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高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)大全—圓錐曲線 一、考點(diǎn)（限考）概要： ??? 1、橢圓： ????? （1）軌跡定義： ?????????? ①定義一：在平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離之和等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是橢圓，兩定點(diǎn)是焦點(diǎn)，兩定點(diǎn)間距離是焦距，且定長(zhǎng)2a大于焦距2c。用集合表示為：； ?????????? ②定義二：在平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離之比是個(gè)常數(shù)e，那么這個(gè)點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。其中定點(diǎn)叫焦點(diǎn)，定直線叫準(zhǔn)線，常數(shù)e是離心率。 ????????????? 用集合表示為：； ??? ?（2）標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)： ????????? ?????????? 注意：當(dāng)沒(méi)有明確焦點(diǎn)在個(gè)坐標(biāo)軸上時(shí)，所求的標(biāo)準(zhǔn)方程應(yīng)有兩個(gè)。 ?????? （3）參數(shù)方程：（θ為參數(shù)）； ?? ? 3、雙曲線： ????? ?（1）軌跡定義： ??????????? ①定義一：在平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是雙曲線，兩定點(diǎn)是焦點(diǎn)，兩定點(diǎn)間距離是焦距。用集合表示為： ??????????? ②定義二：到定點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離之比是個(gè)常數(shù)e，那么這個(gè)點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線。其中定點(diǎn)叫焦點(diǎn)，定直線叫準(zhǔn)線，常數(shù)e是離心率。 ?????????????? 用集合表示為： ?????? （2）標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)： ????????????? ????????????? 注意：當(dāng)沒(méi)有明確焦點(diǎn)在個(gè)坐標(biāo)軸上時(shí)，所求的標(biāo)準(zhǔn)方程應(yīng)有兩個(gè)。 ?????????????? ????? 4、拋物線： ???????? （1）軌跡定義：在平面內(nèi)到定點(diǎn)和定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線，定點(diǎn)是焦點(diǎn)，定直線是準(zhǔn)線，定點(diǎn)與定直線間的距離叫焦參數(shù)p。用集合表示為： ??????? （2）標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)： ???????????? ????????????? ①焦點(diǎn)坐標(biāo)的符號(hào)與方程符號(hào)一致，與準(zhǔn)線方程的符號(hào)相反； ????????????? ②標(biāo)準(zhǔn)方程中一次項(xiàng)的字母與對(duì)稱軸和準(zhǔn)線方程的字母一致； ????????????? ③標(biāo)準(zhǔn)方程的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，有別于一元二次函數(shù)的圖像； 二、復(fù)習(xí)點(diǎn)睛： ??? 1、平面解析幾何的知識(shí)結(jié)構(gòu)： ??????????? ? ????2、橢圓各參數(shù)間的關(guān)系請(qǐng)記熟 “六點(diǎn)六線，一個(gè)三角形”，即六點(diǎn)：四個(gè)頂點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)；六線：兩條準(zhǔn)線，長(zhǎng)軸短軸，焦點(diǎn)線和垂線PQ；三角形：焦點(diǎn)三角形。則橢圓的各性質(zhì)（除切線外）均可在這個(gè)圖中找到。 ??????????????? ???? 3、橢圓形狀與e的關(guān)系：當(dāng)e→0，c→0，橢圓→圓，直至成為極限位置的圓，則認(rèn)為圓是橢圓在e=0時(shí)的特例。當(dāng)e→1，c→a橢圓變扁，直至成為極限位置的線段，此時(shí)也可認(rèn)為是橢圓在e=1時(shí)的特例。 ???? 4、利用焦半徑公式計(jì)算焦點(diǎn)弦長(zhǎng)：若斜率為k的直線被圓錐曲線所截得的弦為AB，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則弦長(zhǎng) ????????????? 這里體現(xiàn)了解析幾何“設(shè)而不求”的解題思想。 ???? 5、若過(guò)橢圓左（或右）焦點(diǎn)的焦點(diǎn)弦為AB，則； ?????6、結(jié)合下圖熟記雙曲線的：“四點(diǎn)八線，一個(gè)三角形”，即：四點(diǎn)：頂點(diǎn)和焦點(diǎn)；八線：實(shí)軸、虛軸、準(zhǔn)線、漸進(jìn)線、焦點(diǎn)弦、垂線PQ。三角形：焦點(diǎn)三角形。 ????????????? ??? ???? 7、雙曲線形狀與e的關(guān)系：，e越大，即漸近線的斜率的絕對(duì)值就越大，這時(shí)雙曲線的形狀就從扁狹逐漸變得開(kāi)闊。由此可知，雙曲線的離心率越大，它的開(kāi)口就越闊。 ???? 8、雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為b。 ???? 9、共軛雙曲線：以已知雙曲線的實(shí)軸為虛軸，虛軸為實(shí)軸，這樣得到的雙曲線稱為原雙曲線的共軛雙曲線。區(qū)別：三常數(shù)a、b、c中a、b不同（互換）c相同,它們共用一對(duì)漸近線。雙曲線和它的共軛雙曲線的焦點(diǎn)在同一圓上。確定雙曲線的共軛雙曲線的方法：將1變?yōu)椋?。 ??? 10、過(guò)雙曲線外一點(diǎn)P（x,y）的直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的情況如下： ?????? （1）P點(diǎn)在兩條漸近線之間且不含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時(shí)，有兩條與漸近線平行的直線和分別與雙曲線兩支相切的兩條切線，共四條； ?????? （2）P點(diǎn)在兩條漸近線之間且包含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時(shí)，有兩條與漸近線平行的直線和只與雙曲線一支相切的兩條切線，共四條； ?????? （3）P在兩條漸近線上但非原點(diǎn)，只有兩條：一條是與另一漸近線平行的直線，一條是切線； ???????（4）P為原點(diǎn)時(shí)不存在這樣的直線； ?? 11、結(jié)合圖形熟記拋物線：“兩點(diǎn)兩線，一個(gè)直角梯形”，即：兩點(diǎn)：頂點(diǎn)和焦點(diǎn)；兩線：準(zhǔn)線、焦點(diǎn)弦；梯形：直角梯形ABCD。 ?????????? ?? 12、對(duì)于拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)可設(shè)為，以簡(jiǎn)化計(jì)算； ?? 13、拋物線的焦點(diǎn)弦（過(guò)焦點(diǎn)的弦）為AB，且 ，則有如下結(jié)論： ?????? ?? 14、過(guò)拋物線外一點(diǎn)總有三條直線和拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)：兩條切線和一條平行于對(duì)稱軸的直線； ?? 15、處理橢圓、雙曲線、拋物線的弦中點(diǎn)問(wèn)題常用代點(diǎn)相減法：即設(shè) 為曲線上不同的兩點(diǎn)，是的中點(diǎn)，則可得到弦中點(diǎn)與兩點(diǎn)間關(guān)系： ????? ?? 16、當(dāng)涉及到弦的中點(diǎn)時(shí)，通常有兩種處理方法：一是韋達(dá)定理，即把直線方程代入曲線方程，消元后，用韋達(dá)定理求相關(guān)參數(shù)（即設(shè)而不求）；二是點(diǎn)差法，即設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，然后把交點(diǎn)坐標(biāo)代入曲線方程，兩式相減后，再求相關(guān)參數(shù)。在利用點(diǎn)差法時(shí)，必須檢驗(yàn)條件△＞0是否成立。 5、圓錐曲線： ????? （1）統(tǒng)一定義，三種圓錐曲線均可看成是這樣的點(diǎn)集：，其中F為定點(diǎn)，d為點(diǎn)P到定直線的l 距離，， e為常數(shù)，如圖。 ??????????????????? ????? （2）當(dāng)0＜e＜1時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是橢圓；當(dāng)e＞1時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是雙曲線；當(dāng)e=1時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是拋物線。 ????? （3）圓錐曲線的幾何性質(zhì)：幾何性質(zhì)是圓錐曲線內(nèi)在的、固有的性質(zhì)，不因?yàn)槲恢玫母淖兌淖儭? ?????????? ①定性：焦點(diǎn)在與準(zhǔn)線垂直的對(duì)稱軸上 ???????????? ⅰ橢圓及雙曲線：中心為兩焦點(diǎn)中點(diǎn)，兩準(zhǔn)線關(guān)于中心對(duì)稱； ???????????? ⅱ橢圓及雙曲線關(guān)于長(zhǎng)軸、短軸或?qū)嵼S、虛軸為軸對(duì)稱，關(guān)于中心為中心對(duì)稱； ?????????????ⅲ拋物線的對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，對(duì)稱中心是原點(diǎn)。 ????????? ②定量： ????????????? ?????（4）圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及解析量（隨坐標(biāo)改變而變） ????????? 以焦點(diǎn)在x軸上的方程為例： ???????????? ?? 6、曲線與方程： ?? ?（1）軌跡法求曲線方程的程序： ???????? ①建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系； ???????? ②設(shè)曲線上任一點(diǎn)（動(dòng)點(diǎn)）M的坐標(biāo)為(x,y)； ???????? ③列出符合條件p(M)的方程f(x,y)=0； ???????? ④化簡(jiǎn)方程f(x,y)=0為最簡(jiǎn)形式； ???????? ⑤證明化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上； ?? （2）曲線的交點(diǎn)： ??????? 由方程組確定，方程組有幾組不同的實(shí)數(shù)解，兩條曲線就有幾個(gè)公共點(diǎn)；方程組沒(méi)有實(shí)數(shù)解，兩條曲線就沒(méi)有公共點(diǎn)。