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《神奇的“莫比烏斯帶”》教學(xué)設(shè)計和反思 葛洲壩實驗小學(xué) 游麗華 【教材分析】 公元1858年，德國數(shù)學(xué)家莫比烏斯發(fā)現(xiàn)：把一個扭轉(zhuǎn)180°后再兩頭粘接起來的紙條，具有魔術(shù)般的性質(zhì)。 因為普通紙帶具有兩個面（即雙側(cè)曲面），一個正面，一個反面，兩個面可以涂成不同的顏色；而這樣的紙帶只有一個面（即單側(cè)曲面），一只小蟲可以爬遍整個曲面而不必跨過它的邊緣。我們把這種由莫比烏斯發(fā)現(xiàn)的神奇的單面紙帶，稱為“莫比烏斯帶”。這節(jié)課是北師大版數(shù)學(xué)教材六年級下冊“數(shù)學(xué)好玩”中的一節(jié)課，旨在通過了解神奇的莫比烏斯帶，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的好玩，數(shù)學(xué)也是可以玩中去學(xué)習(xí)的。 【活動目標】 1、方形紙條制成一個神奇的莫比烏斯圈，在動手操作中了解莫比烏斯帶的特征。 2、經(jīng)歷動手操作，主動思考，合作交流的“做數(shù)學(xué)”的過程，探索莫比烏斯帶的神奇特征。 3、敢于大膽猜想，能夠提出自己的見解；通過猜測到驗證這種數(shù)學(xué)活動，感受數(shù)學(xué)的無窮魅力，拓展數(shù)學(xué)視野，進一步激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情。 活動重點：目標2 活動難點：利用所學(xué)數(shù)學(xué)知識解決問題的能力。 教法： 啟發(fā)式教學(xué)法、探究式教學(xué)法、問題教學(xué)法。 學(xué)法： 經(jīng)歷動手操作，主動思考的“做數(shù)學(xué)”的過程，并從中發(fā)現(xiàn)“莫比烏斯帶”的神奇特征。 【活動準備】 (1)課件 (2)長紙條三條(長20-30厘米，寬約4厘米，事先畫好二等分線和三等分線)； (3)剪刀 (4)雙面膠（膠水） (5)水彩筆 【活動過程】 一、創(chuàng)設(shè)情境 （課件出示故事《聰明的執(zhí)事官》），這位聰明的執(zhí)事官是用什么方法讓小偷得到懲罰呢？這張小小的紙條里到底隱藏著什么奧秘大家想知道嗎？這節(jié)課我們就研究這張小小的紙條，學(xué)完這節(jié)課大家就會明白了。 設(shè)計意圖： 課前以兒童喜愛的故事情境導(dǎo)入，符合兒童的年齡特點和心理特征，喚起了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。學(xué)生對故事中的問題很感興趣，能夠積極主動地參與學(xué)習(xí)，課堂氣氛活躍。 二、 認識莫比烏斯帶 1、出示一張紙條 請同學(xué)們拿出準備好的1號長方形紙條，看看這張紙條它有幾個面？幾條邊？（2個面，4條邊）現(xiàn)在誰會變魔術(shù)，能把這張有4條邊2個面的紙條變成只有兩條邊和兩個面嗎？（生操作） 設(shè)計意圖： 大多數(shù)學(xué)生將紙條的2倍寬按照習(xí)慣，同向地連接一起，成為一個紙圈，這個操作比較簡單，老師設(shè)計這個簡單的入門是為了讓學(xué)生有信心自己可以成功操作，可以保持之前激發(fā)的興趣。 2、師：（教師微笑著把紙條變成圈），這樣做是不是只有上面一條邊下面一條邊，里面一個面外面一個面？（邊說邊比劃）。老師還有更神奇的，我還能把它變魔術(shù),把這有兩條邊兩個面的紙條變成只有一條邊和一個面，你們信不信？想不想看老師變？（手背在后面變）像這樣的紙帶就是只有一條邊一個面，想想看它是怎么做的？你們能試著做成我這樣的嗎？（師巡視） 這個紙帶到底怎么做的呢？想不想學(xué)？請看課件（課件出示）先把它做成一個普通的紙圈，然后將一段翻轉(zhuǎn)180度，再把它粘好。演示完后師再帶著學(xué)生一起做。這樣就成了一個怪怪的圈。大家用膠水把兩端粘起來。你們行嗎？那就動手做一做吧。做完后問：還想做嗎？請拿出2號紙條再做一個這樣的紙帶。 3、師：這個紙帶有誰知道它叫什么名字呢? 這個紙帶就叫莫比烏斯帶（板書），還有人管他叫“怪圈”。想知道它更多的知識嗎？請看小資料。 你知道它為什么叫莫比烏斯帶嗎？（是莫比烏斯發(fā)現(xiàn)的）所以同學(xué)們平時在學(xué)好書本知識的同時，要留心觀察生活，更多偉大的發(fā)明發(fā)現(xiàn)還等著用你們的名字來命名呢！ 設(shè)計意圖： 以一張紙條變魔術(shù)導(dǎo)入，讓所有的學(xué)生都會做莫比烏斯帶，只有每個學(xué)生都學(xué)會做，做對了，才能順利進行下面的教學(xué)。 4、這個莫比烏斯帶真的只有一條邊和一個面嗎？請看屏幕，當時數(shù)學(xué)家想了一個辦法，在莫比烏斯帶的一個邊緣選取了一個起點，讓這點沿著它的邊轉(zhuǎn)動一圈，又回到了起點，說明它就是只有一條邊。 那它是不是一個面呢？這時候，如果一只小動物爬上了這個面上，延著這個紙面一直爬下去，會出現(xiàn)什么情況呢？請仔細看看運動一圈，（走一半時問它在哪里？反面）最后小動物又回到了原來的地方，而且走遍了整個紙帶。說明它就是只有一個面。數(shù)學(xué)上把這樣一個面的圖形稱為單側(cè)曲面，（板書）像一般的紙帶它有兩條邊兩個面這樣的紙帶叫什么曲面？（板書雙側(cè)曲面） 同學(xué)們想不想知道當時數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)莫比烏斯帶的時候是怎么研究這個莫比烏斯帶的嗎？在實際生活當中我們怎樣來檢驗它是不是莫比烏斯帶呢？請拿出1號莫比烏斯帶，大家想想我們用手沿著它的邊走一走會怎樣？（又回來了）說明它是幾條邊？那想想如果要檢驗它是一個面怎么辦？是不是放一只小螞蟻放在上面走走，行不行？如果沒有小螞蟻怎么辦？（用手）還可以用什么？我們學(xué)具里的什么？用水彩筆一劃我們就在紙面上留下痕跡，知道哪些地方走過哪些地方?jīng)]走過，想試試嗎？請拿出水彩筆沿著莫比烏斯帶中間的線走一走，畫一畫。 設(shè)計意圖： 讓學(xué)生自己動手操作從中找出莫比烏斯帶的一條邊一個面的奇異特性。 三、再次體驗神奇性。 1、兩等分剪開 ⑴莫比烏斯帶誕生以后，它的神奇特性引起了許多人的關(guān)注，剛才你們不是在這個紙帶中間畫了一條線，線連起來了，不過還有更神奇的，還能變魔術(shù)，想不想知道？現(xiàn)在老師用剪刀從中間的線剪開，大膽猜想一下會有什么結(jié)果？（板書：大膽猜想）生：我覺得這個圈會變成兩個圈。 生：我覺得會變成兩個莫比烏斯圈。 生：會不會變成三個圈? ⑵同學(xué)們很積極地進行猜想，值得表揚。各種猜想都有， 要知道究竟怎么樣?我們就要動手剪一剪求證一下，求證時要小心點。（板書：小心求證）請同學(xué)們動手剪一剪，剪時先對折，從中間剪出一個口子，再把剪刀伸進去沿著線剪，剪完后到底是怎樣的？剪完后是幾個圈？不是我們所猜想的，一般的紙圈沿中間剪開就會一分為二，而莫比烏斯帶得到了一個更大的紙帶，這個莫比烏斯帶真奇怪了，太不可思議了！太神奇了吧！ ３、剪完后，這個更大的紙帶是“莫比烏斯帶”嗎？它真的是莫比烏斯帶嗎？要驗證它是不是莫比烏斯帶關(guān)鍵看它有幾個面？怎樣用我們的學(xué)具來檢驗它是一個面呢？用什么？畫線，看它能不能從起點回到原來的起點，（動手）是不是把兩個面都走到了？沒有走到那它就是幾個面？也就是什么曲面？現(xiàn)在紙帶中間又畫了一線條，如果再沿著這條線剪開，想一想，又會是什么結(jié)果呢? 生：還是一個圈。 生：我覺得是兩個圈。 師：要想知道究竟，我們應(yīng)該怎樣？對了，實踐出真知，大家剪剪看。 從中間剪開一個口子，再把剪刀伸進去剪。 (生動手操作) 生：是兩個套著的圈，真奇怪! 師：這次同學(xué)們猜兩個圈還真是兩個圈，不過這兩個圈是—— 生：是套著的。 師：對，是套在一起的。大小怎樣？ 2、三等分剪開 師：接下來讓我們繼續(xù)來感受這個紙帶的神奇，好嗎?拿出2號莫比烏斯帶，這個莫比烏斯帶分成幾等分？如果我們要沿著三等分線剪，猜一猜：要剪幾次？生：(齊)兩次。師：剪完以后又會得到幾個紙帶？生：我覺得剪完后可能會是三個圈套在一起。生：我覺得會變成一個大圈。 師：真佩服你的想象力。那究竟會怎么樣，還是動手去剪一剪吧。關(guān)鍵要怎樣？小心求證。 學(xué)生操作，小組合作幫助。剪了幾次？生：剪一次就可以了。 剪完后是幾個紙帶？而且是兩個套著的紙帶。兩個紙帶一個大一個小？那么究竟這兩個紙帶大的紙帶是什么樣的曲面？同學(xué)們猜一下？到底是什么樣的曲面我們回家去再用水彩筆來驗證一下。 設(shè)計意圖： 在動手探尋莫比烏斯帶的奇妙特點時，堅持讓學(xué)生先想一想，猜一猜，剪完以后再想一想：為什么會是這樣的？這樣，就不只是讓學(xué)生動手做，還要學(xué)生動腦想，有效地培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，“大膽猜測，小心求證”的意識以及勤于反思的習(xí)慣。讓學(xué)生了解神奇的莫比烏斯帶，感受數(shù)學(xué)的奇妙。 四、揭示課前故事的謎底 同學(xué)們，一張普通長方形紙條，先怎么樣？擰了一下，一端擰了多少度？再用膠水粘起來，最后再用剪刀再沿著它的二等分或三等分的線剪開，剪開后發(fā)現(xiàn)這個莫比烏斯帶非常的神奇。它就是神奇的莫比烏斯帶。（板書：神奇的）現(xiàn)在，老師要考考你們了，接受我的考驗嗎？現(xiàn)在你知道課前故事中的執(zhí)事官是怎么拯救了農(nóng)民的嗎？ 設(shè)計意圖：將課前故事中執(zhí)事官的紙條也做成莫比烏斯圈，揭開他如何智救農(nóng)民的謎底，更顯示莫比烏斯圈的神奇。同時，一個有關(guān)莫比烏斯不經(jīng)意地發(fā)現(xiàn)的故事又一次深深地吸引了學(xué)生，很好地激活了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。 五、再次探索莫比烏斯帶，自主設(shè)計紙圈 1、我想接下來的時間就完全交給同學(xué)們了，現(xiàn)在發(fā)揮你們的聰明才智，自己去想象、設(shè)計、制作。請拿出3號紙條。剛才我們是擰了多少度？我們還可以…我們還沿1/2、1/3線剪的，現(xiàn)在想一想怎么剪。剪出一個屬于你自己的紙帶，好嗎？開始吧！2、小組設(shè)計。3、展示作品。 師：剛才我們已經(jīng)創(chuàng)造和分享了莫比烏斯圈的神奇。我想肯定還有很多同學(xué)想繼續(xù)去探究，咱們現(xiàn)在暫停。（進行愛科學(xué)教育：）神奇的莫比烏斯帶給了我們無限的遐想，希望這節(jié)課能給同學(xué)們有所啟發(fā)，平時多留心觀察生活，多問為什么，相信更多偉大的科學(xué)家將從我們這一班當中產(chǎn)生！ 設(shè)計意圖： 該活動在挑戰(zhàn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維和動手能力上有了進一步的要求。設(shè)計一個屬于自己的紙圈，富有挑戰(zhàn)性和創(chuàng)造性的活動深受學(xué)生歡迎 六、莫比烏斯帶的應(yīng)用 1、師：今天，咱們做了莫比烏斯帶，你有什么感受？生：莫比烏斯圈太神奇了。 是啊，我們已經(jīng)感受到了莫比烏斯圈的神奇，它可不光好玩有趣，還被應(yīng)用到生活的方方面面，大家想想，它有些什么用處呢？想想看！ 2、老師也收集了一些，讓我們一起來看看吧?。ㄕn件演示） ①過山車，游樂園里的過山車也是莫比烏斯帶。下次去游樂場玩時，可以去觀察一下，過山車的輪套是不是莫比烏斯帶的樣子。真得謝謝莫比烏斯帶，讓我們開心的轉(zhuǎn)一周還能回到原地。 ②利用莫比烏斯帶原理制成的莫比烏斯爬梯。有同學(xué)玩過嗎？這個爬梯只有一個面，可以一次不知不覺爬到底。 ③錄音機磁帶。如果把錄音機的磁帶做成“莫比烏斯帶”狀，就不存在正反兩面的問題了，磁帶就只有一個面了。聽時，不用拿出磁帶，A、B兩面都能聽。 它可以重復(fù)播放，可以省略換面，放一個晚上都不會停，它可以循環(huán)播放，多有價值的創(chuàng)意，應(yīng)該申請專利。只可惜這個創(chuàng)意我們稍微遲了一點，已經(jīng)被一個日本人申請了。 ④打印機的色帶和工廠機器上的傳送帶，打印機的色帶和工廠機器上的傳送帶就可以做成“莫比烏斯帶”的樣子，這樣就能充分利用，減少磨損，延長使用時間。 ⑤中國科技館大廳中央的“三葉扭結(jié)”。 中國科技館大廳中的標志性的建筑，它實際上是由“莫比烏斯帶”演變而成的，這藍白相間的燈不停地閃爍，乍看是個漂亮的燈飾，但細瞧，它只有一面一邊的莫比烏斯帶，它表示著科學(xué)沒有國界，各種科學(xué)之間沒有邊界，相互連通。 ⑥克萊因瓶，是1882年著名數(shù)學(xué)家菲立克·克萊因發(fā)現(xiàn)并用他的名字命名的著名的“瓶子”。剪開后就得到兩個莫比烏斯帶。 ⑦杭州科技館，這個是一個設(shè)計師他給杭州科技館設(shè)計時的圖紙，它是什么情況？我們每天在這樣的科技館里面參觀的時候這種感覺怎么樣？（非常好非常神奇！） 設(shè)計意圖： 根據(jù)小學(xué)生的年齡特征和認知規(guī)律，充分發(fā)揮多媒體課件的直觀作用，選取了學(xué)生認知范圍內(nèi)，并且是學(xué)生感興趣一些圖片，創(chuàng)設(shè)了逼真的情境，化枯燥為生動，化抽象為具體，在圖文聲并茂，呈現(xiàn)了“莫比烏斯帶”的美，深化了學(xué)生對數(shù)學(xué)魅力的領(lǐng)悟，拓寬了數(shù)學(xué)視野。 七、談感受 由于時間關(guān)系，我們今天這節(jié)課就上到這，上了這節(jié)課你有什么收獲？（認識并會做莫比烏斯帶、知道雙側(cè)曲面和單側(cè)曲面、學(xué)習(xí)方法等）你的最大感受是什么？（神奇、數(shù)學(xué)是很美的）我和大家感覺一樣，優(yōu)美的曲線能帶給我們美的享受，帶給我們無限的猜想。數(shù)學(xué)充滿了無窮的魅力，有待同學(xué)們以后進一步去探索。今天還學(xué)了數(shù)學(xué)家研究數(shù)學(xué)的思路，這是一種非常重要的研究方式。 設(shè)計意圖： 從另一個角度闡釋“莫比烏斯帶”，對學(xué)生進行實際的德育。 八、課外延伸（作業(yè)） 其實，莫比烏斯帶還有許多玩法，有興趣的同學(xué)可以在課下繼續(xù)探索、研究，我告訴大家，數(shù)學(xué)中有一門專門研究莫比烏斯圈的學(xué)問叫拓撲學(xué)。 (師板書：拓撲學(xué))課下，有興趣的同學(xué)可以繼續(xù)去研究，將研究的結(jié)果寫成數(shù)學(xué)日記，在全班交流，好嗎？ 設(shè)計意圖： 在意猶未盡中課結(jié)束了，但學(xué)生的思考和探索在向課外延伸。