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,解排列組合問題的常用策略,,基 本 原 理,組合,排列,排列數公式,組合數公式,組合數性質,應 用 問 題,知識結構網絡圖：,,,,,,,,,,,,,,,,,兩個原理的區(qū)別與聯系：,做一件事或完成一項工作的方法數,直接（分類）完成,間接（分步驟）完成,做一件事，完成它可以有n類辦法，第i類辦法中有mi種不同的方法，那么完成這件事共有 N=m1+m2+m3+…mn 種不同的方法,做一件事，完成它可以有n個步驟，做第i步中有mi種不同的方法，那么完成這件事共有 N=m1·m2·m3·…·mn 種不同的方法.,排列和組合的區(qū)別和聯系：,從n個不同元素中取出m個元 素，按一定的順序排成一列,從n個不同元素中取出m個元 素，把它并成一組,所有排列的的個數,所有組合的個數,一.特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略,例1.由0,1,2,3,4,5可以組成多少個沒有重復數字 五位奇數.,解:由于末位和首位有特殊要求,應該優(yōu)先安 排這兩個位置.,先排末位共有___,然后排首位共有___,最后排其它位置共有___,,,,,位置分析法和元素分析法是解決排列組合問題最常用也是最基本的方法,若以元素分析為主,需先安排特殊元素,再處理其它元素.若以位置分析為主,需先滿足特殊位置的要求,再處理其它位置。,7種不同的花種在排成一列的花盆里,若兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆里，問有多少不同的種法？,練習1,解一：分兩步完成；,第一步選兩葵花之外的花占據兩端和中間的位置,第二步排其余的位置：,二.相鄰元素捆綁策略,例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相鄰且丙丁相 鄰, 共有多少種不同的排法.,,,,解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成 一個復合元素，同時丙丁也看成一個 復合元素，再與其它元素進行排列， 同時對相鄰元素內部進行自排。,要求某幾個元素必須排在一起的問題,可以用捆綁法來解決問題.即將需要相鄰的元素合并為一個元素,再與其它元素一起作排列,同時要注意合并元素內部也必須排列.,七個家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，現將這七個小孩站成一排照相留念。若三個女孩要站在一起，四個男孩也要站在一起，共有多少種不同的排法？,練習2,三.不相鄰問題插空策略,例3.一個晚會的節(jié)目有4個舞蹈,2個相聲,3個 獨唱,舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場,則節(jié)目的出 場順序有多少種？,解:分兩步進行第一步排2個相聲和3個獨唱共 有 種，,,,,,,,元素相離問題,可先把沒有位置要求的元素進行排隊,再把不相鄰元素插入中間和兩端.,馬路上有編號為1、2、3…9的九盞路燈，為節(jié)約用電，現要求把其中3盞燈關掉，但不能關掉相鄰的2盞或3盞，也不能關掉兩端的路燈，則滿足條件的關燈方法有多少種。,練習3,,四.定序問題縮倍(空位.插入)策略,例4.7人排隊,其中甲乙丙3人順序一定共有多 多少種不同的排法.,解:,(縮倍法)對于某幾個元素順序一定的排列 問題,可先把這幾個元素與其他元素一起 進行排列,然后用總排列數除以這幾個元 素之間的全排列數,則共有不同排法種數 是：,（空位法）設想有7把椅子讓除甲乙丙以外 的四人就坐共有 種方法，其余的三個 位置甲乙丙共有 種坐法，則共有 種 方法,1,思考:能否讓甲乙丙先坐?,（插入法)先排甲乙丙三個人,共有1種排法,再 把其余4四人依次插入共有 方法,4*5*6*7,,定序問題可以用縮倍法，還可轉化為插 空模型處理,練習題4,10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要 求從左至右身高逐漸增加，共有多少種排法？,五.多排問題直排策略,例5.8人排成前后兩排,每排4人,其中甲乙在 前排,丁在后排,共有多少排法,解:8人排前后兩排,相當于8人坐8把椅子,可以 把椅子排成一排.,一般地,元素分成多排的排列問題,可歸結為一排考慮,再分段研究.,10名學生分坐兩行，要求面對面坐下，但其中甲乙兩位同學不可相鄰也不可面對面，有多少種坐法？,練習題5,共有,(1)甲在兩端：,(2)甲不在兩端：,六.排列組合混合問題先選后排策略,例6.有5個不同的小球,裝入4個不同的盒內, 每盒至少裝一個球,共有多少不同的裝 法.,解:第一步從5個球中選出2個組成復合元共 有__種方法.再把5個元素(包含一個復合 元素)裝入4個不同的盒內有_____種方法.,根據分步計數原理裝球的方法共有_____,,解決排列組合混合問題,先選后排是最基本 的指導思想.,練習題6,某種產品有4只次品和6只正品，每只均不 同且可區(qū)分，今每次取出一只測試，直到 4只次品全部測出為止，則最后一只次品恰 好在第五次測試中被發(fā)現的不同情況有多少種？,,,七.相同元素分配問題隔板策略,例7.有10個三好學生名額，分給7個班，每 班至少一個,有多少種分配方案？,解：因為10個名額沒有差別，把它們排成 一排。相鄰名額之間形成９個空隙。,在９個空檔中選６個位置插個隔板， 可把名額分成７份，對應地分給７個 班級，每一種插板方法對應一種分法 共有___________種分法。,將n個相同的元素分成m份（n，m為正整數）,每份至少一個元素,可以用m-1塊隔板，插入n個元素排成一排的n-1個空隙中，所有分法數為,練習題7,有編號為1、2、3的3個盒子和10個相同的小球，現把這10個小球全部裝入3個盒子中，使得每個盒子所裝球數不小于盒子的編號數，這種裝法共有多少種?,,八.正難則反間接法,,例8. 四面體的頂點和各棱中點共10個點， 從中取4個不共面的點，不同的取法有 多少種？,取出的4點不共面情形復雜，故采用間接法。取出的4點共面有三類：,（1）過四面體的一個面有 種；,（2）過四面體的一條棱上的三個點和對棱 的中點的平面有6種；,（3）過四面體的四條棱的中點且與另兩條棱平 行的平面有3種；,,故取4個不共面的點有,以一個正方體的頂點為頂點，能組成多少個不同的四面體？,,練習8,解排列組合題的常用方法,6.排列組合混合題先選后排法,1.特殊元素優(yōu)先考慮,2.不相鄰問題插空法,3.相鄰問題捆綁法,4. 定序問題縮倍法,5.多排問題直排法,7.相同元素分配問題隔板法,8.正難則反間接法,練習1.,（1）6本不同的書分給5名同學每 人一本，有多少種不同分法？,（2）5本相同的書分給6名同學每人至 多一本，有多少種不同的分法？,（3）6本不同的書全部分給5名 同學每人至少一本，有多 少種不同的分法？,1.分配問題,捆綁法,第2課時 排列組合綜合應用,練習1,（5）6本不同的書分給甲、乙、丙3名同學 每人兩本，有多少種不同分法？,（4）6本不同的書分給3名同學，甲1本、乙2 本、丙3本，有多少種不同的分法？,分配問題,捆綁法,練習1,（6）8本不同的書分給3名同學，其中1名同 學2本、另兩人3本，有多少種不同分法？,分配問題,練習1,（7）7名志愿者中安排6人在周六、周日兩天參加社會公益活動，若每天安排3人，者有多少種不同的安排方法？,分配問題,練習1：,（8）將5名實習教師分配到高一年級的3個班實習，每個班至少1名，最多2名，則不同的分配方案有多少？,分配問題,練習2：,（1）7個相同的小球，任意放入4個不同的盒子中，共有多少種不同的方法？,分配問題,解：相當于將7個小球用3塊隔板分成4份,,,,,,,,,,,隔板法,,,,,,,,,,,練習2：,（2）7個相同的小球，任意放入4個不同的盒子中，每個盒子至少有1個小球的不同放法有多少種？,分配問題,解：將7個小球用3塊隔板分 成4份但盒子又不能空,,,,,,,,,,,隔板法,練習3：四面體的一個頂點是A，從其它頂點和各棱中點中取3個點，使他們和點A在同一個平面上，則共有多少種不同的取法？,2.組圖形問題,練習4：用正方體的8個頂點共可以組成多少個不同的四面體？,2.組圖形問題,練習5：10雙不相同的鞋子混裝在一只口袋中，從中任取4只，試求符合下列各種情形的方法數？,先成雙后成單,（1）4只鞋子恰成兩雙；,(2)4只鞋子沒有成雙；,(3)4只鞋子恰有2只成雙；,練習6：8名外交工作者，其中3人只會英語，2人只會日語，3人既會英語又會日語，現從則8人中選3個會英語，3個會日語的人去完成一項任務，有多少種不同的選法？,3.選人問題,,例10：給下面的5個行政區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不同色，現有4種顏色可供選擇，問共有多少種不同的涂色方案？,4.涂色問題,練習7：用4種顏色給下面的5個行政區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不同色，問共有多少種不同的涂色方案？,練習8：6本不同的書分給甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少種不同的分法？,5.綜合問題,,練習9：從5男3女中選5人擔任5門不同學科的課代表，求符合下列條件的不同選法？,5綜合問題,,（1）有女生擔人數必須少于男生；,（2）男生只能擔任數學化學物理課代表；,練習10：3張卡片正反面分別寫著數字0與1、3與4、5與6，將三張卡片并排組成三位數，共可以組成多少個不同的三位數？,5綜合問題,,