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第4講 推理與證明,專題四 數(shù)列、推理與證明,,,,,高考真題體驗(yàn),熱點(diǎn)分類突破,高考押題精練,欄目索引,,,高考真題體驗(yàn),,,1,2,3,4,1.(2015·湖北)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定義集合AB＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，則AB中元素的個(gè)數(shù)為( ) A.77 B.49 C.45 D.30,1,2,3,4,解析 如圖，集合A表示如圖所示的所有 圓點(diǎn)“ ”，,集合B表示如圖所示的所有圓點(diǎn)“ ”＋ 所有圓點(diǎn)“ ”，,集合AB顯然是集合{(x，y)||x|≤3，|y|≤3，x，y∈Z}中除去四個(gè)點(diǎn){(－3，－3)，(－3,3)，(3，－3)，(3,3)}之外的所有整點(diǎn)(即橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn))，,1,2,3,4,即集合AB表示如圖所示的所有圓點(diǎn)“ ”＋所有圓點(diǎn)“ ”＋所有圓點(diǎn)“ ”，共45個(gè).,故AB中元素的個(gè)數(shù)為45.故選C.,答案 C,1,2,3,4,2.(2014·北京)學(xué)生的語文、數(shù)學(xué)成績(jī)均被評(píng)定為三個(gè)等級(jí)，依次為“優(yōu)秀”“合格”“不合格”.若學(xué)生甲的語文、數(shù)學(xué)成績(jī)都不低于學(xué)生乙，且其中至少有一門成績(jī)高于乙，則稱“學(xué)生甲比學(xué)生乙成績(jī)好”.如果一組學(xué)生中沒有哪位學(xué)生比另一位學(xué)生成績(jī)好，并且不存在語文成績(jī)相同、數(shù)學(xué)成績(jī)也相同的兩位學(xué)生，那么這組學(xué)生最多有( ) A.2人 B.3人 C.4人 D.5人,1,2,3,4,解析 假設(shè)滿足條件的學(xué)生有4位及4位以上， 設(shè)其中4位同學(xué)分別為甲、乙、丙、丁， 則4位同學(xué)中必有兩個(gè)人語文成績(jī)一樣，且這兩個(gè)人數(shù)學(xué)成績(jī)不一樣(或4位同學(xué)中必有兩個(gè)數(shù)學(xué)成績(jī)一樣，且這兩個(gè)人語文成績(jī)不一樣)， 那么這兩個(gè)人中一個(gè)人的成績(jī)比另一個(gè)人好， 故滿足條件的學(xué)生不能超過3人.,1,2,3,4,當(dāng)有3位學(xué)生時(shí)，用A，B，C表示“優(yōu)秀”“合格”“不合格”， 則滿足題意的有AC，CA，BB，所以最多有3人. 答案 B,1,2,3,4,3.(2015·山東)觀察下列各式：,……,1,2,3,4,解析 觀察每行等式的特點(diǎn)，每行等式的右端都是冪的形式， 底數(shù)均為4，指數(shù)與等式左端最后一個(gè)組合數(shù)的上標(biāo)相等，,4n－1,1,2,3,4,4.(2015·福建)一個(gè)二元碼是由0和1組成的數(shù)字串x1x2…xn(n∈N*)，其中xk(k＝1,2，…，n)稱為第k位碼元.二元碼是通信中常用的碼，但在通信過程中有時(shí)會(huì)發(fā)生碼元錯(cuò)誤(即碼元由0變?yōu)?，或者由1變?yōu)?). 已知某種二元碼x1x2…x7的碼元滿足如下校驗(yàn)方程組：,x4x5x6x7＝0， x2x3x6x7＝0， x1x3x5x7＝0，,,1,2,3,4,其中運(yùn)算定義為00＝0,01＝1,10＝1,11＝0. 現(xiàn)已知一個(gè)這種二元碼在通信過程中僅在第k位發(fā)生碼元錯(cuò)誤后變成了1101101,那么利用上述校驗(yàn)方程組可判定k等于_____.,解析 (ⅰ)x4x5x6x7＝1101＝1， (ⅱ)x2x3x6x7＝1001＝0； (ⅲ)x1x3x5x7＝1011＝1. 由(ⅰ)(ⅲ)知x5，x7有一個(gè)錯(cuò)誤，(ⅱ)中沒有錯(cuò)誤， ∴x5錯(cuò)誤，故k等于5.,5,考情考向分析,,,,1.以數(shù)表、數(shù)陣、圖形為背景與數(shù)列、周期性等知識(shí)相結(jié)合考查歸納推理和類比推理，多以小題形式出現(xiàn). 2.直接證明和間接證明的考查主要作為證明和推理數(shù)學(xué)命題的方法，常與函數(shù)、數(shù)列及不等式等綜合命題.,熱點(diǎn)一 歸納推理,熱點(diǎn)分類突破,,,,(1)歸納推理是由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理. (2)歸納推理的思維過程如下：,正方形數(shù) N(n,4)＝n2，,六邊形數(shù) N(n,6)＝2n2－n ……,可以推測(cè)N(n，k)的表達(dá)式，由此計(jì)算N(10,24)＝__________.,解析 由N(n,4)＝n2，N(n,6)＝2n2－n，,1 000,思維升華,,歸納遞推思想在解決問題時(shí)，從特殊情況入手，通過觀察、分析、概括，猜想出一般性結(jié)論，然后予以證明，這一數(shù)學(xué)思想方法在解決探索性問題、存在性問題或與正整數(shù)有關(guān)的命題時(shí)有著廣泛的應(yīng)用.其思維模式是“觀察—?dú)w納—猜想—證明”，解題的關(guān)鍵在于正確的歸納猜想.,,,跟蹤演練1 (1)有菱形紋的正六邊形地面磚，按下圖的規(guī)律拼成若干個(gè)圖案，則第六個(gè)圖案中有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)是( ),A.26 B.31 C.32 D.36,解析 有菱形紋的正六邊形個(gè)數(shù)如下表：,由表可以看出有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)依次組成一個(gè)以6為首項(xiàng)，以5為公差的等差數(shù)列， 所以第六個(gè)圖案中有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)是6＋5×(6－1)＝31. 故選B.,答案 B,(2)兩旅客坐火車外出旅游，希望座位連在一起，且有一個(gè)靠窗，已知火車上的座位的排法如圖所示，則下列座位號(hào)碼符合要求的應(yīng)當(dāng)是( ),A.48,49 B.62,63 C.75,76 D.84,85,解析 由已知圖形中座位的排列順序， 可得：被5除余1的數(shù)和能被5整除的座位號(hào)臨窗， 由于兩旅客希望座位連在一起，且有一個(gè)靠窗， 分析答案中的4組座位號(hào)，只有D符合條件. 答案 D,熱點(diǎn)二 類比推理,(1)類比推理是由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理. (2)類比推理的思維過程如下：,解析 平面幾何中，圓的面積與圓的半徑的平方成正比， 而在空間幾何中，球的體積與半徑的立方成正比，,解析 ch x ch y－sh x sh y,故知ch(x＋y)＝ch xch y＋sh xsh y， 或sh(x－y)＝sh xch y－ch xsh y， 或sh(x＋y)＝sh xch y＋ch xsh y. 答案 ch(x－y)＝ch xch y－sh xsh y,思維升華,,,,類比推理是合情推理中的一類重要推理，強(qiáng)調(diào)的是兩類事物之間的相似性，有共同要素是產(chǎn)生類比遷移的客觀因素，類比可以由概念性質(zhì)上的相似性引起，如等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比，也可以由解題方法上的類似引起.當(dāng)然首先是在某些方面有一定的共性，才能有方法上的類比.,解析 由{an}為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，,又正項(xiàng)數(shù)列{cn}為等比數(shù)列，設(shè)公比為q，,答案 D,解析 設(shè)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P0(x0，y0)，,因?yàn)镻0(x0，y0)在這兩條切線上，,熱點(diǎn)三 直接證明和間接證明,直接證明的常用方法有綜合法和分析法，綜合法由因?qū)Ч治龇▌t是執(zhí)果索因，反證法是反設(shè)結(jié)論導(dǎo)出矛盾的證明方法.,(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；,由anan＋10，知數(shù)列{an}的項(xiàng)正負(fù)相間出現(xiàn)，,(2)證明：數(shù)列{bn}中的任意三項(xiàng)不可能成等差數(shù)列. 證明 假設(shè)存在某三項(xiàng)成等差數(shù)列， 不妨設(shè)為bm、bn、bp，其中m、n、p是互不相等的正整數(shù)， 可設(shè)mnp，,那么只能有2bn＝bm＋bp，,上式不可能成立，則只能有n－m＝1，,所以假設(shè)不成立，那么數(shù)列{bn}中的任意三項(xiàng)不可能成等差數(shù)列.,思維升華,,,,(1)有關(guān)否定性結(jié)論的證明常用反證法或舉出一個(gè)結(jié)論不成立的例子即可. (2)綜合法和分析法是直接證明常用的兩種方法，我們常用分析法尋找解決問題的突破口，然后用綜合法來寫出證明過程，有時(shí)候，分析法和綜合法交替使用.,跟蹤演練3 (1)已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.,只需證c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)， 需證c2＋a2＝ac＋b2， 又△ABC三內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列， 故B＝60°， 由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2accos 60°， 即b2＝c2＋a2－ac， 故c2＋a2＝ac＋b2成立. 于是原等式成立.,證明 假設(shè)x0是f(x)＝0的負(fù)根，,熱點(diǎn)四 數(shù)學(xué)歸納法,數(shù)學(xué)歸納法證明的步驟 (1)證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(n0∈N*)時(shí)結(jié)論成立. (2)假設(shè)n＝k(k∈N*，且k≥n0)時(shí)結(jié)論成立，證明n＝k＋1時(shí)結(jié)論也成立. 由(1)(2)可知，對(duì)任意n≥n0，且n∈N*時(shí)，結(jié)論都成立.,(1)當(dāng)n＝1,2,3時(shí)，試比較f(n)與g(n)的大??；,解 當(dāng)n＝1時(shí)，f(1)＝1，g(1)＝1，所以f(1)＝g(1)；,(2)猜想f(n)與g(n)的大小關(guān)系，并給出證明. 解 由(1)，猜想f(n)≤g(n)，下面用數(shù)學(xué)歸納法給出證明. ①當(dāng)n＝1,2,3時(shí)，不等式顯然成立， ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥3)時(shí)不等式成立，即,那么，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，,由①②可知，對(duì)一切n∈N*，都有f(n)≤g(n)成立.,思維升華,,,,用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的等式命題時(shí)，關(guān)鍵在于弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式的兩邊各有多少項(xiàng)，由n＝k到n＝k＋1時(shí)，等式的兩邊會(huì)增加多少項(xiàng)，增加怎樣的項(xiàng).難點(diǎn)在于尋求等式在n＝k和n＝k＋1時(shí)的聯(lián)系.,(1)寫出a2，a3，a4的值，并猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；,(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論. 證明 ①易知，n＝1時(shí)，猜想正確.,這說明，n＝k＋1時(shí)猜想正確.,高考押題精練,,1,2,3,,1.把正整數(shù)按一定的規(guī)則排成了如圖所示的三角形數(shù)表.設(shè)aij(i，j∈N*)是位于這個(gè)三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第i行、從左往右數(shù)第j個(gè)數(shù)，如a42＝8.若aij＝2 011，則i與j的和為________.,,1,2,3,押題依據(jù) 數(shù)表是高考命題的重點(diǎn)，本題以教材中的楊輝三角為背景，考查觀察、分析、歸納猜想的能力.,解析 由三角形數(shù)表的排列規(guī)律知，aij＝2 011， 則i必為奇數(shù). 設(shè)i＝2m＋1.在第i行上面，必有m行為奇數(shù)行，m行為偶數(shù)行. 在前2m行中，共有奇數(shù)m2個(gè). 最大的奇數(shù)為1＋(m2－1)×2＝2m2－1，,1,2,3,由2m2－12 011得m的最大值31. ∴i＝63. 最大的奇數(shù)為1 921，在第63行中，首項(xiàng)為1 923， 即1 923＋(j－1)×2＝2 011， ∴j＝45，故i＋j＝108. 答案 108,1,2,3,,押題依據(jù) 根據(jù)n個(gè)等式或不等式歸納猜想一般規(guī)律的式子是近幾年高考熱點(diǎn)，相對(duì)而言，歸納推理在高考中出現(xiàn)的機(jī)率較大.,1,2,3,解析 已知所給不等式的左邊第一個(gè)式子都是x，不同之處在于第二個(gè)式子，,顯然式子中的分子與分母是對(duì)應(yīng)的，分母為xn，分子是nn，,1,2,3,顯然不等式右邊的式子為n＋1，,,1,2,3,3.設(shè)數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列，Sn是它的前n項(xiàng)和，證明：數(shù)列{Sn}不是等比數(shù)列.,押題依據(jù) 反證法是一種重要的證明方法，對(duì)含“至多”“至少”等詞語的命題用反證法十分有效，近幾年高考時(shí)有涉及.,1,2,3,因?yàn)閍1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2， 即q＝0，這與q≠0矛盾， 故{Sn}不是等比數(shù)列.,