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指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì) 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1.掌握指數(shù)函數(shù)的概念，了解對底數(shù)的限制條件的合理性，明確指數(shù)函數(shù)的定義域； 2.掌握指數(shù)函數(shù)圖象： (1)能在基本性質(zhì)的指導(dǎo)下，用列表描點(diǎn)法畫出指數(shù)函數(shù)的圖象，能從數(shù)形兩方面認(rèn)識指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)； (2)掌握底數(shù)對指數(shù)函數(shù)圖象的影響； (3)從圖象上體會指數(shù)增長與直線上升的區(qū)別． 3.學(xué)會利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性來比較大小，包括較為復(fù)雜的含字母討論的類型； 4.通過對指數(shù)函數(shù)的概念、圖象、性質(zhì)的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)觀察、分析歸納的能力，進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合的思想方法； 5.通過對指數(shù)函數(shù)的研究，要認(rèn)識到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，更善于從現(xiàn)實生活中發(fā)現(xiàn)問題，解決問題． 【要點(diǎn)梳理】 要點(diǎn)一、指數(shù)函數(shù)的概念： 函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，a為常數(shù)，函數(shù)定義域為R. 要點(diǎn)詮釋： （1）形式上的嚴(yán)格性：只有形如y=ax(a>0且a≠1)的函數(shù)才是指數(shù)函數(shù)．像，，等函數(shù)都不是指數(shù)函數(shù)． （2）為什么規(guī)定底數(shù)a大于零且不等于1： ①如果，則 ②如果，則對于一些函數(shù)，比如，當(dāng)時，在實數(shù)范圍內(nèi)函數(shù)值不存在． ③如果，則是個常量，就沒研究的必要了． 要點(diǎn)二、指數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)： y=ax 01時圖象 圖象 性質(zhì) ①定義域R，值域 （0，+∞） ②a0=1, 即x=0時，y=1，圖象都經(jīng)過(0，1)點(diǎn) ③ax=a，即x=1時，y等于底數(shù)a ④在定義域上是單調(diào)減函數(shù) ④在定義域上是單調(diào)增函數(shù) ⑤x<0時，ax>1 x>0時，00時，ax>1 ⑥ 既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù) 要點(diǎn)詮釋： （1）當(dāng)?shù)讛?shù)大小不定時，必須分“”和“”兩種情形討論。 （2）當(dāng)時，；當(dāng)時。 當(dāng)時，的值越大，圖象越靠近軸，遞增速度越快。 當(dāng)時，的值越小，圖象越靠近軸，遞減的速度越快。 （3）指數(shù)函數(shù)與的圖象關(guān)于軸對稱。 要點(diǎn)三、指數(shù)函數(shù)底數(shù)變化與圖像分布規(guī)律 （1） ① ② ③ ④ 則：0＜b＜a＜1＜d＜c 又即：x∈(0,+∞)時， （底大冪大） x∈(－∞,0)時， （2）特殊函數(shù) 的圖像： 要點(diǎn)四、指數(shù)式大小比較方法 (1)單調(diào)性法：化為同底數(shù)指數(shù)式，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較. (2)中間量法 (3)分類討論法 (4)比較法 比較法有作差比較與作商比較兩種，其原理分別為： ①若；；； ②當(dāng)兩個式子均為正值的情況下，可用作商法，判斷，或即可． 【典型例題】 類型一、指數(shù)函數(shù)的概念 例1．函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，求的值． 【答案】2 【解析】由是指數(shù)函數(shù)， 可得解得，所以． 【總結(jié)升華】判斷一個函數(shù)是否為指數(shù)函數(shù)： （1）切入點(diǎn)：利用指數(shù)函數(shù)的定義來判斷； （2）關(guān)鍵點(diǎn)：一個函數(shù)是指數(shù)函數(shù)要求系數(shù)為1，底數(shù)是大于0且不等于1的常數(shù)，指數(shù)必須是自變量． 舉一反三： 【變式1】指出下列函數(shù)哪些是指數(shù)函數(shù)？ （1）；（2）；（3）；（4）； （5）；（6）． 【答案】（1）（5）（6） 【解析】（1）（5）（6）為指數(shù)函數(shù)．其中（6）=，符合指數(shù)函數(shù)的定義，而（2）中底數(shù)不是常數(shù)，而4不是變數(shù)；（3）是-1與指數(shù)函數(shù)的乘積；（4）中底數(shù)，所以不是指數(shù)函數(shù)． 類型二、函數(shù)的定義域、值域 例2．求下列函數(shù)的定義域、值域. (1)；(2)y=4x-2x+1；(3)；(4)(a為大于1的常數(shù)) 【答案】（1）R，(0，1)；（2）R [)；（3） ；（4）(-∞，-1)∪[1，+∞) [1，a)∪(a，+∞) 【解析】(1)函數(shù)的定義域為R (∵對一切xR，3x≠-1). ∵ ，又∵ 3x>0， 1+3x>1， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴值域為(0，1). (2)定義域為R，，∵ 2x>0， ∴ 即 x=-1時，y取最小值，同時y可以取一切大于的實數(shù)，∴ 值域為[). (3)要使函數(shù)有意義可得到不等式，即，又函數(shù)是增函數(shù)，所以，即，即，值域是. (4)∵ ∴ 定義域為(-∞，-1)∪[1，+∞)， 又∵ ，∴ ， ∴值域為[1，a)∪(a，+∞). 【總結(jié)升華】求值域時有時要用到函數(shù)單調(diào)性；第(3)小題中值域切記不要漏掉y>0的條件，第(4)小題中不能遺漏. 舉一反三： 【變式1】求下列函數(shù)的定義域： (1) (2) (3) (4) 【答案】（1）R；（2）；（3）；（4）a>1時，；01時，；01時，外層函數(shù)y=au在上為增函數(shù)，內(nèi)函數(shù)u=x2-2x在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)，故函數(shù)上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)； 當(dāng)01， x11且x2-x1>0， ∴， ∴ . 【總結(jié)升華】指數(shù)函數(shù)是學(xué)習(xí)了函數(shù)的一般性質(zhì)后，所學(xué)的第一個具體函數(shù).因此，在學(xué)習(xí)中，盡量體會從一般到特殊的過程. 例5．判斷下列各數(shù)的大小關(guān)系： (1)1.8a與1.8a+1； (2) (3)22.5，(2.5)0， (4) 【思路點(diǎn)撥】利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)去比較大小。 【答案】（1）1.8a<1.8a+1 （2） （3） （4）當(dāng)a>1時，，當(dāng)01，所以函數(shù)y=1.8x為單調(diào)增函數(shù)， 又因為a1時，，當(dāng)01， 1.1>1， -0.1<0T0<1.1-0.1<1， 則0.9-0.3>1.1-0.1； (4)由指數(shù)函數(shù)圖象相對位置關(guān)系——數(shù)形結(jié)合，0.90.3>0.70.4. (5)∵，又函數(shù)為減函數(shù)， ， ∴ ， ∵為增函數(shù)，時，y>1，. 另解：冪函數(shù)為增函數(shù)，則有，(下略). 【高清課堂：指數(shù)函數(shù) 369066 例1】 【變式2】利用函數(shù)的性質(zhì)比較，， 【答案】 【解析】= 作出的圖象知 所以 【變式3】 比較1.5-0.2， 1.30.7， 的大小. 【答案】 【解析】先比較的大小.由于底數(shù)(0，1)， ∴ 在R上是減函數(shù)，∵ ， ∴ ，再考慮指數(shù)函數(shù)y=1.3x， 由于1.3>1， 所以y=1.3x在R上為增函數(shù)1.30.7>1.30=1， ∴ . 【總結(jié)升華】在進(jìn)行數(shù)的大小比較時，若底數(shù)相同，則可根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)果，若底數(shù)不相同，則首先考慮能否化成同底數(shù)，然后根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)果；不能化成同底數(shù)的，要考慮引進(jìn)第三個數(shù)(如0，1等)分別與之比較，從而得出結(jié)果.總之比較時要盡量轉(zhuǎn)化成底的形式，根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行判斷. 例6. (分類討論指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性)化簡： 【思路點(diǎn)撥】先把被開方數(shù)變形成完全平方式的形式，然后對進(jìn)行分類討論，去掉絕對值。 【解析】 舉一反三： 【變式1】如果（，且），求的取值范圍． 【答案】當(dāng)時，；當(dāng)時， 【解析】（1）當(dāng)時，由于， ，解得． （2）當(dāng)時，由于， ，解得． 綜上所述，的取值范圍是：當(dāng)時，；當(dāng)時，． 類型四、判斷函數(shù)的奇偶性 例7．判斷下列函數(shù)的奇偶性： (為奇函數(shù)) 【答案】偶函數(shù) 【解析】f(x)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱(∵定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且f(x)的定義域是定義域除掉0這個元素)，令，則 ∴ g(x)為奇函數(shù)， 又 ∵為奇函數(shù)，∴ f(x)為偶函數(shù). 【總結(jié)升華】求的奇偶性，可以先判斷與的奇偶性，然后在根據(jù)奇·奇=偶，偶·偶=偶，奇·偶=奇，得出的奇偶性． 舉一反三： 【變式1】判斷函數(shù)的奇偶性：. 【答案】偶函數(shù) 【解析】定義域{x|xR且x≠0}， 又 ， ∴ f(-x)=f(x)，則f(x)偶函數(shù). 類型五、指數(shù)函數(shù)的圖象問題 例8．如圖的曲線C1、C2、C3、C4是指數(shù)函數(shù)的圖象，而，則圖象C1、C2、C3、C4對應(yīng)的函數(shù)的底數(shù)依次是________、________、________、________． 【答案】 【解析】由底數(shù)變化引起指數(shù)函數(shù)圖象的變化規(guī)律可知，C2的底數(shù)＜C1的底數(shù)＜C4的底數(shù)＜C3的底數(shù)． 【總結(jié)升華】利用底數(shù)與指數(shù)函數(shù)圖象之間的關(guān)系可以快速地解答像本題這樣的有關(guān)問題，同時還可以解決有關(guān)不同底的冪的大小比較的問題，因此我們必須熟練掌握這一性質(zhì)，這一性質(zhì)可簡單地記作：在y軸的右邊“底大圖高”，在y軸的左邊“底大圖低”． 舉一反三： 【變式1】 設(shè)，c＜b＜a且，則下列關(guān)系式中一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【變式2】為了得到函數(shù)的圖象，可以把函數(shù)的圖象(　　) A．向左平移9個單位長度，再向上平移5個單位長度 B．向右平移9個單位長度，再向下平移5個單位長度 C．向左平移2個單位長度，再向上平移5個單位長度 D．向右平移2個單位長度，再向下平移5個單位長度 【答案】C 【解析】注意先將函數(shù)轉(zhuǎn)化為，再利用圖象的平移規(guī)律進(jìn)行判斷． ∵，∴把函數(shù)的圖象向左平移2個單位長度，再向上平移5個單位長度，可得到函數(shù)的圖象，故選C． 【總結(jié)升華】用函數(shù)圖象解決問題是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要方法，利用其直觀性實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合解題，所以要熟悉基本函數(shù)的圖象，并掌握圖象的變化規(guī)律，比如：平移、伸縮、對稱等．