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文科立體幾何線面角二面角專題 學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________ 一、解答題 1．如圖，在三棱錐P?ABC中，AB=BC=22，PA=PB=PC=AC=4，O為AC的中點(diǎn)． （1）證明：PO⊥平面ABC； （2）若點(diǎn)M在棱BC上，且二面角M?PA?C為30°，求PC與平面PAM所成角的正弦值． 2．如圖，在三棱錐P?ABC中，AB=BC=22，PA=PB=PC=AC=4，O為AC的中點(diǎn)． （1）證明：PO⊥平面ABC； （2）若點(diǎn)M在棱BC上，且MC=2MB，求點(diǎn)C到平面POM的距離． 3．（2018年浙江卷）如圖，已知多面體ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2． （Ⅰ）證明：AB1⊥平面A1B1C1； （Ⅱ）求直線AC1與平面ABB1所成的角的正弦值． 4．如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，點(diǎn)P，G分別是AA1，B1C1的中點(diǎn)，已知AA1⊥平面ABC，AA1=B1C1=3，A1B1=A1C1=2. （I）求異面直線A1G與AB所成角的余弦值； （II）求證：A1G⊥平面BCC1B1； （III）求直線PC1與平面BCC1B1所成角的正弦值. 5．如圖，四棱錐P-ABCD，底面ABCD是正方形，PA=PD=AB=1，PB=PC=2，E，F(xiàn)分別是PB，CD的中點(diǎn). （1）求證AB⊥EF； （2）求二面角B-EF-C的余弦值. 6．如圖，三棱柱ABC?A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，且各棱長(zhǎng)均相等.D，E，F(xiàn)分別為棱AB，BC，A1C1的中點(diǎn). （1）證明：EF//平面A1CD； （2）證明：平面A1CD⊥平面A1ABB1； （3）求直線EF與直線A1B1所成角的正弦值. 7．如圖，在四邊形ABCD中，AB//CD，∠ABD=30°，AB＝2CD＝2AD＝2，DE⊥平面ABCD，EF//BD，且BD＝2EF． （Ⅰ）求證：平面ADE⊥平面BDEF； （Ⅱ）若二面角C?BF?D的大小為60°，求CF與平面ABCD所成角的正弦值． 8．如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=BC=3，AD=CD=1，∠ADC=1200，點(diǎn)M是AC與BD的交點(diǎn)，點(diǎn)N在線段PB上，且PN=14PB. （1）證明：MN//平面PDC； （2）求直線MN與平面PAC所成角的正弦值. 9．在多面體ABCDEF中，底面ABCD是梯形，四邊形ADEF是正方形，AB//DC，AB=AD=1，CD=2，AC=EC=5， （1）求證：平面EBC⊥平面EBD； （2）設(shè)M為線段EC上一點(diǎn)，3EM=EC，求二面角M?BD?E的平面角的余弦值. 10．如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD為等腰梯形，BC//AD，已知AC⊥EC，AB=AF=BC=2，AD=DE=4，四邊形ADEF為直角梯形，AF//DE，∠DAF=90°. （1）證明：AC⊥平面CDE，平面ABCD⊥平面ADEF； （2）求三棱錐E?ABF的體積. 試卷第3頁(yè)，總4頁(yè) 本卷由系統(tǒng)自動(dòng)生成，請(qǐng)仔細(xì)校對(duì)后使用，答案僅供參考。 參考答案 1．（1）見(jiàn)解析（2）34 【解析】分析：(1)根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得PO垂直AC，再通過(guò)計(jì)算，根據(jù)勾股定理得PO垂直O(jiān)B，最后根據(jù)線面垂直判定定理得結(jié)論，(2)根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)方程組解出平面PAM一個(gè)法向量，利用向量數(shù)量積求出兩個(gè)法向量夾角，根據(jù)二面角與法向量夾角相等或互補(bǔ)關(guān)系列方程，解得M坐標(biāo)，再利用向量數(shù)量積求得向量PC與平面PAM法向量夾角，最后根據(jù)線面角與向量夾角互余得結(jié)果. 詳解：（1）因?yàn)锳P=CP=AC=4，O為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)P⊥AC，且OP=23. 連結(jié)OB.因?yàn)锳B=BC=22AC，所以△ABC為等腰直角三角形， 且OB⊥AC，OB=12AC=2. 由OP2+OB2=PB2知PO⊥OB. 由OP⊥OB,OP⊥AC知PO⊥平面ABC. （2）如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB的方向?yàn)閤軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz. 由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0,23),AP=(0,2,23),取平面PAC的法向量OB=(2,0,0). 設(shè)M(a,2-a,0)(0=n1?n2n1n2=22，所以他的余弦值是22. 點(diǎn)睛：此題主要考查立體幾何中異面直線垂直的證明，二面角的三角函數(shù)值的求解，以及坐標(biāo)法在解決立體幾何問(wèn)題中的應(yīng)用等有關(guān)方面的知識(shí)和技能，屬于中檔題型，也是常考題型.坐標(biāo)法在解決立體幾何中的一般步驟，一是根據(jù)圖形特點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系；二是將幾何中的量轉(zhuǎn)化為向量，通過(guò)向量的運(yùn)算；三是將運(yùn)算得到的結(jié)果翻譯為幾何結(jié)論. 6．（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析(3) 255 【解析】分析：（1）先證明EF//DA1，再證明EF//平面A1CD.(2)先證明CD⊥面A1ABB1，再證明平面A1CD⊥平面A1ABB1.(3)利用異面直線所成的角的定義求直線EF與直線A1B1所成角的正弦值為255. 詳解：（1）證明：連接ED， ∵D、E分別是AB、BC的中點(diǎn)， ∴DE//AC，DE=12AC， ∵三棱柱ABC-A1B1C1中，∴AC//A1C1，AC=A1C1， 又F為棱A1C1的中點(diǎn)，∴A1F=DE，A1F//DE， ∴四邊形A1DEF是平行四邊形，∴EF//DA1， 又∵DA1?平面A1CD，EF?平面A1CD，∴EF//平面A1CD. （2）證明：∵D是AB的中點(diǎn)，∴CD⊥AB， 又∵AA1⊥平面ABC，CD?平面ABC， ∴AA1⊥CD，又∵AA1∩AB=A， ∴CD⊥面A1ABB1，又CD?面A1CD， ∴平面A1CD⊥平面A1ABB1； （3）解：∵EF//DA1，AB//A1B1， ∴∠A1DA為直線EF與直線A1B1所成的角. 設(shè)三棱柱ABC-A1B1C1的棱長(zhǎng)為a，則AD=12a， ∴A1D=A1A2+AD2=52a，∴sin∠A1DA=A1AA1D=255. 即直線EF與直線A1B1所成角的正弦值為255. 點(diǎn)睛：（1）本題主要考查空間位置關(guān)系的證明和異面直線所成角的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握能力和空間想象轉(zhuǎn)化能力.(2)求空間的角，方法一是利用幾何法，找→作→證→指→求.方法二是利用向量法. 7．（1）見(jiàn)解析（2）3311 【解析】分析：(1)根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明平面ADE⊥平面BDEF； (2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法即可求CF與平面ABCD所成角的正弦值；也可以應(yīng)用常規(guī)法，作出線面角，放在三角形當(dāng)中來(lái)求解. 詳解：（Ⅰ）在△ABD中，∠ABD＝30°，由AO2＝AB2+BD2－2AB·BDcos30°， 解得BD＝，所以AB2+BD2=AB2，根據(jù)勾股定理得∠ADB＝90°∴AD⊥BD. 又因?yàn)镈E⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，∴AD⊥DE. 又因?yàn)锽D∩DE＝D，所以AD⊥平面BDEF，又AD平面ABCD， ∴平面ADE⊥平面BDEF， （Ⅱ）方法一： 如圖，由已知可得∠ADB=90°，∠ABD=30°，則 ∠BDC=30°，則三角形BCD為銳角為30°的等腰三角形. CD=CB=1, 則CG=12. 過(guò)點(diǎn)C做CH//DA，交DB、AB于點(diǎn)G，H，則點(diǎn)G為點(diǎn)F在面ABCD上的投影.連接FG，則 CG⊥BD，DE⊥平面ABCD，則CG⊥平面BDEF. 過(guò)G做GI⊥BF于點(diǎn)I，則BF⊥平面GCI，即角GCI為 二面角C-BF-D的平面角，則∠GCI=60°. 則tan60°=CGCI，CG=12，則GI=123. 在直角梯形BDEF中，G為BD中點(diǎn)，BD=3，GI⊥BF，GI=123， 設(shè)DE=x ，則GF=x，SΔBGF=12?BG?GF=12?BF?GI，則DE=68. tan∠FCG=FGGC=64，則sin∠FCG=3311，即CF與平面ABCD所成角的正弦值為3311． （Ⅱ）方法二： 可知DA、DB、DE兩兩垂直，以D為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz. 設(shè)DE＝h，則D(0，0，0)，B(0，，0)，C(－，－，h). ，. 設(shè)平面BCF的法向量為m＝(x，y，z)， 則m?BC=0m?BF=0所以-0.5x-32y=0-32y+hz=0取x=，所以m＝(，-1，－)， 取平面BDEF的法向量為n＝(1，0，0)， 由cos=m?nm?n=cos60°，解得h=68，則DE=68， 又,則CF=228，設(shè)CF與平面ABCD所成角為α， 則sin=68+228=3311. 故直線CF與平面ABCD所成角的正弦值為3311 點(diǎn)睛：該題考查的是立體幾何的有關(guān)問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有面面垂直的判定，線面角的正弦值，在求解的過(guò)程中，需要把握面面垂直的判定定理的內(nèi)容，要明白垂直關(guān)系直角的轉(zhuǎn)化，在求線面角的有關(guān)量的時(shí)候，有兩種方法，可以應(yīng)用常規(guī)法，也可以應(yīng)用向量法. 8．（1）見(jiàn)解析；（2）14 【解析】分析：（1）由題意得ΔABC是等邊三角形，故得BM=32，于是BMMD=3，從而得BMMD=BNNP=3，所以MN//PD，然后根據(jù)線面平行的判定定理可得結(jié)論成立．（2）由PA⊥平面ABCD可得BD⊥PA，于是BD⊥平面PAC．又MN//PD，所以直線MN與平面PAC所成角即直線PD與平面PAC所成角，從而得到∠DPM即為所求角，然后根據(jù)解三角形可得所求． 詳解：（1）因?yàn)锳B=BC,AD=CD， 所以BD垂直平分線段AC． 又∠ADC=1200， 所以MD=12AD=12． 在ΔADC中，由余弦定理得 AC2=DA2+DC2-2AD×DC×cos∠ADC=1+1-2×1×1×cos120°=3， 所以AC=3． 又AB=BC=3， 所以ΔABC是等邊三角形， 所以BM=32， 所以BMMD=3， 又因?yàn)镻N=14PB， 所以BMMD=BNNP=3， 所以MN//PD． 又MN?平面PDC,PD?平面PDC， 所以MN//平面PDC． （2）因?yàn)镻A⊥平面ABCD，BD?平面ABCD， 所以BD⊥PA， 又BD⊥AC,PA∩AC=A， 所以BD⊥平面PAC． 由（1）知MN//PD， 所以直線MN與平面PAC所成角即直線PD與平面PAC所成角， 故∠DPM即為所求的角． 在RtΔPAD中，PD=2， 所以sin∠DPM=DMDP=122=14， 所以直線MN與平面PAC所成角的正弦值為14． 點(diǎn)睛：（1）證明空間中的位置關(guān)系時(shí)要注意解題的規(guī)范性和嚴(yán)密性，運(yùn)用定理證明時(shí)要體現(xiàn)出定理中的關(guān)鍵性詞語(yǔ)． （2）用幾何法求空間角時(shí)可分為三步，即“一找、二證、三計(jì)算”，即首先根據(jù)所求角的定義作出所求的角，并給出證明，最后利用解三角形的方法得到所求的角（或其三角函數(shù)值）． 9．(1)見(jiàn)解析；（2）cosm,n=m?nmn=22?3=63. 【解析】分析：（1）由勾股定理的逆定理可得AD⊥DC，ED⊥DC；又由條件可得到ED⊥AD，于是ED⊥平面ABCD，可得ED⊥BC，從而得到BC⊥平面EBD，根據(jù)面面垂直的判定定理得平面EBC⊥平面EBD．（2）由題意得可得DA，DC，DE兩兩垂直，故可建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合題意可得點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,23,23)，于是可求得平面MBD的法向量為m=(-1,1,1)，又BC=(-1,1,0)是平面EBD的一個(gè)法向量，求得cos=63后結(jié)合圖形可得所求余弦值為63． 詳解：（1）由AD=1，CD=2，AC=5，得AD2+CD2=AC2， ∴ΔADC為直角三角形，且AD⊥DC 同理ΔEDC為直角三角形，且ED⊥DC． 又四邊形ADEF是正方形， ∴AD⊥DE． 又AB//DC ∴DA⊥AB. 在梯形ABCD中，過(guò)點(diǎn)作B作BH⊥CD于H， 故四邊形ABHD是正方形， ∴∠ADB=45°. 在ΔBCH中，BH=CH=1， ∴∠BCH=45°，BC=2， ∴∠BDC=45°， ∴∠DBC=90°， ∴BC⊥BD. ∵ED⊥AD，ED⊥DC,AD∩DC=D， ∴ED⊥平面ABCD, 又BC?平面ABCD， ∴ED⊥BC， 又BD∩ED=D， ∴BC⊥平面EBD， 又BC?平面EBC， ∴平面EBC⊥平面EBD． （2）由（1）可得DA，DC，DE兩兩垂直，以D為原點(diǎn)，DA，DC，DE所在直線為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz， 則D(0,0,0),E(0,0,1),B(1,1,0),C(0,2,0). 令M(0,y0,z0)，則EM=(0,y0,z0-1)，EC=(0,2,-1) ∵3EM=EC， ∴(0,3y0,3z0-3a)=(0,2,-1) ∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,23,23). ∵BC⊥平面EBD， ∴BC=(-1,1,0)是平面EBD的一個(gè)法向量. 設(shè)平面MBD的法向量為m=(x,y,z). 則m?DB=0m?DM=0，即x+y=023y+23z=0，可得x=-y=-z. 令y=-1，得m=(-1,1,1)． ∴cos=m?BCmBC=22×3=63． 由圖形知二面角M-BD-E為銳角， ∴二面角M-BD-E的平面角的余弦值為63． 點(diǎn)睛：利用空間向量求二面角的注意點(diǎn) （1）建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)，要注意證明得到兩兩垂直的三條直線．然后確定出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，在此基礎(chǔ)上求得平面的法向量． （2）求得兩法向量的夾角的余弦值后，還要結(jié)合圖形確定二面角是銳角還是鈍角，然后才能得到所求二面角的余弦值．這一點(diǎn)在解題時(shí)容易忽視，解題時(shí)要注意． 10．（1）見(jiàn)解析（2）433 【解析】分析：（1）通過(guò)取AD中點(diǎn)M，連接CM，利用CM=12AD得到直角；再利用AC⊥EC可得AC⊥平面CDE；再根據(jù)線面垂直判定定理即可證明。 由前面已經(jīng)證明的線面垂直，可得DE⊥AC，而DE⊥平面ABCD，DE?平面ADEF 所以可得面面垂直。 （2）根據(jù)等體積法，變換頂點(diǎn)即可求得體積。 詳解：（1）證明：取AD的中點(diǎn)M，連接CM，AB=AF=BC=2，BC//AM， 由四邊形ABCM為平行四邊形，可知CM=12AD，在ΔACD中，有∠ACD=90°，∴AC⊥DC. 又AC⊥EC，DC∩EC=C，∴AC⊥平面CDE， ∵ED?平面CDE，∴DE⊥AC. 又DE⊥AD，AD∩DE=D，∴DE⊥平面ABCD. ∵DE?平面ADEF，∴平面ABCD⊥平面ADEF. （2）解：由（1）知平面ABCD⊥平面ADEF， 作BH⊥AD，∴BH⊥平面ADEF，BH=3， 連接AE，VE-ABF=VB-AEF=13?SΔAEF?BH =13×12×2×4×3=433. 點(diǎn)睛：本題綜合考查了線面垂直、面面垂直的判定，等體積法在立體幾何中的應(yīng)用等，關(guān)鍵注意書(shū)寫(xiě)的格式和步驟，屬于中檔題。 答案第15頁(yè)，總15頁(yè)