縱隊(duì)”排隊(duì)數(shù)目相等，而“六人縱隊(duì)”的排法數(shù)目應(yīng)是這二者數(shù)目之和．這表明：的算式正確． 中把六人排隊(duì)這件事劃分為占位，占位，其他四人占位這樣三個(gè)階段，然后用乘法求出總數(shù)，注意到占位的狀況決定了占位的方法數(shù)，第一階段，當(dāng)占據(jù)第一個(gè)位置時(shí)，占位方法數(shù)是；當(dāng)占據(jù)第2個(gè)位置時(shí)，占位的方法數(shù)是；……；當(dāng)占據(jù)第5個(gè)位置時(shí)，占位的方法數(shù)是，當(dāng)，占位后，再排其他四人，他們有種排法，可見的算式是正確的． 中可理解為從6個(gè)位置中選4個(gè)位置讓占據(jù)，這時(shí)，剩下的兩個(gè)位置依前后順序應(yīng)是的．因此的算式也正確． 中把6個(gè)位置先圈定兩個(gè)位置的方法數(shù)，這兩個(gè)位置讓占據(jù)，顯然，占據(jù)這兩個(gè)圈定的位置的方法只有一種（要在的前面），這時(shí)，再排其余四人，又有種排法，可見的算式是對的． 說明：下一節(jié)組合學(xué)完后，可回過頭來學(xué)習(xí)的解法． 典型例題十一 例11　八個(gè)人分兩排坐，每排四人，限定甲必須坐在前排，乙、丙必須坐在同一排，共有多少種安排辦法？ 解法1：可分為“乙、丙坐在前排，甲坐在前排的八人坐法”和“乙、丙在后排，甲坐在前排的八人坐法”兩類情況．應(yīng)當(dāng)使用加法原理，在每類情況下，劃分“乙丙坐下”、“甲坐下”；“其他五人坐下”三個(gè)步驟，又要用到分步計(jì)數(shù)原理，這樣可有如下算法： (種)． 解法2：采取“總方法數(shù)減去不命題意的所有方法數(shù)”的算法．把“甲坐在第一排的八人坐法數(shù)”看成“總方法數(shù)”，這個(gè)數(shù)目是．在這種前提下，不合題意的方法是“甲坐第一排，且乙、丙坐兩排的八人坐法．”這個(gè)數(shù)目是．其中第一個(gè)因數(shù)表示甲坐在第一排的方法數(shù)，表示從乙、丙中任選出一人的辦法數(shù)，表示把選出的這個(gè)人安排在第一排的方法數(shù)，下一個(gè)則表示乙、丙中沿未安排的那個(gè)人坐在第二排的方法數(shù)，就是其他五人的坐法數(shù)，于是總的方法數(shù)為 (種)． 說明：解法2可在學(xué)完組合后回過頭來學(xué)習(xí)． 典型例題十二 例12 計(jì)劃在某畫廊展出10幅不同的畫，其中1幅水彩畫、4幅油畫、5幅國畫，排成一行陳列，要求同一品種的畫必須連在一起，并且不彩畫不放在兩端，那么不同陳列方式有（　?。? A．　　B．　　C．　　D． 解：將同一品種的畫“捆”在一起，注意到水彩畫不放在兩端，共有種排列．但4幅油畫、5幅國畫本身還有排列順序要求．所以共有種陳列方式． ∴應(yīng)選D． 說明：關(guān)于“若干個(gè)元素相鄰”的排列問題，一般使用“捆綁”法，也就是將相鄰的若干個(gè)元素“捆綁”在一起，看作一個(gè)大元素，與其他的元素進(jìn)行全排列；然后，再“松綁”，將被“捆綁”的若干元素，內(nèi)部進(jìn)行全排列．本例題就是一個(gè)典型的用“捆綁”法來解答的問題． 典型例題十三 例13 由數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)的個(gè)數(shù)共有（　?。? A．210　　B．300　　C．464　　D．600 解法1：（直接法）：分別用作十萬位的排列數(shù)，共有種，所以其中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的這樣的六位數(shù)有個(gè)． 解法2：（間接法）：取個(gè)數(shù)字排列有，而作為十萬位的排列有，所以其中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的這樣的六位數(shù)有(個(gè))． ∴應(yīng)選B． 說明：(1)直接法、間接法是解決有關(guān)排列應(yīng)用題的兩種基本方法，何時(shí)使用直接法或間接法要視問題而定，有的問題如果使用直接法解決比較困難或者比較麻煩，這時(shí)應(yīng)考慮能否用間接法來解． (2)“個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字”與“個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字”具有對稱性，這兩類的六位數(shù)個(gè)數(shù)一樣多，即各占全部六位數(shù)的一半，同類問題還有6個(gè)人排隊(duì)照像時(shí)，甲必須站在乙的左側(cè)，共有多少種排法． 典型例題十四 例14 用，這五個(gè)數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（　?。? A．24個(gè)　　B．30個(gè)　　C．40個(gè)　　D．60個(gè) 分析：本題是帶有附加條件的排列問題，可以有多種思考方法，可分類，可分步，可利用概率，也可利用本題所提供的選擇項(xiàng)分析判斷． 解法1：分類計(jì)算． 將符合條件的偶數(shù)分為兩類．一類是2作個(gè)位數(shù)，共有個(gè)，另一類是4作個(gè)位數(shù)，也有個(gè)．因此符合條件的偶數(shù)共有個(gè)． 解法2：分步計(jì)算． 先排個(gè)位數(shù)字，有種排法，再排十位和百位數(shù)字，有種排法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，三位偶數(shù)應(yīng)有個(gè)． 解法3：按概率算． 用這個(gè)數(shù)字可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有個(gè)，其中偶點(diǎn)其中的．因此三位偶數(shù)共有個(gè)． 解法4：利用選擇項(xiàng)判斷． 用這個(gè)數(shù)字可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有個(gè)．其中偶數(shù)少于奇數(shù)，因此偶數(shù)的個(gè)數(shù)應(yīng)少于個(gè)，四個(gè)選擇項(xiàng)所提供的答案中，只有符合條件． ∴應(yīng)選． 典型例題十五 例15　(1)計(jì)算． (2)求()的個(gè)位數(shù)字． 分析：本題如果直接用排列數(shù)公式計(jì)算，在運(yùn)算上比較困難，現(xiàn)在我們可以從和式中項(xiàng)的特點(diǎn)以及排列數(shù)公式的特點(diǎn)兩方面考慮．在(1)中，項(xiàng)可抽象為，(2)中，項(xiàng)為，當(dāng)時(shí)，乘積中出現(xiàn)5和2，積的個(gè)位數(shù)為0，在加法運(yùn)算中可不考慮． 解：(1)由 ∴原式． (2)當(dāng)時(shí)，的個(gè)位數(shù)為0， ∴()的個(gè)位數(shù)字與的個(gè)位數(shù)字相同． 而，∴的個(gè)位數(shù)字為3． 說明：對排列數(shù)公式特點(diǎn)的分析是我們解決此類問題的關(guān)鍵，比如：求證： ，我們首先可抓等式右邊的 ， ∴左邊右邊． 典型例題十六 例16　用共六個(gè)數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)，(1)可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的位偶數(shù)？(2)可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字且被整除的三位數(shù)？ 分析：位偶數(shù)要求個(gè)位是偶數(shù)且首位數(shù)字不能是，由于個(gè)位用或者不用數(shù)字，對確定首位數(shù)字有影響，所以需要就個(gè)位數(shù)字用或者用進(jìn)行分類．一個(gè)自然數(shù)能被整除的條件是所有數(shù)字之和是的倍數(shù)，本題可以先確定用哪三個(gè)數(shù)字，然后進(jìn)行排列，但要注意就用與不用數(shù)字進(jìn)行分類． 解：(1)就個(gè)位用還是用分成兩類，個(gè)位用，其它兩位從中任取兩數(shù)排列，共有(個(gè))，個(gè)位用或，再確定首位，最后確定十位，共有(個(gè))，所有位偶數(shù)的總數(shù)為：(個(gè))． (2)從中取出和為的倍數(shù)的三個(gè)數(shù)，分別有下列取法：、、、、、、、，前四組中有，后四組中沒有，用它們排成三位數(shù)，如果用前組，共有(個(gè))，如果用后四組，共有(個(gè))，所有被整除的三位數(shù)的總數(shù)為(個(gè))． 典型例題十七 例17　一條長椅上有個(gè)座位，人坐，要求個(gè)空位中，有個(gè)空位相鄰，另一個(gè)空位與個(gè)相鄰空位不相鄰，共有幾種坐法？ 分析：對于空位，我們可以當(dāng)成特殊元素對待，設(shè)空座梯形依次編號為．先選定兩個(gè)空位，可以在號位，也可以在號位…共有六種可能，再安排另一空位，此時(shí)需看到，如果空位在號，則另一空位可以在號位，有種可能，相鄰空位在號位，亦如此．如果相鄰空位在號位，另一空位可以在號位，只有種可能，相鄰空位在號，號，號亦如此，所以必須就兩相鄰空位的位置進(jìn)行分類．本題的另一考慮是，對于兩相鄰空位可以用合并法看成一個(gè)元素與另一空位插入已坐人的個(gè)座位之間，用插空法處理它們的不相鄰． 解答一：就兩相鄰空位的位置分類： 若兩相鄰空位在或，共有(種)坐法． 若兩相鄰空位在，，或，共有(種)不同坐法，所以所有坐法總數(shù)為(種)． 解答二：先排好個(gè)人，然后把兩空位與另一空位插入坐好的人之間，共有(種)不同坐法． 解答三：本題還可采用間接法，逆向考慮在所有坐法中去掉個(gè)空位全不相鄰或全部相鄰的情況，個(gè)人任意坐到個(gè)座位上，共有種坐法，三個(gè)空位全相鄰可以用合并法，直接將三個(gè)空位看成一個(gè)元素與其它座位一起排列，共有種不同方法．三個(gè)空位全不相鄰仍用插空法，但三個(gè)空位不須排列，直接插入個(gè)人的個(gè)間隔中，有種不同方法，所以，所有滿足條件的不同坐法種數(shù)為(種)． 排列與組合習(xí)題 1．6個(gè)人分乘兩輛不同的汽車，每輛車最多坐4人，則不同的乘車方法數(shù)為(　　) A．40　 　　 B．50　 　　C．60　 　　 D．70 [解析]　先分組再排列，一組2人一組4人有C＝15種不同的分法；兩組各3人共有＝10種不同的分法，所以乘車方法數(shù)為25×2＝50，故選B. 2．有6個(gè)座位連成一排，現(xiàn)有3人就坐，則恰有兩個(gè)空座位相鄰的不同坐法有(　　) A．36種 B．48種 C．72種 D．96種 [解析]　恰有兩個(gè)空座位相鄰，相當(dāng)于兩個(gè)空位與第三個(gè)空位不相鄰，先排三個(gè)人，然后插空，從而共AA＝72種排法，故選C. 3．只用1,2,3三個(gè)數(shù)字組成一個(gè)四位數(shù)，規(guī)定這三個(gè)數(shù)必須同時(shí)使用，且同一數(shù)字不能相鄰出現(xiàn)，這樣的四位數(shù)有(　　) A．6個(gè) B．9個(gè) C．18個(gè) D．36個(gè) [解析]　注意題中條件的要求，一是三個(gè)數(shù)字必須全部使用，二是相同的數(shù)字不能相鄰，選四個(gè)數(shù)字共有C＝3(種)選法，即1231,1232,1233，而每種選擇有A×C＝6(種)排法，所以共有3×6＝18(種)情況，即這樣的四位數(shù)有18個(gè)． 4．男女學(xué)生共有8人，從男生中選取2人，從女生中選取1人，共有30種不同的選法，其中女生有(　　) A．2人或3人 B．3人或4人 C．3人 D．4人 [解析]　設(shè)男生有n人，則女生有(8－n)人，由題意可得CC＝30，解得n＝5或n＝6，代入驗(yàn)證，可知女生為2人或3人． 5．某幢樓從二樓到三樓的樓梯共10級，上樓可以一步上一級，也可以一步上兩級，若規(guī)定從二樓到三樓用8步走完，則方法有(　　) A．45種 B．36種 C．28種 D．25種 [解析]　因?yàn)?0÷8的余數(shù)為2，故可以肯定一步一個(gè)臺階的有6步，一步兩個(gè)臺階的有2步，那么共有C＝28種走法． 6．某公司招聘來8名員工，平均分配給下屬的甲、乙兩個(gè)部門，其中兩名英語翻譯人員不能分在同一個(gè)部門，另外三名電腦編程人員也不能全分在同一個(gè)部門，則不同的分配方案共有(　　) A．24種 B．36種 C．38種 D．108種 [解析]　本題考查排列組合的綜合應(yīng)用，據(jù)題意可先將兩名翻譯人員分到兩個(gè)部門，共有2種方法，第二步將3名電腦編程人員分成兩組，一組1人另一組2人，共有C種分法，然后再分到兩部門去共有CA種方法，第三步只需將其他3人分成兩組，一組1人另一組2人即可，由于是每個(gè)部門各4人，故分組后兩人所去的部門就已確定，故第三步共有C種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理共有2CAC＝36(種)． 7．已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，從這三個(gè)集合中各取一個(gè)元素構(gòu)成空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)，則確定的不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(　　) A．33 B．34 C．35 D．36 [解析]?、偎每臻g直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)的坐標(biāo)中不含1的有C·A＝12個(gè)； ②所得空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)的坐標(biāo)中含有1個(gè)1的有C·A＋A＝18個(gè)； ③所得空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)的坐標(biāo)中含有2個(gè)1的有C＝3個(gè)． 故共有符合條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為12＋18＋3＝33個(gè)，故選A. 8．由1、2、3、4、5、6組成沒有重復(fù)數(shù)字且1、3都不與5相鄰的六位偶數(shù)的個(gè)數(shù)是(　　) A．72 B．96 C．108 D．144 [解析]　分兩類：若1與3相鄰，有A·CAA＝72(個(gè))，若1與3不相鄰有A·A＝36(個(gè)) 故共有72＋36＝108個(gè)． 9．如果在一周內(nèi)(周一至周日)安排三所學(xué)校的學(xué)生參觀某展覽館，每天最多只安排一所學(xué)校，要求甲學(xué)校連續(xù)參觀兩天，其