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模擬氣體運動的快速壓縮機 B. 5 001; in 002 摘要 :本文介紹了一種模型，其描述了天然氣等氣體混合物在快速壓縮機器里壓力 ，密度和溫度的變化。該模型包括一個耦合系統(tǒng)的非線性偏微分方程，還有正式的漸進化數(shù)字的解決方案。使用 漸近技術，一個簡單的離散型算法表達了氣體的壓力，溫度和 密度的演化，核心數(shù)據來源于記錄室的記錄。結果表明，使用實驗數(shù)據該模型有有較好的計算和預測能力 。 關鍵詞 ： 快速壓縮機，震動波，奇異攝動理論 1 導言 速壓縮機 一種快速壓縮機器設備用來研究自燃的氣體混合物在高壓和高溫條件下，尤其是在自動點火內燃機 中（見 [ 1）。一個典型的內燃機處于一個非常骯臟的和復雜的環(huán)境中， 這也促使 壓縮機器的科學研究朝更清潔和更簡單的設置方向著快速發(fā)展。 圖 1說明了兩個活塞式快速壓縮機器的基本情況。然而，單活塞機， 活塞在一頭，另一端是結實的墻壁，更典型。在本篇論文中，對單活塞和雙活塞壓縮機均有詳盡的闡述。 快速壓縮機器操作非常簡單 閉的壓縮氣體造成 氣體壓力，溫度和密度迅速增加。圖 1 （ a）， 1 （ b）和 1（ c）分別快速壓縮機器之前，期間和之后的壓縮情況。這臺愛爾蘭國立大學的體積壓縮機器初步比例最后為 1:12 ，這個值也是其他機器的典型值。在 結束壓 縮時混合氣體由于被壓縮，溫度升高，可能發(fā)生自燃現(xiàn)象。 在圖 2中，我們描述了 2/r 混合物氣體的壓力概況（來自于布雷特的有關壓力的文獻）。在這圖，時間 t = 0 對應于壓縮結束。我們注意到，在大部分的壓縮時間內，容器內部的溫度緩緩上升，但是壓縮快要結束之前（ t=0),壓力急劇上升。壓縮結束時，壓力上升陡峭程度超出意料。 圖 1的示意圖為我們簡要的描述了快速壓縮機的運動過程（ a）為壓縮前，（ b）、（ C）分別為壓縮中和壓縮后 表格 2 中，說明了混合氣體（ 2/r=2/1/2/3）的壓力變化概要，與哥爾韋的測量結果是一致的。它來源于文獻 (4)，初步壓力和初始溫度分別為 曲線變化對應于氣體混合物的點火。我們注意到，壓縮時間和延遲點火的時間均是（ 10）毫秒。 壓力是實驗中衡量的唯一參數(shù)。然而，核心溫度的大小是化學家最感興趣的，因為所有的反應都主要由溫度決定，盡管有時壓力也可能影響著化學反應的速率。核心溫度測量的準確性由于存在一個熱邊界層而出現(xiàn)較大誤差；下面就可看到一個筒形漩渦。然而，只要有實驗的壓力數(shù)據，對應的溫度可以用關系式 : ln(p/= ? )1)(()(??進行估算。在上面的關系式中，Ｔｉ和Ｐｉ是初始值，Ｔ和Ｐ是一段時間后的值， γ (s)是絕熱指數(shù)。在實驗中，初始核心溫度是３００開爾文，壓縮后的是１０００開爾文。 在這篇論文中，我們講討論混合氣體在壓縮中的變化，后壓縮變化不在考慮范圍之內，但在后續(xù)的論文中我們將闡述。然而，這里提出的模型提供了純凈氣體和惰性氣體混合物的后續(xù)變化。參見３ 型 我們假設壓縮室體積范圍為Ｘ，Ｔ＝０時，０＜Ｘ＜２Ｌ，Ｘ＝０對應于左活塞的初始位置， X=2對應于右活塞的初始位置。本篇論文中，我們假定氣體的運動是一維空間，氣體的流動僅與 且 T》 0。這一假設其實影響挺大。因為高維效應在實驗中時常產生，筒狀漩渦在活塞頭和汽缸壁更加顯著（參見文獻 5 ）。由于氣缸壁的熱邊界層產生了這些漩渦，漩渦影響了氣缸中受壓氣體的運動。然而，這里一維空間的研究包括兩方面： 以成功抑制活塞運動時產生的熱邊界層（文獻 6），從而使結果更加接近真實 值。 現(xiàn)在，我們給三維空間一個控制方程。在文獻 7中，提供了的完整的多氣體反應的控制方程的演算；這些演算在這里就不贅述。模型中，我們研究了了許多簡化假設，上述文件將明確規(guī)定它們的產生。該模型有質量守恒： 0)( ?????? ? 上式中， ρ = ρ(x, t) v = v(x, t) a 分別是氣體的密度和速度， 代表時間 。應該強調的是，這些氣體指的是混合氣體，因此，如果有 則： ??? , 這里 ρi = ρi(x, t) 是混合氣體的密度 。 V 是混合氣體的平均速度。 ??1 其中， ρi/ρ ， vi(x, t) 分別是 i 不同氣體成分的體積分數(shù)和速度。參見文獻 7。忽略驅動壓力和粘性作用，可以用以下方程表達受力： ???????? ?1 其中 p = p(x, t) 表示壓力。假定氣體是理想的，可用以下方程表示： ? 其中 T = T (x, t)溫度 , R 是常數(shù) (8·314 ), M 是氣體的摩爾質量 )(1 i??? 別代表體積分數(shù)和氣體摩爾質量， A=6·022× 2310 ，方程如下： )()( ???????????? u = u(x, t) 是氣體的內能，有以下方程： ? ?? 1 ) 表示如下： ()()( 00 ??? , i = 1, 2, . . . ,N, T 是相關的溫 度， )(, Tc N 中氣體不變的比熱，忽略不同的氣體速度和熱輻射， 有以下方程 : q = ?λ(T) ， λ(T )是熱擴散系數(shù) .。 質量分數(shù) ρi/ρ是不要考慮的，因為化學反應會改變氣體成分。但是，對許多系統(tǒng)，在分析壓縮氣體混合物時，化學效應可以忽略不計。只有核心溫度上升到一定的水平，化學 反應可以產生重大的影響，但這段時間通常很短（通常是幾毫秒）。然而，對某些不夠迅速的化學反應它是可能大大影響 壓縮的。但是，我們在這里并不試圖演示該模型，而是采用易快速反應的氣體。 把方程（ 4）及（ 6）代人（ 3），并使用（ 5） ,我們得出最終形式方程： ),))((())(( ????????????? ?? 1??? 平均的比熱。 邊界和初始條件 我們假定的左，右活塞移動速度分別 是 因此，它們的運動得到 X = ?和 X = 2L- 。在現(xiàn)實中，活塞快速壓縮機器將花費一些時間加速壓縮 ，慢慢停止。這是不難分析的。然而，考慮變化的活塞速度使得問題復雜化了，我們將把活塞的運動速度簡單化，因為總體模型的運動一旦完成，活塞的速度基本穩(wěn)定；參見 們假定活塞所在的溫度恒定，即 于左邊的活塞： v = T = x = 對右活塞 v = ?T = x = 2L ? 氣缸中的氣體初始速度為零 . v = 0, T = p = ρ = ρ0 ， t = 0, ρ0 保持不變。很明顯，由方程 2，我們得出 : o ?? 但是，上式并沒有考慮范圍和初始條件。根據已知的條件我們列出： v(x, t) = ?v(2L ? x, t), T (x, t) = T (2L ? x, t), p(x, t) = p(2L ? x, t), ρ(x, t) = ρ(2L ? x, t). 我們考慮氣體的運動模型 x < L，速度和溫度的變化對稱。 V=0, =0 , x=L 單活塞的雙活塞情況基本相同，僅有一點區(qū)別 : V=0, T=0T , x=L 代替方程（ 7），問題的分析過程也很相 似。問題的關鍵差別在于熱邊界層，當 x=x=。然而，最主要的問題是一致的，并且 提供的運算法則適合于兩種情況。 無空間的變化 我們定義無空間變化： ,,,)(, 000 ??? ????,)( )()(,)( )()(,,0 00 ???? ???????????為了獲得解決問題的便利，假定 ,? ,0)( ?????? ? ,0,1,1,1,0,1,0,0,,1,1),))(()(1)(()(,?????????????????????????????????????????表格一中，】式】和【數(shù)值來自于【 109;00,10 00 p ??? ? ?1 )( 0T? 2O ) 10?? 10?? 4 10?? ? 2 10?? 10?? O) ? ? )(,00002002002000 ??? ??? 對于大多數(shù)的氣體或氣體混合物， )(T? 是相近的或者是不變的，所以： ,)( 10 ?? ?? 在 0? 和 1? 是常量。下文討論的計算結果，我們使用恒定值 λ和 γ 。根據典型的實驗條件下， ,11 ???? ?? ， )10(1),10( 35 ?? ?? ? ，見表 1 。 顯然，從表 1，我們僅僅考慮（ 8）的 ε → 0 。然而，對非常輕的氣體 如氫和氦，也有例外。我們有 11 ???? ?? ，而不是 11 ???? ?? 。這是僅需要考慮的極限 ε → 0 ，以便獲得有用結果 ;盡管偶爾 θ很大，但考慮 θ → ∞沒有必要。 值方法 方程（ 8）進行了數(shù)值綜合的差分算法。我們用方程 432 )8(,)8(,)8( ， 分別計算隨時間變化的 ρ， 。方程 1)8( 被用來更新有差異的速度 v ，這一選擇相對應于 v ≥ 0 。所有這些數(shù)值的計算都有 λ（ T） ≡ 1， γ（ T） ≡ 1 ? 9 ， θ = 10和 ε 5108 ??? 。 表格三：數(shù)字運算 a t = 0·1， γ (T ) ≡ 1·9， λ(T ) ≡ 1, θ = 10 ， ε = 8 × 510? 我們應該注意到，使用的值為 θ是明顯小于常見的氣體（見表 1） ，為了考慮ε → 0 的漸近行為不同步性，同時考慮了 θ較大的情形，第 要的的差別在于 ?2T /250個空間坐標 點間距均勻沿 0 ≤ x ≤ 1 變化。 801??? x? 是位移步距， t? 是時間步距?；钊粋€行程為 80 時間段，，40 時間段可以被認為是合適的的。更多的活塞運動模型，可以用 X= Xp(t),計算，不會有太大的難度。 討數(shù)值結果 一些數(shù)值解（ 8）中顯示在 3求出。許多的解決方案在第三節(jié)有更詳細的說明。提出材料的這項命令是為了使分析更清楚和詳細。 當壓縮開始，一個（聲音）波迅速從活塞的頭部到尾部。 結果表明在下一節(jié)中說，這一波的速度為 O（ θ）當 θ大于 1 時。鑒于一個事實，即 θ = 0（ 103）一般情況下，波的速度通常是活塞的 30倍。不包括達到終點線 x= 1，所花費的時間為O(1/θ ),圖 3顯示了第一個波穿越中心線的相應數(shù)值。我們使 v = 0, 表格四： t = 0·25， γ (T ) = 1·9, λ(T ) =1, θ = 10 = 8 × 10?5. p= ρ= T = 1 。在波的前面， V～ 1， ε → 0, 。這也就是說，在波的后面，波的速度與活塞的速度相同。圖 3中，由于我們使得 θ = 10，事實上可能會增大，所以增加的 (p, ρ , T ) 是很重要的。我們選擇不使用一個非常大的價值 θ ，以免掩蓋了漸近行為 ε → 0 。應該強調的是，為使 θ接近真實值 ，波會略增加 (p, ρ , T ) 。 然而，由于波的速度為 O（?），波通常會由于壓縮而經過一個特定點多次，導致壓縮后（ P， ρ ，T ）的大幅度增加。這些討論通過下面的分析將更精確。 有一個相同的波在活塞右邊朝相反的方向發(fā)出。當兩個接近波碰撞的中心線上它們反映了各自的位移，這些位移反應了它們各自的對應時間。 圖 5 數(shù)值解（ 8）在 t = 0 ? 40與 γ（ T）的 ≡ 1?9 ， λ（ T）的 ≡ 1 ， θ = 10 ， ε = 8 × 510? 波再次從右往左運動是，這時的 (p, ρ , T )已增加了 O（?1）。主要的（ P， ρ，T）的恒定值的在波發(fā)出是前已知的，我們可以用方程求解。當波到達活塞處是，它又反應了各自的距離，（ P， ρ， T）又可以計算。在壓縮中，同樣的這種過程發(fā)生多次，而每次的（ P， ρ， T）都可以計算得到。 算過程 氣缸中的（ P， ρ， T）的初始值為（ ρ0， 在一維條件下，我們令 ρ0 = ，即0t=0時的值。當波第一次離開活塞頂端短時，即1(ρ1, 以計算得出。這段時間也就是波到達氣缸中心線經歷的時間。由于方程表達了波的速度，這段時間可以求出。 （ P， ρ ， T ）的波所反映在中心線（ ρ2 ，Ｔ２）和，我們定義時間是 1t 與波返回活塞的時間之和。繼續(xù)這樣，我們就能計算出一個序列的數(shù)值 ),,,( 的ｉ = １，２，．．．，這 模式的演變反應了壓力，密度和溫度。 3 漸近分析 ;算法 我們現(xiàn)在考慮的漸近行為（ 8）在限制 ε → 在氣缸中來回的往返 們將簡單地引用 N = 1情況下相關的結果。 有關的條件與快速壓縮事件的聯(lián)系非常特別，因為時間短，以及最終實現(xiàn)的非常高的溫度和壓力。 先前還沒有任何關于氣體混合物在快速壓縮機器中運行的珍貴研究。然而，計算跳轉條件跨越正常振動波是非常明確的規(guī)定和討論，例如， [ 11。那個利用奇異攝動理 論計算跳轉條件匹配狹隘過渡層在 [ 14 ]和 [ 15 ]中討論，包括其他教科書微擾方法。 下文有漸近解，但還沒有進行嚴格的推理。嚴格的數(shù)學處理這些問題具有重要的價值，但這不是本文分析的目的。 邊界層的活塞 這邊界層位于活塞和清晰可見的密度和溫度剖面的數(shù)值解中顯示在表格 3是因為活塞頭在整個壓縮過程中保持不變的假定初始溫度，而氣缸的核心溫度的顯著升高。固定的中心氣缸壁的溫升大于邊界層。 該層位于在 x? =O（ 1），第 x? ≥ 0 ，其中 x=t + x?21? ，并在控制方程 432 )8(,)8(,)8(中這些變量成為 ).)(1)(()1((,)1(,0)(21212121????????????????????????????????????????????????為了很好的解決 )1( 時的問題，考慮一定的范圍是很必要的。但是，我們 也只需要考慮涉及主要秩序的范圍。所以， )1( 時，我們得出： ),,(1),(0~),,(1),(0~),,(),(~),,(1),(~212112100?????????????????????? ??方程式 如下： )0((0)10(0,000)10(,000,000???????????????????????????????????????????????????????在 2)10( 中，我們假定條件 0,10 ?? ?? 在 3)10( 中包含 ),(000 tP ???? ???)(情況而定。在 4)10( 中并不能完全確定 0T? 的值。所以應該考慮必要的修正。 )( 21?O 的方程 ))0(()(1)0(()010(0,1)111(0,0)10(0,00110??????????????????????????????????????????????????????????????????2)11( 中的 1v? 可以寫成： ,0011 0),( ???????? ?? 這里我們用了邊界條件 0,01 ?? ?? 把（ 12）代入4)14( 中，并且有 : )))0)(()0)0(()(1)0((0})0)(({00)(00),(),(?????????????????????????????????? ,)(0,0,10,,10 0???????????? )(著條件而變化。（ 13）， 14）的解答過程在這里并沒有詳盡寫出，因為主要問題的解決不需要外界條件，正是外部的問題提供了解決問題的可分離應算法則。 外部條件 我們引入波陣面的方向為 );( ,所以 ??，我們得出 0?v ， 1??? 。而對??我們假定： p ～ p?0 (x, t), ρ ～ ρ?0 (x, t), v ～ v?0 (x, t), T ～ T ? 0 (x, t), 得出主要的方程 : .)1)(()(,,0)(,0000000000000000000??????????????????????????????????????????????????這些方程對應于條件： （參見上面 分），在 ??下文的 15）可以簡化為 ),(,1 00 s?? ?? 還有 ?? 00,T? 滿足 ,0,0 0000 ????????????????表格 3 中顯示了兩種數(shù)值的一致性。我們得出：這里， )( 是在是對應的。并且外部條件 ??合方程（ 15），并在最終保持不 變。 過渡區(qū)域 區(qū)間在 )1(* 時， *);( ? ?? ? 。在表格 3 中很明顯可看出，特別是從總體輪廓上 ， 速 度 勉 強 從 1~v 下降到 )1(。 我 們 假 定 ：),,(~),,(~),,(~),(~ **0**0**00 ??? 獲得主要方程式： ).))(()(1)(()*0(,)(,0)(,**0*0**0*0**0**0.*0*0**0*0**00.*0*0*0***0*0.*0*0*0??????????????????????????????????現(xiàn)在，我們聯(lián)立（ 16）中的第二、三、四，并且令 ??*z ，獲得波前雙側的主要方程（ 16）中的第二、三、四方程分別表達了質量守恒、動量守恒、和能量守恒。 第二方程中，令 ????? **0*0 ,1,0 。有方程 ,*000..*0???讓 ???*z 時，這個表達式變成 1.????們要求 ? 0 但這個數(shù)值僅僅要求活塞的速度不超過聲音在空氣中的速度?；钊淖畲笏俣仁?)10( 1?而聲音在一般空氣中的速度是 )300( 1? 把（ 17）方程代入 3)16( 中，結合條件 ????? **0*0 ,1,0 出： ./01 *0.*0 ?vp q??? 時???*z ,有 ,/01)(.???? s 所以 ),011)(01()( ../ ?????c ?以上都是恒量，我們假設 ?),,( 的預測值與表三所顯示的結果一致。 把 (17)和（ 19）帶入（ 16）的第四個方程中，且 ???????? ***0*0*0 ,0,1,0 出： ),2/0()(0 2*0.*0**0*0.?? ?????? 其中， ???*z ,2/01))0/11)(/01((0....??? ???????? )16)1(1(410 0200.???? ??????q ),11(1010*0101.???????????(~0 10.???? ????q 小結 帶入以上個方程，并且 )(~),(0),,( 0 ?? ?? ??? 時， 可以得出以下式子： ),0/11)(01(~,1~,0/0~,/01~..... /)1 ???????? ? ?? 4 與實驗數(shù)據比較 如圖 7 ，我們提供一些比較實驗結果和預測模型。實驗數(shù)據取自 6] ，每三個實驗曲線的初始溫度為 295 果顯示在無量綱形式。近似為 P）使用測量獲得的活塞運動?；钊ㄙM大約 30 ％的壓縮時間加快從 運動 ，不到 15％的時間減速，而其余的時間在最大速度 。 圖 7 比較模型預測與實驗數(shù)據（一）氮，（二）氧和（ c）氬。 這些參數(shù)計算了使用數(shù)據的實驗條件和已知數(shù)據的氣體（ [ 9 ] ）。然而，該模型 反映壓縮室 內的核心最后的壓力。該算法預測，當活塞停止，核心溫核心不斷失去冷墻，雖它仍然可以產生重大影響的高峰壓力 ， 例如如氬，其中有相當大的度和壓力的 最終 壓縮 值 ，因為這是領先分析方程預測。 5 討論 應該強調的是，本文我們只能模擬氣體快速壓縮階段。壓縮問題的特點通常是不同的。模擬快速壓縮機器里氣體運動的主要目的是拓展到封閉混合氣體在高溫高壓下可能發(fā)生的自燃現(xiàn)象。第一次嘗試是模型壓縮后假設氣體很快停止，活塞停止 ;該模型研究的文件預測，活塞停下后，天然氣的議案塞特爾斯運動（有一個良好的的相似）的一個時間段，即 1)/1( ???O 。經過 壓縮，然后使用一個系統(tǒng)的常微分方程模型計算氣體的反應溫度和中間產物 ?；钊Ｖ梗拷鼩飧妆诔蔀闊徇吔鐚雍?，這種模式將不會有效。 為系統(tǒng)的這種做法被證明是不充分的代表權的行為， 這一問題將有分裂整齊地分為兩個不同的部分可以單獨研究。 在第一部分中，壓縮（研究在這里） ，天然氣占主導地位的議案和化學的影響微不足道的，因為壓力和溫度很低，但所有的最后幾毫秒壓縮。第二部分，后壓縮行為，氣體運動是可以忽略不計和化學效應占主導地位，我們有一個系統(tǒng)的常微分方程執(zhí)政的濃度化學物質的反應，溫度，初始條件是由國家提供的系統(tǒng)在 年底壓縮。 然而，那里的系統(tǒng)耦合關系具有重要意義的議案和化學氣體壓縮后的影響，這種做法會失敗。這類系統(tǒng)，分析更加困難，因為每一種混合物然后有自己的偏微分方程和不同的質量分數(shù)。 致謝 ：我們感謝高等教育管理局的 謝他的幫助和提供的實驗數(shù)據。最后，我們要感謝一些同仁的有益建議。 參考文獻： 1. . 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