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曲線方程及圓錐曲線典型例題解析 一．知識要點(diǎn) 1．曲線方程 （1）求曲線(圖形)方程的方法及其具體步驟如下： 步 驟 含 義 說 明 1、“建”：建立坐標(biāo)系；“設(shè)”：設(shè)動點(diǎn)坐標(biāo)。 建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用(x,y)表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)。 (1) 所研究的問題已給出坐標(biāo)系，即可直接設(shè)點(diǎn)。 (2) 沒有給出坐標(biāo)系，首先要選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系。 2、現(xiàn)(限)：由限制條件，列出幾何等式。 寫出適合條件P的點(diǎn)M的集合P={M|P(M)} 這是求曲線方程的重要一步，應(yīng)仔細(xì)分析題意，使寫出的條件簡明正確。 3、“代”：代換 用坐標(biāo)法表示條件P(M)，列出方程f(x,y)=0 常常用到一些公式。 4、“化”：化簡 化方程f(x,y)=0為最簡形式。 要注意同解變形。 5、證明 證明化簡以后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)。 化簡的過程若是方程的同解變形，可以不要證明，變形過程中產(chǎn)生不增根或失根，應(yīng)在所得方程中刪去或補(bǔ)上(即要注意方程變量的取值范圍)。 這五個步驟(不包括證明)可濃縮為五字“口訣”：建設(shè)現(xiàn)(限)代化” （2）求曲線方程的常見方法： 直接法：也叫“五步法”，即按照求曲線方程的五個步驟來求解。這是求曲線方程的基本方法。 轉(zhuǎn)移代入法：這個方法又叫相關(guān)點(diǎn)法或坐標(biāo)代換法。即利用動點(diǎn)是定曲線上的動點(diǎn)，另一動點(diǎn)依賴于它，那么可尋求它們坐標(biāo)之間的關(guān)系，然后代入定曲線的方程進(jìn)行求解。 幾何法：就是根據(jù)圖形的幾何性質(zhì)而得到軌跡方程的方法。 參數(shù)法：根據(jù)題中給定的軌跡條件，用一個參數(shù)來分別動點(diǎn)的坐標(biāo)，間接地把坐標(biāo)x,y聯(lián)系起來，得到用參數(shù)表示的方程。如果消去參數(shù)，就可以得到軌跡的普通方程。 2．圓錐曲線綜合問題 （1）圓錐曲線中的最值問題、范圍問題 通常有兩類：一類是有關(guān)長度和面積的最值問題；一類是圓錐曲線中有關(guān)的幾何元素的最值問題。這些問題往往通過定義，結(jié)合幾何知識，建立目標(biāo)函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)或不等式知識，以及觀形、設(shè)參、轉(zhuǎn)化、替換等途徑來解決。解題時要注意函數(shù)思想的運(yùn)用，要注意觀察、分析圖形的特征，將形和數(shù)結(jié)合起來。 圓錐曲線的弦長求法： 設(shè)圓錐曲線C∶f(x，y)=0與直線l∶y=kx+b相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)兩點(diǎn)，則弦長|AB|為： 若弦AB過圓錐曲線的焦點(diǎn)F，則可用焦半徑求弦長，|AB|=|AF|+|BF|． 在解析幾何中求最值，關(guān)鍵是建立所求量關(guān)于自變量的函數(shù)關(guān)系，再利用代數(shù)方法求出相應(yīng)的最值．注意點(diǎn)是要考慮曲線上點(diǎn)坐標(biāo)(x，y)的取值范圍。 （2）對稱、存在性問題，與圓錐曲線有關(guān)的證明問題 它涉及到線段相等、角相等、直線平行、垂直的證明方法，以及定點(diǎn)、定值問題的判斷方法。 （3）實(shí)際應(yīng)用題 數(shù)學(xué)應(yīng)用題是高考中必考的題型，隨著高考改革的深入，同時課本上也出現(xiàn)了許多與圓錐曲線相關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問題，如橋梁的設(shè)計、探照燈反光鏡的設(shè)計、聲音探測，以及行星、人造衛(wèi)星、彗星運(yùn)行軌道的計算等。 涉及與圓錐曲線有關(guān)的應(yīng)用問題的解決關(guān)鍵是建立坐標(biāo)系，合理選擇曲線模型，然后轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題作出定量或定性分析與判斷，解題的一般思想是： （4）知識交匯題 圓錐曲線經(jīng)常和數(shù)列、三角、平面向量、不等式、推理知識結(jié)合到一塊出現(xiàn)部分有較強(qiáng)區(qū)分度的綜合題。 二．典例解析 題型1：求軌跡方程 例1．（1）一動圓與圓外切，同時與圓內(nèi)切，求動圓圓心的軌跡方程，并說明它是什么樣的曲線。 （2）雙曲線有動點(diǎn)，是曲線的兩個焦點(diǎn)，求的重心的軌跡方程。 解析：（1）（法一）設(shè)動圓圓心為，半徑為，設(shè)已知圓的圓心分別為、， 將圓方程分別配方得：，， 當(dāng)與相切時，有 ① 當(dāng)與相切時，有 ② 將①②兩式的兩邊分別相加，得， 即 ③ 移項再兩邊分別平方得： ④ 兩邊再平方得：， 整理得， 所以，動圓圓心的軌跡方程是，軌跡是橢圓。 （法二）由解法一可得方程， 由以上方程知，動圓圓心到點(diǎn)和的距離和是常數(shù)，所以點(diǎn)的軌跡是焦點(diǎn)為、，長軸長等于的橢圓，并且橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上， ∴，，∴，， ∴， ∴圓心軌跡方程為。 （2）如圖，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)各為，∴在已知雙曲線方程中，∴ ∴已知雙曲線兩焦點(diǎn)為， ∵存在，∴ 由三角形重心坐標(biāo)公式有，即 。 ∵，∴。 已知點(diǎn)在雙曲線上，將上面結(jié)果代入已知曲線方程，有 即所求重心的軌跡方程為：。 點(diǎn)評：定義法求軌跡方程的一般方法、步驟；“轉(zhuǎn)移法”求軌跡方程的方法。 例2．（2001上海，3）設(shè)P為雙曲線y2＝1上一動點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為線段OP的中點(diǎn)，則點(diǎn)M的軌跡方程是 。 解析：（1）答案：x2－4y2＝1 設(shè)P（x0，y0） ∴M（x，y） ∴ ∴2x＝x0，2y＝y(tǒng)0 ∴－4y2＝1x2－4y2＝1 點(diǎn)評：利用中間變量法（轉(zhuǎn)移法）是求軌跡問題的重要方法之一。 題型2：圓錐曲線中最值和范圍問題 例3．（1）設(shè)AB是過橢圓中心的弦，橢圓的左焦點(diǎn)為，則△F1AB的面積最大為（ ） A. B. C. D. （2）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且，則此雙曲線的離心率的最大值是（ ） A. B. C. 2 D. （3）已知A（3，2）、B（－4，0），P是橢圓上一點(diǎn)，則|PA|＋|PB|的最大值為（ ） A. 10 B. C. D. 解析：（1）如圖，由橢圓對稱性知道O為AB的中點(diǎn)，則△F1OB的面積為△F1AB面積的一半。又，△F1OB邊OF1上的高為，而的最大值是b，所以△F1OB的面積最大值為。所以△F1AB的面積最大值為cb。 點(diǎn)評：抓住△F1AB中為定值，以及橢圓是中心對稱圖形。 （2）解析：由雙曲線的定義， 得：， 又，所以，從而 由雙曲線的第二定義可得， 所以。又，從而。故選B。 點(diǎn)評：“點(diǎn)P在雙曲線的右支上”是銜接兩個定義的關(guān)鍵，也是不等關(guān)系成立的條件。利用這個結(jié)論得出關(guān)于a、c的不等式，從而得出e的取值范圍。 （3）解析：易知A（3，2）在橢圓內(nèi)，B（－4，0）是橢圓的左焦點(diǎn)（如圖），則右焦點(diǎn)為F（4，0）。連PB，PF。由橢圓的定義知： ， 所以。 由平面幾何知識， ，即， 而， 所以。 點(diǎn)評：由△PAF成立的條件，再延伸到特殊情形P、A、F共線，從而得出這一關(guān)鍵結(jié)論。 例4．（1）（06全國1文，21）設(shè)P是橢圓短軸的一個端點(diǎn)，為橢圓上的一個動點(diǎn)，求的最大值。 （2）（06上海文，21）已知在平面直角坐標(biāo)系中的一個橢圓，它的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為,右頂點(diǎn)為,設(shè)點(diǎn). ①求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； ②若是橢圓上的動點(diǎn)，求線段中點(diǎn)的軌跡方程； ③過原點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)，求面積的最大值。 （3）（06山東文，21）已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓的短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的四邊形為正方形，兩準(zhǔn)線間的距離為l。 (Ⅰ)求橢圓的方程； (Ⅱ)直線過點(diǎn)P(0,2)且與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)ΔAOB面積取得最大值時，求直線l的方程。 解析：（1）依題意可設(shè)P(0,1)，Q(x,y),則 |PQ|=，又因為Q在橢圓上， 所以，x2=a2(1－y2)， |PQ|2= a2(1－y2)+y2－2y+1=(1－a2)y2－2y+1+a2， =(1－a2)(y－ )2－+1+a2 。 因為|y|≤1,a>1, 若a≥, 則||≤1, 當(dāng)y=時, |PQ|取最大值， 若10，∴·>0，則∠MBP為銳角，從而∠MBN為鈍角， 故點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)。 解法2：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2）， 則－2b>0),其半焦距c=6,∴,b2=a2-c2=9。 所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ②點(diǎn)P(5,2)、F1(-6,0)、F2(6,0)關(guān)于直線y=x的對稱點(diǎn)分別為點(diǎn)P，(2，5)、F1，(0，-6)、F2，(0，6)。 設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為。 由題意知，半焦距c1=6，。 ,b12=c12-a12=36-20=16. 所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為。 點(diǎn)評：本小題主要考查橢圓與雙曲線的基本概念、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識和基本運(yùn)算能力。 題型4：知識交匯題 例7．（06遼寧,20）已知點(diǎn),是拋物線上的兩個動點(diǎn),是坐標(biāo)原點(diǎn),向量,滿足.設(shè)圓的方程為 (I) 證明線段是圓的直徑; (II)當(dāng)圓C的圓心到直線X-2Y=0的距離的最小值為時，求p的值。 解析：(I)證明1: 整理得: 設(shè)M(x,y)是以線段AB為直徑的圓上的任意一點(diǎn),則 即 整理得: 故線段是圓的直徑 證明2: 整理得: ……..(1) 設(shè)(x,y)是以線段AB為直徑的圓上則 即 去分母得: 點(diǎn)滿足上方程,展開并將(1)代入得: 故線段是圓的直徑 證明3: 整理得: ……(1) 以線段AB為直徑的圓的方程為 展開并將(1)代入得: 故線段是圓的直徑 (II)解法1:設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則 又因 所以圓心的軌跡方程為 設(shè)圓心C到直線x-2y=0的距離為d,則 當(dāng)y=p時,d有最小值,由題設(shè)得 . 解法2: 設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則 又因 所以圓心的軌跡方程為 設(shè)直線x-2y+m=0到直線x-2y=0的距離為,則 因為x-2y+2=0與無公共點(diǎn), 所以當(dāng)x-2y-2=0與僅有一個公共點(diǎn)時,該點(diǎn)到直線x-2y=0的距離最小值為 將(2)代入(3)得 解法3: 設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則 圓心C到直線x-2y=0的距離為d,則 又因 當(dāng)時,d有最小值,由題設(shè)得 . 點(diǎn)評：本小題考查了平面向量的基本運(yùn)算,圓與拋物線的方程.點(diǎn)到直線的距離公式等基礎(chǔ)知識,以及綜合運(yùn)用解析幾何知識解決問題的能力。 例8．（06重慶文，22）如圖，對每個正整數(shù)，是拋物線上的點(diǎn)，過焦點(diǎn)的直線角拋物線于另一點(diǎn)。 （Ⅰ）試證：； （Ⅱ）取，并記為拋物線上分別以與為切點(diǎn)的兩條切線的交點(diǎn)。 試證：； 證明：（Ⅰ）對任意固定的因為焦點(diǎn)F（0,1）， 所以可設(shè)直線的方程為 將它與拋物線方程聯(lián)立得: , 由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得． （Ⅱ）對任意固定的利用導(dǎo)數(shù)知識易得拋物線在處的切線的斜率故在處的切線的方程為：，……① 類似地，可求得在處的切線的方程為：，……② 由②－①得：， ……③ 將③代入①并注意得交點(diǎn)的坐標(biāo)為． 由兩點(diǎn)間的距離公式得： ． 現(xiàn)在，利用上述已證結(jié)論并由等比數(shù)列求和公式得： 點(diǎn)評：該題是圓錐曲線與數(shù)列知識交匯的題目。www.ks5u.com 19