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2.3.1 直線與平面垂直的判定,,α,,,思考,（1）一條直線l與平面α內一條直線垂直可以判斷 直線l與平面α垂直嗎？,,,,α,（2）一條直線l與平面α內無數(shù)條直線垂直呢？,l,a,,α,,A,B,,,,,,,C,,B’,C’,AB⊥α，則旗桿AB所在的直線與地面任意一條直線都垂直,1、如果直線l與平面α內的任意一條直線都垂直，我們就說 直線l與平面α互相垂直. 2、表示為：l ⊥α.,直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面.,直線與平面垂直時，它們唯一的公共點P叫做垂足.,陽光下的旗桿與影子的關系：,AB⊥BC，BC∥B’C’ ，AB⊥ B’C’,3、直線l與平面α垂直的畫法：,通常地直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直。,思考：是否把平面中的直線一一找出，才能 證明直線與平面垂直？,定理： 一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。,表示為：,,l⊥α,例1 一旗桿高8m，在它的頂點處系兩條長10m的繩子，拉緊繩子并把它們的下端固定在地面上的兩點（與旗桿腳不在同一直線上）。如果這兩點與旗桿腳距6m，那么旗桿就與地面垂直。為什么？,分析： （1）兩點與旗桿腳確定的平面就是地面。 （2）能否在平面上找出兩條相交直線，使得旗桿與它們垂直,解：如圖，旗桿PO=8m，兩繩長PA=PB=10m，OA=OB=6m 因為A，O，B三點不共線， 所以A，O，B三點確定平面α（即地面所在面） 又因為PO2+OA2=PA2，PO2+OB2=PB2， 所以OP⊥OA ，OP⊥OB. 又因為OA∩OB=O， 所以OP⊥α. 因此，旗桿OP與地面垂直.,例2 如圖，已知a∥b,a⊥α, 求證b⊥α.,,分析：能否在平面α內找出兩條相交直線，使得b與它們垂直？,證明：在平面內作兩條 相交直線m，n.,,因為直線a⊥α，根據(jù)直線與平面垂直的定義知 a⊥m，a⊥n. 又因為 b∥a， 所以 b⊥m，b⊥n. 又 m α ， n α，m， n是兩條相交直線， 所以 b⊥α,練習,1、如圖，已知OA、OB、OC兩兩垂直 （1）求證：OA⊥平面OBC （2）求證：OA⊥BC,,,B,C,O,A,分析：（1）要證OA⊥平面OBC， 必須在平面OBC中找出兩條 與OA垂直的相交直線。因 為OA、OB、OC兩兩垂直 OA⊥OB、OA⊥OC. OA⊥OC，且OB∩OC=O. （2）OA⊥平面OBC，OA 垂直平面內任意一條直線.,證明：（1）∵OA、OB、OC兩兩垂直 ∴OA⊥OB，OA⊥OC， 又∵OB∩OC=O ∴OA⊥平面OBC,,（2）∵ OA⊥平面OBC BC 平面OBC ∴ OA⊥BC,練習,2、如圖，在三棱錐V-ABC中，VA=VC，AB=BC， 求證VB⊥AC.,A,B,C,V,分析：（1）要證線線垂直，首先證線面垂直 （2）AC⊥VB所在的面，應該 是哪一個面？ 給出VA=VC，AB=BC可 以知道△VAC與△BAC都是 等腰三角形,證明：取AC的中點D，連結DV、DB,,D,∵VA=VC，AB=BC ∴△VAC與△BAC都是等腰三角形 ∴AC⊥DV AC⊥DB ∵DV∩DB=O ∴AC⊥平面VDB ∴AC⊥VB,,,,,,,,,小結,1、要證線面垂直（根據(jù)定理：一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。）,2、要證線線垂直（可先證一條直線與另一條直線所在的面垂直，再得到線線垂直。）,作業(yè)：,有平行四邊形ABCD ，已知l⊥AB，l⊥BC. 求證：l⊥直線AD.,課后思考：P70.探究,