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等差數列,1,知識點： 1、數列：按一定順序排成的一列數叫做數列。數列中的每一個數都叫做項，第一項稱為首項，最后一項稱為末項。數列中共有的項的個數叫做項數。 2、等差數列與公差：一個數列，從第二項起，每一項與與它前一項的差都相等，這樣的數列的叫做等差數列，其中相鄰兩項的差叫做公差。 3、常用公式 等差數列的總和=（首項+末項） ×項數÷ 2 項數=（末項-首項） ÷ 公差+1 末項=首項+公差 × （項數-1） 首項=末項-公差 × （項數-1） 公差=（末項-首項） ÷ （項數-1） 等差數列（奇數個數）的總和=中間項× 項數,2,找出規(guī)律后填出下面數列中括號里的數： (1) 1， 2， 3，4， ( )， 6， 7， ( )，… (2) 1， 4， 7， 10， ( )， 16， 19， … (3) 1， 3， 5， 7， 9， ( )，13，…,規(guī)律：從第二項起，每一項與前一項的差為‘1’,等差數列：一個數列，從第個2數開始，依次與前一個數的差相同，這樣的數列叫等差數列,3,一套書有5本，每隔5年出版一本，第三本是1998年出版的。其他幾本書分別是哪年出版的？,1998,2010,2004,1986,1992,這個數列有幾個數,,首項,,末項（尾項）,4,求某一項,1,3,5,7,9,11,公 差：2,末項 = 首項+公差×（項數-1）,首項 = 末項-公差×（項數-1）,項數：6,5,⒈在數列5，6，7，8，9，……，94，95，96中， 第40個數是多少？,練習：,⒉ 等差數列1，3，5，……中， 第401項是多少？,末項=首項+公差 × （項數-1） =5+1 ×(40-1)= 44,末項=首項+公差 × （項數-1） =1+2 × (401-1)=801,6,1,3,5,7,9,11,共幾項？,1949，1950，1951，……，1999，2000,求項數,,,,,,4 , 7 , 10 , 13 … … 25 , 28,項數 = （末項-首項）÷公差+1,7,1，有這樣一個數列：3，7，11，15，19，23……問 （1）這個數列中的第50項是幾？ （2）139是這 個數列中的第幾項？,練習：,2， 有一個等差數列4，7，10，13……，問 （1）這個數列中的20項是幾？ （2）298是這個數列中的第幾項？,3+4 ×(50-1) =199,項數=（末項-首項） ÷ 公差+1 (139-3) ÷4+1 =35,末項=首項+公差 × （項數-1） =4+3 ×(20-1)=61,項數=（末項-首項） ÷ 公差+1 (298-4) ÷3+1 =99,8,求 和 ：,1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … …+ 99,和 = （首項+末項）×項數÷2,=（1+99）×99÷2,= 9900÷2,= 4950,9,求下列方陣中所有各數的和： 1、2、3、4、……49、50； 2、3、4、5、……50、51； 3、4、5、6、……51、52； …… 49、50、51、52、……97、98； 50、51、52、53、……98、99。,解： 每一橫行數列之和： 第一行：（1+50） ×50 ÷ 2=1275 第二行：（2+51） × 50 ÷ 2=1325 第三行：（3+51） × 50 ÷ 2=1375 …… 第四十九行：（49+98） × 50 ÷ 2=3675 第五十行：（50+99） × 50 ÷ 2=3725 方陣所有數之和： 1275+1325+1375+……+3675+3725 =（1275+3725） × 50 ÷ 2 =125000,10,在19和91之間插入5個數，使這7個數構成一個等差數列。寫出插入的5個數。,求 公 差 ：,1,3,5,7,9,11,,,,,,公差=（末項-首項） ÷ （項數-1）,(91-19) ÷(7-1)=12 依次為31、43、55、67、79,11,,下面這組數是按一定規(guī)律排列的，你能求出這組數列的第48個數是幾嗎？ 54、58、62、66、70、74、78、82、86…,末項 = 首項+公差×（項數-1）,54+4 × （48-1）=242,12,,6和26插入三個數，使它們每兩個相鄰數的差相等，這三個數分別是多少？,公差=（末項-首項） ÷ （項數-1）,（26-6） ÷ （5-1）=5 依次為11、16、21,13,練習1 小明往棋盤上放棋子，他在第一格放1枚，在第二格放4枚，第三格放7枚……這樣以后每格都比前一格多放3枚棋子，小明在棋盤的最后一格放了70枚棋子，則這個棋盤共有多少格？,項數=（末項-首項） ÷ 公差+1 (70-1) ÷3+1 =24,練習2 有一列數1、5、9、13、17、21、…… 他的第100個數是多少？ 答：這個數列為等差數列，首項為1，公差為4 數列的通項可以表示為為an=（n-1）×4+1 所以a100=（100-1） × 4+1=397 即第100項為397 這100個數和是多少？ 等差數列的總和=（首項+末項） ×項數÷ 2 （1+397） ×100 ÷2=19900,14,一座塔掛滿了彩燈，最頂層掛了7盞彩燈，下面一層掛了12盞，再下一層掛了17盞……以后每下一層都比上一層多掛5盞燈，最底層是72盞燈，這座塔共多少層？ 一群小朋友玩報數游戲，第一個小朋友報1，第二個小朋友報4，第三個小朋友報7……后一個小朋友比前一個小朋友多報3，后一個小朋友報85，有多少個小朋友在做游戲？ (85-1) ÷3+1 =29（人）,項數=（末項-首項） ÷ 公差+1 (72-7) ÷5+1 =14,15,,有一組數列如下：5、9、13、17、21、…325、329你能求出這組數列共有多少個數嗎？ 拓展1. 39個連續(xù)奇數的和是1989,其中最大的一個奇數是多少 答：因為39個連續(xù)奇數之和為1989,所以中間一個數是這39個數的平均數,1989÷39=51, 比51大的另外19個奇數為:53,55,57,…,87,89.或用末項=首項+公差 × （項數-1） 51+19×2=51+38=89.所以其中最大的一個奇數為89.,項數=（末項-首項） ÷ 公差+1 (329-5) ÷4+1 =82,16,拓展2. 在1~200這二百個數中能被9整除的數的和是多少? 答：在1~200這二百個數中能被9整除的數構成了一個以9為首項,公差為9的等差數列:9,18,27,36,…,189,198, 一共有(198-9)÷9+1=22項. 它們的和為: 等差數列的總和=（首項+末項） ×項數÷ 2 (9+198)×22÷2 =207×22÷2 =2277.,項數 = （末項-首項）÷公差+1,拓展3. 若干人圍成8圈,一圈套一圈,從外向內各圈人數依次少4人.如果最內圈有32人,共有多少? 先求最外圈有多少人?,末項 = 首項+公差×（項數-1）,32+4 ×（8-1）=60（人） 再求共有多少人?等差數列的總和=（首項+末項） ×項數÷ 2 （32+60） ×8 ÷ 2=364（人）,17,練習1、有一個等差數列：3、7、11、15、19、、、123 問1、這個數列共有多少項？問2、這個數列的和是多少？ 這個數列是以首項為3，公差為4的等差數列，其第n項為an=3+(n-1)*4=4n-1，數列和為sn=(3+4n-1)*n/2=(2n+1)*n。這個數列共有31項，和為1953。,2、數到3、7、11、15它的第26項是多少? 3+（26-1）*4或者26*4-1=103,3、有一個數列，3,7,11,1563.這個數列共有多少項？ （63-3）/4=15 15+1=16項,4、已知等差數列：7，11，15，…，63．則這個數列所有的數的和是______,項數=（末項-首項） ÷ 公差+1 (63-7) ÷4+1 =15 和為（7+63） ×15 ÷2=525,5、100是不是3.7.11的項?79是不是這個數列的項？如果是，第幾項？如果不是，理由,100是偶數，顯然不是里面的項 （79-3） ÷4=19 故79是里面的項 是第19+1=20項,6、數列1,4,7,10,…中,第15項是幾?;第16項與第19項相差幾?;58是這個數列的第幾項；前50項的和是多少？,1、第15項為42,2、第16項與第19項相差（3×18+1）-（3×15+1）＝9,3、58是（58-1） ÷3+1=20項,4、前50項和（3×49+1+1）×50 ÷2 =3725,18,