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2019-2020年高三第二次統(tǒng)練 文科數(shù)學(xué) 含解析 選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)）． 1.已知集合，則（ ） A． B． C． D． 【答案】A 因?yàn)?，所?選A. 2．復(fù)數(shù)（ ） A． B． C． D． 【答案】B ,選B. 3．從中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)，從中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)，則關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 有5種取法，有3種取法，所以共有15種結(jié)果。要使方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則有，即。若，則，此時(shí)。若，則，此時(shí)。若，則，此時(shí)。所以共有9種。所以關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根的概率是，選C. 4．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為（ ） 結(jié)束 開始 輸出 否 是 A． B． C． D． 【答案】A 第一次運(yùn)行，滿足條件循環(huán)。第二次運(yùn)行，滿足條件循環(huán)。第三次運(yùn)行，滿足條件循環(huán)。第四次運(yùn)行，滿足條件循環(huán)。此時(shí)不滿足條件，輸出，選A. 5.已知數(shù)列中，，等比數(shù)列的公比滿足且，則（ ） A． B． C． D． 【答案】B 因?yàn)?，，所以，所以，即是公比?的等比數(shù)列，所以，選B. 6．設(shè)變量滿足約束條件，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 設(shè)，則。做出可行域如圖，平移直線，由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，直線截距最大，此時(shí)z最小。當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，直線的截距最小，此時(shí)z最大。直線2x+y-4=0與x+2y-2=0交于點(diǎn)C（2，0），代入直線得。直線4x-y+1=0與2x+y-4=0交于點(diǎn)B.代入直線得。所以，即，即，所以的取值范圍是，選C. 7.已知正三角形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn) 是邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，且 ,則的最大值為（ ） A． B． C． D． 【答案】D ,，所以當(dāng)時(shí)，的最大值為，選D. 8.設(shè)，若直線與軸相交于點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，且坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為，則面積的最小值為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 由題意知。到直線的距離，即。因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)。此時(shí)面積的為，所以面積的最小值為3，選C. 二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分） 9.設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，則的面積 . 【答案】, 由得.所以.由正弦定理得，所以的面積為. 10.已知函數(shù)，若，則的最大值為________. 【答案】10 由得，即。又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)。所以。即的最大值為10. 11.以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名工人天加工的零件數(shù)，則甲組工人天每人加工零件的平均數(shù)為____________；若分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名工人，則這兩名工人加工零件的總數(shù)超過了的概率為________ 【答案】 組工人1天每人加工零件的平均數(shù)為。所有的基本事件共有4×4=16個(gè)，滿足這兩名工人加工零件的總數(shù)超過了38的基本事件有：（18，21），（19，21），（21，19），（18，21），（22，17），（22，19），（22，21），共有7個(gè)， 故這兩名工人加工零件的總數(shù)超過了38的概率為。 12.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，若該幾何體的表面積為 ，則.俯視圖 h 4 5 2 正（主）視圖 側(cè)（左）視圖 【答案】4 由三視圖可知該幾何體是一個(gè)底面是直角梯形的四棱柱，幾何體的表面積是：，即，解得。 13.已知雙曲線的離心率為，頂點(diǎn)與橢圓的焦點(diǎn)相同，那么雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_____；漸近線方程為_________. 【答案】， 橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以雙曲線的頂點(diǎn)為，即，又，所以，解得，所以。所以雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為。雙曲線的漸近線方程為。 14. 設(shè)函數(shù)，則滿足的的取值范圍是__________. 【答案】 當(dāng)時(shí)，由得，解得。當(dāng)時(shí)，由得，解得。綜上。所以滿足的的取值范圍是。 三、解答題（本大題共6小題，滿分80分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟） 15.（本小題滿分13分） 已知函數(shù). （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間. 16.（本小題滿分13分） 已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且. （Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）求數(shù)列的前項(xiàng)和公式. 17.（本小題滿分14分） 如圖，四棱柱中， 是上的點(diǎn)且為中邊上的高. （Ⅰ）求證：平面； （Ⅱ）求證：； （Ⅲ）線段上是否存在點(diǎn)，使平面？ 說(shuō)明理由. 18.（本小題滿分13分） 已知函數(shù)，其中為正實(shí)數(shù)，是的一個(gè)極值點(diǎn). （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最小值. 19．（本小題滿分14分） 已知橢圓的離心率為，，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且的周長(zhǎng)為。 （Ⅰ）求橢圓的方程 （Ⅱ）設(shè)直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求證：直線與圓相切. 20．（本小題滿分13分） 已知函數(shù)，，其中為常數(shù)，……，函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)處的切線為，函數(shù)的圖象與直線交點(diǎn)處的切線為，且。 （Ⅰ）若對(duì)任意的，不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍. （Ⅱ）對(duì)于函數(shù)和公共定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)。我們把 的值稱為兩函數(shù)在處的偏差。求證：函數(shù)和在其公共定義域的所有偏差都大于2. 順義區(qū)xx屆高三第二次統(tǒng)練 數(shù)學(xué)試卷（文史類） 一、 ABCA BCDC 二、 9． 10． 11． 12． 13． 14． 15．解（Ⅰ） ……………………………………………………………4分 （Ⅱ）由 故的定義域?yàn)? 因?yàn)? 所以的最小正周期為 因?yàn)楹瘮?shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為， 由 得 所以的單調(diào)遞減區(qū)間為 ……………………………………………………………13分 16．解（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為， 因?yàn)? 所以 解得 所以 ……………………………………………………………7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，令 則， 又 所以是以4為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列， 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為 則 ……………………………………………………………13分 17． （Ⅰ）證明：，且平面PCD，平面PCD，所以平面PDC ……………………………………………………………2分 （Ⅱ）證明：因?yàn)锳B平面PAD，且PH平面PAD ， 所以 又PH為中AD邊上的高 所以 又 所以平面 而平面 所以 ……………………………………………………………7分 （Ⅲ）解：線段上存在點(diǎn)，使平面 理由如下： 如圖，分別取的中點(diǎn)G、Ｅ 　　　　　則 　　　　　由 　　　　　所以 　　　　　所以為平行四邊形，故 　　　　　因?yàn)锳B平面PAD，所以 因此， 因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，且 所以 因此 又 所以平面 ……………………………………………………………14分 18．解： （Ⅰ）因?yàn)槭呛瘮?shù)的一個(gè)極值點(diǎn)， 所以 因此， 解得 經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，是的一個(gè)極值點(diǎn)，故所求的值為. ……………………………………………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知， 令，得 與的變化情況如下： + 0 - 0 + 所以，的單調(diào)遞增區(qū)間是 單調(diào)遞減區(qū)間是 當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減， 在上單調(diào)遞增 所以在上的最小值為 當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增， 所以在上的最小值為 ……………………………………………………………13分 19．解（Ⅰ）由已知得，且 解得 又 所以橢圓的方程為..............................................................4分 （Ⅱ）證明：有題意可知，直線不過坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)的坐標(biāo)分別為 （?。┊?dāng)直線軸時(shí)，直線的方程為且 則 解得 故直線的方程為 因此，點(diǎn)到直線的距離為 又圓的圓心為，半徑 所以直線與圓相切................................................9分 （ⅱ）當(dāng)直線不垂直于軸時(shí)，設(shè)直線的方程為 由 得 故 即……………………① 又圓的圓心為，半徑 圓心到直線的距離為 ……………② 將①式帶入②式得 所以 因此，直線與圓相切.......................................................................14分 20．解（Ⅰ）函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為， 又 函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)為， 又 由題意可知， 又，所以........................................................................3分 不等式可化為 即 令，則， 又時(shí)，， 故 在上是減函數(shù) 即在上是減函數(shù) 因此，在對(duì)任意的，不等式成立， 只需 所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.....................................................8分 （Ⅱ）證明：和的公共定義域?yàn)?，由（Ⅰ）可知? 令，則， 在上是增函數(shù) 故，即 ………………① 令，則， 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，， 有最大值，因此……………② 由①②得，即 又由①得 由②得 故函數(shù)和在其公共定義域的所有偏差都大于2............13分