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2019-2020年高三下學(xué)期開學(xué)檢測(cè) 數(shù)學(xué)（文）試題 第Ⅰ卷 一、選擇題：本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。 1. 設(shè)集合，，若，則實(shí)數(shù)的值為（ ） A. －4 B. 4 C. －6 D. 6 2. 復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限為（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知平面向量，，與垂直，則是（ ） A. 1 B. 2 C. －2 D. －1 4. 若某空間幾何體的三視圖如下圖所示，則該幾何體的體積是（ ） A. B. C. 2 D. 6 5. 設(shè)直線與的方程分別為與，則“”是“”的（ ） A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件 C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件 6. 下列命題中（ ） ①三點(diǎn)確定一個(gè)平面； ②若一條直線垂直于平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，則該直線與平面垂直； ③同時(shí)垂直于一條直線的兩條直線平行； ④底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為的正四棱錐的表面積為12。 正確的個(gè)數(shù)為（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 設(shè)、是關(guān)于的方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么過(guò)兩點(diǎn)，的直線與圓的位置關(guān)系是（ ） A. 相切 B. 相離 C. 相交 D. 隨的變化而變化 8. 已知集合， 。若存在實(shí)數(shù)，使得成立，稱點(diǎn)為 “￡”點(diǎn)，則“￡”點(diǎn)在平面區(qū)域內(nèi)的個(gè)數(shù)是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 無(wú)數(shù)個(gè) 第Ⅱ卷 二、填空題：本大題共6個(gè)小題，每小題5分，共30分。 9. 雙曲線的離心率為 。 10. 若變量，滿足約束條件則的最大值為 。 11. 執(zhí)行下面的程序框圖，若輸入，則輸出的值為 。 12. 已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，那么滿足的正整數(shù) 。 13. 已知是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，它們的定義域均為，且它們?cè)谏系膱D像如圖所示，則不等式的解集是 。 14. 設(shè)函數(shù)，，，，則方程有 個(gè)實(shí)數(shù)根。 三、解答題：本大題共6個(gè)小題，共80分。解答題應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。 15. 已知函數(shù)。 （1）求函數(shù)的最小正周期； （2）若是的內(nèi)角的對(duì)邊，，，且是函數(shù)在上的最大值，求：角，角及邊的大小。 16. 如圖，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱底面，且，是側(cè)棱上的動(dòng)點(diǎn)。 （1）求四棱錐的體積； （2）如果是的中點(diǎn)，求證平面； （3）是否不論點(diǎn)在側(cè)棱的任何位置，都有？證明你的結(jié)論。 17. 已知甲袋中有1只白球，2只紅球；乙袋中有2只白球，2只紅球，現(xiàn)從兩袋中各取一球。 （1）兩球顏色相同的概率； （2）至少有一個(gè)白球的概率。 18. 已知函數(shù)，在點(diǎn)處的切線與直線平行。 （1）求函數(shù)的解析式； （2）求函數(shù)在上的最小值。 19. 橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別是，，過(guò)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，且，，成等差數(shù)列。 （1）求證：； （2）若直線的斜率為1，且點(diǎn)在橢圓C上，求橢圓C的方程。 20. 正數(shù)列的前項(xiàng)和滿足：，。 （1）求證：是一個(gè)定值； （2）若數(shù)列是一個(gè)單調(diào)遞增數(shù)列，求的取值范圍； （3）若是一個(gè)整數(shù)，求符合條件的自然數(shù)。參考答案 一、選擇題 1-5 BDDCB 6-8 BAA 二、填空題 9. 10. 11. 23 12. 2或5 13. 14. 三、解答題 15. 解：（1）， （2）∵.∴，∴的最大值為3。 ∴，∵為三角形內(nèi)角，∴ 又，得，∵，∴ 由，得，∴ 16. 解：（1）∵平面， ∴ 即四棱錐的體積為。 （2）連結(jié)交于，連結(jié)。 ∵四邊形是正方形，∴是的中點(diǎn)。 又∵是的中點(diǎn)，∴。 ∵平面，平面 ∴平面。 （3）不論點(diǎn)在何位置，都有。 證明如下：∵四邊形是正方形，∴。 ∵底面，且平面，∴。 又∵，∴平面。 ∵不論點(diǎn)在何位置，都有平面。 ∴不論點(diǎn)在何位置，都有。 17. 解：設(shè)甲袋中1只白球記為，2只紅球記為； 乙袋中2只白球記為，2只紅球記為。 所以“從兩袋中各取一球”包含基本事件 共有12種。 （1）設(shè)表示“從兩袋中各取一球，兩球顏色相同”，所以事件包含基本事件共有6種，所以。 （2）設(shè)表示“從兩袋中各取一球，至少有一個(gè)白球”，所以事件包含基本事件共有8種。所以。 18. 解：（1）因?yàn)?，所以? 因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線與直線平行， 所以切線的斜率。所以，即。所以。 （2）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域是，且， ①當(dāng)時(shí)，，所以在上是減函數(shù)。 ②當(dāng)時(shí)，令。 所以當(dāng)時(shí)，，在上是增函數(shù)。 當(dāng)時(shí)，，在上是增函數(shù)。 所以當(dāng)時(shí)，的遞減區(qū)間是； 當(dāng)時(shí)，的遞減區(qū)間是，的遞增區(qū)間是。 19. 解：（1）由題設(shè)，得， 由橢圓定義，所以，。 （2）由點(diǎn)在橢圓上，可設(shè)橢圓的方程為， 設(shè)，代入橢圓的方程，整理得 則 ， 于是有， 解得，故，橢圓的方程為。 20. （1）證明： ① ② ②－①： ③ 任意， ∴ （2）解：計(jì)算，∴ 根據(jù)數(shù)列是隔項(xiàng)成等差，寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)： 所以奇數(shù)項(xiàng)是遞增數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是遞增數(shù)列，整個(gè)數(shù)列成單調(diào)遞增的充要條件是 解得 （3）解： 是一個(gè)整數(shù)，所以一共4個(gè) 對(duì)一個(gè)得1分，合計(jì)4分 另解：