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______________________________________________________________________________________________________________ 第1講 找規(guī)律 一、知識要點 按照一定次序排列起來的一列數(shù)，叫做數(shù)列。如自然數(shù)列：1，2，3，4，……雙數(shù)列：2，4，6，8，……我們研究數(shù)列，目的就是為了發(fā)現(xiàn)數(shù)列中數(shù)排列的規(guī)律，并依據(jù)這個規(guī)律來填寫空缺的數(shù)。 按照一定的順序排列的一列數(shù)，只要從連續(xù)的幾個數(shù)中找到規(guī)律，那么就可以知道其余所有的數(shù)。尋找數(shù)列的排列規(guī)律，除了從相鄰兩數(shù)的和、差考慮，有時還要從積、商考慮。善于發(fā)現(xiàn)數(shù)列的規(guī)律是填數(shù)的關(guān)鍵。 二、精講精練 【例題1】在括號內(nèi)填上合適的數(shù)。 （1）3，6，9，12，（ ），（ ） （2）1，2，4，7，11，（ ），（ ） （3）2，6，18，54，（ ），（ ） 練習(xí)1：在括號內(nèi)填上合適的數(shù)。 （1）2，4，6，8，10，（ ），（ ） （2）1，2，5，10，17，（ ），（ ） （3）2，8，32，128，（ ），（ ） （4）1，5，25，125，（ ），（ ） （5）12，1，10，1，8，1，（ ），（ ） 【例題2】先找出規(guī)律，再在括號里填上合適的數(shù)。 （1）15，2，12，2，9，2，（ ），（ ） （2）21，4，18，5，15，6，（ ），（ ） 練習(xí)2：按規(guī)律填數(shù)。 （1）2，1，4，1，6，1，（ ），（ ） （2）3，2，9，2，27，2，（ ），（ ） （3）18，3，15，4，12，5，（ ），（ ） （4）1，15，3，13，5，11，（ ），（ ） （5）1，2，5，14，（ ），（ ） 【例題3】先找出規(guī)律，再在括號里填上合適的數(shù)。 （1）2，5，14，41，（ ） （2）252，124，60，28，（ ） （3）1，2，5，13，34，（ ） （4）1，4，9，16，25，36，（ ） 練習(xí)3：按規(guī)律填數(shù)。 （1）2，3，5，9，17，（ ），（ ） （2）2，4，10，28，82，（ ），（ ） （3）94，46，22，10，（ ），（ ） （4）2，3，7，18，47，（ ），（ ） 【例題4】根據(jù)前面圖形里的數(shù)的排列規(guī)律，填入適當(dāng)?shù)臄?shù)。 5 10 9 14 7 12 11 16 9 14 13 （1） 9 3 27 12 4 36 36 12 （3） 練習(xí)4：找出排列規(guī)律，在空缺處填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。 3 7 5 9 8 12 10 14 12 16 14 （1） 8 4 16 16 8 32 32 16 64 5 15 12 7 21 18 9 27 （3） 【例題5】按規(guī)律填數(shù)。 （1）187，286，385，（ ），（ ） 23 31 2541 41 23 4643 35 24 （2） 練習(xí)5：根據(jù)規(guī)律，在空格內(nèi)填數(shù)。 （1）198，297，396，（ ），（ ） 32 54 3864 21 45 2665 32 57 （2） 37 25 3895 23 45 2775 34 25 （3） 第2講 有余除法 一、知識要點 把一些書平均分給幾個小朋友，要使每個小朋友分得的本數(shù)最多，這些書分到最后會出現(xiàn)什么情況呢？一種是全部分完，還有一種是有剩余，并且剩余的本數(shù)必須比小朋友的人數(shù)少，否則還可以繼續(xù)分下去。每次除得的余數(shù)必須比除數(shù)小，這就是有余數(shù)除法計算中特別要注意的。 解這類題的關(guān)鍵是要先確定余數(shù)，如果余數(shù)已知，就可以確定除數(shù)，然后再根據(jù)被除數(shù)與除數(shù)、商和余數(shù)的關(guān)系求出被除數(shù)。 在有余數(shù)的除法中，要記?。海?）余數(shù)必須小于除數(shù)；（2）被除數(shù)＝商×除數(shù)＋余數(shù)。 二、精講精練 【例題1】 [ 　]÷6＝8……[ 　]，根據(jù)余數(shù)寫出被除數(shù)最大是幾？最小是幾？ 【思路導(dǎo)航】除數(shù)是____，根據(jù)____________，余數(shù)可填_____________.根據(jù)____________，又已知商、除數(shù)、余數(shù)，可求出最大的被除數(shù)為6×8＋5＝53，最小的被除數(shù)為______________。列式如下：________________________________________ 答：被除數(shù)最大是53，最小是______。 練習(xí)1： (1)下面題中被除數(shù)最大可填________，最小可填_______。[ 　]÷8＝3……[ 　] (2)下面題中被除數(shù)最大可填________，最小可填_______。[ 　]÷4＝7……[ 　] (3)下題中要使除數(shù)最小，被除數(shù)應(yīng)為________。 [ 　]÷[ 　]＝12……4 【例題2】算式[ 　]÷[ 　]＝8……［ 　］中，被除數(shù)最小是幾？ 【思路導(dǎo)航】題中只告訴我們商是8，要使被除數(shù)最小，那么只要除數(shù)和余數(shù)小就行。余數(shù)最小為______，那么除數(shù)則為______。 根據(jù)這些，我們就可求出被除數(shù)最小為：8×______＋______＝_______。 練習(xí)2： (1)下面算式中，被除數(shù)最小是幾？ ①[ 　]÷[ 　]＝4……［　　］ ②[ 　]÷[ 　]＝7……［　　］ ③[ 　]÷[ 　]＝9……［　?。? (2)下面算式中商和余數(shù)相等，被除數(shù)最小是幾？ ①[ 　]÷[ 　]＝3……［　?。? ②[ 　]÷[ 　]＝6……［　?。? (3)算式[ 　]÷8＝[ 　]……［　?。葜?，商和余數(shù)都相等，那么被除數(shù)最大是幾？ 【例題3】算式28÷[ 　]＝[ 　]……4中，除數(shù)和商分別是______和______。 【思路導(dǎo)航】根據(jù)“被除數(shù)＝商×除數(shù)＋余數(shù)”，可以得知“商×除數(shù)＝被除數(shù)－余數(shù)”，所以本題中商×除數(shù)＝28－4＝24。這兩個數(shù)可能是1和24，____和____，____和____，____和____，又因為余數(shù)為4，因此除數(shù)可以是24,12,8,6,商分別為____，____，____，____。 _________________________________________________________________ 答：除數(shù)和商分別是24，1；____，____；____，____；____，____。 練習(xí)3： (1)下面算式中，除數(shù)和商各是幾？ ①22÷[ 　]＝[ 　]……4 ②65÷[ 　]＝[ 　]……2 ③37÷[ 　]＝[ 　]……7 ④48÷[ 　]＝[ 　]……6 (2)149除以一個兩位數(shù)，余數(shù)是5,請寫出所有這樣的兩位數(shù)。 __________________________________________________________________________ (3)算式[ 　]÷4＝[ 　]……[ 　]中，商和余數(shù)相等，被除數(shù)可以是哪些數(shù)？ __________________________________________________________________________ 【例題4】算式[ 　]÷7＝[ 　]……[ 　]中，商和余數(shù)相等，被除數(shù)可以是哪些數(shù)？ 【思路導(dǎo)航】題目中告訴我們除數(shù)是7，商和余數(shù)相等，因為余數(shù)必須比除數(shù)小，所以余數(shù)和商可為1,2,3,4,5,6,這樣被除數(shù)就可以求出來了。 7×1＋1＝8 7×2＋2＝16 7×3＋3＝24 7×4＋4＝32 7×5＋5＝40 7×6＋6＝48 答：被除數(shù)可以是8,16,24,32,40,48。 練習(xí)4： (1) 下列算式中，商和余數(shù)相等，被除數(shù)可以是哪些數(shù)？ ①[ 　]÷6＝[ 　]……[ 　] ②[ 　]÷5＝[ 　]……[ 　] ③[ 　]÷4＝[ 　]……[ 　] ④[ 　]÷3＝[ 　]……[ 　] (2)一個三位數(shù)除以15，商和余數(shù)相等，請你寫出五個這樣的除法算式。 (3) 算式[ 　]÷9＝[ 　]……[ 　]中，商和余數(shù)相等，被除數(shù)最大是____。 【例題5】算式[ 　]÷[ 　]＝[ 　]……4中，除數(shù)和商相等，被除數(shù)最小是幾？ 【思路導(dǎo)航】題目中告訴我們余數(shù)是4,除數(shù)和商相等，因為余數(shù)必須比除數(shù)小，所以除數(shù)必須比4大，但其中要求最小的被除數(shù)，因而除數(shù)應(yīng)填_______，商也是______。由算式____________________，所以被除數(shù)最小是__________。 練習(xí)5：下面算式中，除數(shù)和商相等，被除數(shù)最小是幾？ (1)[ 　]÷[ 　]＝[ 　]……6 (2)[ 　]÷[ 　]＝[ 　]……8 (3)[ 　]÷[ 　]＝[ 　]……3 (4)[ 　]÷[ 　]＝[ 　]……9 (5)[ 　]÷[ 　]＝[ 　]……7 第3講 配對求和 一、知識要點 被人稱為“數(shù)學(xué)王子”的高斯在年僅8歲時，就以一種非常巧妙的方法又快又好地算出了1+2+3+4+……+99+100的結(jié)果。小高斯是用什么辦法算得這么快呢？原來，他用了一種簡便的方法：先配對再求和。 數(shù)列的第一個數(shù)（第一項）叫首項，最后一個數(shù)（最后一項）叫末項，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與前一項的差是一個不變的數(shù)，這樣的數(shù)列叫做等差數(shù)列，這個不變的數(shù)則稱為這個數(shù)列的公差。 計算等差數(shù)列的和，可以用以下關(guān)系式： 等差數(shù)列的和＝（首項＋末項）×項數(shù)÷2 末項＝首項＋公差×（項數(shù)－1） 項數(shù)＝（末項－首項）÷公差＋1 二、精講精練 【例題1】你有好辦法算一算嗎？ 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10＝（　　　?。? 練習(xí)1：速算。 (1) 1+2+3+4+5+……+20 (2) 1+2+3+4+……+99+100 (3) 21+22+23+24+……+100 【例題2】計算。 (1) 21+23+25+27+29+31 (2) 312+315+318+321+324 練習(xí)2：計算。 (1) 48+50+52+54+56+58+60+62 (2) 108+128+148+168+188 【例題3】有一堆木材疊堆在一起，一共是10層，第1層有16根，第2層有17根，……下面每層比上層多一根，這堆木材共有多少根？ 練習(xí)3： (1)體育館的東區(qū)共有30排座位，呈梯形，第1排有10個座位，第2排有11個座位，……這個體育館東區(qū)共有多少個座位？ (2)有一串?dāng)?shù)，第1個數(shù)是10，以后每個數(shù)比前一個數(shù)大4,最后一個數(shù)是90，這串?dāng)?shù)連加的和是多少？ (3)有一個鐘，一點鐘敲1下，兩點鐘敲2下，……十二點鐘敲12下，分鐘指向6敲1下，這個鐘一晝夜敲多少下？ 【例題4】計算992+993+994+995+996+997+998+999。 練習(xí)4：計算。 (1) 95+96+97+98+99 (2) 2006+2007+2008+2009 (3) 9997+9998+9999 (4) 100-1-3-5-7-9-11-13-15-17-19 【例題5】計算1000-11-89-12-88-13-87-14-86-15-85-16-84-17-83-18-82-19-81 練習(xí)5：計算。 (1) 1000-1-9-2-8-3-7-4-6-5-5-6-4-7-3-8-2-9-1 (2) 1000-81-11-82-12-83-13-84-14-85-15-86-16-87-17-88-18-89-19 (3) 2001-1+2-3+4-5+6-7+8-9+10-11+12-13+14-15+16 第4講 加減巧算 一、知識要點 在進行加減運算時，為了又快又好，除了要熟練地掌握計算法則外，還需要掌握一些巧算的方法。加減法的巧算主要是運用“湊整”的方法，把接近整十、整百、整千的數(shù)看做所接近的數(shù)進行簡算。 進行加減巧算時，湊整之后，對于原數(shù)與整十、整百、整千……相差的數(shù)，要根據(jù)“多加要減去，少加要再加，多減要加上，少減要再減”的原則進行處理。另外，可以結(jié)合加法交換律、結(jié)合律以及減法的性質(zhì)進行湊整，從而達到簡算的目的。 二、精講精練 【例題1】你有好辦法迅速算出結(jié)果嗎？ (1) 502+799-298-98 (2) 9999+999+99+9 練習(xí)1：計算。 (1) 308+203-399-97 (2) 99999+9999+999+99+9 (3) 1999+199+19 (4) 375+483+525+617 【例題2】計算。 (1) 487+321+113+279 (2) 736-567+264 (3) 877+345-677 (4) 528-248-152 練習(xí)2：計算。 (1) 321+127+73+279 (2) 235-125+365 (3) 987-733-167 (4) 487+(413-89) 【例題3】計算下面各題。 (1) 962-(284+262) (2) 432-(154-168) 練習(xí)3：計算。 (1) 421+(279-125) (2) 812+(168-112) (3) 823-(175+323) (4) 538-(283-162) 【例題4】2000-111-89-112-88-113-87-114-86-115-85-116-84 練習(xí)4：計算。 (1) 800-99-1-98-2-97-3-96-4-95-5 (2) 1000-10-20-30-40-50-60-70-80-90 【例題5】計算: 98+97-96-95+94+93-92-91+90+89-88-87……-4-3+2+1 練習(xí)5：計算。 (1) 2009+1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12+13+14……+2006 (2) 1+2-3+4+5-6+7+8-9……+97+98-99 第5講 圖形個數(shù) 一、知識要點 同學(xué)們，你想學(xué)會數(shù)圖形的方法嗎？要想不重復(fù)也不遺漏地數(shù)出線段、角、三角形、長方形……那就必須要有次序、有條理地數(shù)，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，以便得到正確的結(jié)果。 要正確數(shù)出圖形的個數(shù)，關(guān)鍵是要從基本圖形入手。首先要弄清圖形中包含的基本圖形是什么，有多少個，然后再數(shù)出由基本圖形組成的新的圖形，并求出它們的和。 二、精講精練 【例題1】數(shù)出下圖中有多少條線段？ 【思路導(dǎo)航】方法一：我們可以采用以線段左端點分類數(shù)的方法。以A點為左端點的線段有：AB、AC、AD 3條；以B點為左端點的線段有：BC、BD 2條；以C點為左端點的線段有：CD 1條。所以，圖中共有線段3+2+1=6（條）。 方法二：把圖中線段 AB、BC、CD看做基本線段來數(shù)，那么，由1條基本線段構(gòu)成的線段有：AB、BC、CD 3條；由2條基本線段構(gòu)成的線段有:AC、BD 2條；由3條基本線段構(gòu)成的線段有：AD 1條。所以，圖中一共有3+2+1=6（條）線段。 練習(xí)1： （1）數(shù)出下圖中有多少條線段？ （2）數(shù)出下圖中有幾個長方形？ 【例題2】數(shù)出圖中有幾個角？ 【思路導(dǎo)航】數(shù)角的個數(shù)可以采用與數(shù)線段相同的方法來數(shù)。 方法一：以O(shè)A為一邊的角有：∠AOB、∠AOC、∠AOD 3個；以O(shè)B為一邊的角還有： ∠BOC、∠BOD 2個；以O(shè)C為一邊的角還有：∠COD 1個。所以，圖中共有角3+2+1=6（個）。 方法二：把圖中∠AOB、∠BOC、∠COD看做基本角來數(shù)，那么，由1個基本角構(gòu)成的角有：∠AOB、∠BOC、∠COD 3個；由2個基本角構(gòu)成的角有: ∠AOC、∠BOD 2個；由3個基本角構(gòu)成的角有：∠AOD 1個。所以，圖中一共有3+2+1=6（個）角。 練習(xí)2：數(shù)出圖中有幾個角？ （1） （2） 【例題3】數(shù)出右圖中共有多少個三角形？ 【思路導(dǎo)航】方法一：我們可以采用按邊分類數(shù)的方法。以PA為邊的三角形有：△PAB、△PAC、△PAD、3個；以PB為邊的三角形還有：△PBC、△PBD 2個；以PC為邊的三角形還有：△PCD 1個。所以，圖中共有三角形3+2+1=6（個）。方法二：把圖中三角形 △PAB、△PBC、△PCD看做基本三角形來數(shù)，那么，由1個基本三角形構(gòu)成的三角形有：△PAB、△PBC、△PCD 3個；由2個基本三角形構(gòu)成的三角形有: △PAC、△PBD 2個；由3個基本三角形構(gòu)成的三角形有：△PAD 1個。所以，圖中一共有3+2+1=6（個）三角形。方法三：我們發(fā)現(xiàn)，要數(shù)出圖中三角形的個數(shù)，只需數(shù)出線段 AD中包含幾條線段就可以了，即3+2+1=6（個）。所以圖中共有6個三角形。 練習(xí)3：數(shù)出圖中共有多少個三角形？ （1） （2） 【例題4】數(shù)出下圖中有多少個長方形？ 【思路導(dǎo)航】數(shù)圖中有多少個長方形和數(shù)三角形的方法一樣，長方形是由長、寬兩對線段圍成，線段 CD上有3+2+1=6（條）線段，其中每一條與AC中一條線段對應(yīng)，分別作為長方形的長和寬，這里共有6×1=6（個）長方形，而AC上共有2+1=3（條）線段也就有6×3=18（個）長方形。它的計算公式為： 長方形的總數(shù)=長邊線段的總數(shù)×寬邊線段的總數(shù) （3+2+1）×（2+1）=18（個） 答：圖中共有18個長方形。 練習(xí)4： （1）數(shù)出下圖中有多少個長方形？ （2）數(shù)出下圖中有多少個正方形？ 【例題5】有5個同學(xué)，每兩個人握手一次，一共要握手多少次？ 【思路導(dǎo)航】這道題可以用數(shù)線段的方法來解答。根據(jù)題意，畫出線段圖，每一個端點代表一個同學(xué)。 從圖上可以看出，第1個同學(xué)要與其余4個同學(xué)握手共握手4次；第2個同學(xué)還要與其余3個同學(xué)握手共握手3次，第3個同學(xué)要與其余2個同學(xué)握手共握手2次；第4個同學(xué)還要與最后1個同學(xué)握手共握手1次。所以，一共要握手4+3+2+1=10（次） 練習(xí)5： （1）銀海學(xué)校三年級有9個班，每兩個班要比賽拔河一次，這樣一共要拔河幾次？ （2）有1，2，3，4，5，6，7，8等8個數(shù)字，能組成多少個不同的兩位數(shù)？ 第6講 植樹問題 一、知識要點 爸爸給晶晶出了一道題：“小朋友們在路的一邊植樹，先植一棵樹，以后每隔3米植一棵，已經(jīng)植了9棵，問第一棵和第九棵樹相距多少米？”晶晶一看，隨口答題：“27米?！蓖瑢W(xué)們，晶晶答對了嗎？ 這一類應(yīng)用題我們通常稱為“植樹問題”。解答這類問題的關(guān)鍵是要弄清總距離、間隔長和棵數(shù)三者之間的關(guān)系。解答植樹問題先要考慮植樹的方式，一般在不封閉的線路上植樹，棵數(shù)＝總距離÷間隔長＋1；在封閉的線路上植樹，棵數(shù)＝總距離÷間隔長。 另外，生活中還有一些問題，可以用植樹問題的方法來解答。比如鋸木頭、爬樓梯問題等等，這時解題的關(guān)鍵是要將題目中的條件和問題與植樹問題中的“總距離”、“間隔長”、“棵數(shù)”對應(yīng)起來。 二、精講精練 【例題1】小朋友們在路的一邊植樹，先植一棵樹，以后每隔3米植一棵，已經(jīng)植了9棵，問第一棵和第九棵樹相距多少米？ 【思路導(dǎo)航】要得出正確的結(jié)果，我們可以畫出如下的示意圖： 根據(jù)“已經(jīng)植了9棵”，從圖中可以看出，第一棵樹和第九棵樹之間的間隔是9-1=8（個），每個間隔是3米，所以第一棵和第九棵相距3×8=24（米），具體列式如下： 3×（9-1） =3×8=24（米） 答：第一棵和第九棵樹相距24米。 練習(xí)1： （1）在路的一側(cè)插彩旗，每隔5米插一面，從起點到終點共插了20面，這條道路有多長？ （2）在學(xué)校的走廊兩邊，每隔4米放一盆菊花，從起點到終點一共放了20盆，這條走廊長多少米？ 【例題2】在一條長42米的大路兩側(cè)栽樹，從起點到終點一共栽了14棵，已知相鄰兩棵樹之間的距離都相等，問相鄰兩棵樹之間的距離是多少米？ 【思路導(dǎo)航】根據(jù)“在路的兩側(cè)共栽了14棵樹”這個條件，我們可以先求出每一側(cè)栽了14÷2=7（棵）樹，那么從第1棵樹到第7棵樹之間的間隔是7-1=6（個）。42米長的大路平均分成6段，每段是42÷6=7（米）。列式如下： 42÷（14÷2-1）=42÷（7-1）=42÷6 =7（米） 答：相鄰兩棵樹之間的距離是7米。 練習(xí)2：在公園一條長30米的路的兩側(cè)放椅子，從起點到終點共放了12把椅子，相鄰兩把椅子的距離相等，相鄰兩把椅子之間相距多少米？ 【例題3】把一根鋼管鋸成小段，一共花了28分鐘，已知每鋸開一段需要4分鐘，這根鋼管被鋸成了多少段？ 【思路導(dǎo)航】我們先求出鋼管被鋸開了28÷4=7（處），因而被鋸開的段數(shù)有7+1=8（段）。列式如下： 28÷4+1 =7+1 =8（段） 答：這根鋼管被鋸成了8段。 練習(xí)3： 一根圓木鋸成2米長的小段，一共花了12分鐘。已知每鋸下一段要3分鐘，這根圓木長多少米？ 【例題4】甲、乙兩人比賽爬樓梯，甲跑到4樓時，乙恰好跑到3樓，照這樣計算，甲跑到16樓時，乙跑到了多少樓？ 【思路導(dǎo)航】解答爬樓梯問題時，不能以樓層進行計算，而要用樓梯段數(shù)進行計算，因為第一層樓是不用爬的，“樓層數(shù)-1”才是要走的“樓梯段數(shù)”，根據(jù)題意“甲跑到4樓時，乙恰好跑到3樓”，實際上是說“甲跑3段樓梯與乙跑2段樓梯所用的時間相同?！闭者@樣計算，甲跑到16樓，也就是跑了15段樓梯，應(yīng)是甲跑3段樓梯所用的時間的5倍，在同一時間里，乙跑的樓梯段數(shù)也是他跑2段樓梯的5倍，也就是這時乙跑了10段樓梯，即他跑到了第10+1=11（樓）。列式如下： （3-1）×[（16-1）÷（4-1）]+1 =2×5+1 =11（樓） 答：甲跑到16樓時，乙跑到了11樓。 練習(xí)4：小明和小紅兩人爬樓梯比賽，小明跑到第4層時，小紅跑到第5層，照這樣計算，當(dāng)小明跑到第16層時，小紅跑到了第幾層？ 【例題5】一個圓形跑道長300米，沿跑道周圍每隔6米插一面紅旗，每兩面紅旗中間插一面黃旗，跑道周圍各插了多少面紅旗和黃旗？ 【思路導(dǎo)航】在圓周上插旗，插的面數(shù)正好等于分成的段數(shù)，所以插了紅旗300÷6=50（面），由于每兩面紅旗中間插一面黃旗，所以黃旗的面數(shù)就等于紅旗的面數(shù)，也是50面。 300÷6=50（面） 答：跑道周圍插了50面紅旗和50面黃旗。 練習(xí)5： （1）有一個正方形水池，周長是200米。如果沿著水池周圍每隔10米裝一盞紅燈，再在相鄰的兩盞紅燈中間等距離地裝4盞黃燈。問水池周圍一共裝了幾盞紅燈？幾盞黃燈？ （2）一條公路長480米，在兩旁植樹，兩端都植。每隔12米植一棵樟樹，兩棵樟樹中間又等距離地栽了3棵柳樹。問樟樹和柳樹各栽了多少棵？ 第7講 簡單推理 一、知識要點 數(shù)學(xué)課上，老師布置了一道題： □＋△=28 □=△＋△＋△ □=（ ） △=（ ） 要得出正確的結(jié)論，就要進行分析、推理。學(xué)會了推理，能使你變得更聰明，頭腦更靈活。數(shù)學(xué)上有許多重大的發(fā)現(xiàn)和疑難問題的解決都離不開推理。 解答這類推理題時，要求小朋友仔細觀察，認真分析等式中幾個圖形之間的關(guān)系，尋找解題的突破口，然后再利用等量代換、消去等方法來進行解答。 二、精講精練 【例題1】下式中，□和△各代表幾？ □＋△=28 □=△＋△＋△ □=（ ） △=（ ） 【思路導(dǎo)航】根據(jù)□＋△=28，我們可以得出□=28－△；由□=△＋△＋△得到28=△＋△＋△＋△，4個△等于28，一個△等于28÷4=7；由□=△＋△＋△可求出□=7＋7＋7=21。 練習(xí)1： 1．☆＋○=18 ☆=○＋○ ☆=（ ） ○=（ ） 2．△＋○=25 △=○＋○＋○＋○ △=（ ） ○=（ ） 3．○＋□=36 ○=□＋□＋□＋□＋□ ○=（ ） □=（ ） 【例題2】下式中，□和△各代表幾？ □×△=36 □÷△=4 □=（ ） △=（ ） 【思路導(dǎo)航】根據(jù)□÷△=4可知△為一份，□是這樣的4份，即□=4△；又根據(jù)□×△=36，可以得到4△×△=36，即△×△=9，進一步得到△=3，□=4△=4×3=12。 練習(xí)2： 1．○和□各表示幾？ ○×□=16 □÷○=4 ○=（ ） □=（ ） 2．想想，填填。 ○×△=20 ○=△＋△＋△＋△＋△ ○=（ ） △=（ ） 3．□和○各代表幾？ □=○＋○＋○＋○ ○×□=16 □=（ ） ○=（ ） 【例題3】下式中，□和△各代表幾？ □＋□＋△=16 □＋△＋△=14 □=（ ） △=（ ） 【思路導(dǎo)航】16里面有2個□，1個△；14里面有1個□，2個△，16減去14等于2，即□－△=2，那么如果把△換成了□，則16需要加上2，即□＋□＋□=16＋2，那么□=（16＋2）÷3=6，△=16－6×2=4。 練習(xí)3： 1．□＋□＋○＋○=38 □＋□＋○=22 □=（ ） ○=（ ） 2．□＋□＋□＋△＋△=52 □＋□＋△＋△＋△=48 □=（ ） △=（ ） 3．○＋△＋□＋□=10 △＋□＋△＋□=12 △＋○＋□＋○=12 ○=（ ） □=（ ） △=（ ） 【例題4】下式中，□和○各代表幾？ □＋□＋○＋○＋○=34 ○＋○＋○＋○＋□＋□＋□=48 □=（ ） ○=（ ） 【思路導(dǎo)航】34里面有2個□、3個○，48里面有3個□、4個○，用48減去34得到□＋○=14，34中有2個（□＋○）及1個○。所以，○=34－14×2=6，□=（34－6×3）÷2=8。 練習(xí)4： 1．☆＋☆＋△＋△＋△=24 △＋△＋△＋△＋☆＋☆＋☆=36 ☆=（ ） △=（ ） 2．○＋○＋○＋△＋△=54 △＋△＋△＋○＋○＋○＋○=76 ○=（ ） △=（ ） 3．□＋□＋□＋△＋△＋△＋△=96 △＋△＋△＋△＋△＋□＋□＋□＋□=123 □=（ ） △=（ ） 【例題5】下式中，□、☆和△各代表幾？ ☆＋☆=□＋□＋□ □＋□＋□=△＋△＋△＋△ ☆＋□＋△＋△=80 ☆=（ ） □=（ ） △=（ ） 【思路導(dǎo)航】因為2個☆等于3個□，3個□又等于4個△，所以2個☆等于4個△，那么1個☆等于2個△。在☆＋□＋△＋△=80中，2個△可以用1個☆替代，就變?yōu)椤睿酰?80，而2個☆又可以用3個□替代，也就是□＋□＋□＋□=80，所以□=20，☆=20×3÷2=30，△=20×3÷4=15。 練習(xí)5： 1．△＋△=○＋○＋○ ○＋○＋○=□＋□＋□ ○＋□＋△＋△=100 ○=（ ） □=（ ） △=（ ） 2．○＋○=□＋□＋□ □＋□＋□=△＋△ △＋□＋○=40 △=（ ） □=（ ） ○=（ ） 3．□＋□=○＋○＋○ ○＋○＋○=☆＋☆＋☆＋☆＋☆＋☆＋☆＋☆ □＋○＋☆＋☆＋☆＋☆=320 ○=（ ） □=（ ） ☆=（ ） 第8講 算式謎 一、知識要點 一個完整的算式，缺少幾個數(shù)字，那就成了一道算式謎。 解算式謎，就是要將算式中缺少的數(shù)字補齊，使它成為一道完整的算式。 解算式謎的思考方法是推理加上嘗試，首先要仔細觀察算式特征，由推理能確定的數(shù)先填上；不能確定的，要分幾種情況，逐一嘗試。分析時要認真分析已知數(shù)字與所缺數(shù)字的關(guān)系，抓準解題的突破口。 二、精講精練 【例題1】在下面算式的□內(nèi)，填上適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使算式成立。 答案： 【思路導(dǎo)航】已知被乘數(shù)個位是8，積的個位是2，可推出乘數(shù)可能是4或9，但積的百位上是7，因而乘數(shù)只能是4，被乘數(shù)百位是1，那么十位上只能是9。（算式見右上） 練習(xí)1：在□里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使算式成立。 【例題2】□里填哪些數(shù)字，可使這道除法算式成為一道完整的算式？ 【思路導(dǎo)航】已知除數(shù)和商的某些位上的數(shù)，求被除數(shù)，可以從商的末位上的數(shù)與除數(shù)相乘的積想起，，可知被除數(shù)個位為0，再想商十位上的數(shù)與6的乘積為一位數(shù)，這個數(shù)只能是1，這樣確定商的十位為1，最后被除數(shù)十位上的數(shù)為。 練習(xí)2：在□里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使算式成立。 【例題3】在下面豎式的□里，各填入一個合適的數(shù)字，使算式成立。 答案： 【思路導(dǎo)航】要求□里填哪些數(shù)，我們可以先想被除數(shù)的十位上的數(shù)是多少。容易知道，被除數(shù)的十位數(shù)字比7大，只可能是8或9。如果十位數(shù)字是8，那么商的個位只能是2；如果十位數(shù)字是9，那么商的個位是3或4。所以，這道題有三種填法（見上頁）。 練習(xí)3： □里可以填哪些數(shù)字？ 【例題4】在下面豎式的□里，各填入一個合適的數(shù)字，使算式成立。 答案： 【思路導(dǎo)航】通過觀察，我們發(fā)現(xiàn)，由于余數(shù)是7，則除數(shù)必須比7大，且被除數(shù)個位上應(yīng)填7；由于商是4時是除盡的，所以被除數(shù)十位上應(yīng)為2，同時，因而除數(shù)可能是3或8，可是除數(shù)必須比7大，因而除數(shù)只能是8，因而被除數(shù)百位上是3，而商的百位上為0，商的千位是8或3，所以一共有兩種填法（見上）。 練習(xí)4：在下面豎式的□里，各填入一個合適的數(shù)字，使算式成立。 【例題5】在下面□中填入適當(dāng)?shù)臄?shù)，使算式成立。 答案： 【思路導(dǎo)航】通過觀察，我們發(fā)現(xiàn)，商的個位8與除數(shù)的乘積是48，由此可求出除數(shù)為6。再根據(jù)商的千位與6的乘積是二十幾，于是可求出商的千位是4，因而被除數(shù)的萬位是2，千位是4，然后可求出商的百位是0，十位是2，被除數(shù)的百位是1，十位是6，個位是8。（填法見上） 練習(xí)5：在下面□中填入適當(dāng)?shù)臄?shù)，使算式成立。 第9講 乘法速算 一、知識要點 我們已經(jīng)學(xué)會了整數(shù)乘法的計算方法，但計算多位數(shù)乘法要一位一位地乘，運算起來比較麻煩。其實，多位數(shù)與一些特殊的數(shù)相乘，也可以用簡便的方法來計算。 計算乘法時，如果一個因數(shù)是25，另一個因數(shù)考慮可拆成4×幾，這樣可“先拆數(shù)再擴整”。兩位數(shù)、三位數(shù)及更高位數(shù)乘以11，可采用“兩頭一拉，中間相加”的辦法，但要注意相鄰兩位相加作積的中間數(shù)時，哪一位上滿十要向前一位進一。比如兩位數(shù)乘以11，我們有“兩位數(shù)與11相乘，首尾不變中間變，左右相加放中間，滿十進一頭就變?！? 二、精講精練 【例題1】試著計算下列各題，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？ （1）26×11 （2）57×11 （3）253×11 （4）467×11 【思路導(dǎo)航】通過計算、觀察可以發(fā)現(xiàn)，一個數(shù)與11相乘，所得的結(jié)果就是將這個數(shù)的首位和末位拉開分別作為積的最高位和最低位，再依次將這個數(shù)相鄰兩位由個位加起，和寫在十位、百位……，哪一位上滿十就向前一位進一。 （1）26×11=286 （2）57×11=627 （3）253×11=2783 （4）247×11=2717 練習(xí)1：很快算出下面各題的結(jié)果。 （1）12×11 （2）34×11 （3）25×11 （4）11×44 （5）48×11 （6）65×11 （7）11×75 （8）87×11 （9）124×11 （10）305×11 （11）439×11 （12）872×11 【例題2】下面的乘法計算有規(guī)律嗎？ （1）25×24 （2）21×25 （3）25×427 （4）1998×25 【思路導(dǎo)航】因為25×4=100，因此，一個數(shù)與25相乘，我們就看這個數(shù)里有幾個4，有幾個4就有幾個100，余1就加25，余2就加50，余3就加75。 （1）25×24=100×6=600 （2）21×25=100×5+25=525 （3）25×427=100×106+75=10600+75=10675 （4）1998×25=100×499+50=49900+50=49950 練習(xí)2：速算。 （1）12×25 （2）34×25 （3）25×121 （4）25×46 （5）148×25 （6）643×25 （7）25×7252 （8）5678×25 【例題3】很快算出下面各題的結(jié)果。 （1）24×15 （2）248×15 （3）5678×15 【思路導(dǎo)航】因為15=10+5，那么24×15就可以寫成24×（10+5），也就是用24加上它的一半再乘以10，24+12=36，再用36×10=360。 一個因數(shù)乘以15，也就是用這個數(shù)加上它的一半再乘以10。具體過程如下： （1）24×15 （2）248×15 （3）5678×15 =（24+12）×10 =（248+124）×10 =（5678+2839）×10 =36×10 =360 =372×10 =3720 =8517×10 =85170 練習(xí)3：很快算出下面各題的結(jié)果。 （1）34×15 （2）436×15 （3）8472×15 【例題4】很快算出下面各題的結(jié)果。 （1）45×9 （2）32×99 （3）78×999 【思路導(dǎo)航】（1）我們可以先用45×10=450，這樣就多加了一個45，因此我們還要從450中減去1個45，即450-45=405。 （2）我們可以先用32×100=3200，這樣就多加了一個32，因此我們還要從3200中減去1個32，即3200-32=3168。 （3）我們可以先用78×1000=78000，這樣就多加了一個78，因此我們還要從78000中減去1個78，即78000-78=77922。 從上面幾題可以看出，一個數(shù)與9相乘，就用這個數(shù)乘以10，再減去這個數(shù)；一個數(shù)與99相乘，就用這個數(shù)乘以100，再減去這個數(shù)；一個數(shù)與999相乘，就用這個數(shù)乘以1000，再減去這個數(shù)。 （1）45×9 （2）32×99 （3）78×999 =45×10-45 =32×100-32 =78×1000-78 =450-45 =405 =3200-32 =3168 =78000-78 =77922 練習(xí)4：計算。 （1）32×9 （2）461×9 （3）1234×9 （4）45×99 （5）85×99 （6）728×99 （7）24×999 （8）3×999 （9）56×999 【例題5】下面的乘法計算有規(guī)律嗎？ （1）15×15 （2）25×25 （3）35×35 （4）45×45 （5）65×65 （6）95×95 【思路導(dǎo)航】通過計算我們發(fā)現(xiàn)，個位是5的兩個相同的兩位數(shù)相乘，積的末尾兩位都是25，25前面的數(shù)是這個兩位數(shù)首位數(shù)與首位數(shù)加1的積，例如： 我們還可以發(fā)現(xiàn)，這種方法還適用于個位是5的兩個相同的多位數(shù)相乘的計算。 練習(xí)5：速算。 （1）55×55 （2）75×75 （3）85×85 （4）105×105 （5）125×125 （6）995×995 第10講 添運算符號 一、知識要點 根據(jù)題目給定的條件和要求，添運算符號和括號，使等式成立，這是一種很有趣的游戲。這種游戲需要動腦筋找規(guī)律，講究方法，一旦掌握方法，就有取得成功的把握。 添運算符號問題，通常采用嘗試探索法。主要嘗試方法有兩種：1．如果題目中的數(shù)字比較簡單，可以從等式的結(jié)果入手，推想哪些算式能得到這個結(jié)果，然后拼湊出所求的式子；2．如果題目中的數(shù)字多，結(jié)果也較大，可以考慮先用幾個數(shù)字湊出比較接近于等式結(jié)果的數(shù)，然后再進行調(diào)整，使等式成立。通常情況下，要根據(jù)題目的特點，選擇方法，有時將以上兩種方法組合起來使用，更有助于問題的解決。 二、精講精練 【例題1】在下面各題中添上＋、－、×、÷、（ ），使等式成立。 1 2 3 4 5 = 10 1 2 3 4 5 = 10 1 2 3 4 5 = 10 1 2 3 4 5 = 10 【思路導(dǎo)航】對于這種問題，我們也可以用倒推法來分析。從結(jié)果10想起，最后一個數(shù)是5，可以從下面幾種情況中想：□＋5=10，□－5=10，□×5=10，□÷5=10。 （1）從□＋5=10考慮，□=5，前4個數(shù)必須組成得數(shù)是5的算式有： （1＋2）÷3＋4＋5=10 （1＋2）×3－4＋5=10 （2）從□－5=10考慮，□=15，前4個數(shù)必須組成得數(shù)是15的算式有： 1＋2＋3×4－5=10 （3）從□×5=10考慮，□=2，前4個數(shù)必須組成得數(shù)是2的算式有： （1×2×3－4）×5=10 （1＋2＋3－4）×5=10 （4）從□÷5=10考慮，□=50，前面4個數(shù)必須組成得數(shù)是50的算式，而前面4個數(shù)無法組成得數(shù)是50的算式。 練習(xí)1： 1．你能在下面的各數(shù)中添上運算符號，使算式成立嗎？ （1）4 1 2 5 = 10 （2）4 1 2 5 = 10 2．在下面各數(shù)中添上適當(dāng)?shù)倪\算符號，使等式成立。 （1）3 4 5 6 8 = 8 （2）3 4 5 6 8 = 8 3．巧添運算符號，使等式成立。 （1）3 3 3 3 =1 （2）3 3 3 3 =2 （3）3 3 3 3 =3 【例題2】拿出都是8的四張牌，添上＋、－、×、÷或（ ），使等式成立。你能試一試嗎？ 8 8 8 8 = 0 8 8 8 8 = 1 8 8 8 8 = 2 8 8 8 8 = 3 【思路導(dǎo)航】這道題除了可以用倒推法來分析，還可以這樣想： （1）等于0的思考方法：假設(shè)最后一步運算是減法，那么這四個數(shù)可以分成兩組，這兩組的和、差、積、商應(yīng)該相等，有： 8＋8－（8＋8）=0 8×8－8×8=0 8－8－（8－8）=0 8÷8－8÷8=0 （2）等于1的思考方法：假設(shè)最后一步是除法，那么四個數(shù)分成兩組，這兩組的和、積、商分別相等，相同的數(shù)相除也可得到1，有： （8＋8）÷（8＋8）=1 8×8÷（8×8）=1 8÷8÷（8÷8）=1 8×8÷8÷8=1 8÷8×8÷8=1 8÷（8×8÷8）=1 （3）等于2的思考方法：假設(shè)最后一步是加法，那么兩組數(shù)各為1，有： 8÷8＋8÷8=2 （4）等于3的思考方法：假設(shè)最后一步是除法，那么前三個數(shù)湊為3個8，有： （8＋8＋8）÷8=3 練習(xí)2： 1.在各數(shù)中添上＋、－、×、÷或（ ），使算式相等。 4 4 4 4 = 0 4 4 4 4 = 1 4 4 4 4 = 2 4 4 4 4 = 3 4 4 4 4 = 4 4 4 4 4 = 5 2.巧添各種運算符號和括號，使等式成立。 5 5 5 5 5 = 0 5 5 5 5 5 = 1 5 5 5 5 5 = 2 5 5 5 5 5 = 3 3.用8個8組成5個數(shù)，再添上適當(dāng)?shù)倪\算符號，使它們的和是1000。 8 8 8 8 8 8 8 8 = 1000 【例題3】在4個4之間添上＋、－、×、÷或括號，使組成的得數(shù)是8。4 4 4 4 = 8 【思路導(dǎo)航】這類問題，我們可以用倒推方法來分析。這道題最后得數(shù)是8，而最后一個數(shù)是4，我們可以想□＋4=8，□－4=8，□×4=8，□÷4=8，然后再進行解答。 （1）從□＋4=8考慮，□=4，前面3個4必須組成得數(shù)是4的算式有： 4＋4－4＋4=8 4－4＋4＋4=8 4－（4－4）＋4=8 （2）從□－4=8考慮，□=12，前3個4必須組成得數(shù)是12的算式有： 4＋4＋4－4=8 4×4－4－4=8 （3）從□×4=8考慮，□=2，前面3個4必須組成得數(shù)是2的算式有：（4＋4）÷4×4=8 （4）從□÷4=8考慮，□=32，前3個4必須組成得數(shù)是32的算式有： （4＋4）×4÷4=8 4×（4＋4）÷4=8 練習(xí)3： 1．你能在下面數(shù)中填上＋、－、×、÷，使結(jié)果等于已知數(shù)嗎？答 （1）9 9 9 9 = 18 （2）5 5 5 5 = 10 2．在下面數(shù)中填上＋、－、×、÷或（ ），使算式成立。答 （1）4 4 4 4 4 = 8 （2）3 3 3 3 3 = 9 3．在下面幾個數(shù)中填上＋、－、×、÷或（ ），使等式成立。答 （1）2 3 5 6 = 6 （2）2 3 5 6 = 6 【例題4】在下面12個5之間添上＋、－、×、÷，使算式成立。 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 = 1000 【思路導(dǎo)航】這道題的結(jié)果比較大，那我們就要盡量想出一些大的數(shù)來，使它與1000比較接近，如：555＋555=1110這個數(shù)比1000大了110，然后我們在剩下的6個5中湊出110減掉就可以了。 555＋555－55－55＋5－5=1000 練習(xí)4： 1.用12個3組成8個數(shù)，它們的結(jié)果等于2000。 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 = 2000 2.在9個2之間添上運算符號，使結(jié)果等于1000。2 2 2 2 2 2 2 2 2 = 1000 3.用7個6組成4個數(shù)，使下面的算式成立。 6 6 6 6 6 6 6 = 600 【例題5】在下面式子中適當(dāng)?shù)牡胤教砩希?、－號，使等式成立? 9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 21 【思路導(dǎo)航】這題左邊的數(shù)字比較多，等號右邊的得數(shù)是21，可以考慮在等號左邊最后兩個數(shù)字2、1前添＋，這時我們必須使前面幾個數(shù)字的結(jié)果為0，然后再用倒推的方法可以得出：9－8＋7－6＋5－4－3=0 9－8＋7－6＋5－4－3＋21=21 練習(xí)5： 1．在下面算式中適當(dāng)?shù)牡胤教砩希ⅲ?，使等式成立? 9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 23 2．在下面式子的適當(dāng)?shù)胤教砩希?、－、×號，使等式成立? 1 2 3 4 5 6 7 8 = 1 3．在下面算式中適當(dāng)?shù)牡胤教砩希?、－號，使等式成立? 2 3 4 5 6 7 8 = 14 第11講 文字算式謎 一、知識要點 一般說來，算式都是由一些數(shù)字和運算符號組成的，可有些算式卻由漢字或英文字母組成，我們稱它為文字算式。 文字算式是一種數(shù)字謎，解答時要注意在同一道題中，相同的文字或英文字母應(yīng)表示相同的數(shù)字，不同的文字或英文