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一種新穎的輪式機(jī)器人的動(dòng)力學(xué) — 分析與仿真 摘要 ：我們介紹了一種新式兩輪移動(dòng)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)性能的分析與仿真，其新穎之處在于其與控制部分的平衡 ，而這是其“ 結(jié)果（一種其它地方也介紹過(guò)的概念）。該機(jī)器人的數(shù)學(xué)模型是在拉格朗日方程的構(gòu)架下形成的，通過(guò) 余角 及方陣（這些概念在以前的著作中曾提過(guò)）。為了證實(shí)前面提到的模型還進(jìn)行了一些仿真 。并且，我們提供了對(duì)應(yīng)與不同輸入及初始條件的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，而這些對(duì)于機(jī)器人的設(shè)計(jì)和控制很關(guān)鍵。 關(guān)鍵字： 輪式移動(dòng)機(jī)器人 非完整約束 多物體系 統(tǒng)動(dòng)力學(xué) 動(dòng)力學(xué)仿真 當(dāng)今很多場(chǎng)合都需要便宜、可靠并且簡(jiǎn)單的輪式移動(dòng)機(jī)器人（ ?做家務(wù)活的服務(wù)機(jī)器人 ?行動(dòng)不便人士的輔助機(jī)器人 ?娛樂(lè)機(jī)器人 ?行星間探險(xiǎn)的機(jī)器人 ?材料處理的工業(yè)機(jī)器人 在前述行業(yè)的任一領(lǐng)域都可以利用一種新的輪式移動(dòng)機(jī)器人 ( 驅(qū)動(dòng)輪及承載高效負(fù)載的中間體 。這種當(dāng)下在設(shè)計(jì)的機(jī)器人，其新穎在于其與控制部分的平衡。這是通過(guò)賦予機(jī)器人一種被稱為 了達(dá)到 質(zhì)心被置于通過(guò)輪心連線中點(diǎn)的垂直面上。并且，為了克服不平衡，中間體的質(zhì)心位置應(yīng)低于前面所提到的線。 除了賦予機(jī)器人 工藝也使 該機(jī)器人的兩個(gè)主要任務(wù)為： ?確定 由中間體承載的負(fù)載在同一平面上的位置和方向 (定位任務(wù) ) ?平衡中間體的晃動(dòng) (平衡任務(wù) ) 通過(guò)關(guān)于兩輪機(jī)器人文獻(xiàn)的查閱可知有三種不同的系統(tǒng)： 2], 3], 及 4]與 反饋系統(tǒng)，因?yàn)槠湟蕾?于第三個(gè)支撐來(lái)保持 其負(fù)載與垂直方向同向。并且，機(jī)器人的質(zhì)心低于兩輪心連線，并且不用任何陀螺儀來(lái)檢測(cè)中間體的 傾斜， 機(jī)械系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型對(duì)精確控制及其性能的實(shí)際預(yù)測(cè)或者仿真都是必要的。我們?cè)诶窭嗜辗匠?構(gòu)架下建立 數(shù)學(xué)模型表達(dá)了兩個(gè)非線性輸入并有三個(gè)輸出的動(dòng)力系統(tǒng)。我們利用該系統(tǒng)對(duì)不同 輸入及初始條件的動(dòng)態(tài)響應(yīng)的仿真與分析來(lái)驗(yàn)證該模型。 這種分析結(jié)果對(duì)機(jī)器人的優(yōu)化設(shè)計(jì)和控制很關(guān)鍵。 結(jié)果顯示完成上述兩 任務(wù)最主要的干擾因素是中間體的晃動(dòng)。因此，正確設(shè)計(jì)的介紹及合適的控制原則的推導(dǎo)應(yīng)該加以考慮，以便使得機(jī)器人的性能對(duì)干擾最不敏感。 括分別由兩個(gè)單獨(dú)電機(jī)驅(qū)動(dòng)的兩個(gè)輪子及裝有控制系統(tǒng)、啟動(dòng)系統(tǒng)、能源供應(yīng)裝置及傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的中間體 。該機(jī)器人的輪子據(jù)文獻(xiàn) [7]中的分類屬于傳統(tǒng)型。 為了獲得該機(jī)器人的數(shù)學(xué)模型，我們假定其運(yùn)動(dòng)是在我們稱之為 且，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中假定機(jī)器人的輪子不脫離 該機(jī)器人的一簡(jiǎn)化模型如圖 1所示。我們定 義 '分別為通過(guò)兩輪心的軸線及相互平行，并且通過(guò)中間體質(zhì)心 間體的架子為由以軸 垂直平面 A。 圖 1： 我們已定義了三個(gè)兩兩正交的三維向量 ： ? ?00,,i j k， ? ?,,e f k 和 ? ?,, 一個(gè)一組? ?00,,i j k 定義了一固定在地面上以 并且 k 方向垂直向上的慣性坐標(biāo)系。 ? ?,,e f k 定義了 一以兩輪質(zhì)心連線中心 特別地 ， e 平行于 ? ?,,義了固定在中間體上以點(diǎn) 的坐標(biāo)系。 我們用1?及2?表示兩輪的角位移，同時(shí) 用 c 表示 并定義3?為中間體繞 定義 l 為兩輪心間的距離 ， r 為輪子半徑 ， 并且輪子在 我們由約束 ， ? ?21? ? ? ?????1 其中 ，12? ???? ??表示廣義的直角坐標(biāo)系 。 2rC f f??? ??， ?并且 ? 是方位角 ， 如矢量0i與 e 間的夾角 。 對(duì)方程 ??1 中第二個(gè)關(guān)系式積分可得 ： 21????????????????2 其中，我們假定 當(dāng)12???時(shí)， 0?? 。 我們定義1 2 3 ? ???? ?? 由于我們?cè)诜匠???2 中可用1?及2?來(lái)表示 ? ， ? 并不出現(xiàn)在廣義坐標(biāo)矢量中，因此該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)約束方程只能是方程 ??1 中第一個(gè)關(guān)系式。這個(gè)方程可寫為30? ， 這里 0K是 向量， 3 3 310?????這里 1 階方陣。該機(jī)器人有 6個(gè)自由度，而在簡(jiǎn)化模型中中間體繞軸 試 如果我們 定義獨(dú)立廣義速度矢量 u 為1 2 3 ? ?? ? ????????，然后可輕易的得出 32 2 2201001?????????為了計(jì)算 齊次 矩陣 H，我們需得推導(dǎo)出 f? 及 f???，通過(guò)圖 1及方程 ??2 可容易得出，即 ? ?12f e e e e? ? ? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?????從上式顯然可得 ? ?f ? ???。因此， ? ? 3213330000Nu N r ? ??? ??? ???? ? ? ?? ??故并不奇怪， 完整約束的機(jī)器人。 現(xiàn)在我們驗(yàn)證 似完整約束 （ 系統(tǒng)的總動(dòng)能如下 1 2 3T T T T? ? ???3 其中 ?1,2i?為第 i 個(gè)增加后的輪子的動(dòng)能，例如沿著驅(qū)動(dòng)軸的輪，3動(dòng)機(jī)構(gòu)、電池和控制單元的動(dòng)能。 方程 ??3 中右邊的前兩項(xiàng)顯然可表示為 ? ?22 22222 22 1 1 21144r m rT m c ? ? ? ? ?? ? ? ? ??????? ? ? ? ? ??????? ???其中 m 為每一增加輪 的質(zhì)量。動(dòng)能322 22'3 2 1 33 3 1 21 1 12 2 2? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?????T m c J 如考慮負(fù)載質(zhì)量），3c? 是中間體質(zhì)心的速度，1 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量， '2A 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 并且，3c? 由 33c c ? ??? 來(lái)給出。因此， ? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ? ?22 223 3 3 1 2 1 2 31 1 12 2 2T m c h d J J 如果不考慮常數(shù)項(xiàng)，系統(tǒng)的勢(shì)能為 ?? ? ? ?3 3 3 3m c g m d d 是點(diǎn) C 與3g 是重力加速度。這樣，系統(tǒng)的拉格朗日方程為 L T V?? ??4 222 2 2 22_ 1 2 3 32 3 3 311 2 2H m rm c J m c d h m d g? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ??? ??????' 這里 _ 2 1? ? ?? ? ???及 ? ?2 2 211 122H m r J????? ? ???。 因此，廣義轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 ? ?? ?? ?33212223 3 2 31212 m d hm r r m d J??????? ? ?????????????????????? '其中，312K m ， 12? ? ?? ??， M 是機(jī)器人的質(zhì)量，而符號(hào) 表示用 q 代替 q 。這樣，運(yùn)動(dòng)方程的非完整約束項(xiàng)為 2 3 2 31 3 1 3 00 TM r e f m d e hH p r M r e f m d e h? ? ? ?? ? ? ? ????????? ? ? ???. 因此，系統(tǒng)無(wú)條件為 由于系統(tǒng)是 數(shù)學(xué)模型簡(jiǎn)化為 t u q?????????? τ??5 這里是系統(tǒng)的約束拉格朗日方程： ? ? ? ? ? ? ? ?2 22 1 32 2 212 234 2 8m r J m r ?? ??? ? ??? ? ? ? ? ?223 3 3 2 3 3 31c o s c o d m J m d g? ? ? ? ??? ? ? ?'由于 τ 是廣義驅(qū)動(dòng)力的向量，例如電機(jī)扭矩。傳動(dòng)到兩輪的扭矩簡(jiǎn)化為無(wú)約束廣義力矢量 ? ，即3 1 200??? ??τ τ。 因此，12 0 ???? ??τ τ τ并且方程 ??5 變?yōu)橐苑至啃问剑? ? ?21 2 3 3 3 3 1c o s s i K? ? ? ? ? ?? ? ? ? τ ? ?21 2 3 3 3 3 2c o s s i K? ? ? ? ? ?? ? ? ? τ 3 1 3 2 2 3 3 3c o s c o s s i n 0K K J m d g? ? ? ? ? ?? ? ? ?其中 22 3 2J m d J??′? ?2 2211 222m r J ???? ? ?????2233122B m r m r A? ? ? 運(yùn)動(dòng)方程可以用矩陣形式書寫為 ? ? ? ? ? ?,I C g? ? ? ? ? ?? ? ? τ 其中1 2 3 T? ? ? ???? ??，而 ? ?I ? 是慣性矩陣，即 ? ?3333 2o s c o B ????????????利用 ? ?,C ? ? ? 我們表示了二次慣性項(xiàng)的三維矢量 ，例如 ? ? 23 3 3, 1 1 0 s i ? ? ? ????? ?? 而 ? ?330 0 s i n Tg m g d????? ??。 為了驗(yàn)證前面的數(shù)學(xué)模型，并研究該系統(tǒng)對(duì)于不同輸入及不同初始條件下的反應(yīng)，我們?cè)? 圖 2： 正如圖 2中 擬輸入為分配給輪子的扭矩，這里用“直接動(dòng)力”模塊來(lái)解決直接動(dòng)力。更特別的是這種功能轉(zhuǎn)換慣性矩陣 ，并得到廣義加速度矢 ? 。因此兩個(gè)積分器將提供廣義速度矢及廣義坐標(biāo)矢。機(jī)器人的廣義坐標(biāo)矢：1 2 3? ? ?、 、及它們的一次及二次求導(dǎo)包括第一組模擬輸出，這里用作“直接運(yùn)動(dòng)學(xué)”模塊輸入的解決。特別地，后面計(jì)算機(jī)器人的方位角 ? ，其一階、二階導(dǎo)使用方程（ 2）表達(dá)的幾何學(xué)約束 和參考點(diǎn) 1）表達(dá)的運(yùn)動(dòng)學(xué)約束。為了得到 使模擬輸出完整），對(duì) c 作了數(shù)學(xué)積分。 這里研究了該動(dòng)力系統(tǒng)對(duì)三種不同的輸入的響應(yīng)。 在每一次仿真系統(tǒng)里初始狀態(tài)都 被認(rèn)為靜止。應(yīng)該注意到：仿真不考慮諸如輪與地面間摩擦 等外面能耗也不考慮，諸如軸承里的摩擦之類的內(nèi)部能耗。而且，驅(qū)動(dòng)輪子的輸入將由扭矩脈沖表達(dá)，持續(xù) 1t=1s,以便避免在接近 t=0區(qū)域獲得輸出平面圖。 每一次仿真用時(shí) 90s，但大部分輸出結(jié)果圖將 0便更好的表達(dá)變換響應(yīng)。 這里施加三種策略： )i 直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，維持方位角 ? 恒定； )通過(guò) ? ?3 00? ? 如只變化方位角 ? ，而不是參考點(diǎn) )弧運(yùn)動(dòng)。并不是前述的每一策略都可以以同樣的精度獲得；限制系統(tǒng)性能的干擾因素的分析，將提供有益的啟示在控制規(guī)則的選擇及機(jī)器人的優(yōu)化設(shè)計(jì)。 在這種仿真運(yùn)行時(shí)，幅值均為 扭矩脈沖施加于兩輪上。輸出平面 如圖 3 圖 3：直線運(yùn)動(dòng)1 2 3,,? ? ?圖 4：直線運(yùn)動(dòng)1 2 3,,? ? ?我們可以從圖 3和圖 4可知：由于負(fù)載條件對(duì)稱，1?與2?及它們的一階導(dǎo)都相等。并且通過(guò)觀察圖 4我們可以根據(jù)12??、有與3?一樣的周期，認(rèn)為兩周期信號(hào)1?與2?均由3?所引起的。 根據(jù)圖 3，其中3?由一周期信號(hào)表示， 我們可推斷出中間體的晃動(dòng)是在 至 間段內(nèi)；當(dāng)然，這 種晃動(dòng)并不需要平衡，因?yàn)槠浞炔](méi)有大到足夠影響平衡任務(wù)的完成（見(jiàn)部分 1）。然而，由于安裝及制造誤差 ? ?3 0?可能不為零；而且，機(jī)器人移動(dòng)的實(shí)際平面可能稍微有一點(diǎn) 傾斜。因此，有必要通過(guò)適當(dāng)?shù)目刂埔?guī)則系統(tǒng)來(lái)平衡這種晃動(dòng)。 圖 6：直線運(yùn)動(dòng)： ,, 5：直線運(yùn)動(dòng)：點(diǎn) 如圖 5所示，直線軌跡有比較高的精度。當(dāng)然，輪子不可能承受與實(shí)際一樣扭 矩 ，而這需要適當(dāng)?shù)目刂埔?guī)則系統(tǒng)來(lái)完成定位任務(wù)。而且，如圖 6所示由于沿直線軌跡的速度并不恒定在固定區(qū)間，故需要一控制規(guī)則系統(tǒng)。 兩個(gè)幅值都為 符號(hào)相反，作用在輪子上。輸出結(jié)果如圖 7 這里并不包括點(diǎn) 為其軌跡為與慣性坐標(biāo)系重合的一點(diǎn)；而且，角速度將恒定在一平移區(qū)間，如圖 10所示。不管怎樣，由于前面部分所提到影響機(jī)器人構(gòu)造的誤差原因 ，實(shí)際上 此，為了完成定位任務(wù)的需要 — 控制規(guī)則系統(tǒng)。 圖 7：純滾動(dòng)：1 2 3,,? ? ?圖 8：純滾動(dòng)：1 2 3,,? ? ?圖 9：純滾動(dòng)： ,, 10：純滾動(dòng)： ,,于所給的初始條件 及輸入類型，3?角及其一階、二階導(dǎo)將在仿真過(guò)程保持為 0，而12??、與它們的一階導(dǎo)大小相等，方向相反，如圖 7 兩個(gè)扭矩脈沖 ，大小為 方向相同作用在兩輪上輸出結(jié)果如圖 11 圖 11：圓弧運(yùn)動(dòng)：1 2 3,,? ? ?圖 12：圓弧運(yùn)動(dòng)： ,,有的廣義速度都是類似 于我們?cè)诩兤揭茽顩r的信號(hào)，如圖 11所示，但2?和1?并不相等，因?yàn)檩斎氩粚?duì)稱。 另一重要標(biāo)準(zhǔn)是點(diǎn) c 并不恒定，如圖 13所示，由于一周期信號(hào)重疊于調(diào)波圖 12所示。通過(guò)觀察圖 11我們可根據(jù)兩信號(hào)周期都為 T=引起 。值得重述的是，如直線運(yùn)動(dòng)的情況，兩周期信號(hào)1?與2?都是信號(hào)3?的響應(yīng)，如圖 11所示。 4．結(jié)論 這里討論了： 種新式非完 整約束移動(dòng)機(jī)器人。我們闡述了該系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型并提供數(shù)學(xué)仿真 。數(shù)學(xué)仿真表示每 個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性能變化，故需要控制。這項(xiàng)工作對(duì)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與控制很 圖 13：圓弧運(yùn)動(dòng)： c 重要。