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2019-2020 年高三考前適應(yīng)性訓(xùn)練 數(shù)學(xué)理試題 一、本大題共 8小題，每小題 5分，共 40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目 要求的一項。 1．若復(fù)數(shù)（）為純虛數(shù)，則等于（ ） A．0 B．1 C．-1 D．0 或 1 2． 已知某個幾何體的三視圖如下圖，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸（單位：cm） ，可得這個幾何體的 體積是（ ） A．cm 3 B．cm 3 C． cm3 D．2 cm3 3．已知函數(shù)則=( ) A． B． C．- D． 4． 如圖, 若程序框圖輸出的S是126, 則判斷框①中應(yīng)為 （ ） A． B． C． D． 5．已知正項數(shù)列中， ， ， ，則等于（ ） A．16 B．8 C． D．4 6．從 1,2,3,4,5 中任取 2 個不同的數(shù)，事件 A 為“取 到的 2 個數(shù)之和為偶數(shù)” ，事件 B 為“取到的 2 個 數(shù)均為 偶數(shù)” ，則 P(B|A)等于（ ） A． B． C． D． 14 18 25 12 7．已知正實數(shù),滿足不等式,則函數(shù)的圖象可能為（ ） 8．已知點、 ，是直線上任意一點，以 A、B 為焦點的橢圓過點 P．記橢圓離心率關(guān)于的函數(shù)為， 那么下列結(jié)論正確的是 （ ） A．與一一對應(yīng) B．函數(shù)是增函數(shù) C．函數(shù)無最小值，有最大值 D．函數(shù)有最小值，無最大值 二、填空題：本大題共 6小題，每小題 5分，共 30分。 9．某校高中部有三個年級，其中高三有學(xué)生人，現(xiàn)采用分層抽樣法抽取一個容量為的樣 本，已知在高一年級抽取了人，高二年級抽取了人，則高中 部共有學(xué)生____人． 10．如圖，切圓于點，割線經(jīng)過圓，弦于點，已知圓的 · P C B A D EO 半徑為， ，則________________. 11．曲線對稱的曲線的極坐標(biāo)方程為 ． 12.如圖，矩形內(nèi)的陰影部分是由曲線及直線與軸圍成，向矩形內(nèi)隨機 投擲一點，若落在陰影部分的概率為，則的值是 . 13．已知不等式組表示的平面區(qū)域的面積為，點，則 的最大值為 . 14．若點集， ，則點集所表示的區(qū)域的面積為_____；點集? ?121212(,)|,,(),()QxyxyxyAyB???? 所表示的區(qū)域的面積為___________ ． 三、解答題：本大題共 6小題，共 80分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。 15. （本小題滿分 13分）函數(shù)， （Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期； （Ⅱ）記的內(nèi)角 A,B,C的對邊長分別為，若，求的值. 16． （本題滿分 14分）如圖，在四棱錐 P—ABCD中，側(cè)面 PAD是正三角形，且垂直于底面 ABCD，底面 ABC是邊長為 2的菱形，∠BAD=60°，M 為 PC的中點. （Ⅰ）求證：PA//平面 BDM； （Ⅱ）在 AD上確定一點，使得面面，并加以證明； （III）求直線 AC與平面 ADM所成角的正弦值. 17． （本小題滿分 14 分）某中學(xué)在高二開設(shè)了 A，B ，C，D 共 4 門選修課，每個學(xué)生必須且只需 選修 1 門選修課，對于該年級的甲、乙、丙 3 名 學(xué)生。 （Ⅰ）求這 3 名學(xué)生選擇的選修課互不相同的概 率； （Ⅱ）求恰有 2 門選修課沒有被這 3 名學(xué)生選擇 的概率； （III）求 A 選修課被這 3 名學(xué)生選擇的人數(shù)的數(shù)學(xué)期望. 18. (本小題滿分 13分)函數(shù),其中為常數(shù), 且. （I）若曲線在點（ 1，）處的切線與直線垂直，求的值； （II）若函數(shù)在區(qū)間[1，2]上的最小值為，求的值. 19.（本小題滿分 13分）已知橢圓：的上頂點為，兩個焦點為、 ，為正三角形且周長為 6. （Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （Ⅱ）已知圓:，若直線與橢圓只有一個公共點，且直線與圓相切于點；求的最大值． 20． （本小題共13 分）將這個數(shù)隨機排成一列，得到的一列數(shù)稱為的一個排列. 定義為排列的波動強度. （Ⅰ）當(dāng)時，寫出排列的所有可能情況及所對應(yīng)的波動強度； （Ⅱ）當(dāng)時，求的最大值，給出對應(yīng)的一個排列； （Ⅲ）當(dāng)時，在一個排列中交換相鄰兩數(shù)的位置稱為一次調(diào)整，若要求每次調(diào)整時波動強度 不增加，問對任意排列，是否一定可以經(jīng)過有限次調(diào)整使其波動強度降為 9；若可以，給出 調(diào)整方案，若不可以，請給出一個反例并加以說明. 適應(yīng)性練習(xí)參考答案 一、選擇題 （1）B （2）B （3）A （4）B （5）D （6）A （7）B （8）C 二、填空題 9． 3700 10． 11． 12． 13． 6 14． ； 三、解答題 15. （本小題滿分 13分）已知函數(shù)， （Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期； （Ⅱ）記的內(nèi)角 A,B,C的對邊長分別為，若，求的值。 解（Ⅰ） )2cos1()6sin2co6s2(inxxx????? 所以函數(shù)的最小正周期為。 （Ⅱ）由得,即 又因為,所以 所以,即. 因為 所以由正弦定理,得 故 當(dāng) 2232???cbaAC， 從 而時 ， ? 當(dāng) 16B， 從 而， 又時 ， 故的值為 1或 2. 16． （本題滿分 14分）如圖，在四棱錐 P—ABCD中，側(cè)面 PAD是正三角形，且垂直于底面 ABCD，底面 ABC是邊長為 2的菱形，∠BAD=60°，M 為 PC的中點. （Ⅰ）求證：PA//平面 BDM； （Ⅱ）在 AD上確定一點，使得面面，并加以證明； （III）求直線 AC與平面 ADM所成角的正弦值. 【解析】 （1）證明：如圖連接 AC、OM，因為 ABCD為菱形，所以點 O為 AC的中點，又 M為 PC的中點，所以 在中， ，平面 BDM 所以 PA//平面 BDM； （Ⅱ）當(dāng)為 AD中點時 故面 從而面面； (III) PADBC???正 三 角 形 平 面 平 面 ， 建 立 如 圖 的 空 間 坐 標(biāo) 系 ： 則 A(1,0,0),D(-1,0,0), 3(0,3),(2,0)(1)2M??， ， ， ， ， . o 3(3,0),(2,0)().21002,1; sin.4ACADMMnxynADMACxyC?????????????????????， ， ，設(shè) 平 面 的 法 向 量 為 ， 則 且 ，設(shè) 直 線 和 平 面 所 成 角 為 ， 則 17． （本小題滿分 14 分）某中學(xué)在高二開設(shè)了 A，B，C，D 共 4 門選修課，每個學(xué)生必須且 只需選修 1 門選修課，對于該年級的甲、乙、丙 3 名學(xué)生。 （I）求這 3 名學(xué)生選擇的選修課互不相同的概率； （II）求恰有 2 門選修課沒有被這 3 名學(xué)生選擇的概率； （III）求 A 選修課被這 3 名學(xué)生選擇的人數(shù)的數(shù)學(xué)期望。 解析：(Ⅰ)3 名學(xué)生選擇了 3 門不同的選修課的概率為 (Ⅱ) 恰有 2 門選修課這 3 名學(xué)生都沒選擇的概率為 (Ⅲ) 設(shè) A 選修課被這 3 名學(xué)生選擇的人數(shù)為，則＝0,1,2,3 P(＝0) ＝ P(＝1)＝ P(＝2) ＝ P(＝3)＝ 的分布列是 18. (本小題滿分 13分)已知函數(shù),其中為常數(shù), 且. （I）若曲線在點（ 1，）處的切線與直線垂直，，求的值； （II）若函數(shù)在區(qū)間[1，2]上的最小值為，求的值. 解： ()22()'()xaxaf????? （I）因為曲線在點（ 1，）處的切線與直線垂直，， 所以，即 (II)當(dāng)時，在（1，2）上恒成立， 這時在[1，2]上為增函數(shù) 當(dāng)時，由得， 對于有在[1，a]上為減函數(shù)， 對于有在[a ， 2]上為增函數(shù)， 當(dāng)時，在（1，2）上恒成立， 這時在[1，2]上為減函數(shù)， 0 1 2 3 P . 綜上，①當(dāng)時， ②當(dāng)時，，令，得 ③當(dāng)時， 綜上， 19.（本小題滿分 13分）已知橢圓：的上頂點為，兩個焦點為、 ，為正三角形且周長為 6. （Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （Ⅱ）已知圓:，若直線與橢圓只有一個公共點，且直線與圓相切于點；求的最大值． 解：（Ⅰ）解：由題設(shè)得 解得： ，故的方程為. （Ⅱ）直線的斜率顯然存在，設(shè)直線的方程為， 由直線與圓相切，得① 由 01248)43(142 2 ??????????tkxtkxy ， 因為直線與橢圓相切，所以， 得②， 所以. 由，可得 2222222 34341|||| rkrxryxONMMM ??????????? ------------③ 由①②④，將④代入③得， 當(dāng)且僅當(dāng) 所以 20． （本小題共13 分）將這個數(shù)隨機排成一列，得到的一列數(shù)稱為的一個排列. 定義為排列的波動強度. （Ⅰ）當(dāng)時，寫出排列的所有可能情況及所對應(yīng)的波動強度； （Ⅱ）當(dāng)時，求的最大值，并指出所對應(yīng)的一個排列； （Ⅲ）當(dāng)時，在一個排列中交換相鄰兩數(shù)的位置稱為一次調(diào)整，若要求每次調(diào)整時波動強度 不增加，問對任意排列，是否一定可以經(jīng)過有限次調(diào)整使其波動強度降為 9；若可以，給出 調(diào)整方案，若不可以，請給出一個反例并加以說明. 解：（Ⅰ）時，排列的所有可能為；；；；；. ；；； ；；. （Ⅱ） 上式轉(zhuǎn)化為， 在上述個中，有個選正號，個選負(fù)號，其中出現(xiàn)一次，各出現(xiàn)兩次. 所以可以表示為個數(shù)的和減去個數(shù)的和的形式， 若使最大，應(yīng)使第一個和最大，第二個和最小. 所以最大為： . (109876)(12345)9?????? 所對應(yīng)的一個排列為：.（其他正確的排列同等給分） （Ⅲ）不可以. 例如排列，除調(diào)整外，其它調(diào)整都將使波動強度增加，調(diào)整波動強度不變. 所以只能將排列調(diào)整為排列. 對于排列，仍然是除調(diào)整外，其它調(diào)整都將使波動強度增加，所以仍只能調(diào)整兩個數(shù)字. 如此不斷循環(huán)下去，不可能經(jīng)過有限次調(diào)整使其波動強度降為.