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2016—2017學(xué)年度第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè) 高 二 數(shù) 學(xué)（理科） 注意：本試卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ兩部分，全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。考試結(jié)束后，卷Ⅰ由自己保存，只交卷Ⅱ。 卷Ⅰ 一、選擇題（每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。） 1、若復(fù)數(shù)(，為虛數(shù)單位)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為( ) A B C D 2、、均為實(shí)數(shù)，則是的（ ）條件 A充要 B充分不必要 C必要不充分 D既不充分也不必要 3、已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則此橢圓的離心率為（ ） A B C D 4、下列選項(xiàng)敘述錯(cuò)誤的是（ ） A.命題“若，則”的逆否命題是“若，則” B.若命題，則 C.若為真命題，則，均為真命題 D. 若命題為真命題，則的取值范圍為 5、某地政府召集5家企業(yè)的負(fù)責(zé)人開(kāi)會(huì)，其中甲企業(yè)有2人到會(huì)，其余4家企業(yè)各有1人到會(huì)，會(huì)上有3人發(fā)言，則這3人來(lái)自3家不同企業(yè)的可能情況的種數(shù)為（ ） A B C D 6、已知,若三個(gè)向量共面，則實(shí)數(shù)等于 A B C D 7、有人發(fā)現(xiàn)，多玩手機(jī)使人變冷漠，下表是一個(gè)調(diào)查機(jī)構(gòu)對(duì)此現(xiàn)象的調(diào)查結(jié)果： 冷漠 不冷漠 總計(jì) 多玩手機(jī) 68 42 110 少玩手機(jī) 20 38 58 總計(jì) 88 80 168 P(K2＞k) 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 3.841 5.024 6.635 7.879 10.83 通過(guò)計(jì)算求得，則認(rèn)為多玩手機(jī)與人變冷漠有關(guān)系的把握大約為（ ） A B C D 8、設(shè)曲線上任一點(diǎn)處的切線斜率為，則函數(shù)的部分圖象可以為( ) 9、拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)與雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)重合，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可能是(　　) A B C D 10、用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，從到，左邊需增添的代數(shù)式是(　　) A B C D 11、若點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的最小距離為(　　) A B C D 12、在平面直角坐標(biāo)系中，記拋物線與軸所圍成的平面區(qū)域?yàn)椋搾佄锞€與直線所圍成的平面區(qū)域?yàn)?，向區(qū)域內(nèi)隨機(jī)拋擲一點(diǎn)，若點(diǎn)落在區(qū)域內(nèi)的概率為，則的值為(　　) A B C D 總 分 2016—2017學(xué)年度第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè) 高 二 數(shù) 學(xué)（理科） 卷Ⅱ（解答題，共70分） 題號(hào) 二 三 Ⅱ卷 總分 13-16 17 18 19 20 21 22 得分 二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在題中橫線上。） 13、已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布，且，則等于 . 14、的展開(kāi)式中的系數(shù) . 15、函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是 . 16、如圖所示,在由二項(xiàng)式系數(shù)構(gòu)成的楊輝三角形中,第( )行中從左至右第14個(gè)數(shù)與第15個(gè)數(shù)的比為2:3. 第0行 1 第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1 第4行 1 4 6 4 1 第5行 1 5 10 10 5 1 三、解答題（本題有6個(gè)小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。） 17、（本題滿分12分）已知拋物線的方程為，直線過(guò)點(diǎn),斜率為，當(dāng)為何值時(shí)，直線與拋物線：只有一個(gè)公共點(diǎn)；有兩個(gè)公共點(diǎn)；沒(méi)有公共點(diǎn)。 18、（本題滿分12分）已知 (1)求函數(shù)的最大值； (2)設(shè)，且證明： 19、（本題滿分12分）在長(zhǎng)方體中，，、、分別是棱，，的中點(diǎn)． (1)求證：∥平面； (2)求證：平面⊥平面 20、（本題滿分12分）為迎接6月6日的“全國(guó)愛(ài)眼日”，某高中學(xué)生會(huì)從全體學(xué)生中隨機(jī)抽取16名學(xué)生，經(jīng)校醫(yī)用對(duì)數(shù)視力表檢查得到每個(gè)學(xué)生的視力狀況的莖葉圖(以小數(shù)點(diǎn)前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點(diǎn)后的一位數(shù)字為葉)，如圖，若視力測(cè)試結(jié)果不低于5.0，則稱為“好視力”． (1)寫(xiě)出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)； (2)從這16人中隨機(jī)選取3人，求至少有2人是“好視力”的概率； (3)以這16人的樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)整個(gè)學(xué)校的總體數(shù)據(jù)，若從該校(人數(shù)很多)任選3人，記X表示抽到“好視力”學(xué)生的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望． 21、（本題滿分12分）已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為,左右頂點(diǎn)分別為,，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于,兩點(diǎn). （1）求橢圓的方程； （2）記與的面積分別為和，求的最大值. 請(qǐng)考生在第22，23，24題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分。 22、（本題滿分10分）選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))．在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系取相同的單位長(zhǎng)度，且以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸)中，圓的方程為. (1)求圓的直角坐標(biāo)方程； (2)設(shè)圓與直線交于點(diǎn)，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為，求. 23、（本題滿分10分）設(shè)． （I）若，時(shí)，解不等式； （Ⅱ）若，求的最小值. 2017數(shù)學(xué)理科試題答案 一、選擇題CDACB DACDD BA 二、填空題 13、0.3 14、 1120 15、 16、34 17、解：由題意，直線的方程為 …………………2分 由方程組 可得① …………………4分 （1）當(dāng)時(shí)，由方程①得，把代入得 這時(shí)直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn) …………………6分 （2）當(dāng)時(shí)，方程①的判別式為 由，即。解得或，方程①只有一個(gè)解，直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)； 由，即解得，方程①只有一個(gè)解，直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)； 由，即解得或，方程①只有一個(gè)解，直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)。 …………………10分 綜上，，或時(shí)，直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)或時(shí)，直線與拋物線沒(méi)有交點(diǎn)。 …………………12分 18、 解：(1)f′(x)＝－xex. ……………………1分 當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增； ……………………2分 當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減． ……………………3分 所以f(x)的最大值為f(0)＝0. ……………………4分 (2)證明：由(1)知，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)<0，g(x)<0<1. ……………………6分 當(dāng)－1x. ……………………7分 設(shè)h(x)＝f(x)－x，則h′(x)＝－xex－1. 當(dāng)x∈(－1，0)時(shí)，0<－x<1，h(0)＝0，即g(x)<1. 綜上，總有g(shù)(x)<1成立． …………………12分 19、如圖所示，以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在的直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)BC＝1， 則C(0,1,0)，E(1,0,1)，C1(0,1,2)，F(xiàn)(1,1,1)，E1. (1)設(shè)平面C1E1F的法向量n＝(x，y，z)． ∵＝，＝(－1,0,1)， ∴即 取n＝(1,2,1)． ∵＝(1，－1,1)，n·＝1－2＋1＝0，∴⊥n. 又∵CE?平面C1E1F，∴CE∥平面C1E1F. ……………………6分 (2)設(shè)平面EFC的法向量為m＝(a，b，c)， 由＝(0,1,0)，＝(－1,0，－1)， ∴即 取m＝(－1,0,1)． ∵m·n＝1×(－1)＋2×0＋1×1＝－1＋1＝0， ∴平面C1E1F⊥平面CEF. ……………………12分 20、解：(1)由題意知眾數(shù)為4.6和4.7，中位數(shù)為4.75. ……………………2分 (2)設(shè)(i＝0,1,2,3)表示所選3人中有i個(gè)人是“好視力”，至少有2人是“好視力”記為事件A， 則 ……………………6分 (3)X的可能取值為0,1,2,3. 由于該校人數(shù)很多，故X近似服從二項(xiàng)分布B(3，)． ，， ， ……………………10分 X的分布列為 X 0 1 2 3 P 故X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝3×＝. ……………………12分 21、解： (1)∵為橢圓的焦點(diǎn)，∴，又∵，∴ ∴橢圓的方程為……………………4分 （2）設(shè)直線方程為 設(shè)，，由，得……………………6分 則， ………………7分 …………………9分 當(dāng)時(shí)，； …………………10分 當(dāng)時(shí)，上式（時(shí)等號(hào)成立） 所以的最大值是。 …………………12分 22、解：(1)由ρ＝10cosθ得x2＋y2－10x＝0，即(x－5)2＋y2＝25. ……………………4分 (2)將l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程，得(－3－t)2＋(6＋t)2＝25，即t2＋9t＋20＝0. 由于Δ＝(9)2－4×20＝82>0，可設(shè)t1，t2是上述方程的兩個(gè)實(shí)根． 所以又直線l過(guò)點(diǎn)P(2，6)， 可得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝(－t1)＋(－t2)＝－(t1＋t2)＝9. ……………………10分 23、解：（Ⅰ）若a=1，f（x）=， 由f（x）的單調(diào)性及f（﹣3）=f（2）=5，得f（x）≤5 的解集為{x|﹣3≤x≤2}．……………………5分 （Ⅱ）f（x）=， 當(dāng)x∈（﹣∞，﹣2]時(shí)，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈[，+∞）時(shí)，f（x）單調(diào)遞增， 又f（x）的圖象連續(xù)不斷，所以f（x）≥2，當(dāng)且僅當(dāng)f（﹣2）=2a+1≥2，且f（）=+2≥2， 求得a≥，故a的最小值為． ……………………10分