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2.4 正態(tài)分布,1.正態(tài)曲線(xiàn)及其性質(zhì) (1)正態(tài)曲線(xiàn): 函數(shù)φμ,σ(x)=___________,x∈(-∞,+∞),其中實(shí)數(shù)μ, σ(σ0)為參數(shù),我們稱(chēng)φμ,σ(x)的圖象為正態(tài)分布密度 曲線(xiàn),簡(jiǎn)稱(chēng)正態(tài)曲線(xiàn).,(2)正態(tài)曲線(xiàn)的性質(zhì): ①曲線(xiàn)位于x軸_____,與x軸不相交. ②曲線(xiàn)是單峰的,它關(guān)于直線(xiàn)_____對(duì)稱(chēng). ③曲線(xiàn)在x=μ處達(dá)到峰值______. ④曲線(xiàn)與x軸之間的面積為_(kāi)_. ⑤當(dāng)σ一定時(shí),曲線(xiàn)的位置由μ確定,曲線(xiàn)隨著___的變化而沿 x軸平移.,上方,x=μ,1,μ,⑥當(dāng)μ一定時(shí),曲線(xiàn)的形狀由σ確定.σ越小,曲線(xiàn)越“_____”, 表示總體的分布越_____;σ越大,曲線(xiàn)越“_____”,表示總體 的分布越_____.如圖所示:,瘦高,集中,矮胖,分散,2.正態(tài)分布及正態(tài)變量在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率 (1)正態(tài)分布: ①如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)a,b(ab),隨機(jī)變量X滿(mǎn)足P(aX≤b)= __________,則稱(chēng)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布. ②記為:X～N(______).,μ,σ2,(2)正態(tài)變量在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率: ①P(μ-σX≤μ+σ)=_______; ②P(μ-2σX≤μ+2σ)=_______; ③P(μ-3σX≤μ+3σ)=_______.,0.6826,0.9544,0.9974,1.判一判(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”) (1)函數(shù)φμ,σ(x)中參數(shù)μ,σ的意義分別是樣本的均值與方差. ( ) (2)正態(tài)曲線(xiàn)是單峰的,其與x軸圍成的面積是隨參數(shù)μ,σ的變化而變化的. ( ) (3)正態(tài)曲線(xiàn)可以關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng). ( ),【解析】(1)錯(cuò)誤.參數(shù)μ是反映隨機(jī)變量取值的平均水平的特征數(shù),可以用樣本的均值去估計(jì);σ是衡量隨機(jī)變量總體波動(dòng)大小的特征數(shù),可以用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì). (2)錯(cuò)誤.正態(tài)曲線(xiàn)是單峰的,其與x軸圍成的面積是定值1. (3)正確.當(dāng)μ=0時(shí),正態(tài)曲線(xiàn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng). 答案:(1)× (2)× (3)√,2.做一做(請(qǐng)把正確的答案寫(xiě)在橫線(xiàn)上) (1)已知正態(tài)分布密度函數(shù)為f(x)= ,x∈(-∞,+∞),則該 正態(tài)分布的均值為 ,標(biāo)準(zhǔn)差為 . (2)設(shè)兩個(gè)正態(tài)分布N(μ1, )(σ10)和N(μ2, )(σ20)的 密度函數(shù)圖象如圖所示,則有μ1 μ2,σ1 σ2.,(3)在某項(xiàng)測(cè)量中,測(cè)量結(jié)果ξ服從正態(tài)分布N(1,σ2)(σ0).若ξ在(0,1)內(nèi)取值的概率為0.4,則ξ在(0,2)內(nèi)取值的概率為 .,【解析】(1)對(duì)照正態(tài)分布密度函數(shù)f(x)= ,x∈ (-∞,+∞), 可得μ=0,σ= . 答案：0 (2)可知N(μ1， ),N(μ2， )的密度曲線(xiàn)分別關(guān)于直線(xiàn) x=μ1,x=μ2對(duì)稱(chēng)，因此結(jié)合所給圖象知μ1＜μ2，且N(μ1， )的密度曲線(xiàn)較N(μ2， )的密度曲線(xiàn)“高瘦”，因此σ1 ＜σ2. 答案：＜＜,(3)可知正態(tài)分布N(1,σ2)的密度曲線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)x=1對(duì)稱(chēng).若ξ在(0,1)內(nèi)取值的概率為0.4,則ξ在(0,2)內(nèi)取值的概率為0.8. 答案:0.8,【要點(diǎn)探究】 知識(shí)點(diǎn)正態(tài)分布 1.對(duì)正態(tài)曲線(xiàn)的三點(diǎn)說(shuō)明 (1)解析式中含有兩個(gè)常數(shù):π和e,這是兩個(gè)無(wú)理數(shù),其中π是圓周率,e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),即自然常數(shù). (2)解析式中含有兩個(gè)參數(shù):μ和σ.其中μ可取任意實(shí)數(shù);σ0.在不同的正態(tài)分布中μ,σ的取值是不同的,這是正態(tài)分布的兩個(gè)特征數(shù).,(3)解析式中前面有一個(gè)系數(shù) ,后面是一個(gè)以e為底數(shù)的指數(shù)函數(shù)的形式,冪指數(shù)為 ,其中σ這個(gè)參數(shù)在解析式中的兩個(gè)位置上出現(xiàn),注意兩者的一致性.,2.對(duì)正態(tài)曲線(xiàn)特征的認(rèn)識(shí),3.對(duì)正態(tài)分布的三點(diǎn)說(shuō)明 (1)正態(tài)分布是自然界最常見(jiàn)的一種分布,例如,測(cè)量的誤差;人的身高、體重等;農(nóng)作物的收獲量;工廠(chǎng)產(chǎn)品的尺寸:直徑、長(zhǎng)度、寬度、高度……都近似地服從正態(tài)分布. (2)正態(tài)分布定義中的式子實(shí)際是指隨機(jī)變量X的取值區(qū)間在(a,b]上的概率等于總體密度函數(shù)在[a,b]上的定積分值.也就是指隨機(jī)變量X的取值區(qū)間在(a,b]上時(shí)的概率等于正態(tài)曲線(xiàn)與直線(xiàn)x=a,x=b以及x軸所圍成的封閉圖形的面積.,(3)從正態(tài)曲線(xiàn)可以看出,對(duì)于固定的μ和σ而言,隨機(jī)變量在(μ-σ,μ+σ)上取值的概率隨著σ的減小而增大.這說(shuō)明σ越小,X取值落在區(qū)間(μ-σ,μ+σ)的概率越大,即X集中在μ周?chē)母怕试酱?正態(tài)分布的3σ原則是進(jìn)行質(zhì)量控制的依據(jù),要會(huì)應(yīng)用給定三個(gè)區(qū)間的概率解決實(shí)際問(wèn)題.,【知識(shí)拓展】小概率事件 正態(tài)總體在(μ-3σ,μ+3σ)以外取值的概率只有0.26%.由于這些概率值很小(一般不超過(guò)5%),通常稱(chēng)這些情況發(fā)生為小概率事件.即事件在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生.,【微思考】 為什么正態(tài)分布中,通常認(rèn)為X只取區(qū)間(μ-3σ,μ+3σ]內(nèi)的值? 提示:正態(tài)分布中變量X幾乎總?cè)≈涤趨^(qū)間(μ-3σ,μ+3σ]之內(nèi),而在此區(qū)間以外取值的概率只有0.0026,通常認(rèn)為這種情況在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生,故在實(shí)際應(yīng)用中,通常認(rèn)為服從正態(tài)分布N(μ,σ2)的隨機(jī)變量X只取(μ-3σ,μ+3σ]之內(nèi)的值,簡(jiǎn)稱(chēng)“3σ”原則.,【即時(shí)練】 (2014·汕頭高二檢測(cè))若ξ～N(1,0.04),則P(ξ1)=( ) A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5 【解析】選D.因?yàn)棣巍玁(1,0.04),所以μ=1,由正態(tài)分布密度曲線(xiàn)可知曲線(xiàn)關(guān)于x=1對(duì)稱(chēng),故P(ξ1)=0.5.,【題型示范】 類(lèi)型一 正態(tài)曲線(xiàn)及其性質(zhì) 【典例1】 (1)某次我市高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)中,甲、 乙、丙三科考試成績(jī)的直方圖如圖所示 (由于人數(shù)眾多,成績(jī)分布的直方圖可視 為正態(tài)分布),則由如圖曲線(xiàn)可得下列說(shuō)法中正確的一項(xiàng)是 ( ),A.甲科總體的標(biāo)準(zhǔn)差最小 B.丙科總體的平均數(shù)最小 C.乙科總體的標(biāo)準(zhǔn)差及平均數(shù)都居中 D.甲、乙、丙的總體的平均數(shù)不相同,(2)(2014·石河子高二檢測(cè))如圖是當(dāng)σ取不同值σ1,σ2,σ3的三種正態(tài)曲線(xiàn)N(0,σ2)的圖象,那么σ1,σ2,σ3的關(guān)系是 ( ) A.σ11σ2σ30 B.0σ21σ30 D.0σ1σ2=1σ3,【解題探究】1.題(1)中從圖中看正態(tài)曲線(xiàn)的什么相同?什么不同? 2.圖中標(biāo)準(zhǔn)差σ反映數(shù)據(jù)的什么? 【探究提示】1.根據(jù)正態(tài)曲線(xiàn)的特征進(jìn)行判斷,從圖中看出,正態(tài)曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸相同,最大值不同. 2.標(biāo)準(zhǔn)差σ反映該組數(shù)據(jù)的離散程度.,【自主解答】(1)選A.由題中圖象可知三科總體的平均數(shù)(均值) 相等,由正態(tài)密度曲線(xiàn)的性質(zhì),可知σ越大,正態(tài)曲線(xiàn)越扁平;σ 越小,正態(tài)曲線(xiàn)越尖陡,故三科總體的標(biāo)準(zhǔn)差從小到大依次為 甲、乙、丙.故選A. (2)選D.由圖象可知，此正態(tài)分布為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其函數(shù)的 解析式為f(x)= ,x∈R.對(duì)于正態(tài)分布密度曲線(xiàn)，其標(biāo) 準(zhǔn)差σ反映該組數(shù)據(jù)的離散程度.σ越大，數(shù)據(jù)越分散，曲線(xiàn) 越矮胖；σ越小，數(shù)據(jù)越集中，曲線(xiàn)越瘦高.因而一定有0＜ σ1＜σ2＜σ3.,又由f(x)= ,x∈R知，當(dāng)x=0時(shí) , 由圖象知 ，所以σ2=1.,【方法技巧】求正態(tài)曲線(xiàn)的兩個(gè)方法 (1)圖解法:明確頂點(diǎn)坐標(biāo)便可,橫坐標(biāo)為樣本的均值μ,縱坐 標(biāo)為 . (2)待定系數(shù)法:求出μ,σ便可.,【變式訓(xùn)練】關(guān)于正態(tài)曲線(xiàn)，下列說(shuō)法正確的是_______. ① 曲線(xiàn)上任一點(diǎn)M(x0,y0)的縱坐標(biāo)y0表示 X=x0的概率; ② 表示總體取值小于a的概率; ③正態(tài)曲線(xiàn)在x軸上方且與x軸一定不相交; ④正態(tài)曲線(xiàn)關(guān)于x=σ對(duì)稱(chēng); ⑤μ一定時(shí)，σ越小，總體分布越分散；σ越大，總體分布 越集中.,【解析】①不對(duì)，因?yàn)槊芏惹€(xiàn)中面積代表概率，而不是縱坐標(biāo)；④不對(duì)，因?yàn)檎龖B(tài)曲線(xiàn)關(guān)于x=μ對(duì)稱(chēng)；⑤不對(duì)，與之相反μ一定時(shí)，σ越大，總體分散越分散，σ越小，總體分布越集中. 答案：②③,【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2014·濰坊高二檢測(cè))設(shè)ξ的概率密度函數(shù)為 則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( ) A.P(ξ＜1)=P(ξ＞1) B.P(-1≤ξ≤1)=P(-1＜ξ＜1) C.f(x)的漸近線(xiàn)是x=0 D.η=ξ-1～N(0，1),【解析】選C.因?yàn)棣蔚母怕拭芏群瘮?shù)為 所以μ=1，σ=1,所以P(ξ＜1)=P(ξ＞1)，P(-1≤ξ≤1) =P(-1＜ξ＜1)， 當(dāng)變量ξ符合正態(tài)分布時(shí)，ξ與一個(gè)常數(shù)的加減運(yùn)算也符合正態(tài)分布， f(x)的漸近線(xiàn)是y=0.,類(lèi)型二 利用正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性求概率 【典例2】 (1)已知隨機(jī)變量x～N(2,σ2),若P(xa)=0.32,則P(a≤x4-a) = . (2)設(shè)X～N(1,22),試求: ①P(-1X≤3);②P(3X≤5).,【解題探究】1.題(1)中正態(tài)分布的概率密度函數(shù)關(guān)于哪條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)?a和4-a的平均數(shù)是多少? 2.題(2)中μ,σ的值分別為多少? 【探究提示】1.關(guān)于直線(xiàn)x=2對(duì)稱(chēng).a和4-a的平均數(shù)是2. 2.μ=1,σ=2.,【自主解答】(1)由正態(tài)分布圖象的對(duì)稱(chēng)性可得: P(a≤x4-a)=1-2P(xa)=0.36. 答案:0.36 (2)因?yàn)閄～N(1,22),所以μ=1,σ=2. ①P(-1X≤3)=P(1-2X≤1+2) =P(μ-σX≤μ+σ)=0.6826.,②因?yàn)镻(3X≤5)=P(-3≤X-1), 所以P(3X≤5) = [P(-3X≤5)-P(-1X≤3)] = [P(1-4X≤1+4)-P(1-2X≤1+2)] = [P(μ-2σX≤μ+2σ)-P(μ-σX≤μ+σ)] = (0.9544-0.6826)=0.1359.,【延伸探究】在題(2)條件不變的情況下,試求P(X≥5). 【解析】因?yàn)镻(X≥5)=P(X≤-3), 所以P(X≥5)= [1-P(-3X≤5)] = [1-P(1-4X≤1+4)] = [1-P(μ-2σX≤μ+2σ)] = (1-0.9544)=0.0228.,【方法技巧】正態(tài)總體在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值概率的求解策略 (1)充分利用正態(tài)曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性和曲線(xiàn)與x軸之間面積為1. (2)熟記P(μ-σX≤μ+σ),P(μ-2σX≤μ+2σ),P(μ-3σ X≤μ+3σ)的值. (3)注意概率值的求解轉(zhuǎn)化: ①P(Xa)=1-P(X≥a); ②P(Xμ-a)=P(X≥μ+a); ③若bμ,則P(Xb)= .,【變式訓(xùn)練】在正態(tài)分布N 中，數(shù)值落在(-∞，-1) ∪(1，＋∞)內(nèi)的概率為( ) A.0.097 B.0.046 C.0.03 D.0.002 6 【解析】選D.因?yàn)棣?0，σ= ， 所以P(X1)=1-P(-1≤X≤1) =1-P(μ-3σ≤X≤μ＋3σ) =1-0.997 4=0.002 6.,【補(bǔ)償訓(xùn)練】當(dāng)μ=0，σ=1時(shí)，正態(tài)曲線(xiàn)為 x∈R，我們稱(chēng)其為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線(xiàn)，且定義Φ(x0)=P(x＜x0)，由此得到Φ(0)=__________. 【解題指南】欲求題目中：“Φ(0)”的值，由定義知：Φ(0)=P(x＜0)，由正態(tài)曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可解決問(wèn)題. 【解析】根據(jù)定義，所以Φ(0)=P(x＜0)，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線(xiàn)關(guān)于x=0對(duì)稱(chēng)可知，P(x＜0)的值是整個(gè)概率1的一半，由此得到Φ(0)=0.5. 答案：0.5,類(lèi)型三 正態(tài)分布的應(yīng)用 【典例3】 (1)某廠(chǎng)生產(chǎn)的零件外直徑ξ～N(8.0,0.152)(mm),今從該廠(chǎng)上、下午生產(chǎn)的零件中各隨機(jī)取出一個(gè),測(cè)得其外直徑分別為7.9mm和7.5mm,則可認(rèn)為 ( ) A.上、下午生產(chǎn)情況均為正常 B.上、下午生產(chǎn)情況均為異常 C.上午生產(chǎn)情況正常,下午生產(chǎn)情況異常 D.上午生產(chǎn)情況異常,下午生產(chǎn)情況正常,(2)某糖廠(chǎng)用自動(dòng)打包機(jī)打包,每包質(zhì)量X(kg)服從正態(tài)分布N(100,1.22).一公司從該糖廠(chǎng)進(jìn)貨1500包,試估計(jì)質(zhì)量在下列范圍內(nèi)的糖包數(shù)量. ①(100-1.2,100+1.2). ②(100-3×1.2,100+3×1.2).,【解題探究】1.題(1)中判斷上、下午生產(chǎn)情況是否正常的依據(jù)是什么? 2.題中如何估計(jì)質(zhì)量在所求范圍內(nèi)的糖包數(shù)量? 【探究提示】1.依據(jù)是3σ原則,即某產(chǎn)品的外徑是否落在區(qū)間(7.55,8.45)內(nèi). 2.先依據(jù)正態(tài)分布求所在區(qū)間對(duì)應(yīng)的概率,再計(jì)算所求范圍內(nèi)的糖包數(shù)量.,【自主解答】(1)選C.因?yàn)榱慵庵睆溅巍玁(8.0,0.152), 根據(jù)3σ原則,所以在8+3×0.15=8.45(mm)與8-3×0.15 =7.55(mm)之外時(shí)為異常.因?yàn)樯稀⑾挛缟a(chǎn)的零件中各隨機(jī)取出一個(gè),測(cè)得其外直徑分別為7.9mm和7.5mm,7.57.55,所以下午生產(chǎn)的產(chǎn)品異常,故選C.,(2)由正態(tài)分布N(100,1.22),知 P(100-1.2X≤100+1.2)=0.6826, P(100-3×1.2X≤100+3×1.2)=0.9974. 所以①糖包質(zhì)量在(100-1.2,100+1.2)內(nèi)的包數(shù)為1500×0.6826≈1024. ②糖包質(zhì)量在(100-3×1.2,100+3×1.2)內(nèi)的包數(shù)為1500×0.9974≈1496.,【方法技巧】正態(tài)曲線(xiàn)的應(yīng)用及求解策略 解答此類(lèi)題目的關(guān)鍵在于將待求的問(wèn)題向(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)這三個(gè)區(qū)間進(jìn)行轉(zhuǎn)化,然后利用上述區(qū)間的概率求出相應(yīng)概率,在此過(guò)程中依然會(huì)用到化歸思想及數(shù)形結(jié)合思想.,【變式訓(xùn)練】(2014·漳州高二檢測(cè))某城市從南郊某地乘公共汽車(chē)前往北區(qū)火車(chē)站有兩條路線(xiàn)可走,第一條路線(xiàn)穿過(guò)市區(qū),路線(xiàn)較短,但交通擁擠,所需時(shí)間(單位為分)服從正態(tài)分布N(50,102);第二條路線(xiàn)沿環(huán)城公路走,路程較長(zhǎng),但交通阻塞少,所需時(shí)間服從正態(tài)分布N(60,42). (1)若只有70分鐘可用,問(wèn)應(yīng)走哪條路線(xiàn)? (2)若只有65分鐘可用,又應(yīng)走哪條路線(xiàn)?,【解析】由已知X～N(50,102),Y～N(60,42).由正態(tài)分布的2σ區(qū)間性質(zhì) P(μ-2σξ≤μ+2σ)=0.9544. 然后解決問(wèn)題的關(guān)鍵是:根據(jù)上述性質(zhì)得到如下結(jié)果: 對(duì)X:μ=50;σ=10,2σ區(qū)間為(30,70), 對(duì)Y:μ=60;σ=4,2σ區(qū)間為(52,68),要盡量保證用時(shí)在X?(30,70),Y?(52,68)才能保證有95%以上的概率準(zhǔn)時(shí)到達(dá).,(1)時(shí)間只有70分鐘可用,應(yīng)該走第二條路線(xiàn). (2)時(shí)間只有65分鐘可用,兩種方案都能保證有95%以上的概率準(zhǔn)時(shí)到達(dá),但是走市區(qū)平均用時(shí)比路線(xiàn)二少了10分鐘,應(yīng)該走第一條路線(xiàn).,【補(bǔ)償訓(xùn)練】某人乘車(chē)從A地到B地,所需時(shí)間X(分鐘)服從正態(tài)分布N(30,100),求此人在40分鐘至50分鐘到達(dá)目的地的概率. 【解析】由μ=30,σ=10,P(μ-σX≤μ+σ)=0.6826知此人在20分鐘至40分鐘到達(dá)目的地的概率為0.6826,又由于P(μ-2σX≤μ+2σ)=0.9544,所以此人在10分鐘至20分鐘或40分鐘至50分鐘到達(dá)目的地的概率為0.9544-0.6826=0.2718,由正態(tài)曲線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)x=30對(duì)稱(chēng)得此人在40分鐘至50分鐘到達(dá)目的地的概率為0.1359.,【易錯(cuò)誤區(qū)】正態(tài)曲線(xiàn)的特征認(rèn)識(shí)不清導(dǎo)致錯(cuò)誤 【典例】已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2,σ2),且P(ξ4)=0.8,則P(0ξ2)= ( ) A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2,【解析】選C.如圖,正態(tài)分布的密度函數(shù)圖象關(guān)于直線(xiàn)x=2對(duì)稱(chēng),所以P(ξ2)=0.5, 并且P(0ξ2)=P(2ξ4), 則P(0ξ2)=P(ξ4)-P(ξ2)=0.8-0.5=0.3.,【常見(jiàn)誤區(qū)】,【防范措施】 掌握正態(tài)曲線(xiàn)的特征 正態(tài)曲線(xiàn)是“鐘”形的對(duì)稱(chēng)曲線(xiàn),對(duì)稱(chēng)軸兩側(cè)的面積相等,即概率相等,如本例中(0,2)與(2,4)為對(duì)稱(chēng)區(qū)間,對(duì)應(yīng)概率相等.,【類(lèi)題試解】已知X～N(0,σ2)且P(-2≤X2) 為 ( ) A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 【解析】選A.因?yàn)閄～N(0,σ2)且P(-2≤X2)= ×(1-0.8)=0.1.故選A.,