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高中數(shù)學(xué)《立體幾何》大題及答案解析(理) 1.（2009全國卷Ⅰ）如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面，，，點(diǎn)在側(cè)棱上，。 （I）證明：是側(cè)棱的中點(diǎn)； 求二面角的大小。 2.（2009全國卷Ⅱ）如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC,D、E分別為AA1、B1C的中點(diǎn)，DE⊥平面BCC1（Ⅰ）證明：AB=AC （Ⅱ）設(shè)二面角A-BA C B A1 B1 C1 D E D-C為60°,求B1C與平面BCD所成的角的大小 3.（2009浙江卷）如圖，平面，，，，分別為的中點(diǎn)．（I）證明：平面；（II）求與平面所成角的正弦值． 4.（2009北京卷）如圖，四棱錐的底面是正方形，，點(diǎn)E在棱PB上.（Ⅰ）求證：平面； （Ⅱ）當(dāng)且E為PB的中點(diǎn)時(shí)，求AE與平面PDB所成的角的大小. 5.（2009江西卷）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，，．以的中點(diǎn)為球心、為直徑的球面交于點(diǎn)． （1）求證：平面⊥平面； （2）求直線與平面所成的角； （3）求點(diǎn)到平面的距離． 6.（2009四川卷）如圖，正方形所在平面與平面四邊形所在平面互相垂直，△是等腰直角三角形，（I）求證：； （II）設(shè)線段、的中點(diǎn)分別為、，求證： ∥ （III）求二面角的大小。 7.（2009湖北卷文）如圖，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD,SD＝AD＝a,點(diǎn)E是SD上的點(diǎn)，且DE＝a(0<≦1). (Ⅰ)求證：對(duì)任意的（0、1），都有AC⊥BE: (Ⅱ)若二面角C-AE-D的大小為600C，求的值。 8.（2009湖南卷）如圖3，在正三棱柱中，AB=4, ,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AC上，且DEE.（Ⅰ）證明：平面平面; （Ⅱ）求直線AD和平面所成角的正弦值。 9.（2009四川卷） 如圖，正方形所在平面與平面四邊形所在平面互相垂直，△是等腰直角三角形， （I）求證：； （II）設(shè)線段、的中點(diǎn)分別為、， 求證： ∥ （III）求二面角的大小。 10.（2009重慶卷文）如題（18）圖，在五面體中，∥，，，四邊形為平行四邊形，平面，．求： （Ⅰ）直線到平面的距離； （Ⅱ）二面角的平面角的正切值． 11．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD． (1)證明：PA⊥BD； (2)設(shè)PD＝AD，求二面角A－PB－C的余弦值． 12（本小題滿分12分）如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為等腰梯形，ABCD,ACBD，垂足為H， PH是四棱錐的高 ，E為AD中點(diǎn) （1） 證明：PEBC （2） 若APB=ADB=60°，求直線PA與平面PEH所成角的正弦值 參考答案 1、【解析】（I）解法一：作∥交于N，作交于E， 連ME、NB，則面，, 設(shè)，則, 在中，。 在中由 解得，從而 M為側(cè)棱的中點(diǎn)M. 解法二:過作的平行線. （II）分析一:利用三垂線定理求解。在新教材中弱化了三垂線定理。這兩年高考中求二面角也基本上不用三垂線定理的方法求作二面角。 過作∥交于,作交于,作交于,則∥,面,面面,面即為所求二面角的補(bǔ)角. 法二：利用二面角的定義。在等邊三角形中過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則點(diǎn)為AM的中點(diǎn)，取SA的中點(diǎn)G，連GF，易證，則即為所求二面角. 解法二、分別以DA、DC、DS為x、y、z軸如圖建立空間直角坐標(biāo)系D—xyz，則。 S A B C D M z x y （Ⅰ）設(shè)，則 ， ，由題得 ，即 解之個(gè)方程組得即 所以是側(cè)棱的中點(diǎn)。 法2：設(shè)，則 又 故，即 ，解得， 所以是側(cè)棱的中點(diǎn)。 （Ⅱ）由（Ⅰ）得，又，， 設(shè)分別是平面、的法向量，則 且，即且 分別令得，即 ， ∴ 二面角的大小。 2、解法一：（Ⅰ）取BC中點(diǎn)F，連接EF，則EF，從而EFDA。 連接AF，則ADEF為平行四邊形，從而AF//DE。又DE⊥平面，故AF⊥平面，從而AF⊥BC，即AF為BC的垂直平分線，所以AB=AC。 （Ⅱ）作AG⊥BD，垂足為G，連接CG。由三垂線定理知CG⊥BD，故∠AGC為二面角A-BD-C的平面角。由題設(shè)知，∠AGC=600.. 設(shè)AC=2，則AG=。又AB=2，BC=，故AF=。 由得2AD=，解得AD=。 故AD=AF。又AD⊥AF，所以四邊形ADEF為正方形。 因?yàn)锽C⊥AF，BC⊥AD，AF∩AD=A，故BC⊥平面DEF，因此平面BCD⊥平面DEF。 連接AE、DF，設(shè)AE∩DF=H，則EH⊥DF，EH⊥平面BCD。 連接CH，則∠ECH為與平面BCD所成的角。. 因ADEF為正方形，AD=，故EH=1，又EC==2， 所以∠ECH=300，即與平面BCD所成的角為300. 解法二： （Ⅰ）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線AB為x軸的正半軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系A(chǔ)—xyz。 設(shè)B（1，0，0），C（0，b，0），D（0，0，c），則（1，0，2c）,E（，，c）. 于是=（，，0），=（-1，b,0）.由DE⊥平面知DE⊥BC， =0，求得b=1，所以 AB=AC。 （Ⅱ）設(shè)平面BCD的法向量則 又=（-1，1， 0）， =（-1，0，c）,故 令x=1, 則y=1, z=,=(1,1, ). 又平面的法向量=（0，1，0） 由二面角為60°知，=60°， 故 °，求得 于是 ， ， ° 所以與平面所成的角為30° 3、（Ⅰ）證明：連接， 在中，分別是的中點(diǎn)，所以， 又，所以，又平面ACD ，DC平面ACD， 所以平面ACD （Ⅱ）在中，，所以 而DC平面ABC，，所以平面ABC 而平面ABE， 所以平面ABE平面ABC， 所以平面ABE 由（Ⅰ）知四邊形DCQP是平行四邊形，所以 所以平面ABE， 所以直線AD在平面ABE內(nèi)的射影是AP， 所以直線AD與平面ABE所成角是 在中， ， 所以 4、【解法1】（Ⅰ）∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD， ∵， ∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB， ∴平面. （Ⅱ）設(shè)AC∩BD=O，連接OE， 由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O， ∴∠AEO為AE與平面PDB所的角， ∴O，E分別為DB、PB的中點(diǎn)， ∴OE//PD，，又∵， ∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO， 在Rt△AOE中，， ∴，即AE與平面PDB所成的角的大小為. 【解法2】如圖，以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系， 設(shè) 則， （Ⅰ）∵， ∴， ∴AC⊥DP，AC⊥DB，∴AC⊥平面PDB， ∴平面. （Ⅱ）當(dāng)且E為PB的中點(diǎn)時(shí)，， 設(shè)AC∩BD=O，連接OE， 由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O， ∴∠AEO為AE與平面PDB所的角， ∵， ∴， ∴，即AE與平面PDB所成的角的大小為. 多面體ABCDEF的體積為VE—ABCD＋VE—BCF= 5、解：方法（一）： （1）證：依題設(shè)，Ｍ在以ＢＤ為直徑的球面上，則ＢＭ⊥ＰＤ. 因?yàn)椋校痢推矫妫粒拢茫?，則ＰＡ⊥ＡＢ，又ＡＢ⊥ＡＤ， 所以ＡＢ⊥平面ＰＡＤ，則ＡＢ⊥ＰＤ，因此有ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，所以平面ＡＢＭ⊥平面ＰＣＤ. （２）設(shè)平面ＡＢＭ與ＰＣ交于點(diǎn)Ｎ，因?yàn)椋粒隆危茫?，所以ＡＢ∥平面ＰＣＤ，則ＡＢ∥ＭＮ∥ＣＤ， 由（1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，則MN是PN在平面ABM上的射影， 所以 就是與平面所成的角， 且 所求角為 （3）因?yàn)镺是BD的中點(diǎn)，則O點(diǎn)到平面ABM的距離等于D點(diǎn)到平面ABM距離的一半，由（1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ于M，則|DM|就是D點(diǎn)到平面ABM距離. 因?yàn)樵赗t△PAD中，，，所以為中點(diǎn)，，則O點(diǎn)到平面ABM的距離等于。 方法二： （1）同方法一； （2）如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，， ，，， 設(shè)平面的一個(gè)法向量，由可得：，令，則，即.設(shè)所求角為，則， 所求角的大小為. （3）設(shè)所求距離為，由，得： 6、【解析】解法一： 因?yàn)槠矫鍭BEF⊥平面ABCD，BC平面ABCD，BC⊥AB，平面ABEF∩平面ABCD=AB， 所以BC⊥平面ABEF. 所以BC⊥EF. 因?yàn)楱SABE為等腰直角三角形，AB=AE， 所以∠AEB=45°， 又因?yàn)椤螦EF=45, 所以∠FEB=90°，即EF⊥BE. 因?yàn)锽C平面ABCD, BE平面BCE, BC∩BE=B 所以 …………………………………………6分 （II）取BE的中點(diǎn)N,連結(jié)CN,MN,則MNPC ∴ PMNC為平行四邊形,所以PM∥CN. ∵ CN在平面BCE內(nèi),PM不在平面BCE內(nèi), ∴ PM∥平面BCE. …………………………………………8分 （III）由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD,易知EA⊥平面ABCD. 作FG⊥AB,交BA的延長線于G,則FG∥EA.從而FG⊥平面ABCD, 作GH⊥BD于H,連結(jié)FH,則由三垂線定理知BD⊥FH. ∴ ∠FHG為二面角F-BD-A的平面角. ∵ FA=FE,∠AEF=45°, ∠AEF=90°, ∠FAG=45°. 設(shè)AB=1,則AE=1,AF=,則 在Rt⊿BGH中, ∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+=, , 在Rt⊿FGH中, , ∴ 二面角的大小為 …………………………………………12分 解法二: 因等腰直角三角形，，所以 又因?yàn)槠矫?，所以⊥平面? 所以 即兩兩垂直；如圖建立空間直角坐標(biāo)系, (I) 設(shè)，則， ∵，∴， 從而 ， 于是， ∴⊥,⊥ ∵平面，平面， ∴ （II），從而 于是 ∴⊥，又⊥平面，直線不在平面內(nèi)， 故∥平面 （III）設(shè)平面的一個(gè)法向量為，并設(shè)＝（ 即 取，則，，從而＝（1，1，3） 取平面D的一個(gè)法向量為 故二面角的大小為 7、（Ⅰ）證發(fā)1：連接BD，由底面是正方形可得ACBD。 SD平面ＡＢＣＤ，BD是BE在平面ABCD上的射影， 由三垂線定理得ACBE. (II)解法1：SD平面ABCD，ＣＤ平面ＡＢＣＤ， SDCD. 又底面ＡＢＣＤ是正方形， ＣDＡD，又ＳＤAD=D，CD平面SAD。 過點(diǎn)D在平面SAD內(nèi)做DFAE于F，連接CF，則CFAE， 故CFD是二面角C-AE-D 的平面角，即CFD=60° 在Rt△ADE中，AD=, DE= ， AE= 。 于是，DF= 在Rt△CDF中，由cot60°= 得， 即=3 ， 解得= 8、解:（Ⅰ）如圖所示，由正三棱柱的性質(zhì)知平面. 又DE平面ABC，所以DE.而DEE，, 所以DE⊥平面.又DE 平面， 故平面⊥平面. （Ⅱ）解法 1: 過點(diǎn)A作AF垂直于點(diǎn), 連接DF.由（Ⅰ）知，平面⊥平面， 所以AF平面,故是直線AD和 平面所成的角。 因?yàn)镈E， 所以DEAC.而ABC是邊長為4的正三角形， 于是AD=，AE=4-CE=4-=3. 又因?yàn)?，所以E= = 4, , . 即直線AD和平面所成角的正弦值為 . 解法2 : 如圖所示，設(shè)O是AC的中點(diǎn)，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系， 則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(2,0,0,), (2,0,), D(-1, ,0), E(-1,0,0). 易知=（-3，，-），=（0，-，0），=（-3，，0）. 設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則 解得. 故可取.于是 = . 由此即知，直線AD和平面所成角的正弦值為 . 所以ME與BN不共面，它們是異面直線。 ……..12分 9、【解析】解法一： 因?yàn)槠矫鍭BEF⊥平面ABCD，BC平面ABCD，BC⊥AB，平面ABEF∩平面ABCD=AB， 所以BC⊥平面ABEF. 所以BC⊥EF. 因?yàn)楱SABE為等腰直角三角形，AB=AE， 所以∠AEB=45°， 又因?yàn)椤螦EF=45, 所以∠FEB=90°，即EF⊥BE. 因?yàn)锽C平面ABCD, BE平面BCE, BC∩BE=B 所以 ………………6分 （II）取BE的中點(diǎn)N,連結(jié)CN,MN,則MNPC ∴ PMNC為平行四邊形,所以PM∥CN. ∵ CN在平面BCE內(nèi),PM不在平面BCE內(nèi), ∴ PM∥平面BCE. …………………………………………8分 （III）由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD,易知EA⊥平面ABCD. 作FG⊥AB,交BA的延長線于G,則FG∥EA.從而FG⊥平面ABCD, 作GH⊥BD于H,連結(jié)FH,則由三垂線定理知BD⊥FH. ∴ ∠FHG為二面角F-BD-A的平面角. ∵ FA=FE,∠AEF=45°,∠AEF=90°, ∠FAG=45°. 設(shè)AB=1,則AE=1,AF=,則 在Rt⊿BGH中, ∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+=, , 在Rt⊿FGH中, , ∴ 二面角的大小為………………12分 解法二: 因等腰直角三角形，，所以 又因?yàn)槠矫?，所以⊥平面，所? 即兩兩垂直；如圖建立空間直角坐標(biāo)系, (I) 設(shè)，則， ∵，∴， 從而 ， 于是， ∴⊥,⊥ ∵平面，平面， ∴ （II），從而 于是 ∴⊥，又⊥平面，直線不在平面內(nèi)， 故∥平面 （III）設(shè)平面的一個(gè)法向量為，并設(shè)＝（ 即 取，則，，從而＝（1，1，3） 取平面D的一個(gè)法向量為 故二面角的大小為 10、解法一:（Ⅰ）平面, AB到面的距離等于點(diǎn)A到面的距離，過點(diǎn)A作于G，因∥，故；又平面，由三垂線定理可知，，故，知，所以AG為所求直線AB到面的距離。 在中， 由平面，得AD，從而在中， 。即直線到平面的距離為。 （Ⅱ）由己知，平面，得AD，又由，知，故平面ABFE ，所以，為二面角的平面角，記為. 在中, ,由得,,從而 在中, ,故 所以二面角的平面角的正切值為. 解法二: （Ⅰ）如圖以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)榈恼较蚪⒖臻g直角坐標(biāo)系數(shù),則 A(0,0,0) C(2,2,0) D(0,2,0) 設(shè)可得,由.即,解得 ∥， 面,所以直線AB到面的距離等于點(diǎn)A到面的距離。設(shè)A點(diǎn)在平面上的射影點(diǎn)為,則 因且,而 ,此即 解得?、佟?知G點(diǎn)在面上,故G點(diǎn)在FD上. ,故有 ② 聯(lián)立①,②解得, . 為直線AB到面的距離. 而 所以 （Ⅱ）因四邊形為平行四邊形,則可設(shè), .由 得,解得.即.故 由,因,,故為二面角的平面角，又,,,所以 111111.解：(1)因?yàn)椤螪AB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得. 從而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD． 又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD． 所以BD⊥平面PAD．故PA⊥BD． (2)如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD的長為單位長，射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.則A(1，0，0)，B(0，，0)，C(－1，，0)，P(0，0，1)． ＝(－1，，0)，＝(0，，－1)，＝(－1，0，0)． 設(shè)平面PAB的法向量為n＝(x，y，z)，則 即 因此可取n＝(，1，)． 設(shè)平面PBC的法向量為m，則 可取m＝(0，－1，－)，. 故二面角A-PB-C的余弦值為. 12.解：以為原點(diǎn)， 分別為軸，線段的長為單位長， 建立空間直角坐標(biāo)系如圖， 則 （Ⅰ）設(shè) 則 可得 因?yàn)? 所以 （Ⅱ）由已知條件可得 設(shè) 為平面的法向量 則 即 因此可以取， 由， 可得 所以直線與平面所成角的正弦值為