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高中數(shù)學(xué) 必修１,3.1.2 指數(shù)函數(shù)（3）,情境問(wèn)題：,一般地，函數(shù)y=ax(a＞0且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)．,指數(shù)函數(shù)的定義：,某工廠今年的年產(chǎn)值為a萬(wàn)元，為了增加產(chǎn)值，今年增加了新產(chǎn)品的研發(fā)，預(yù)計(jì)從明年起，年產(chǎn)值遞增15%，則明年的產(chǎn)值為 萬(wàn) 元，后年的產(chǎn)值為 萬(wàn)元．若設(shè)x年后實(shí)現(xiàn)產(chǎn)值翻兩番，則 得方程 ．,a(1＋15%),a(1＋15%)2,(1＋15%)x＝2,數(shù)學(xué)建構(gòu)：,在實(shí)際問(wèn)題中，經(jīng)常會(huì)遇到類似的指數(shù)函數(shù)模型，設(shè)原有基數(shù)(如今年的產(chǎn)值)為m，平均增長(zhǎng)率為p，則對(duì)于經(jīng)過(guò)時(shí)間x后的數(shù)值y要以用y＝m(1＋p)x表示．我們把形如y＝kax(k?R，a＞0且a≠1)的函數(shù)稱為指數(shù)型函數(shù)，這是非常有用的函數(shù)模型．,2．遞增的常見(jiàn)模型為y＝(1＋p%)x(p＞0)； 遞減的常見(jiàn)模型則為y＝(1－p%)x(p＞0)．,1．指數(shù)型函數(shù)，常見(jiàn)于工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)，環(huán)境治理以及投資理財(cái)?shù)龋?數(shù)學(xué)應(yīng)用：,例1．某種放射性物質(zhì)不斷變化為其他，每經(jīng)過(guò)一年，這種物質(zhì)剩留的質(zhì)量是原來(lái)的84%，寫出這種物質(zhì)的剩留量關(guān)于時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式．,截止到1999年底我國(guó)人口約13億．如果今后能將人口平均增長(zhǎng)率控制在1%，那么經(jīng)過(guò)20年后，我國(guó)人口約為多少(精確到億)？,變式：,數(shù)學(xué)建構(gòu)：,對(duì)于實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題還有兩點(diǎn)必需注意： 一是精確度的問(wèn)題，同學(xué)們?cè)诮鉀Q問(wèn)題時(shí)往往忽視題中的精確度； 二是定義域，在實(shí)際問(wèn)題中函數(shù)的定義域必需使實(shí)際問(wèn)題有意義．,數(shù)學(xué)應(yīng)用：,1．一電子元件去年生產(chǎn)某種規(guī)格的電子元件a個(gè)，計(jì)劃從今年開(kāi)始的m年內(nèi)，每年生產(chǎn)此種規(guī)格電子元件的產(chǎn)量比上一年增長(zhǎng)p%，試寫出此種規(guī)格電子元件的年產(chǎn)量隨年數(shù)變化的函數(shù)關(guān)系式；,2．一電子元件去年生產(chǎn)某種規(guī)格的電子元件的成本是a元/個(gè)，計(jì)劃從今年開(kāi)始的m年內(nèi)，每年生產(chǎn)此種規(guī)格電子元件的單件成本比上一年下降p%，試寫出次種規(guī)格電子元件的單件成本隨年數(shù)變化的函數(shù)關(guān)系式．,練習(xí)：,數(shù)學(xué)應(yīng)用：,例2．某醫(yī)藥研究所開(kāi)發(fā)一種新藥，據(jù)檢測(cè)：如果成人按規(guī)定的劑量服用，服藥后每毫升血液中的含藥量為y(微克)與服藥后的時(shí)間t(小時(shí))之間近似滿足如圖曲線，其中OA是線段，曲線ABC是函數(shù)y＝kat的圖象．試根據(jù)圖象， 求出函數(shù)y＝ f(t)的解析式．,數(shù)學(xué)應(yīng)用：,例3．某位公民按定期三年，年利率為2.70%的方式把5000元存入銀行.問(wèn)三年后這位公民所得利息是多少元？(利息＝本金×存期×利率),變式：某種儲(chǔ)蓄按復(fù)利計(jì)算利息，若本金為a元，每期利率為r，設(shè)存期是 x，本利和(本金加上利息)為y元． (1)寫出本利和y隨存期x變化的函數(shù)關(guān)系式； (2)如果存入本金1000元，每期利率為2.25%，試計(jì)算5期后的本利和． (復(fù)利是把前一期的利息和本金加在一起作本金，再計(jì)算下一期利息的一 種計(jì)算利息方法),數(shù)學(xué)建構(gòu)：,單利與復(fù)利：,銀行存款往往采用單利計(jì)算方式，而分期付款、按揭則采用復(fù)利計(jì)算．這是因?yàn)樵诖婵钌?，為了減少儲(chǔ)戶的重復(fù)操作給銀行帶來(lái)的工作壓力，同時(shí)也是為了提高儲(chǔ)戶的長(zhǎng)期存款的積極性，往往定期現(xiàn)年的利息比再次存取定期一年的收益要高；而在分期付款的過(guò)程中，由于每次存入的現(xiàn)金存期不一樣，故需要采用復(fù)利計(jì)算方式．比如“本金為a元，每期還b元，每期利率為r”，第一期還款時(shí)本息和應(yīng)為a(1＋p%)，還款后余額為a(1＋p%)－b，第二次還款時(shí)本息為(a(1＋p%)－b)(1＋p%)，再還款后余額為(a(1＋p%)－b)(1＋p%)－b＝a(1＋p%)2－b(1＋p%)－b，……，第n次還款后余額為a(1＋p%)n－b(1＋p%)n-1－b(1＋p%)n-2－……－b．這就是復(fù)利計(jì)算依據(jù)．,數(shù)學(xué)應(yīng)用：,例4．2000~2002年，我國(guó)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值年平均增長(zhǎng)7.8%．按照這個(gè)增長(zhǎng)速度，畫出從2000年開(kāi)始我國(guó)年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值隨時(shí)間變化的圖象，并通過(guò)圖象觀察到2010年我國(guó)年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值約為2000年的多少倍(結(jié)果取整數(shù))．,數(shù)學(xué)應(yīng)用：,3．某種細(xì)菌在培養(yǎng)過(guò)程中，每20分鐘分裂一次(一個(gè)分裂為兩個(gè))，經(jīng)3小時(shí)后，這種細(xì)菌可由1個(gè)分裂成個(gè) ．,4．我國(guó)工農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值計(jì)劃從2000年到2020年翻兩番，設(shè)平均每年增長(zhǎng)率為x，則得方程 ．,練習(xí)：,小結(jié)：,1．指數(shù)模型的建立； 2．單利與復(fù)利； 3．用圖象近似求解．,作業(yè)：,P71習(xí)題10，16題．,