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一.雙自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng),1.雙自由度系統(tǒng)的無阻尼受迫振動(dòng) 和單自由度系統(tǒng)一樣，雙自由度系統(tǒng)在受到持續(xù)的激振力作用時(shí)就會(huì)產(chǎn)生受迫振動(dòng)，而且在一定條件下也會(huì)產(chǎn)生共振。我們首先考慮無阻尼的情況。 運(yùn)動(dòng)方程： 圖示系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為：,兩個(gè)自由度系統(tǒng)的受迫振動(dòng),右圖所示為雙自由度無阻尼受迫振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型。在質(zhì)量 上持續(xù)作用著一個(gè)簡(jiǎn)諧激振力 我們把受有簡(jiǎn)諧激振力的質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)稱為主系統(tǒng)，把不受激振力作用的質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)稱為子系統(tǒng)。,1,這一振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為： 這是一個(gè)二階非齊次線性常系數(shù)微分方程，其通解由兩部分組成。一是對(duì)應(yīng)于第一個(gè)方程式右邊項(xiàng)為零的齊次微分方程組的解，即自由振動(dòng)。當(dāng)系統(tǒng)存在阻尼時(shí)，這一自由振動(dòng)經(jīng)過一段時(shí)間后逐漸衰減。二是對(duì)應(yīng)上述非齊次微分方程組的一個(gè)特解，它是由系統(tǒng)的激振力引起的受迫振動(dòng)，即系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)振動(dòng)。 只研究穩(wěn)態(tài)振動(dòng)時(shí)，可設(shè)上列微分方程組有簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特解： 對(duì)上式分別求一階及二階導(dǎo)數(shù)：,,,,2,代入后矩陣表示成： 設(shè)系統(tǒng)的固有頻率為 和 ，系數(shù)矩陣可表示為： 解出：,3,頻率響應(yīng)函數(shù)： 該非齊次方程組通解：,4,2.振動(dòng)特性的討論,①運(yùn)動(dòng)規(guī)律：由上述討論可以得知，雙自由度系統(tǒng)無阻尼受迫振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是與激振力同頻的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。 ②頻率及固有頻率：雙自由度系統(tǒng)無阻尼受迫振動(dòng)的頻率與激振力的頻率相同。 ③振幅：由上圖幅頻響應(yīng)曲線可知，當(dāng)激振力頻率等于系統(tǒng)的第一階固有頻率時(shí)或者第二階固有頻率時(shí)，此時(shí)的振幅 、 趨于無窮大，即共振現(xiàn)象。這就是說，在雙自由度系統(tǒng)中，如果激振力的頻率和系統(tǒng)的任何一階固有頻率相近時(shí)，系統(tǒng)都將產(chǎn)生共振，所以雙自由度系統(tǒng)有兩個(gè)共振區(qū)。另外，如果子系統(tǒng)通過彈簧傳給主系統(tǒng)的力正好與作用在主系統(tǒng)上的激振力相平衡，這時(shí)主系統(tǒng)的受迫振動(dòng)就被子系統(tǒng)完全吸收掉而保持靜止，這個(gè)特性常用來設(shè)計(jì)動(dòng)力減振器。 當(dāng)激振力的頻率趨向于無窮時(shí)， 、 均趨于零，即激振力頻率很高時(shí)，兩個(gè)質(zhì)量都幾乎不動(dòng)。這也和單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)的特性很相似。,5,3.雙自由度系統(tǒng)的有阻尼受迫振動(dòng),平衡條件： 矩陣形式：,6,上式可以簡(jiǎn)記為： M-質(zhì)量矩陣，C-阻尼矩陣，K-剛度矩陣。 4.動(dòng)力消振器 （1）無阻尼情況： 穩(wěn)態(tài)解： 系數(shù)行列式：,動(dòng)力消振器,7,為方便討論穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的特性，令主系統(tǒng)固有頻率為 子系統(tǒng)固有頻率為 。則由主系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線可知當(dāng)激振力頻率與主系統(tǒng)固有頻率的比值為1時(shí)，即滿足： 此時(shí) ， ,由于 也就是說子系統(tǒng)通過彈簧 傳給主系統(tǒng)的力，正好與作用在主系統(tǒng)上的激振力相平衡。這樣，主系統(tǒng)的受迫振動(dòng)就被子系統(tǒng)完全吸收掉而保持靜止，這就是動(dòng)力消振原理。 （2）有阻尼的情況：,主系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線,8,穩(wěn)態(tài)解： -復(fù)激振力的力幅； 響應(yīng)的復(fù)幅值。 將穩(wěn)態(tài)解的表達(dá)式代入矩陣形式表達(dá)式， 振幅： 下圖為單自由度系統(tǒng)的幅頻曲線和動(dòng)力消振器響應(yīng)曲線：,9,結(jié)論： ①阻尼存在時(shí)，主質(zhì)量的振幅不可能抑制到零，但可以控制在一個(gè)較小的范圍； ②原系統(tǒng)只有一個(gè)固有頻率和共振峰；現(xiàn)在有兩個(gè)固有頻率和共振峰； ③起消振作用的頻率范圍很窄，在主系統(tǒng)的固有頻率 附近。,單自由度系統(tǒng)的幅頻曲線與消振器響應(yīng)曲線,10,二.影響系數(shù)法建立多自由度鏈?zhǔn)较到y(tǒng) 建立和求解多自由度系統(tǒng)振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程式，可以采用達(dá)朗貝爾原理的方法。但是隨著自由度數(shù)目的增加，方程組中包含的方程式的數(shù)量和復(fù)雜程度大大增加，計(jì)算工作量大，求解易出錯(cuò)。因此，對(duì)于一些特殊的鏈?zhǔn)较到y(tǒng)，又常用影響系數(shù)法。同時(shí)對(duì)于一些簡(jiǎn)單的模型，也常使用隔離法分析。下面我們分別介紹建立多自由度系統(tǒng)振動(dòng)方程的影響系數(shù)法和簡(jiǎn)單模型的隔離法。 1.影響系數(shù)法,多自由度鏈狀系統(tǒng),右圖為兩類鏈狀系統(tǒng)，其中（a）圖為平動(dòng)多自由度質(zhì)量-彈簧-阻尼振動(dòng)系統(tǒng)，（b）為轉(zhuǎn)動(dòng)多自由度轉(zhuǎn)子-彈簧-阻尼扭振系統(tǒng)。兩者在動(dòng)力學(xué)模型和方程上即為相似，只是將相應(yīng)的慣性元件、彈性元件和阻尼元件的代號(hào)更換，這里以平動(dòng)系統(tǒng)為例說明。,11,（1）剛度系數(shù)法 在圖（a）所示的平動(dòng)系統(tǒng)中，質(zhì)量塊 分別在作用力 和對(duì)應(yīng)的彈簧-阻尼元件作用下振動(dòng)，在系統(tǒng)靜止時(shí)建立各自的位移坐標(biāo) 。假定彈簧變形在其線性范圍內(nèi)，阻尼為粘性阻尼，則系統(tǒng)為線性系統(tǒng)?，F(xiàn)在討論第i（i=1,2,…,n）個(gè)質(zhì)量塊的受力情況。為此，我們給出以下定義： 僅考慮質(zhì)量的作用時(shí)，定義質(zhì)量（慣性）影響系數(shù)為在使第j個(gè)質(zhì)量塊具有單位加速度（加速度為1）而其他質(zhì)量塊無加速度的情況下平衡第i個(gè)質(zhì)量塊的慣性力所施加的作用力mij。該力方向與加速度方向同向時(shí)為正，反向時(shí)為負(fù)。據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理，在第i個(gè)質(zhì)量塊所施加的外力 就是所有阻尼影響系數(shù) （j=1,2,…,n）與對(duì)應(yīng)位置處質(zhì)量塊加速度 的乘積之和：,12,僅考慮阻尼的作用時(shí)，定義阻尼影響系數(shù) 為第j個(gè) 質(zhì)量塊產(chǎn)生單位速度（速度為1）而其他質(zhì)量塊無速度的情況下外界對(duì)第i個(gè)質(zhì)量塊所施加的作用力，該作用力包含大小和方向，其中力方向與速度方向同向時(shí)為正，反向時(shí)為負(fù)。 據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理，在第i個(gè)質(zhì)量塊所施加的外力 就是所有阻尼影響系數(shù) （j=1,2,…,n）與對(duì)應(yīng)位置處質(zhì)量塊速度 的乘積之和： 僅考慮彈簧的作用時(shí)，定義剛度影響系數(shù) 為第j個(gè)質(zhì)量塊產(chǎn)生的位移為1而其他質(zhì)量塊固定不動(dòng)的情況下外界對(duì)第i個(gè)質(zhì)量塊所施加的作用力，該力包含大小和方向，其中力方向與單位位移方向同向時(shí)為正，反向時(shí)為負(fù)。 根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理，第i個(gè)質(zhì)量塊所受外力 就是所有剛度影響系數(shù) （j=1,2,…,n）對(duì)應(yīng)位置處質(zhì)量塊位移 的乘積之和：,13,而實(shí)際中，需要同時(shí)考慮質(zhì)量、阻尼和彈簧的作用，因此第i個(gè)質(zhì)量塊所受外激勵(lì)為上述三個(gè)外力之和，即： 設(shè)鏈?zhǔn)较到y(tǒng)有n個(gè)質(zhì)量塊組成，將每個(gè)質(zhì)量塊的受力情況按照上式表示出來：,.,14,上面一系列式子可以用矩陣歸納表達(dá)： 式中,.,15,分別為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣與剛度矩陣。 分別為系統(tǒng)的位移、 速度、加速度列陣。 為系統(tǒng)的外力矩陣。 補(bǔ)充： ①剛度系數(shù)法在使用過程中需要多次使用力平衡或者力矩平衡原理。 ②對(duì)于非鏈?zhǔn)较到y(tǒng)，上述的位移、速度及加速度都是指廣義坐標(biāo)位置處的。 ③上列矩陣中的任一元素 分別代表第i坐標(biāo)和第j坐標(biāo)之間的慣性、阻尼和剛度的相互影響，故分別稱之為影響系數(shù)。顯然， 只要能確定影響系數(shù)的數(shù)值，即可求出各系統(tǒng)矩陣。 ④一般情況下，對(duì)于鏈?zhǔn)骄€性系統(tǒng)，若能設(shè)法求出系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣就可以直接按照上式寫出系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程式。,16,（2）柔度系數(shù)法 經(jīng)過以上的分析可以知道，在利用剛度系數(shù)法來建立系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的作用力方程過程中，需要引入力平衡的概念，當(dāng)系統(tǒng)的自由度較多時(shí)，多次人為的增加約束，計(jì)算過程較為復(fù)雜。接下來介紹的柔度系數(shù)法計(jì)算較之較為簡(jiǎn)單。 柔度系數(shù)在數(shù)學(xué)上是彈簧剛度系數(shù)的倒數(shù)，在物理上表示彈簧一端受到單位力時(shí)發(fā)生的變形量。若彈簧的剛度系數(shù)為k，則柔度系數(shù)表示成： 。 在上圖所示的平動(dòng)系統(tǒng)中，先不考慮阻尼的影響。質(zhì)量塊 分別在靜力 的作用有位移 。假定彈簧變形在其線性范圍內(nèi)，則系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。 我們定義柔度影響系數(shù) 為在系統(tǒng)的第j個(gè)質(zhì)量塊上施加一單位力時(shí)，在第i個(gè)質(zhì)量塊上所產(chǎn)生的位移大小。這樣，第i個(gè)質(zhì)量塊的實(shí)際位移 可以表示為：,17,現(xiàn)將每個(gè)質(zhì)量塊的位移表示出： 上面一系列式子可以用矩陣歸納表達(dá)：,.,.,18,上式中的 稱為系統(tǒng)的柔度矩陣， 為位移列陣， 為系統(tǒng)的外力列陣。 在上式中，假如 不是靜力，而是變化的動(dòng)力，則系統(tǒng)開始振動(dòng)，這樣根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，實(shí)際對(duì)每個(gè)質(zhì)量塊上所施加的動(dòng)力應(yīng)在所施加的作用力基礎(chǔ)上減去平衡各自的慣性力的那一部分。這時(shí)上式應(yīng)改寫為： 矩陣化為：,19,上式可以簡(jiǎn)寫成： 上式是用柔度矩陣表示的多自由度無阻尼系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，稱為系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的位移方程。而把用剛度矩陣表示的多自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程稱為系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的作用力方程。對(duì)于多自由度無阻尼系統(tǒng)，作用力方程的一般形式為： 用柔度矩陣的逆矩陣 前乘上上式得： 對(duì)比（1）與（2）式可知：,20,這就是說，對(duì)于同一個(gè)系統(tǒng)，若選取相同的廣義坐標(biāo)，則系統(tǒng)的剛度矩陣[k]和柔度矩陣[δ]互為逆矩陣。因此，對(duì)于那些直接確定剛度矩陣比確定柔度矩陣?yán)щy得多的系統(tǒng)，就可以借助求柔度矩陣的逆矩陣的辦法來得到系統(tǒng)的剛度矩陣。 當(dāng)考慮系統(tǒng)阻尼的作用時(shí)，多自由度系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的作用力方程，如前所述應(yīng)為如下形式： 將上式兩端前乘[δ]： 由于 上式又可以化簡(jiǎn)成： 通過求解系統(tǒng)的柔度矩陣，再求逆以獲得系統(tǒng)的剛度矩陣，這是柔度矩陣的主要作用。所謂的求解系統(tǒng)振動(dòng)微分方程的柔度系數(shù)法主要指求解系統(tǒng)的柔度矩陣，而系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼矩陣仍需通過剛度系數(shù)法中的步驟求解。,21,三.隔離法建立多自由度鏈?zhǔn)较到y(tǒng) （1）隔離法簡(jiǎn)介 隔離法是指對(duì)物理問題中的單個(gè)物理或單個(gè)過程進(jìn)行分析、研究的方法。在力學(xué)中，就是把要分析的物體從相關(guān)的物體體系中隔離出來，作為研究對(duì)象，只分析研究對(duì)象以外的物體對(duì)該對(duì)象的作用力，不考慮研究對(duì)象對(duì)其他物體的作用力。 在使用隔離法時(shí)，容易看清單個(gè)物體的受力情況或單個(gè)過程的運(yùn)動(dòng)情況。在分析系統(tǒng)內(nèi)各物體間的相互作用時(shí)用隔離法可以使問題變得簡(jiǎn)單。 以雙自由度彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)為例，如右圖所示。質(zhì)體m1和m2用彈簧 k1聯(lián)系，而他們的基礎(chǔ)由彈簧k2與地面聯(lián)系。假定兩質(zhì)體只沿鉛垂方 向做往復(fù)直線運(yùn)動(dòng)，質(zhì)體m1和m2的任一瞬間位置只要用x1和x2兩個(gè)獨(dú) 立坐標(biāo)就可以確定。,雙自由度彈簧-質(zhì)量系統(tǒng),22,在連接體中把兩個(gè)物體分別從系統(tǒng)中“隔離”出來，作為研究對(duì)象，分析受力情況，依據(jù)牛頓第二定律列方程，總的原則是所列方程數(shù)與未知量的個(gè)數(shù)相等。 以 和 的靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，取數(shù)值向下為正方向。在振動(dòng)的任一時(shí)刻， 和 的位移分別為 和 。用隔離法分析兩個(gè)質(zhì)量塊如右圖所示，列出質(zhì)體的振動(dòng)微分方程如下：,隔離法分析雙自由度系統(tǒng),23,