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2019-2020年高三上學(xué)期12月月考試題 數(shù)學(xué) 含答案 第I卷(必做題 共160分) 一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．把答案填在題中橫線上． 1．已知復(fù)數(shù)，則z的實(shí)部為＿＿▲＿＿． 2．如圖是一次青年歌手大獎(jiǎng)賽上七位評(píng)委為甲、乙兩名選手打出的分?jǐn)?shù)的莖葉圖(其中m為數(shù)字0～9中的一個(gè))，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，甲、乙兩名選手得分的平均數(shù)分別為，則的大小關(guān)系是______▲_______(填，，) 3．命題是 ▲ 命題 （選填“真”或“假”）． 4．若長(zhǎng)方體相鄰三個(gè)側(cè)面的面積分別是，，，則該長(zhǎng)方體的體積是 ▲ ． 5．已知圓：，若直線與圓相切，且切點(diǎn)在第四象限，則＿▲＿＿＿． 6．已知為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則曲線在處的切 線斜率為 ▲ ． 7．函數(shù)的圖像可由函數(shù)的圖像至少向右平移___▲______個(gè)單位長(zhǎng)度得到． 8．已知直線平面且，，給出下列命題：①若，則；②若，則；③若，則；④若，則.其中正確的命題是_____▲_____________． 9．已知點(diǎn)滿足則點(diǎn)構(gòu)成的圖形的面積為＿＿▲＿＿． 10．以拋物線的焦點(diǎn)為圓心，且與雙曲線的漸近線相切的圓的方程是 ___▲___． 11．已知△ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，則的值為 ▲ ． 12．對(duì)任意，函數(shù)滿足，設(shè) ，數(shù)列的前15項(xiàng)的和為，則＿▲＿＿＿＿． 13．若實(shí)數(shù)，滿足，則當(dāng)取得最大值時(shí)，的值為 ▲ ． 14．已知等差數(shù)列首項(xiàng)為，公差為，等比數(shù)列首項(xiàng)為，公比為，其中都是大于1的正整數(shù)，且，對(duì)于任意的，總存在，使得成立，則___▲___. 二、解答題：(本大題6小題，共90分) 15．(本題滿分14分) 在銳角中,角、、所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為、、向量,且. (1)求角的大小; (2)若面積為,,求的值. 16．(本題滿分14分)在四棱錐中，底面是正方形，為的中點(diǎn)． (1)求證：∥平面； (2)若在線段上是否存在點(diǎn)，使？ 若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說明理由． 17．(本題滿分14分) 如圖所示，把一些長(zhǎng)度均為4米（PA＋PB＝4米）的鐵管折彎后當(dāng)作骨架制作“人字形”帳蓬，根據(jù)人們的生活體驗(yàn)知道：人在帳蓬里“舒適感”k與三角形的底邊長(zhǎng)和底邊上的高度有關(guān)，設(shè)AB為，AB邊上的高PH為y，則，若k越大，則“舒適感”越好。 （1）求“舒適感” k的取值范圍； （2）已知M是線段AB的中點(diǎn)，H在線段AB上，設(shè)MH＝t，當(dāng)人在帳蓬里的“舒適感”k達(dá)到最大值時(shí)，求y關(guān)于自變量t的函數(shù)解析式；并求出y的最大值（請(qǐng)說明詳細(xì)理由）。 18．(本題滿分16分) 平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是、．且，以為圓心以為半徑的圓與以為圓心為半徑的圓相交，且交點(diǎn)在橢圓上． (1)求橢圓的方程； (2) 若為橢圓上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)的直線 交橢圓：于 ，兩點(diǎn)，射線交橢圓于點(diǎn)． (i)若，求的值； (ii)求四邊形面積的最大值． 19．(本題滿分16分) 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且對(duì)于任意,總有. (1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式; (2)在與之間插入個(gè)數(shù),使這個(gè)數(shù)組成等差數(shù)列,當(dāng)公差滿足時(shí),求的值并求這個(gè)等差數(shù)列所有項(xiàng)的和; (3)記,如果(),問是否存在正實(shí)數(shù),使得數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列?若存在,求出的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由. 20．(本小題滿分16分) 設(shè)函數(shù). （1）對(duì)于任意，使得恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍； （2）若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 第Ⅱ卷(附加題 共40分) 21． 已知矩陣，點(diǎn)，．求線段在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下得到線段的長(zhǎng)度． 22.在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，若以直角坐標(biāo)系的點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正方向?yàn)闃O軸，且長(zhǎng)度單位相同，建立極坐標(biāo)系，得直線的極坐標(biāo)方程為．求直線與曲線交點(diǎn)的極坐標(biāo)． 23. 如圖，在三棱錐中，平面， ，，.點(diǎn)D在線段AB上，AD＝2DB. ⑴ 求異面直線與PD所成角的余弦值； ⑵ 求直線與平面所成角的余弦值． 24．設(shè)某校新、老校區(qū)之間開車單程所需時(shí)間為，只與道路暢通狀況有關(guān)，對(duì)其容量為200的樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下： （分鐘） 25 30 35 40 頻數(shù)（次） 40 60 80 20 （1）求的分布列與數(shù)學(xué)期望； （2）唐教授駕車從老校區(qū)出發(fā)，前往新校區(qū)做一個(gè)50分鐘的講座，結(jié)束后立即返回老校區(qū)，求唐教授從離開老校區(qū)到返回老校區(qū)共用時(shí)間不超過120分鐘的概率． 12月考參考答案：第I卷(必做題) 一、1．0 2．．3．真 4． 5．． 6． 7．． 8．①④ 9．2. 10． 11． 12．． 13． 14．102 二、15．解：(1) 為銳角三角形, , ， (2)由,得, 代入得,得 由題設(shè),得 聯(lián)立, 解得或 16．(本題滿分14分)解：(I)連接． 由是正方形可知，點(diǎn)為中點(diǎn)． 又為的中點(diǎn)，所以∥ 又， 所以∥平面 …………………6分 (2)在線段上存在點(diǎn)，使． 理由如下： 如圖，取中點(diǎn)，連接． 在四棱錐中，， 所以 由 所以 由是正方形可知， 又 所以 而 所以，，且 因?yàn)椋?所以 故在線段上存在點(diǎn)，使． 由為中點(diǎn)，得…………………14分 17．解析：(1) …………………6分 (2) ， …………………14分 18. 解：(I)由題意知，即，又因?yàn)?，所以，，所以橢圓的方程為． …………………4分 (2)(i)設(shè)，，由題意知．由，知，又因?yàn)?，所?．………………8分 (ii)設(shè)，，將代 入橢圓的方程，可得，由可得． ① 又，，所以． 因?yàn)橹本€與軸交點(diǎn)坐標(biāo)為，所以 ． 將代入橢圓的方程可得，由可得 ②．令，則由①及②知，因此，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．由( i )知 ，…………………16分 19．解：(1)當(dāng)時(shí),由已知,得. 當(dāng)時(shí),由,,兩式相減得, 即,所以是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列所以() ……………….. 4分 (2)由題意,,故,即, ………………..6分 因?yàn)?故,令， ，所以單調(diào)增，又，故, 所以. 所以所得等差數(shù)列首項(xiàng)為,公差為,共有項(xiàng)，所以這個(gè)等差數(shù)列所有項(xiàng)的和 ，所以,, ………………..10分 (3)由(1)知,所以 ………………..12分 由題意,,即對(duì)任意成立, 所以對(duì)任意成立 因?yàn)樵谏鲜菃握{(diào)遞增的,所以的最小值為. 所以.由得的取值范圍是. 所以,當(dāng)時(shí),數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列. ………………..16分 20．（Ⅰ） 因?yàn)椋?，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，， 所以在上單調(diào)遞減，又，所以當(dāng)時(shí)， 即當(dāng)時(shí)，，所以………………………6分 所以在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，……………8分 由題意知，在上恒成立，所以……………………8分 （2）由得對(duì)恒成立， ① 時(shí)，不等式顯然成立……………………9分 ②當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋匀?，則有，從而此時(shí)不等式不恒成立………………………………………………………11分 ③當(dāng)時(shí)，由(Ⅱ)可知在上單調(diào)遞減，而， ∴， ∴成立……………………………13分 ④當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則 ，∴不成立，……………………15分 綜上所述，當(dāng)或時(shí)，有對(duì)恒成立。…16分 第Ⅱ卷 21． 解析：設(shè)，則， 所以， 解得，即． 由，，知點(diǎn)， 所以． 22.解析：直線的直角坐標(biāo)方程為，故直線的傾斜角為． 曲線的普通方程為 , 由 , 解得. 所以交點(diǎn)的極坐標(biāo)為. 23．證明：如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，，， ，D(1,2,0)． ⑴ ，． 設(shè)BC與PD所成的角為，則 , ∴異面直線與PD所成角的余弦值為．…… 5分 ⑵ ，．設(shè)平面的一個(gè)法 向量為，則由，，得．可取，則．設(shè)直線與平面所成角為，則，∴直線與平面所成角的余弦值為． ……10分 24．（I）由統(tǒng)計(jì)結(jié)果可得T的頻率分步為 （分鐘） 25 30 35 40 頻率 0.2 0.3 0.4 0.1 以頻率估計(jì)概率得T的分布列為 25 30 35 40 0.2 0.3 0.4 0.1 從而 （分鐘）……4分 (II)設(shè)分別表示往、返所需時(shí)間，的取值相互獨(dú)立，且與T的分布列相同.設(shè)事件A表示“唐教授共用時(shí)間不超過120分鐘”，由于講座時(shí)間為50分鐘，所以事件A對(duì)應(yīng)于“唐教授在途中的時(shí)間不超過70分鐘”. 解法一： . 解法二： 故. 答：略。……10分