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等差數(shù)列知識點(diǎn)及類型題 一、數(shù)列 由與的關(guān)系求 由求時(shí)，要分n=1和n≥2兩種情況討論，然后驗(yàn)證兩種情況可否用統(tǒng)一的解析式表示， 若不能，則用分段函數(shù)的形式表示為。 〖例1〗 根據(jù)下列條件，確定數(shù)列的通項(xiàng)公式。 分析： 將無理問題有理化，而后利用與的關(guān)系求解。 二、等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和 （一）等差數(shù)列的判定 1、等差數(shù)列的判定通常有兩種方法： 第一種是利用定義，，第二種是利用等差中項(xiàng)，即。 2、解選擇題、填空題時(shí)，亦可用通項(xiàng)或前n項(xiàng)和直接判斷。 （1）通項(xiàng)法：若數(shù)列{}的通項(xiàng)公式為n的一次函數(shù)，即=An+B,則{}是等差數(shù)列； （2）前n項(xiàng)和法：若數(shù)列{}的前n項(xiàng)和是的形式（A，B是常數(shù)），則{}是等差數(shù)列。 注：若判斷一個(gè)數(shù)列不是等差數(shù)列，則只需說明任意連續(xù)三項(xiàng)不是等差數(shù)列即可。 〖例2〗已知數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，且滿足 （1）求證：{}是等差數(shù)列； （2）求的表達(dá)式。 【變式】已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，a1＝1.其前n項(xiàng)和Sn滿足2Sn＝2pa＋an－p(p∈R)， 則{an}的通項(xiàng)公式為________． （二）等差數(shù)列的基本運(yùn)算 1、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式=+（n-1）d及前n項(xiàng)和公式，共涉及五個(gè)量，，d,n, ,“知三求二”，體現(xiàn)了用方程的思想解決問題； 2、數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換作用，而和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量，用它們表示已知和未知是常用方法。 注：因?yàn)?，故?shù)列{}是等差數(shù)列。 〖例3〗已知數(shù)列{}的首項(xiàng)=3，通項(xiàng)，且，，成等差數(shù)列。求： （1）的值； （2）數(shù)列{}的前n項(xiàng)和的公式。 分析：（1）由=3與，，成等差數(shù)列列出方程組即可求出；（2）通過利用條件分成兩個(gè)可求和的數(shù)列分別求和。 （三）等差數(shù)列的性質(zhì) 1、等差數(shù)列的單調(diào)性： 等差數(shù)列公差為d，若d>0,則數(shù)列遞增；若d<0,則數(shù)列遞減；若d=0,則數(shù)列為常數(shù)列。 ★2、等差數(shù)列的簡單性質(zhì)： 已知數(shù)列{}是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)和。 （1）若m+n=p+q,則,特別：若m+n=2p，則。 （2）仍是等差數(shù)列，公差為kd; （3）數(shù)列也是等差數(shù)列； (4)若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2，則； （5）若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為，則，且， （6） （其中均為常數(shù)）。 典型例題 1．等差數(shù)列中, 若，則＝________； 2.（廈門）在等差數(shù)列中， ,則 其前9項(xiàng)的和S9等于 （ ） A．18 B 27 C 36 D 9 3、（全國卷Ⅰ理） 設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若,則= 4、等差數(shù)列{an} 的前m項(xiàng)和為30，前2m項(xiàng)和為100，則它的前3m項(xiàng)和為( ) (A)130 (B)170 (C)210 (D)160 5.(湖北卷)已知兩個(gè)等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為A和，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)是（?。? A．2 B．3 C．4 D．5 6、已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四個(gè)根組成一個(gè)首項(xiàng)為的等差數(shù)列，則|m－n|的值等于________． 7、在等差數(shù)列{an}中，a1＝－3,11a5＝5a8－13，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn的最小值為________． 8.若兩個(gè)等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為和，且滿足，則 . ★等差數(shù)列的最值： 若是等差數(shù)列，求前n項(xiàng)和的最值時(shí)， （1）若a1>0,d<0,且滿足，前n項(xiàng)和最大； （2）若a1<0,d>0，且滿足，前n項(xiàng)和最?。? （3）除上面方法外，還可將的前n項(xiàng)和的最值問題看作關(guān)于n的二次函數(shù)最值問題，利用二次函數(shù)的圖象或配方法求解，注意。 〖例4〗在等差數(shù)列中，，其前n項(xiàng)和為。 （1）求的最小值，并求出取最小值時(shí)n的值； （2）求。 分析：（1）可由已知條件，求出a1,d,利用求解，亦可用利用二次函數(shù)求最值； （2）將前面是負(fù)值的項(xiàng)轉(zhuǎn)化為正值求解即可。 〖例5〗已知數(shù)列是等差數(shù)列。 （1）若 （2）若 【變式】已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，Sn為其前n項(xiàng)和，對于任意的n∈N*，滿足關(guān)系式2Sn＝3an－3. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式是bn＝，前n項(xiàng)和為Tn，求證：對于任意的正整數(shù)n，總有Tn<1. 跟蹤訓(xùn)練 1. 已知等差數(shù)列首項(xiàng)為2，末項(xiàng)為62，公差為4，則這個(gè)數(shù)列共有 （ ） A．13項(xiàng) B．14項(xiàng) C．15項(xiàng) D．16項(xiàng) 2. 已知等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=-3n+a，a為常數(shù)，則公差d= （ ） 3. 在等差數(shù)列{an } 中，若a1+a2=-18，a5+a6=-2，則30是這個(gè)數(shù)列的（ ） A．第22項(xiàng) B．第21項(xiàng) C．第20項(xiàng) D．第19項(xiàng) 4. 已知數(shù)列a，-15，b，c，45是等差數(shù)列，則a+b+c的值是 （ ） A．-5 B．0 C．5 D．10 5. 已知等差數(shù)列{an }中，a1+a2+a3=-15，a3+a4=-16，則a1= （ ） 　A．-1 B．-3 C．-5 D．-7 6. 已知等差數(shù)列{an }滿足a2+a7=2a3+a4，那么這個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)是 （ ）　 7. 已知數(shù)列{an }是等差數(shù)列，且a3+a11=40，則a6+a7+a8等于 （ ）　 A．84 B． 72 C．60 D．43 8. 已知等差數(shù)列{an }中，a1+a3+a5=3，則a2+a4= （ ） A．3 B．2 C．1 D．-1 9.已知數(shù)列：，，，，……，則在此數(shù)列中應(yīng)是（ ） A．第21項(xiàng) B．第41項(xiàng) C．第48項(xiàng) D．第49項(xiàng) 10. 已知數(shù)列中，前和 （1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列 （2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式 （3）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，是否存在實(shí)數(shù)，使得對一切正整數(shù)都成立？若存在，求的最小值，若不存在，試說明理由。 等差數(shù)列知識點(diǎn)及類型題 一、數(shù)列 由與的關(guān)系求 由求時(shí)，要分n=1和n≥2兩種情況討論，然后驗(yàn)證兩種情況可否用統(tǒng)一的解析式表示， 若不能，則用分段函數(shù)的形式表示為。 〖例1〗根據(jù)下列條件，確定數(shù)列的通項(xiàng)公式。 分析： 將無理問題有理化，而后利用與的關(guān)系求解。 解答： 二、等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和 （一）等差數(shù)列的判定 1、等差數(shù)列的判定通常有兩種方法： 第一種是利用定義，，第二種是利用等差中項(xiàng)，即。 2、解選擇題、填空題時(shí)，亦可用通項(xiàng)或前n項(xiàng)和直接判斷。 （1）通項(xiàng)法：若數(shù)列{}的通項(xiàng)公式為n的一次函數(shù)，即=An+B,則{}是等差數(shù)列； （2）前n項(xiàng)和法：若數(shù)列{}的前n項(xiàng)和是的形式（A，B是常數(shù)），則{}是等差數(shù)列。 注：若判斷一個(gè)數(shù)列不是等差數(shù)列，則只需說明任意連續(xù)三項(xiàng)不是等差數(shù)列即可。 〖例2〗已知數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，且滿足 （1）求證：{}是等差數(shù)列； （2）求的表達(dá)式。 分析：（1）與的關(guān)系結(jié)論； （2）由的關(guān)系式的關(guān)系式 解答：（1）等式兩邊同除以得-+2=0，即-=2（n≥2）.∴{}是以==2為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列。 （2）由（1）知=+（n-1）d=2+(n-1)×2=2n,∴=,當(dāng)n≥2時(shí)，=2·=。又∵，不適合上式，故。 【變式】已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，a1＝1.其前n項(xiàng)和Sn滿足2Sn＝2pa＋an－p(p∈R)，則{an}的通項(xiàng)公式為________． ∵a1＝1，∴2a1＝2pa＋a1－p， 即2＝2p＋1－p，得p＝1. 于是2Sn＝2a＋an－1. 當(dāng)n≥2時(shí)，有2Sn－1＝2a＋an－1－1，兩式相減，得2an＝2a－2a＋an－an－1， 整理，得2(an＋an－1)·(an－an－1－)＝0. 又∵an>0，∴an－an－1＝，于是{an}是等差數(shù)列，故an＝1＋(n－1)·＝. （二）等差數(shù)列的基本運(yùn)算 1、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式=+（n-1）d及前n項(xiàng)和公式，共涉及五個(gè)量，，d,n, ,“知三求二”，體現(xiàn)了用方程的思想解決問題； 2、數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換作用，而和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量，用它們表示已知和未知是常用方法。 注：因?yàn)?，故?shù)列{}是等差數(shù)列。 〖例3〗已知數(shù)列{}的首項(xiàng)=3，通項(xiàng)，且，，成等差數(shù)列。求： （1）的值； （2）數(shù)列{}的前n項(xiàng)和的公式。 分析：（1）由=3與，，成等差數(shù)列列出方程組即可求出；（2）通過利用條件分成兩個(gè)可求和的數(shù)列分別求和。 解答：（1）由=3得……………………………………① 又，得…………………② 由①②聯(lián)立得。 （2）由（1）得， （三）等差數(shù)列的性質(zhì) 1、等差數(shù)列的單調(diào)性： 等差數(shù)列公差為d，若d>0,則數(shù)列遞增；若d<0,則數(shù)列遞減；若d=0,則數(shù)列為常數(shù)列。 ★2、等差數(shù)列的簡單性質(zhì)： 已知數(shù)列{}是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)和。 （1）若m+n=p+q,則,特別：若m+n=2p，則。 （2）仍是等差數(shù)列，公差為kd; （3）數(shù)列也是等差數(shù)列； (4)若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2，則； （5）若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為，則，且， （6） （其中均為常數(shù)）。 典型例題 1．等差數(shù)列中, 若，則＝_____225___； 2.（廈門）在等差數(shù)列中， ,則 其前9項(xiàng)的和S9等于 （ A ） A．18 B 27 C 36 D 9 3、（全國卷Ⅰ理） 設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若,則= 24 4、等差數(shù)列{an} 的前m項(xiàng)和為30，前2m項(xiàng)和為100，則它的前3m項(xiàng)和為( C ) (A)130 (B)170 (C)210 (D)160 5.(湖北卷)已知兩個(gè)等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為A和，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)是（　D?。? A．2 B．3 C．4 D．5 6、已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四個(gè)根組成一個(gè)首項(xiàng)為的等差數(shù)列，則|m－n|的值等于________． 　如圖所示，易知拋物線y＝x2－2x＋m與y＝x2－2x＋n有相同的對稱軸x＝1，它們與x軸的四個(gè)交點(diǎn)依次為A、B、C、D. 因?yàn)閤A＝，則xD＝. 又|AB|＝|BC|＝|CD|，所以xB＝，xC＝. 故|m－n|＝|×－×|＝. 7、在等差數(shù)列{an}中，a1＝－3,11a5＝5a8－13，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn的最小值為________． 設(shè)公差為d，則11(－3＋4d)＝5(－3＋7d)－13， ∴d＝. ∴數(shù)列{an}為遞增數(shù)列． 令an≤0，∴－3＋(n－1)·≤0，∴n≤， ∵n∈N*. ∴前6項(xiàng)均為負(fù)值，∴Sn的最小值為S6＝－. 8.若兩個(gè)等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為和，且滿足，則 6 . ★等差數(shù)列的最值： 若是等差數(shù)列，求前n項(xiàng)和的最值時(shí)， （1）若a1>0,d<0,且滿足，前n項(xiàng)和最大； （2）若a1<0,d>0，且滿足，前n項(xiàng)和最??； （3）除上面方法外，還可將的前n項(xiàng)和的最值問題看作關(guān)于n的二次函數(shù)最值問題，利用二次函數(shù)的圖象或配方法求解，注意。 〖例4〗在等差數(shù)列中，，其前n項(xiàng)和為。 （1）求的最小值，并求出取最小值時(shí)n的值； （2）求。 分析：（1）可由已知條件，求出a1,d,利用求解，亦可用利用二次函數(shù)求最值； （2）將前面是負(fù)值的項(xiàng)轉(zhuǎn)化為正值求解即可。 解答：（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，∵ ，令 ，∴當(dāng)n=20或21時(shí)，最小且最小值為-630. （2）由（1）知前20項(xiàng)小于零，第21項(xiàng)等于0，以后各項(xiàng)均為正數(shù)。 ∴ 〖例5〗已知數(shù)列是等差數(shù)列。 （1）若 （2）若 解答：設(shè)首項(xiàng)為，公差為， （1）由， ∴ （2）由已知可得解得 【變式】已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，Sn為其前n項(xiàng)和，對于任意的n∈N*，滿足關(guān)系式2Sn＝3an－3. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式是bn＝，前n項(xiàng)和為Tn，求證：對于任意的正整數(shù)n，總有Tn<1. (1)解?、佼?dāng)n＝1時(shí)，由2Sn＝3an－3得，2a1＝3a1－3， ∴a1＝3. ②當(dāng)n≥2時(shí)，由2Sn＝3an－3得， 2Sn－1＝3an－1－3. 兩式相減得：2(Sn－Sn－1)＝3an－3an－1，即2an＝3an－3an－1， ∴an＝3an－1，又∵a1＝3≠0，∴{an}是等比數(shù)列，∴an＝3n. 驗(yàn)證：當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝3也適合an＝3n. ∴{an}的通項(xiàng)公式為an＝3n. (2)證明　∵bn＝＝ ＝＝－， ∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝(1－)＋(－)＋…＋(－) ＝1－<1. 跟蹤訓(xùn)練 1. 已知等差數(shù)列首項(xiàng)為2，末項(xiàng)為62，公差為4，則這個(gè)數(shù)列共有 （ ） A．13項(xiàng) B．14項(xiàng) C．15項(xiàng) D．16項(xiàng) 2. 已知等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=-3n+a，a為常數(shù)，則公差d= （ ） 3. 在等差數(shù)列{an } 中，若a1+a2=-18，a5+a6=-2，則30是這個(gè)數(shù)列的（ ） A．第22項(xiàng) B．第21項(xiàng) C．第20項(xiàng) D．第19項(xiàng) 4. 已知數(shù)列a，-15，b，c，45是等差數(shù)列，則a+b+c的值是 （ ） A．-5 B．0 C．5 D．10 5. 已知等差數(shù)列{an }中，a1+a2+a3=-15，a3+a4=-16，則a1= （ ） 　A．-1 B．-3 C．-5 D．-7 6. 已知等差數(shù)列{an }滿足a2+a7=2a3+a4，那么這個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)是 （ ）　 7. 已知數(shù)列{an }是等差數(shù)列，且a3+a11=40，則a6+a7+a8等于 （ ）　 A．84 B． 72 C．60 D．43 8. 已知等差數(shù)列{an }中，a1+a3+a5=3，則a2+a4= （ ） A．3 B．2 C．1 D．-1 9.已知數(shù)列：，，，，……，則在此數(shù)列中應(yīng)是（ ） A．第21項(xiàng) B．第41項(xiàng) C．第48項(xiàng) D．第49項(xiàng) 10. 已知數(shù)列中，前和 （1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列 （2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式 （3）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，是否存在實(shí)數(shù)，使得對一切正整數(shù)都成立？若存在，求的最小值，若不存在，試說明理由。 10