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2019-2020年高三上學期第四次月考 數學（文） 含答案 一、 選擇題（本大題共12小題，每小題5分） 1．命題“若a2＋b2＝0，則a＝0且b＝0”的逆否命題是(　　) A．若a2＋b2≠0，則a≠0且b≠0 B．若a2＋b2≠0，則a≠0或b≠0 C．若a＝0且b＝0，則a2＋b2≠0 D．若a≠0或b≠0，則a2＋b2≠0 2．等比數列x,3x＋3,6x＋6，…的第四項等于(　　) A．－24 B．0 C．12 D．24 3．設直線m與平面α相交但不垂直，則下列說法中正確的是(　　) A．在平面α內有且只有一條直線與直線m垂直 B．過直線m有且只有一個平面與平面α垂直 C．與直線m垂直的直線不可能與平面α平行 D．與直線m平行的平面不可能與平面α垂直 4．在銳角△ABC中，角A，B所對的邊長分別為a，b.若2asin B＝b，則角A等于(　　) A. B. C. D. 5．已知向量a、b的夾角為45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，則|b|＝(　　) A．3 B．2 C. D．1 6．設z＝x＋y，其中實數x，y滿足若z的最大值為6，則z的最小值為(　　) A．－3 B．－2 C．－1 D．0 7．一幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(　　) 　　　　　　　　　　 A．200＋9π B．200＋18π C．140＋9π D．140＋18π 8．已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為，則雙曲線的漸近線方程為(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±2x D．y＝±x 9．已知函數f(x)是定義在R上的奇函數，當x＜0時，f(x)＝ex(x＋1)，給出下列命題： ①當x＞0時，f(x)＝ex(1－x)； ②函數f(x)有兩個零點； ③f(x)＞0的解集為(－1, 0)∪(1，＋∞)； ④?x1，x2∈R，都有|f(x1)－f(x2)|＜2. 其中正確命題的個數是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 10．據市場調查，某種商品一年中12個月的價格與月份的關系可以近似地用函數 f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋7 (A＞0，ω＞0，|φ|＜)來表示(x為月份)，已知3月份達到最高價9萬元，7月份價格最低，為5萬元，則國慶節(jié)期間的價格約為(　　) A．4.2萬元 B．5.6萬元 C． 7萬元 D．8.4萬元 11．已知直線l過拋物線y2＝4x的焦點F，交拋物線于A、B兩點，且點A、B到y(tǒng)軸的距離分別為m，n，則m＋n＋2的最小值為(　　) A．4 B．6 C．4 D．6 12．已知橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦點為F(3,0)，過點F的直線交E于A，B兩點．若AB的中點坐標為(1，－1)，則E的方程為(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 二、填空題（本大題共4小題，每小題5分） 13．在等差數列{an}中，已知a3＋a8＝10，則3a5＋a7＝________. 14． 已知平面α、β和直線m，給出條件： ①m∥α；②m⊥α；③m?α；④α⊥β；⑤α∥β. (1)當滿足條件________時，有m∥β； (2)當滿足條件________時，有m⊥β.(填所選條件的序號) 15．已知a，b，c分別為△ABC的三個內角A，B，C的對邊，向量m＝(，－1)，n＝(cos A，sin A)．若m⊥n，且a cosC＋c cosA＝b sinB，則角C的大小為________． 16． 在平面直角坐標系xOy中，橢圓C的中心為原點，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率為.過F1的直線l交C于A，B兩點，且△ABF2的周長為16，那么C的方程為________． 三、解答題（解答應寫出文字說明、證明過程或求解演算步驟） 17．（本題滿分12分） 在公差為d的等差數列{an}中，已知a1＝10，且a1, 2a2＋2, 5a3成等比數列． (1)求d，an； (2)若d＜0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|. 18．（本題滿分12分） 如圖，三棱柱ABC－A1B1C1的側棱AA1⊥底面ABC，∠ACB＝90°，E是棱CC1的中點，F(xiàn)是AB的中點，AC＝BC＝1，AA1＝2. (1)求證：CF∥平面AB1E； (2)求三棱錐C－AB1E在底面AB1E上的高． 19．（本題滿分12分） 已知函數f(x)＝2sin(0≤x≤5)，點A、B分別是函數y＝f(x)圖象上的最高點和最低點． (1)求點A、B的坐標以及·的值； (2)設點A、B分別在角α、β的終邊上，求tan(α－2β)的值． 20．（本題滿分12分） 已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點為F，拋物線C與直線l1：y＝－x的一個交點的橫坐標為8. (1)求拋物線C的方程； (2)不過原點的直線l2與l1垂直，且與拋物線交于不同的兩點A、B，若線段AB的中點為P，且|OP|＝|PB|，求△FAB的面積． 21．（本題滿分12分） 已知函數f(x)＝ax2－ln x，x∈(0，e]，其中e是自然對數的底數，a∈R. (1)當a＝1時，求函數f(x)的單調區(qū)間與極值； (2)是否存在實數a，使f(x)的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由． 請考生在第22、23、24題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分，解答時請寫清題號. 22.（本小題滿分10分）選修4—1：幾何證明選講 如圖所示,銳角三角形ABC的內心為I,過點A作直線BI的垂線,垂足為H,點E為圓I與邊CA的切點. (1)求證A,I,H,E四點共圓; (2)若∠C=50°,求∠IEH的度數. 23．（本小題滿分10分）選修4－4：極坐標系與參數方程 在直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為(t為參數)． 在極坐標系(與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸)中，圓C的方程為ρ＝2sin θ. (1)求圓C的直角坐標方程； (2)設圓C與直線l交于點A，B.若點P的坐標為(3，)，求|PA|＋|PB|. 24．（本小題滿分10分）選修4－5：不等式選講 若對任意x>0，≤a恒成立，求a的取值范圍． 銀川九中xx屆高三第五次模擬考試數學（文科）試卷參考答案 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D　 A B A A A A A B D C D 13. 20 ； 14. ③⑤ ， ②⑤ ； 15. ； 16. ?。? 試題解析： 1．D　“若a2＋b2＝0，則a＝0且b＝0”的逆否命題是“若a≠0或b≠0，則a2＋b2≠0”，故選D. 2．A　由題意知(3x＋3)2＝x(6x＋6)，即x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1(舍去)，所以等比數列的前3項是－3，－6，－12，則第四項為－24. 3．B　可以通過觀察正方體ABCD－A1B1C1D1進行判斷，取BC1為直線m，平面ABCD為平面α，由AB，CD均與m垂直知，選項A錯；由D1C1與m垂直且與α平行知，選項C錯；由平面ADD1A1與m平行且與α垂直知，選項D錯．故選B. 4．A　在△ABC中，a＝2Rsin A，b＝2Rsin B(R為△ABC的外接圓半徑)．∵2asin B＝b，∴2sin Asin B＝sin B. ∴sin A＝.又△ABC為銳角三角形，∴A＝. 5．A　因為a、b的夾角為45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，所以4a2－4a·b＋b2＝10，即|b|2－2|b|－6＝0，解得|b|＝3或|b|＝－(舍)，故選A. 6．A　由z＝x＋y得y＝－x＋z，作出表示的區(qū)域，如圖中陰影部分，平移直線y＝－x＋z，由圖象可知當直線經過C時，直線的縱截距最大，此時z＝6，由解得所以k＝3，故B(－6，3)，則zmin＝－6＋3＝－3，選A. 7．A　由三視圖可知該幾何體的下面是一個長方體，上面是半個圓柱組成的組合體．長方體的長、寬、高分別為10、4、5，半圓柱底面圓半徑為3，高為2，故組合體體積V＝10×4×5＋9π＝200＋9π. 8．A　由題意得，雙曲線的離心率e＝＝，故＝，故雙曲線的漸近線方程為y＝±x，選A. 9．B　 根據函數y＝f(x)是奇函數，當x＜0時，f(x)＝ex(x＋1)，可知x＞0時的解析式為f(x)＝－e－x(－x＋1)，①不正確；函數有三個零點，②不正確；命題③④成立．選B. 10．D　由題意得函數f(x)圖象的最高點為(3,9)，相鄰的最低點為(7,5)，則A＝＝2，＝7－3,，∴T＝8，又∵T＝，∴ω＝，∴f(x)＝2sin＋7， 把點(3,9)代入上式，得sin＝1， ∵|φ|＜，∴φ＝－，則f(x)＝2sin＋7， ∴當x＝10時，f(10)＝2sin＋7＝＋7≈8.4. 11．C　因為m＋n＋2＝(m＋1)＋(n＋1)表示點A、B到準線的距離之和，所以m＋n＋2表示焦點弦AB的長度，因為拋物線焦點弦的最小值是其通徑的長度，所以m＋n＋2的最小值為4. 12．D　設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 ①－②得＝－，∴＝－. ∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，∴kAB＝.而kAB＝＝，∴＝，∴a2＝2b2， ∴c2＝a2－b2＝b2＝9，∴b＝c＝3，a＝3，∴E的方程為＋＝1. 13．解析：方法一：a3＋a8＝2a1＋9d＝10,3a5＋a7＝4a1＋18d＝2(2a1＋9d)＝2×10＝20. 方法二：a3＋a8＝2a3＋5d＝10,3a5＋a7＝4a3＋10d＝2(2a3＋5d)＝2×10＝20. 答案：　20 14．解析：　由兩平面平行的性質，易知由③⑤?m∥β；由②⑤?m⊥β. 答案：?、邰荨、冖? 15．解析：　 ∵m⊥n，∴cos A－sin A＝0， ∴2sin＝0，∴A＝. 由余弦定理得，acos C＋ccos A＝a·＋c·＝b. 又∵acos C＋ccos A＝bsin B， ∴sin B＝1，∴B＝，∴C＝.答案：　 16．解析：　設橢圓方程為＋＝1(a＞b＞0)， 因為AB過F1且A，B在橢圓上，如圖， 則△ABF2的周長為|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，解得a＝4.又離心率e＝＝，故c＝2.所以b2＝a2－c2＝8，所以橢圓C的方程為＋＝1. 答案：?。? 17．解析：　(1)由題意得，a1·5a3＝(2a2＋2)2，由a1＝10，{an}為公差為d的等差數列得，d2－3d－4＝0，解得d＝－1或d＝4.所以an＝－n＋11(n∈N*)或an＝4n＋6(n∈N*)． (2)設數列{an}的前n項和為Sn. 因為d＜0，由(1)得d＝－1，an＝－n＋11， 所以當n≤11時，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝Sn＝－n2＋n； 當n≥12時，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝－Sn＋2S11＝n2－n＋110. 綜上所述，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝ 18．解析：　(1)證明：取AB1的中點G，連接EG，F(xiàn)G， ∵F、G分別是AB、AB1的中點，∴FG∥BB1，F(xiàn)G＝BB1. ∵E為側棱CC1的中點，∴FG∥EC，F(xiàn)G＝EC， ∴四邊形FGEC是平行四邊形，∴CF∥EG， ∵CF?平面AB1E，EG?平面AB1E，∴CF∥平面AB1E. (2)∵三棱柱ABC－A1B1C1的側棱AA1⊥底面ABC，∴BB1⊥平面ABC. 又AC?平面ABC，∴AC⊥BB1，∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC， ∵BB1∩BC＝B，∴AC⊥平面EB1C，∴AC⊥CB1， ∴VA－EB1C＝S△EB1C·AC＝××1＝. ∵AE＝EB1＝，AB1＝，∴S△AB1E＝， ∵VC－AB1E＝VA－EB1C，∴三棱錐C－AB1E在底面AB1E上的高為＝. 19．解析：　(1)∵0≤x≤5，∴≤＋≤，∴－≤sin≤1. 當＋＝，即x＝1時，sin＝1，f(x)取得最大值2； 當＋＝，即x＝5時，sin＝－，f(x)取得最小值－1. 因此，點A、B的坐標分別是A(1,2)、B(5，－1)．∴·＝1×5＋2×(－1)＝3. (2)∵點A(1,2)、B(5，－1)分別在角α、β的終邊上， ∴tan α＝2，tan β＝－， ∵tan 2β＝＝－，∴tan(α－2β)＝＝. 20．解析：　(1)易知直線與拋物線的交點坐標為(8，－8)，∴82＝2p×8，∴2p＝8，∴拋物線方程為y2＝8x. (2)直線l2與l1垂直， 故可設l2：x＝y(tǒng)＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直線l2與x軸的交點為M. 由得y2－8y－8m＝0， Δ＝64＋32m＞0，∴m＞－2. y1＋y2＝8，y1y2＝－8m，∴x1x2＝＝m2. 由題意可知OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝m2－8m＝0，∴m＝8或m＝0(舍)， ∴l(xiāng)2：x＝y(tǒng)＋8，M(8,0)， 故S△FAB＝S△FMB＋S△FMA＝·|FM|·|y1－y2| ＝3 ＝24. 21．解析：　(1)∵f(x)＝x2－ln x，f′(x)＝2x－＝，x∈(0，e]， 令f′(x)＞0，得＜x＜e， f′(x)＜0，得0＜x＜， ∴f(x)的單調增區(qū)間是，單調減區(qū)間為. ∴f(x)的極小值為f＝－ln＝＋ln 2.無極大值． (2)假設存在實數a，使f(x)＝ax2－ln x，x∈(0，e]有最小值3， f′(x)＝2ax－＝. ①當a≤0時，x∈(0，e]，所以f′(x)＜0，所以f(x)在(0，e]上單調遞減， ∴f(x)min＝f(e)＝ae2－1＝3，a＝(舍去)． ②當a＞0時，令f′(x)＝0，得x＝ ， (ⅰ)當0＜ ＜e，即a＞時，f(x)在上單調遞減， 在上單調遞增，∴f(x)min＝f＝－ln＝3，得a＝. (ⅱ)當≥e，即0＜a≤時，x∈(0，e]時，f′(x)＜0， 所以f(x)在(0，e]上單調遞減， ∴f(x)min＝f(e)＝ae2－1＝3，a＝(舍去)，此時f(x)無最小值． 綜上，存在實數a＝，使得當x∈(0，e]時，f(x)有最小值3. 22.解:(1)由圓I與AC相切于點E得IE⊥AC,結合HI⊥AH,得∠AEI=∠AHI=90°,所以A,I,H,E四點共圓. (2)由(1)知A,I,H,E四點共圓,所以∠IEH=∠HAI.由題意知∠HIA=∠ABI+∠BAI=∠ABC+∠BAC=(∠ABC+∠BAC)= (180°-∠C)=90°-∠C,結合IH⊥AH, 得∠HAI=90°-∠HIA=90°-(90°-∠C)=∠C,所以∠IEH=∠C.由∠C=50° 得∠IEH=25°. 23.解　法一　(1)由ρ＝2sin θ，得x2＋y2－2y＝0， 即x2＋(y－)2＝5. (2)將l的參數方程代入圓C的直角坐標方程，得2＋2＝5， 即t2－3t＋4＝0.由于Δ＝(3)2－4×4＝2>0， 故可設t1，t2是上述方程的兩實根，所以 又直線l過點P(3，)， 故由上式及t的幾何意義得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3. 法二　(1)同法一． (2)因為圓C的圓心為(0，)，半徑r＝，直線l的普通方程為： y＝－x＋3＋. 由得x2－3x＋2＝0. 解得：或不妨設A(1,2＋)，B(2,1＋)， 又點P的坐標為(3，)故|PA|＋|PB|＝＋＝3. 24.解　∵a≥＝對任意x>0恒成立，設u＝x＋＋3，∴只需a≥恒成立即可． ∵x>0，∴u≥5(當且僅當x＝1時取等號)． 由u≥5，知0<≤，∴a≥.