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八年級(jí)[丄]數(shù)學(xué)期末《全等三角形》《軸對(duì)稱》復(fù)習(xí)提優(yōu)題【大海之音組卷】 　 一．選擇題（共4小題） 1．如圖，Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC的角平分線BE和∠BAC的外角平分線AD相交于點(diǎn)P，分別交AC和BC的延長(zhǎng)線于E，D．過P作PF⊥AD交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接AF交DH于點(diǎn)G．則下列結(jié)論：①∠APB=45°；②PF=PA；③BD﹣AH=AB；④DG=AP+GH．其中正確的是（　　） 　 A． ①②③ B． ①②④ C． ②③④ D． ①②③④ 　 2．如圖，將30°的直角三角尺ABC繞直角頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到ADE的位置，使B點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D落在BC邊上，連接EB、EC，則下列結(jié)論：①∠DAC=∠DCA；②ED為AC的垂直平分線；③EB平分∠AED；④ED=2AB．其中正確的是（　　） 　 A． ①②③ B． ①②④ C． ②③④ D． ①②③④ 　 3．如圖，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ABC的角平分線AD、BE相交于點(diǎn)P，過P作PF⊥AD交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)H，則下列結(jié)論：①∠APB=135°；②PF=PA；③AH+BD=AB；④S四邊形ABDE=S△ABP，其中正確的是（　　） 　 A． ①③ B． ①②④ C． ①②③ D． ②③ 　 4．如圖，在四邊形ABCD中，∠B=∠C=90°，∠DAB與∠ADC的平分線相交于BC邊上的M點(diǎn)，則下列結(jié)論：①∠AMD=90°；②M為BC的中點(diǎn)；③AB+CD=AD；④；⑤M到AD的距離等于BC的一半；其中正確的有（　　） 　 A． 2個(gè) B． 3個(gè) C． 4個(gè) D． 5個(gè) 　 二．解答題（共8小題） 5．如圖1，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC=30°AC=1點(diǎn)D為AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接BD，以BD為邊作等邊△BDE，EA的延長(zhǎng)線交BC的延長(zhǎng)線于F，設(shè)CD=n， （1）當(dāng)n=1時(shí)，則AF=　_________??； （2）當(dāng)0＜n＜1時(shí)，如圖2，在BA上截取BH=AD，連接EH，求證：△AEH為等邊三角形． 　 6．兩個(gè)等腰直角△ABC和等腰直角△DCE如圖1擺放，其中D點(diǎn)在AB上，連接BE． （1）則=　_________　，∠CBE=　_________　度； （2）當(dāng)把△DEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置時(shí)（D點(diǎn)在BC上），連接AD并延長(zhǎng)交BE于點(diǎn)F，連接FC，則=　_________　，∠CFE=　_________　度； （3）把△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時(shí)，請(qǐng)求出∠CFE的度數(shù)　_________?。? 　 7．已知△ABC為邊長(zhǎng)為10的等邊三角形，D是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)： ①如圖1，點(diǎn)E在AC上，且BD=CE，BE交AD于F，當(dāng)D點(diǎn)滑動(dòng)時(shí)，∠AFE的大小是否變化？若不變，請(qǐng)求出其度數(shù)． ②如圖2，過點(diǎn)D作∠ADG=60°與∠ACB的外角平分線交于G，當(dāng)點(diǎn)D在BC上滑動(dòng)時(shí)，有下列兩個(gè)結(jié)論：①DC+CG的值為定值；②DG﹣CD的值為定值．其中有且只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)你選擇正確的結(jié)論加以證明并求出其值． 　 8．如圖，點(diǎn)A、C分別在一個(gè)含45°的直角三角板HBE的兩條直角邊BH和BE上，且BA=BC，過點(diǎn)C作BE的垂線CD，過E點(diǎn)作EF上AE交∠DCE的角平分線于F點(diǎn)，交HE于P． （1）試判斷△PCE的形狀，并請(qǐng)說明理由； （2）若∠HAE=120°，AB=3，求EF的長(zhǎng)． 　 9．如圖，AD是△ABC的角平分線，H，G分別在AC，AB上，且HD=BD． （1）求證：∠B與∠AHD互補(bǔ)； （2）若∠B+2∠DGA=180°，請(qǐng)?zhí)骄烤€段AG與線段AH、HD之間滿足的等量關(guān)系，并加以證明． 　 10．如圖，在等腰Rt△ABC與等腰Rt△DBE中，∠BDE=∠ACB=90°，且BE在AB邊上，取AE的中點(diǎn)F，CD的中點(diǎn)G，連接GF． （1）FG與DC的位置關(guān)系是　_________　，F(xiàn)G與DC的數(shù)量關(guān)系是　_________??； （2）若將△BDE繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，其它條件不變，請(qǐng)完成下圖，并判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)證明你的結(jié)論． 　 11．如圖1，△ABC中，AG⊥BC于點(diǎn)G，以A為直角頂點(diǎn)，分別以AB、AC為直角邊，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，過點(diǎn)E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q． （1）試探究EP與FQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論． （2）若連接EF交GA的延長(zhǎng)線于H，由（1）中的結(jié)論你能判斷并證明EH與FH的大小關(guān)系嗎？ （3）圖2中的△ABC與△AEF的面積相等嗎？（不用證明） 　 12．已知如圖1：△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分線相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作EF∥BC交AB、AC于E、F． ①圖中有幾個(gè)等腰三角形？請(qǐng)說明EF與BE、CF間有怎樣的關(guān)系． ②若AB≠AC，其他條件不變，如圖2，圖中還有等腰三角形嗎？如果有，請(qǐng)分別指出它們．另第①問中EF與BE、CF間的關(guān)系還存在嗎？ ③若△ABC中，∠B的平分線與三角形外角∠ACD的平分線CO交于O，過O點(diǎn)作OE∥BC交AB于E，交AC于F．如圖3，這時(shí)圖中還有哪幾個(gè)等腰三角形？EF與BE、CF間的關(guān)系如何？為什么？ 　  八年級(jí)[丄]數(shù)學(xué)期末《全等三角形》《軸對(duì)稱》復(fù)習(xí)提優(yōu)題【大海之音組卷】 參考答案與試題解析 　 一．選擇題（共4小題） 1．如圖，Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC的角平分線BE和∠BAC的外角平分線AD相交于點(diǎn)P，分別交AC和BC的延長(zhǎng)線于E，D．過P作PF⊥AD交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接AF交DH于點(diǎn)G．則下列結(jié)論：①∠APB=45°；②PF=PA；③BD﹣AH=AB；④DG=AP+GH．其中正確的是（　?。? 　 A． ①②③ B． ①②④ C． ②③④ D． ①②③④ 考點(diǎn)： 直角三角形的性質(zhì)；角平分線的定義；垂線；全等三角形的判定與性質(zhì)．4387773 專題： 推理填空題． 分析： ①根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和與角平分線的定義表示出∠CAP，再根據(jù)角平分線的定義∠ABP=∠ABC，然后利用三角形的內(nèi)角和定理整理即可得解； ②③先根據(jù)直角的關(guān)系求出∠AHP=∠FDP，然后利用角角邊證明△AHP與△FDP全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得DF=AH，對(duì)應(yīng)角相等可得∠PFD=∠HAP，然后利用平角的關(guān)系求出∠BAP=∠BFP，再利用角角邊證明△ABP與△FBP全等，然后根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到AB=BF，從而得解； ④根據(jù)PF⊥AD，∠ACB=90°，可得AG⊥DH，然后求出∠ADG=∠DAG=45°，再根據(jù)等角對(duì)等邊可得DG=AG，再根據(jù)等腰直角三角形兩腰相等可得GH=GF，然后求出DG=GH+AF，有直角三角形斜邊大于直角邊，AF＞AP，從而得出本小題錯(cuò)誤． 解答： 解：①∵∠ABC的角平分線BE和∠BAC的外角平分線， ∴∠ABP=∠ABC， ∠CAP=（90°+∠ABC）=45°+∠ABC， 在△ABP中，∠APB=180°﹣∠BAP﹣∠ABP， =180°﹣（45°+∠ABC+90°﹣∠ABC）﹣∠ABC， =180°﹣45°﹣∠ABC﹣90°+∠ABC﹣∠ABC， =45°，故本小題正確； ②③∵∠ACB=90°，PF⊥AD， ∴∠FDP+∠HAP=90°，∠AHP+∠HAP=90°， ∴∠AHP=∠FDP， ∵PF⊥AD， ∴∠APH=∠FPD=90°， 在△AHP與△FDP中，， ∴△AHP≌△FDP（AAS）， ∴DF=AH， ∵AD為∠BAC的外角平分線，∠PFD=∠HAP， ∴∠PAE+∠BAP=180°， 又∵∠PFD+∠BFP=180°， ∴∠PAE=∠PFD， ∵∠ABC的角平分線， ∴∠ABP=∠FBP， 在△ABP與△FBP中，， ∴△ABP≌△FBP（AAS）， ∴AB=BF，AP=PF故②小題正確； ∵BD=DF+BF， ∴BD=AH+AB， ∴BD﹣AH=AB，故③小題正確； ④∵PF⊥AD，∠ACB=90°， ∴AG⊥DH， ∵AP=PF，PF⊥AD， ∴∠PAF=45°， ∴∠ADG=∠DAG=45°， ∴DG=AG， ∵∠PAF=45°，AG⊥DH， ∴△ADG與△FGH都是等腰直角三角形， ∴DG=AG，GH=GF， ∴DG=GH+AF， ∵AF＞AP， ∴DG=AP+GH不成立，故本小題錯(cuò)誤， 綜上所述①②③正確． 故選A． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定，以及等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，等角對(duì)等邊，等邊對(duì)等角的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度較大，做題時(shí)要分清角的關(guān)系與邊的關(guān)系． 　 2．如圖，將30°的直角三角尺ABC繞直角頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到ADE的位置，使B點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D落在BC邊上，連接EB、EC，則下列結(jié)論：①∠DAC=∠DCA；②ED為AC的垂直平分線；③EB平分∠AED；④ED=2AB．其中正確的是（　?。? 　 A． ①②③ B． ①②④ C． ②③④ D． ①②③④ 考點(diǎn)： 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；含30度角的直角三角形．4387773 分析： 根據(jù)直角三角形中30°的角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可判斷． 解答： 解：①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以得到：AB=AD，而∠ABD=60°，則△ABD是等邊三角形，可得到∠DAC=30°，∴∠DAC=∠DCA，故正確； ②根據(jù)①可得AD=CD，并且根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：AC=AE，∠EAC=60°，則△ACE是等邊三角形，則EA=EC，即D、E都到AC兩端的距離相等，則DE在AC的垂直平分線上，故正確； ③根據(jù)條件AB∥DE，而AB≠AE，即可證得EB平分∠AED不正確，故錯(cuò)誤； ④根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，DE=BC，而BC=2AB，即可證得ED=2AB，故正確； 故正確的是：①②④．故選B． 點(diǎn)評(píng)： 正確理解旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，圖形旋轉(zhuǎn)前后兩個(gè)圖形全等是解決本題的關(guān)鍵． 　 3．如圖，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ABC的角平分線AD、BE相交于點(diǎn)P，過P作PF⊥AD交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)H，則下列結(jié)論：①∠APB=135°；②PF=PA；③AH+BD=AB；④S四邊形ABDE=S△ABP，其中正確的是（　　） 　 A． ①③ B． ①②④ C． ①②③ D． ②③ 考點(diǎn)： 全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．4387773 分析： 根據(jù)三角形全等的判定和性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理逐條分析判斷． 解答： 解：在△ABC中，AD、BE分別平分∠BAC、∠ABC， ∵∠ACB=90°， ∴∠A+∠B=90°， 又∵AD、BE分別平分∠BAC、∠ABC， ∴∠BAD+∠ABE=（∠A+∠B）=45°， ∴∠APB=135°，故①正確． ∴∠BPD=45°， 又∵PF⊥AD， ∴∠FPB=90°+45°=135°， ∴∠APB=∠FPB， 又∵∠ABP=∠FBP， BP=BP， ∴△ABP≌△FBP， ∴∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，故②正確． 在△APH和△FPD中， ∵∠APH=∠FPD=90°， ∠PAH=∠BAP=∠BFP， PA=PF， ∴△APH≌△FPD， ∴AH=FD， 又∵AB=FB， ∴AB=FD+BD=AH+BD．故③正確． ∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD， ∴S四邊形ABDE=S△ABP+S△BDP+S△APH﹣S△EOH+S△DOP=S△ABP+S△ABP﹣S△EOH+S△DOP=2S△ABP﹣S△EOH+S△DOP． 故選C． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角． 　 4．如圖，在四邊形ABCD中，∠B=∠C=90°，∠DAB與∠ADC的平分線相交于BC邊上的M點(diǎn)，則下列結(jié)論：①∠AMD=90°；②M為BC的中點(diǎn)；③AB+CD=AD；④；⑤M到AD的距離等于BC的一半；其中正確的有（　?。? 　 A． 2個(gè) B． 3個(gè) C． 4個(gè) D． 5個(gè) 考點(diǎn)： 全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)．4387773 分析： 過M作ME⊥AD于E，得出∠MDE=∠CDA，∠MAD=∠BAD，求出∠MDA+∠MAD=（∠CDA+∠BAD）=90°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠AMD，即可判斷①；根據(jù)角平分線性質(zhì)求出MC=ME，ME=MB，即可判斷②和⑤；由勾股定理求出DC=DE，AB=AE，即可判斷③；根據(jù)SSS證△DEM≌△DCM，推出S三角形DEM=S三角形DCM，同理得出S三角形AEM=S三角形ABM，即可判斷④． 解答： 解： 過M作ME⊥AD于E， ∵∠DAB與∠ADC的平分線相交于BC邊上的M點(diǎn)， ∴∠MDE=∠CDA，∠MAD=∠BAD， ∵DC∥AB， ∴∠CDA+∠BAD=180°， ∴∠MDA+∠MAD=（∠CDA+∠BAD）=×180°=90°， ∴∠AMD=180°﹣90°=90°，∴①正確； ∵DM平分∠CDE，∠C=90°（MC⊥DC），ME⊥DA， ∴MC=ME， 同理ME=MB， ∴MC=MB=ME=BC，∴②正確； ∴M到AD的距離等于BC的一半，∴⑤正確； ∵由勾股定理得：DC2=MD2﹣MC2，DE2=MD2﹣ME2， 又∵M(jìn)E=MC，MD=MD， ∴DC=DE， 同理AB=AE， ∴AD=AE+DE=AB+DC，∴③正確； ∵在△DEM和△DCM中 ， ∴△DEM≌△DCM（SSS）， ∴S三角形DEM=S三角形DCM 同理S三角形AEM=S三角形ABM， ∴S三角形AMD=S梯形ABCD，∴④正確； 故選D． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了角平分線性質(zhì)，垂直定義，直角梯形，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力． 　 二．解答題（共8小題） 5．如圖1，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC=30°AC=1點(diǎn)D為AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接BD，以BD為邊作等邊△BDE，EA的延長(zhǎng)線交BC的延長(zhǎng)線于F，設(shè)CD=n， （1）當(dāng)n=1時(shí)，則AF=　2??； （2）當(dāng)0＜n＜1時(shí)，如圖2，在BA上截取BH=AD，連接EH，求證：△AEH為等邊三角形． 考點(diǎn)： 含30度角的直角三角形；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)．4387773 專題： 動(dòng)點(diǎn)型． 分析： （1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC=60°，再根據(jù)平角等于180°求出∠FAC=60°，然后求出∠F=30°，根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求解即可； （2）根據(jù)三角形的任意一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和利用∠CBD表示出∠ADE=30°+∠CBD，又∠HBE=30°+∠CBD，從而得到∠ADE=∠HBE，然后根據(jù)邊角邊證明△ADE與△HBE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AE=HE，對(duì)應(yīng)角相等可得∠AED=∠HEB，然后推出∠AEH=∠BED=60°，再根據(jù)等邊三角形的判定即可證明． 解答： （1）解：∵△BDE是等邊三角形， ∴∠EDB=60°， ∵∠ACB=90°，∠ABC=30°， ∴∠BAC=180°﹣90°﹣30°=60°， ∴FAC=180°﹣60°﹣60°=60°， ∴∠F=180°﹣90°﹣60°=30°， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACF=180°﹣90°， ∴AF=2AC=2×1=2； （2）證明：∵△BDE是等邊三角形， ∴BE=BD，∠EDB=∠EBD=60°， 在△BCD中，∠ADE+∠EDB=∠CBD+∠C， 即∠ADE+60°=∠CBD+90°， ∴∠ADE=30°+∠CBD， ∵∠HBE+∠ABD=60°，∠CBD+∠ABD=30°， ∴∠HBE=30°+∠CBD， ∴∠ADE=∠HBE， 在△ADE與△HBE中， ， ∴△ADE≌△HBE（SAS）， ∴AE=HE，∠AED=∠HEB， ∴∠AED+∠DEH=∠DEH+∠HEB， 即∠AEH=∠BED=60°， ∴△AEH為等邊三角形． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，以及三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，（2）中求出 ∠ADE=∠HBE是解題的關(guān)鍵． 　 6．兩個(gè)等腰直角△ABC和等腰直角△DCE如圖1擺放，其中D點(diǎn)在AB上，連接BE． （1）則=　1　，∠CBE=　45　度； （2）當(dāng)把△DEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置時(shí)（D點(diǎn)在BC上），連接AD并延長(zhǎng)交BE于點(diǎn)F，連接FC，則=　1　，∠CFE=　45　度； （3）把△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時(shí)，請(qǐng)求出∠CFE的度數(shù)　135°?。? 考點(diǎn)： 圓周角定理；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；確定圓的條件．4387773 分析： （1）先證明∠ACD=∠BCE，再根據(jù)邊角邊定理證明△ACD≌△BCE，然后根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等和對(duì)應(yīng)角相等解答； （2）根據(jù)（1）的思路證明△ACD和△BCE全等，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得BE=AD，對(duì)應(yīng)角相等得∠DAC=∠DBF，又AC⊥CD，所以AF⊥BF，從而可以得到C、E、F、D四點(diǎn)共圓，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等即可求出∠CFE=∠CDE=45°； （3）同（2）的思路，證明C、F、D、E四點(diǎn)共圓，得出∠CFD=∠CED=45°，而∠DEF=90°，所以∠CFE的度數(shù)即可求出． 解答： 解：（1）∵△ABC和△DCE是等腰三角形， ∴AC=BC，CD=CE， ∵∠ACB=∠DCE=90°， ∴∠ACB﹣∠BCD=∠DCE﹣∠BCD， 即∠ACD=∠BCE， 在△ACD和△BCE中，， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD=45°， 因此=1，∠CBE=45°； （2）同（1）可得BE=AD， ∴=1， ∠CBE=∠CAD； 又∵∠ACD=90°，∠ADC=∠BDF， ∴∠BFD=∠ACD=90°； 又∵∠DCE=90°， ∴C、E、F、D四點(diǎn)共圓， ∴∠CFE=∠CDE=45°； （3）同（2）可得∠BFA=90°， ∴∠DFE=90°； 又∵∠DCE=90°， ∴C、F、D、E四點(diǎn)共圓， ∴∠CFD=∠CED=45°， ∴∠CFE=∠CFD+∠DFE =45°+90° =135°． 點(diǎn)評(píng)： 本題綜合考查了等邊對(duì)等角的性質(zhì)，三角形全等的判定和全等三角形的性質(zhì)，四點(diǎn)共圓以及同弧所對(duì)的圓周角相等的性質(zhì)，需要熟練掌握并靈活運(yùn)用． 　 7．已知△ABC為邊長(zhǎng)為10的等邊三角形，D是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)： ①如圖1，點(diǎn)E在AC上，且BD=CE，BE交AD于F，當(dāng)D點(diǎn)滑動(dòng)時(shí)，∠AFE的大小是否變化？若不變，請(qǐng)求出其度數(shù)． ②如圖2，過點(diǎn)D作∠ADG=60°與∠ACB的外角平分線交于G，當(dāng)點(diǎn)D在BC上滑動(dòng)時(shí)，有下列兩個(gè)結(jié)論：①DC+CG的值為定值；②DG﹣CD的值為定值．其中有且只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)你選擇正確的結(jié)論加以證明并求出其值． 考點(diǎn)： 等邊三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．4387773 專題： 探究型． 分析： ①∠AFE的大小不變，其度數(shù)為60°，理由如下：由三角形ABC為等邊三角形，得到三條邊相等，三個(gè)內(nèi)角相等，都為60°，可得出AB=BC，∠ABD=∠C，再由BD=CE，利用SAS可得出三角形ABD與三角形BCE全等，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等可得出∠BAD=∠CBE，在三角形ABD中，由∠ABD為60°，得到∠BAD+∠ADB的度數(shù)，等量代換可得出∠CBE+∠ADB的度數(shù)，利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠BFD的度數(shù)，根據(jù)對(duì)應(yīng)角相等可得出∠AFE=∠BFD，可得出∠AFE的度數(shù)不變； ②連接AG，如圖所示，由三角形ABC為等邊三角形，得出三條邊相等，三個(gè)內(nèi)角都相等，都為60°，再由CG為外角平分線，得出∠ACG也為60°，由∠ADG為60°，可得出A，D，C，G四點(diǎn)共圓，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)可得出∠DAG與∠DCG互補(bǔ)，而∠DCG為120°，可得出∠DAG為60°，根據(jù)∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAG=60°，利用等式的性質(zhì)得到∠BAD=∠CAG，利用ASA可證明三角形ABD與三角形ACG全等，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可得出BD=CG，由BC=BD+DC，等量代換可得出CG+CD=BC，而BC=10，即可得到DC+CG為定值10，得證． 解答： 解：①∠AFE的大小不變，其度數(shù)為60°，理由為： ∵△ABC為等邊三角形， ∴AB=BC，∠ABD=∠C=60°， 在△ABD和△BCE中， ， ∴△ABD≌△BCE（SAS）， ∴∠BAD=∠CBE， 又∠BAD+∠ADB=120°， ∴∠CBE+∠ADB=120°， ∴∠BFD=60°， 則∠AFE=∠BFD=60°； ②正確的結(jié)論為：DC+CG的值為定值，理由如下： 連接AG，如圖2所示： ∵△ABC為等邊三角形， ∴AB=BC=AC，∠ABD=∠ACB=∠BAC=60°， 又CG為∠ACB的外角平分線， ∴∠ACG=60°， 又∵∠ADG=60°， ∴∠ADG=∠ACG，即A，D，C，G四點(diǎn)共圓， ∴∠DAG+∠DCG=180°，又∠DCG=120°， ∴∠DAG=60°，即∠DAC+∠CAG=60°， 又∵∠BAD+∠DAC=60°， ∴∠BAD=∠GAC， 在△ABD和△ACG中， ∵， ∴△ABD≌△ACG（ASA）， ∴DB=GC，又BC=10， 則BC=BD+DC=DC+CG=10，即DC+CG的值為定值． 點(diǎn)評(píng)： 此題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，四點(diǎn)共圓的條件，以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，利用了等量代換及轉(zhuǎn)化的思想，熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵． 　 8．如圖，點(diǎn)A、C分別在一個(gè)含45°的直角三角板HBE的兩條直角邊BH和BE上，且BA=BC，過點(diǎn)C作BE的垂線CD，過E點(diǎn)作EF上AE交∠DCE的角平分線于F點(diǎn)，交HE于P． （1）試判斷△PCE的形狀，并請(qǐng)說明理由； （2）若∠HAE=120°，AB=3，求EF的長(zhǎng)． 考點(diǎn)： 全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形．4387773 專題： 計(jì)算題；證明題． 分析： （1）根據(jù)∠PCE=∠DCE=×90°=45°，求證∠CPE=90°，然后即可判斷三角形的形狀． （2）根據(jù)∠HEB=∠H=45°得HB=BE，再根據(jù)BA=BC和∠HAE=120°，利用ASA求證△HAE≌△CEF，得AE=EF，又因?yàn)锳E=2AB．然后即可求得EF． 解答： 解：（1）△PCE是等腰直角三角形， 理由如下： ∵∠PCE=∠DCE=×90°=45° ∠PEC=45° ∴∠PCE=∠PEC ∠CPE=90° ∴△PCE是等腰直角三角形 h（2）∵∠HEB=∠H=45° ∴HB=BE ∵BA=BC ∴AH=CE 而∠HAE=120° ∴∠BAE=60°，∠AEB=30° 又∵∠AEF=90° ∴∠CEF=120°=∠HAE 而∠H=∠FCE=45° ∴△HAE≌△CEF（ASA） ∴AE=EF 又∵AE=2AB=2×3=6 ∴EF=6 點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查學(xué)生對(duì)全等三角形的判定與性質(zhì)和等腰直角三角形等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，解答（2）的關(guān)鍵是利用ASA求證△HAE≌△CEF，此題有一定的拔高難度，屬于中檔題． 　 9．如圖，AD是△ABC的角平分線，H，G分別在AC，AB上，且HD=BD． （1）求證：∠B與∠AHD互補(bǔ)； （2）若∠B+2∠DGA=180°，請(qǐng)?zhí)骄烤€段AG與線段AH、HD之間滿足的等量關(guān)系，并加以證明． 考點(diǎn)： 全等三角形的判定與性質(zhì)．4387773 專題： 證明題． 分析： （1）在AB上取一點(diǎn)M，使得AM=AH，連接DM，則利用SAS可得出△AHD≌△AMD，從而得出HD=MD=DB，即有∠DMB=∠B，通過這樣的轉(zhuǎn)化可證明∠B與∠AHD互補(bǔ)． （2）由（1）的結(jié)論中得出的∠AHD=∠AMD，結(jié)合三角形的外角可得出∠DGM=∠GDM，可將HD轉(zhuǎn)化為MG，從而在線段AG上可解決問題． 解答： 證明：（1）在AB上取一點(diǎn)M，使得AM=AH，連接DM， ∵， ∴△AHD≌△AMD， ∴HD=MD，∠AHD=∠AMD， ∵HD=DB， ∴DB=MD， ∴∠DMB=∠B， ∵∠AMD+∠DMB=180°， ∴∠AHD+∠B=180°， 即∠B與∠AHD互補(bǔ)． （2）由（1）∠AHD=∠AMD，HD=MD，∠AHD+∠B=180°， ∵∠B+2∠DGA=180°，∠AHD=2∠DGA， ∴∠AMD=2∠DGM， 又∵∠AMD=∠DGM+∠GDM， ∴2∠DGM=∠DGM+∠GDM，即∠DGM=∠GDM， ∴MD=MG， ∴HD=MG， ∵AG=AM+MG， ∴AG=AH+HD． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，結(jié)合了等腰三角形的知識(shí)，解決這兩問的關(guān)鍵都是通過全等圖形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等，將題目涉及的角或邊進(jìn)行轉(zhuǎn)化． 　 10．如圖，在等腰Rt△ABC與等腰Rt△DBE中，∠BDE=∠ACB=90°，且BE在AB邊上，取AE的中點(diǎn)F，CD的中點(diǎn)G，連接GF． （1）FG與DC的位置關(guān)系是　FG⊥CD　，F(xiàn)G與DC的數(shù)量關(guān)系是　FG=CD　； （2）若將△BDE繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，其它條件不變，請(qǐng)完成下圖，并判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)證明你的結(jié)論． 考點(diǎn)： 全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形．4387773 專題： 探究型． 分析： （1）證FG和CD的大小和位置關(guān)系，我們已知了G是CD的中點(diǎn)，猜想應(yīng)該是FG⊥CD，F(xiàn)G=CD．可通過構(gòu)建三角形連接FD，F(xiàn)C，證三角形DFC是等腰直角三角形來得出上述結(jié)論，可通過全等三角形來證明；延長(zhǎng)DE交AC于M，連接FM，證明三角形DEF和FMC全等即可．我們發(fā)現(xiàn)BDMC是個(gè)矩形，因此BD=CM=DE．由于三角形DEB和ABC都是等腰直角三角形，∠BED=∠A=45°，因此∠AEM=∠A=45°，這樣我們得出三角形AEM是個(gè)等腰直角三角形，F(xiàn)是斜邊AE的中點(diǎn)，因此MF=EF，∠AMF=∠BED=45°，那么這兩個(gè)角的補(bǔ)角也應(yīng)當(dāng)相等，由此可得出∠DEF=∠FMC，這樣就構(gòu)成了三角形DEF和CMF的全等的所有條件，可得到DF=FC，即三角形DFC是等腰三角形，下面證直角．根據(jù)兩三角形全等，我們還能得出∠MFC=∠DFE，我們知道∠MFC+∠CFE=90°，因此∠DFE+∠CFE=∠DFC=90°，這樣就得出三角形DFC是等腰直角三角形了，也就能得出FG⊥CD，F(xiàn)G=CD的結(jié)論了． （2）和（1）的證法完全一樣． 解答： 解：（1）FG⊥CD，F(xiàn)G=CD． （2）延長(zhǎng)ED交AC的延長(zhǎng)線于M，連接FC、FD、FM， ∴四邊形BCMD是矩形． ∴CM=BD． 又△ABC和△BDE都是等腰直角三角形， ∴ED=BD=CM． ∵∠AEM=∠A=45°， ∴△AEM是等腰直角三角形． 又F是AE的中點(diǎn)， ∴MF⊥AE，EF=MF，∠EDF=∠MCF． ∵在△EFD和△MFC中 ， ∴△EFD≌△MFC． ∴FD=FC，∠EFD=∠MFC． 又∠EFD+∠DFM=90°， ∴∠MFC+∠DFM=90°． 即△CDF是等腰直角三角形， 又G是CD的中點(diǎn)， ∴FG=CD，F(xiàn)G⊥CD． 點(diǎn)評(píng)： 本題中通過構(gòu)建全等三角形來證明線段和角相等是解題的關(guān)鍵． 　 11．如圖1，△ABC中，AG⊥BC于點(diǎn)G，以A為直角頂點(diǎn)，分別以AB、AC為直角邊，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，過點(diǎn)E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q． （1）試探究EP與FQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論． （2）若連接EF交GA的延長(zhǎng)線于H，由（1）中的結(jié)論你能判斷并證明EH與FH的大小關(guān)系嗎？ （3）圖2中的△ABC與△AEF的面積相等嗎？（不用證明） 考點(diǎn)： 全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形．4387773 分析： （1）根據(jù)全等三角形的判定得出△ABG≌△EAP，進(jìn)而求出AG=EP．同理AG=FQ，即EP=FQ． （2）過點(diǎn)E作EP⊥GA，F(xiàn)Q⊥GA，垂足分別為P、Q．根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)即可解題． （3）由（1）、（2）中的全等三角形可以推知△ABC與△AEF的面積相等． 解答： 解：（1）EP=FQ，理由如下： 如圖1，∵Rt△ABE是等腰三角形， ∴EA=BA． ∵∠PEA+∠PAE=90°， ∠PAE+∠BAG=90°， ∴∠PEA=∠BAG 在△EAP與△ABG中， ， ∴△EAP≌△ABG（AAS）， ∴EP=AG． 同理AG=FQ． ∴EP=FQ． （2）如圖2，HE=HF． 理由：過點(diǎn)E作EP⊥GA，F(xiàn)Q⊥GA，垂足分別為P、Q． 由（1）知EP=FQ． 在△EPH與△FQH中， ∵， ∴△EPH≌△FQH（AAS）． ∴HE=HF； （3）相等．理由如下： 由（1）知，△ABG≌△EAP，△FQA≌△AGC，則S△ABG=S△EAP，S△FQA=S△AGC． 由（2）知，△EPH≌△FQH，則S△EPH=S△FQH， 所以S△ABC=S△ABG+S△AGC=S△EAP﹣S△EPH+S△FQA﹣S△FQH=S△EAP+S△FQA=S△AEF，即S△ABC=S△AEF． 故圖2中的△ABC與△AEF的面積相等． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了全等三角形的證明，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，考查了三角形內(nèi)角和為180°的性質(zhì)，考查了等腰三角形腰長(zhǎng)相等的性質(zhì)，本題中求證△AFQ≌△CAG是解題的關(guān)鍵． 　 12．已知如圖1：△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分線相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作EF∥BC交AB、AC于E、F． ①圖中有幾個(gè)等腰三角形？請(qǐng)說明EF與BE、CF間有怎樣的關(guān)系． ②若AB≠AC，其他條件不變，如圖2，圖中還有等腰三角形嗎？如果有，請(qǐng)分別指出它們．另第①問中EF與BE、CF間的關(guān)系還存在嗎？ ③若△ABC中，∠B的平分線與三角形外角∠ACD的平分線CO交于O，過O點(diǎn)作OE∥BC交AB于E，交AC于F．如圖3，這時(shí)圖中還有哪幾個(gè)等腰三角形？EF與BE、CF間的關(guān)系如何？為什么？ 考點(diǎn)： 等腰三角形的判定與性質(zhì)；平行線的性質(zhì)．4387773 專題： 計(jì)算題；證明題． 分析： （1）根據(jù)EF∥BC，∠B、∠C的平分線交于O點(diǎn)，可得∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，∠EOB=∠OBE，∠FCO=∠FOC，再加上題目中給出的AB=AC，共5個(gè)等腰三角形；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，即可得出EF與BE、CF間有怎樣的關(guān)系． （2）根據(jù)EF∥BC 和∠B、∠C的平分線交于O點(diǎn)，還可以證明出△OBE和△OCF是等腰三角形；利用幾個(gè)等腰三角形的性質(zhì)即可得出EF與BE，CF的關(guān)系． （3）EO∥BC和OB，OC分別是∠ABC與∠ACL的角平分線，還可以證明出△BEO和△CFO是等腰三角形． 解答： 解：（1）有5個(gè)等腰三角形，EF與BE、CF間有怎樣的關(guān)系是：EF=BE+CF=2BE=2CF．理由如下： ∵EF∥BC， ∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB， 又∠B、∠C的平分線交于O點(diǎn)， ∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCB， ∴∠EOB=∠OBE，∠FCO=∠FOC， ∴OE=BE，OF=CF， ∴EF=OE+OF=BE+CF． 又AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∴∠EOB=∠OBE=∠FCO=∠FOC， ∴EF=BE+CF=2BE=2CF； （2）有2個(gè)等腰三角形分別是：等腰△OBE和等腰△OCF； 第一問中的EF與BE，CF的關(guān)系是：EF=BE+CF． （3）有，還是有2個(gè)等腰三角形，△EBO，△OCF，EF=BE﹣CF，理由如下： ∵EO∥BC， ∴∠EOB=∠OBC，∠EOC=∠OCG（G是BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)） 又∵OB，OC分別是∠ABC與∠ACG的角平分線 ∴∠EBO=∠OBC，∠ACO=∠OCG， ∴∠EOB=∠EBO， ∴BE=OE， ∠FCO=∠FOC， ∴CF=FO， 又∵EO=EF+FO， ∴EF=BE﹣CF． 點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查學(xué)生對(duì)等腰三角形的判定與性質(zhì)和平行線性質(zhì)的理解和掌握，此題難度并不大，但是步驟繁瑣，屬于中檔題，還有第（1）中容易忽略△ABC也是等腰三角形，因此這又是一道易錯(cuò)題．要求學(xué)生在證明此題時(shí)一定要仔細(xì)，認(rèn)真．