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單元測試(二) 二次函數(shù) (時間：45分鐘總分：100分） 一、選擇題(每小題3分，共30分) 1.下列關(guān)于二次函數(shù)y=-x2圖象的說法：①圖象是一條拋物線；②開口向下；③對稱軸是y軸；④頂點(0，0).其中正確的有( ) A.1個 B.2個 C.3個 D.4個 2.拋物線y=(x+2)2-3可以由拋物線y=x2平移得到，則下列平移過程正確的是( ) A.先向左平移2個單位，再向上平移3個單位 B.先向左平移2個單位，再向下平移3個單位 C.先向右平移2個單位，再向下平移3個單位 D.先向右平移2個單位，再向上平移3個單位 3.已知二次函數(shù)y=ax2-1的圖象開口向下，則直線y=ax-1經(jīng)過的象限是( ) A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限 C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限 4.在平面直角坐標系中，拋物線y=x2-1與x軸的交點的個數(shù)是( ) A.3 B.2 C.1 D.0 5.如圖，已知拋物線與x軸的一個交點A(1，0)，對稱軸是x=-1，則該拋物線與x軸的另一交點坐標是( ) A.(-3,0) B.(-2,0) C.(0，-3) D.(0，-2) 6.拋物線的頂點坐標為P(1，3)，且開口向下，則函數(shù)y隨自變量x的增大而減小，那么x的取值范圍為( ) A.x＜3 B.x＞3 C.x＞1 D.x＜1 7.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的y與x的部分對應值如下表： 則下列判斷中正確的是( ) A.拋物線開口向上 B.拋物線與y軸交于負半軸 C.當x=4時，y＞0 D.方程ax2+bx+c=0的正根在3與4之間 8.已知二次函數(shù)y=3(x-1)2+k的圖象上有A(，y1)，B(2，y2)，C(-，y3)三個點，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是( ) A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3 C.y3>y1>y2 D.y3>y2>y1 9.向空中發(fā)射一枚炮彈，經(jīng)x秒后的高度為y米，且時間與高度的關(guān)系為y=ax2+bx+c(a≠0).若此炮彈在第7秒與第14秒時的高度相等，則在下列時間中炮彈所在高度最高的是( ) A.第8秒 B.第10秒 C.第12秒 D.第15秒 10.如圖為二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象，則下列說法：①a>0；②2a+b=0；③a+b+c>0；④當-10，其中正確的個數(shù)為( ) A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空題(每小題4分，共24分) 11.二次函數(shù)y=-2(x-1)2+3的圖象的頂點坐標是______. 12.若拋物線y=ax2+bx+c的頂點是A(2，1)，且經(jīng)過點B(１，0)，則拋物線的函數(shù)關(guān)系式為______ 13.一個運動員打高爾夫球，若球的飛行高度y(m)與水平距離x(m)之間的函數(shù)表達式為y=-（x-30）2+10，則高爾夫球在飛行過程中的最大高度為______m. 14.如圖，在平面直角坐標系中，點A是拋物線y=a(x-3)2+k與y軸的交點，點B是這條拋物線上的另一點，且AB∥x軸，則以AB為邊的等邊三角形ABC的周長為______. 15.如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=12 mm，BC=24 mm，動點P從點A開始沿邊AB向B以2 mm/s的速度移動(不與點B重合)，動點Q從點B開始沿邊BC向C以4 mm/s的速度移動(不與點C重合).如果P、Q分別從A、B同時出發(fā)，那么經(jīng)過______秒，四邊形APQC的面積最小. 16. 已知二次函數(shù)y=(x-2a)2+(a-1)(a為常數(shù))，當a取不同的值時，其圖象構(gòu)成一個“拋物線系”.如圖分別是當a=-1，a=0，a=1，a=2時二次函數(shù)的圖象.它們的頂點在一條直線上，這條直線的解析式是______ 三、解答題(共46分) 17.(8分)如圖，矩形ABCD的長AD=4 cm，寬AB=3 cm，長和寬都增加x cm，那么面積增加y cm2. (1)寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍； (2)當增加2 cm時，面積增加多少？ 18.(8分)如圖，一次函數(shù)y1=kx+b與二次函數(shù)y2=ax2的圖象交于A、B兩點. (1)利用圖中條件，求兩個函數(shù)的解析式. (2)根據(jù)圖象寫出使y1>y2的x的取值范圍. 19.(8分)已知函數(shù)y=mx2-6x+1(m是常數(shù)). (1)求證：不論m為何值，該函數(shù)的圖象都經(jīng)過y軸上的一個定點； (2)若該函數(shù)的圖象與x軸只有一個交點，求m的值. 20.(10分)在一次籃球比賽中，如圖隊員甲正在投籃.已知球出手時離地面m，與籃圈中心的水平距離為7 m，球出手后水平距離為4 m時達到最大高度4 m，設(shè)籃球運行軌跡為拋物線，籃圈距地面3 m. (1)建立如圖所示的平面直角坐標系，問此球能否準確投中？ (2)此時，對方隊員乙在甲面前1 m處跳起蓋帽攔截，已知乙的最大摸高為3.1 m，那么他能否獲得成功？ 21.(12分)矩形OABC的頂點A(-8，0)、C(0，6)，點D是BC邊上的中點，拋物線y=ax2+bx經(jīng)過A、D兩點，如圖所示. (1)求點D關(guān)于y軸的對稱點D′的坐標及a、b的值； (2)在y軸上取一點P,使PA+PD長度最短,求點P的坐標； (3)將拋物線y=ax2+bx向下平移,記平移后點A的對應點為A1，點D的對應點為D1，當拋物線平移到某個位置時，恰好使得點O是y軸上到A1、D1兩點距離之和OA1+OD1最短的一點，求此拋物線的解析式. 參考答案 一、選擇題(每小題3分，共30分) 1.D 2.B 3.D 4.B 5.A 6.C 7.D 8.D 9.B 10.C 二、填空題(每小題4分，共24分) 11.(1，3). 12.y=-x2+4x-3. 13.10 14.18. 15.3. 16.y=x-1. 三、解答題(共46分) 17.(1)y=(3+x)(4+x)-12=x2+7x，x>0. (2)當x=2時，y的值是18. 即當增加2 cm時，面積增加18 cm2. 18.(1)由圖象可知：B(2，4)在二次函數(shù)y2=ax2圖象上， ∴4=a×22.∴a=1.則y2=x2. 又∵A(-1，n)在二次函數(shù)y2=x2圖象上， ∴n=(-1)2.∴n=1.則A(-1，1). 又∵A、B兩點在一次函數(shù)y1=kx+b圖象上， ∴1=-k+b， 4=2k+b.解得k=1， b=2.則y1=x+2. ∴一次函數(shù)解析式為y1=x+2，二次函數(shù)解析式為y2=x2. (2)根據(jù)圖象可知：當-1y2. 19.(1)當x=0時，y=1. ∴不論m為何值，函數(shù)y=mx2-6x+1的圖象都經(jīng)過y軸上一個定點(0，1). (2)①當m=0時，函數(shù)y=-6x+1的圖象與x軸只有一個交點； ②當m≠0時，若函數(shù)y=mx2-6x+1的圖象與x軸只有一個交點，則方程mx2-6x+1=0有兩個相等的實數(shù)根，所以Δ=(-6)2-4m=0，m=9. 綜上所述，若函數(shù)y=mx2-6x+1的圖象與x軸只有一個交點，則m的值為0或9. 20.(1)由題意知，拋物線的頂點為(4，4)，經(jīng)過點(0，). 設(shè)拋物線解析式為y=a(x-4)2+4，代入(0，)，解得a=-， ∴y=-(x-4)2+4.當x=7時，y=-(7-4)2+4=3，∴一定能準確投中. (2)當x=1時，y=-(1-4)2+4=3＜3.1，∴隊員乙能夠成功攔截. 21.(1)由矩形的性質(zhì)可知：B(-8，6)， ∴D(-4，6).∴點D關(guān)于y軸對稱點D′(4，6). 將A(-8，0)、D(-4，6)代入y=ax2+bx，得64a-8b=0, 16a-4b=6.∴a=-, b=-3. (2)設(shè)直線AD′的解析式為y=kx+n， ∴-8k+n=0, 4k+n=6.解得k=, n=4. ∴直線y=x+4與y軸交于點(0，4). ∴P(0，4). (3)解法1：由于OP=4，故將拋物線向下平移4個單位時，有OA1+OD1最短. ∴y+4=-x2-3x，即此時的解析式為y=-x2-3x-4. 解法2：設(shè)拋物線向下平移了m個單位，則A1(-8，-m)，D1(-4，6-m)，∴D′1（4，6-m）. 令直線A1D′1為y=k′x+b′. 則-8k′+b′=-m, 4k′+b′=6-m.∴k′=, b′=4-m. ∵點O為使OA1+OD1最短的點，∴b′=4-m=0. ∴m=4，即將拋物線向下平移了4個單位. ∴y+4=-x2-3x，即此時的解析式為y=-x2-3x-4.