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廣東省北大附中深圳南山分校2012屆高三上學期期末試題 數(shù)學(理科) 2011.1.13 參考公式：錐體的體積公式，其中S為錐體的底面積，和h為錐體的高. 一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只 有一項是符合題目要求的，請將正確答案的編號用鉛筆涂在答題卡上． 1.設全集U={1，2，3，4，5}，集合M={1， 3，5}，N={3，4，5}，則集合(?UM)∩N= A. {4} B. {2，3，4，5} C. {1， 3，4，5} D.Φ 2.若復數(shù)z1=3+i，z2=2－i，則在復平面內(nèi)對應的點位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.在下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的有幾個 ①f(x)=sin(π－x)； ②； ③f(x)=x3－x； ④f(x)=2x+2-x. A.1個 B.2個 C.3個 D.4個 第4題圖 4.為了解地震災區(qū)高三學生的身體發(fā) 育狀況，抽查了該地區(qū)100名年齡為 17歲～18歲的男生體重(kg)，得 到如圖頻率分布直方圖. 根據(jù)右圖可 知體重在[56.5，64.5)的學生人數(shù)有 A.20人 B.30人 C.40人 D.50人 5.在2010年開展的全國第六次人口普查中發(fā)現(xiàn)，某市市民月收入ξ (單位：元)服從正 態(tài)分布N(3000，σ2)，且P(ξ<1000)=0.1962，則P(3000≤ξ≤5000)= A.0.8038 B.0.3038 C.0.6076 D.0.3924 6.展開式中的常數(shù)項為 A.－1320 B.1320 C.－220 D.220 7.設m、n是兩條直線，α、β是兩個不同平面，下列命題正確的是 A.若m⊥α，nìβ，m⊥n，則α⊥β B.若α⊥β，m⊥α， n∥β，則m⊥n C.若α⊥β，α∩β=m，m⊥n，則n⊥β D.若α∥β，m⊥α， n∥β，則m⊥n 8.對于直角坐標系內(nèi)任意兩點P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，定義運算P1P2= (x1，y1) (x2， y2)=(x1x2－y1y2，x1y2+x2y1)，若M是與原點O相異的點，且M (1，1)=N，則∠M0N＝ A. 1350 B. 450 C.900 D. 600 第Ⅱ卷（非選擇題共110分） 二、填空題：本大題共7小題，每小題5分，其中14～15是選做題，考生只能選做一題，二題全答的，只計算前一題得分，共30分．把答案填在答題卡上． （一）必做題(9～13題) 9.計算 . 10.若拋物線y2=2px的焦點與雙曲線的右焦點重合，則p的值為 . 11.設x，y滿足約束條件，則z=2x+y的最大值為 . 12.將4本不同的書全部發(fā)給3名同學，每名同學至少有一本書的概率是 . 13.設f0(x)=cosx，f1(x)= f0＇(x)，f2(x)= f1＇(x)，…，fn+1(x)= fn＇(x)，n∈N*， 則f2011 (x)= . (二)選做題：(14 ~ 15題，考生只能從中選做一題) D C 14.(坐標系與參數(shù)方程選講選做題) 圓C：(θ為參數(shù))的圓心到直線 l：(t為參數(shù))的距離為 . 15.(幾何證明選講選做題)如圖，PC切⊙O于點 C，割線PAB經(jīng)過圓心O，弦CD⊥AB于點E， PC=4，PB=8，則CD___________. 三、解答題：本大題共6小題，共80分，解答應寫出文字說明或演算步驟． 16.(本小題滿分12分) 已知函數(shù). (Ⅰ)若，，求函數(shù)f(x)的值； (Ⅱ)求函數(shù)f(x)的最小正周期和值域. 輸入a，b 開始 結(jié)束 第17題圖 ？ ？ Y N N Y n=n+1 M=|S－T| n=0，S=O，T=O 17.(本小題滿分12分) 在第十六屆廣州亞運會上，某項目的比賽規(guī)則為： 由兩人(記為甲和乙)進行比賽，每局勝者得1分， 負者得0分(無平局)，比賽進行到有一人比對方 多2分或打滿6局時停止. 設甲在每局中獲勝的概率為p(p>0.5)，且各局勝 負相互獨立. 已知第二局比賽結(jié)束時比賽停止的概率為. (Ⅰ)求實數(shù)p的值； (Ⅱ)如圖為統(tǒng)計比賽的局數(shù)n和甲、乙的總得分數(shù)S、T的 程序框圖. 其中如果甲獲勝，輸入a=1，b=0；如果乙獲勝， 則輸入a=0，b=1.請問在第一、第二兩個判斷框中應分別填 寫什么條件； (Ⅲ)設ζ表示比賽停止時已比賽的局數(shù)，求隨機變量ζ的 分布列和數(shù)學期望Eζ. 18.(本小題滿分14分) 如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1， AB=2，點E在棱AB　上移動，設AE=x(00)，它的長軸長為2a(a>c>0)，直線l：與x軸相交于點A，|OF|=2|FA|，過點A的直線與橢圓相交于P、Q兩點． (Ⅰ)求橢圓的方程和離心率； (Ⅱ)若，求直線PQ的方程； (Ⅲ)設 (λ>1)，過點P且平行于直線的直線與橢圓相交于另一點M， 證明：． (命題人：南頭中學 萬秉生 審題人：區(qū)教研室 羅誠) 廣東省北大附中深圳南山分校2011屆高三上學期期末試題 數(shù)學(理科) 參考答案及評分標準 2011.1.13 一、選擇題：（8×5＇=40＇） 題 號 1 2 3 4 5 6 7 8 答 案 A A C C B C D B 二、填空題：(6×5＇=30＇) 9、6； 10、4； 11、2； 12、； 13、sinx； 14、2； 15、. 三、解答題：（80＇） 16. (本小題滿分12分) 解：(Ⅰ)∵，，∴， ……2分 又 ……3分 ， ……4分 ∴. ……6分 (Ⅱ) ， ……8分 ∴， ……10分 ∵x∈R，∴， ……11分 所以函數(shù)f(x)的最小正周期為2π，值域為[－2，2]． ……12分 17. (本小題滿分12分) 解：(Ⅰ)依題意，當甲連勝2局或乙連勝2局時，第二局比賽結(jié)束時比賽結(jié)束. 有. ……2分 解得或. ……3分 ∵，∴. ……4分 (Ⅱ)程序框圖中的第一個條件框應填M=2，第二個應填n=6. ……8分 注意：答案不唯一． 如：第一個條件框填M>1，第二個條件框填n>5，或者第一、 第二條件互換，都可以. (Ⅲ)依題意知，ζ的所有可能值為2，4，6． ……9分 由已知 ， . …… 11分 ∴隨機變量ζ的分布列為： ζ 2 4 6 P D C B A1 E A B1 C1 D1 故. ……12分 18. (本小題滿分14分) 解法一: (Ⅰ) 證明：∵AE⊥平面AA1DD1， A1Dì平面AA1DD1， ∴A1D⊥AE， ……1分 AA1DD1為正方形， ∴A1D⊥AD1， ……2分 又A1D ∩AE=A，∴A1D⊥平面AD1E， ……3分 ∴A1D⊥D1E. ……4分 (Ⅱ) 設點E到面ACD1的距離為h，在△ACD1中，，， 故，而， ……6分 ∴ ， ……8分 即 ，從而，所以點E到面ACD1的距離為. ……9分 (Ⅲ) 過D作DH⊥CE于H，連D1H，則D1H⊥CE， ∴∠DHD1為二面角D1-EC-D的平面角，∴∠DHD1=450. ……11分 ∵D1D=1，∴DH=1，又DC=2，∴∠DCH=300， ……12分 ∴∠ECB=600，又BC=1，在Rt△EBC中，得， ……13分 ∴，∴時，二面角D1-EC-D的大小為450. ……14分 解法二：以D為坐標原點，直線DA，DC，DD1分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，則A1(1，0，1)，D1(0，0，1)，E(1，x，0)，A (1，0，0)，C(0，2，0)， ……2分 (Ⅰ) ，， 因為，所以， ……6分 (Ⅱ)由E為AB的中點，有E(1，1，0)，從而， ，設平面ACD1的法向量為，則， 也即，得，從而， ……8分 所以點E到平面ACD1的距離為 ……10分 (Ⅲ) 顯然是平面AECD的一個法向量.設平面D1EC的法向量為， ∴，，， 由， 令b=1，∴c=2，a=2－x， ∴ ……12分 依題意. ∴（不合題意，舍去），. ∴時，二面角D1-EC-D的大小為450. ……14分 19. (本小題滿分14分) 解:(Ⅰ)∵f′ (x)=(x2+2x)ex-1+3ax2+2bx， ……1分 又x=－2和x=1為函數(shù)f(x)的極值點.∴f′ (－2)= f′ (1)=0， ……2分 即，解得， ……3分 所以，，b=－1. ……4分 (Ⅱ) ∵，b=－1， ∴f′ (x)=(x2+2x)ex-1－x2－2x=(x2+2x)(ex-1－1)， ……5分 令f′ (x)=0，解得x1=－2，x2=0，x3=1， ……6分 ∵當x∈(－∞，－2)∪(0，1)時，f′ (x)<0， 當x∈(－2，0)∪(1，+∞)時，f′ (x)>0， ……8分 ∴f(x)在區(qū)間(－2，0)和(1，+∞)上是單調(diào)遞增的，在區(qū)間(－∞，－2)和(0，1) 上是單調(diào)遞減的. ……9分 (Ⅲ)由(Ⅰ)得，由(Ⅱ)得函數(shù)的極大值為f(x)極大值= f(0)=0， ……10分 函數(shù)的極小值為 ，和 ……11分 又， ……12分 f(－3)= (－3)2e-4+9－9=9e-4>0，f(3)= 32e2－9－9=9(e2－2)>0， ……13分 通過上面的分析可知，當時方程f(x)=M恰有4個不等的實數(shù)根． 所以存在實數(shù)M，使方程f(x)=M有4個根，其M取值范圍為. ……14分 20. (本小題滿分14分) 解:(Ⅰ)設等差數(shù)列{an}的公差為d，∵ a1=－1，S12=186， ∴ ， ……2分 即 186=－12+66d. ……4分 ∴d=3. ……5分 所以數(shù)列{an}的通項公式 an=－1+(n－1)×3=3n－4. ……7分 (Ⅱ)∵，an=3n－4，∴. ……8分 ∵ 當n≥2時，， ……9分 ∴ 數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，首項，公比. ……10分 ∴. ∵，∴， ∴. 所以. ……12分 又不等式Tn0，得. ……7分 設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則 ， ① ． ② ……8分 由直線PQ的方程得為y1=k(x1－3)，y2=k(x2－3)，于是， y1y2=k2(x1－3) (x2－3)= k2[x1x2－3(x1+ x2)+9]. ③ ∵，∴x1x2+y1y2=0． ④ ……9分 由①②③④得5k2=1，從而． 所以直線PQ的方程為或． ……10分 (Ⅲ)證明：∵P(x1，y1)，Q(x2，y2)， A(3，0)， ∴，．由已知得方程組 ，注意λ>1，解得， ……12分 因為F(2，0)， M(x1，－y1)，故 . ……13分 而，所以. ……14分