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2019-2020年高三數(shù)學(xué)第一次（12月）診斷聯(lián)考試題 文（含解析） 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1．設(shè)集合，集合，則（ ） A． B． C． D． 2．i是虛數(shù)單位，=（ ） A.1+2i B.﹣1﹣2i C.1﹣2i D.﹣1+2i 3．等差數(shù)列中，，，則的值為（ ） A．14 B．18 C． 21 D．27 4．為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)（ ） A. 向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B. 向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 C. 向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度 D. 向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度 5．一個(gè)幾何體的三視圖是一個(gè)正方形，一個(gè)矩形，一個(gè)半圓，尺寸大小如圖所示，則該幾何體的表面積是（ ） A. B. C. D. 6．設(shè)、是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，下列命題正確的是（ ） A．∥，∥且∥，則∥ B．⊥，⊥且⊥，則⊥ C．⊥，n，⊥．則⊥ D．，，∥，∥，則∥ 7．已知是內(nèi)的一點(diǎn)，且，，若，，的面積分別為，則的最小值為（ ） A. B. C. D. 8．函數(shù)的大致圖像是（ ） 9．口袋內(nèi)裝有一些大小相同的紅球、白球和黒球，從中摸出個(gè)球，摸出紅球的概率是，摸出白球的概率是，那么摸出黒球的概率是（ ） A. B. C. D. 10．某程序框圖如圖所示，則輸出的n值是( ) A．21 B．22 C．23 D．24 11．已知二次曲線=1，則當(dāng)時(shí)，該曲線的離心率的取值范圍是 （ ） A． B． C． D． 12．給出定義：若（其中m為整數(shù)），則m叫做離實(shí)數(shù)x最近的整數(shù)，記作{x}，即 在此基礎(chǔ)上給出下列關(guān)于函數(shù)的四個(gè)命題： ①；②；③；④的定義域是R，值域是. 則其中真命題的序號(hào)是 （ ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 第II卷（非選擇題共90分） 二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分，把答案填在答題卡的相應(yīng)位置. 13．已知函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 _______ _____． 14．過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作一條直線交拋物線于兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則等于 . 15．設(shè)為單位向量，①若為平面內(nèi)的某個(gè)向量，則＝||·；②若與平行，則＝||·；③若與平行且||＝1，則＝.上述命題中，假命題個(gè)數(shù)是________． 16．已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_______． 三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟． 17．（本大題12分） 已知數(shù)列與，若且對(duì)任意正整數(shù)滿足 數(shù)列的前項(xiàng)和． （I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （II）求數(shù)列的前項(xiàng)和 18．（本大題12分） 在長(zhǎng)方體中，，過(guò)、、三點(diǎn)的平面截去長(zhǎng)方體的一個(gè)角后，得到如圖所示的幾何體，且這個(gè)幾何體的體積為． （I）求棱的長(zhǎng)； （II）若的中點(diǎn)為，求異面直線與所成角的余弦值. 19．（本大題12分） 某小組共有、、、、五位同學(xué)，他們的身高（單位:米）以及體重指 標(biāo)（單位：千克/米2）如下表所示： 身高 體重指標(biāo) （I）從該小組身高低于的同學(xué)中任選人，求選到的人身高都在以下的概率； （II）從該小組同學(xué)中任選人，求選到的人的身高都在以上且體重指標(biāo)都在中的概率． 20．（本大題12分） 已知橢圓：，離心率為，焦點(diǎn)過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且△的周長(zhǎng)為4. (I) 求橢圓方程; (II) 與y軸不重合的直線與y軸交于點(diǎn)P(0,m)(m0),與橢圓C交于相異兩點(diǎn)A,B且.若,求m的取值范圍。 21．（本大題12分） 已知函數(shù)，曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)， 且在點(diǎn)處的切線為. （I）求、的值； （II）若存在實(shí)數(shù)，使得時(shí)，恒成立，求的取值范圍. 請(qǐng)考生在第22、23、24三題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分.答時(shí)用2B鉛筆在答題卡上把所選題目的題號(hào)涂黑. 22．（本小題滿分10分） 如圖，AB是⊙O的直徑，C，F(xiàn)為⊙O上的點(diǎn)，CA是∠BAF的角平分線，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AF交AF的延長(zhǎng)線于D點(diǎn)，CM⊥AB，垂足為點(diǎn)M. （I）求證：DC是⊙O的切線； （II）求證：AM·MB=DF·DA. 23. （本小題滿分10分）選修4-4參數(shù)方程和極坐標(biāo) 極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系有相同的長(zhǎng)度單位，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸.已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的極坐標(biāo)方程為. （I）求的直角坐標(biāo)方程； （II）設(shè)直線與曲線交于兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng). 24．（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講 已知函數(shù) （I）若，解不等式； （II）如果，求的取值范圍． 張掖市xx年度高三第一次診斷考試 數(shù)學(xué)（文科）答案 1． 【解析】 試題分析：方程解得，則，，. 考點(diǎn)：集合的運(yùn)算. 2．D 【解析】 試題分析：復(fù)數(shù)的分子、分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)，化簡(jiǎn)即可． 解：， 故選D． 3．A． 【解析】 試題分析：∵等差數(shù)列，，，∴，∴， ，∴． 考點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式． 4．A 【解析】 試題分析：，所以應(yīng)該向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，選A. 考點(diǎn)：函數(shù)圖象的變換. 5．B 【解析】 試題分析：由三視圖可知：原幾何體為圓柱的一半，（沿中軸線切開(kāi)）由題意可知，圓柱的高為2，底面圓的半徑為1，故其表面積為故選：B. 考點(diǎn)：由三視圖求面積、體積． 6．B 【解析】 試題分析：對(duì)于，直線可能平行、相交、異面，不對(duì)；對(duì)于，由面面垂直性質(zhì)得正確；對(duì)于沒(méi)有內(nèi)，不對(duì)；對(duì)于，沒(méi)有說(shuō)明是兩條相交直線，不對(duì)，故答案為B. 考點(diǎn)：空間中直線與直線、平面與平面的位置關(guān)系. 7．B 解： ， =，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立取最值 考點(diǎn)：向量數(shù)量積及均值不等式 8．B 解析：因?yàn)椋院瘮?shù)在上單調(diào)遞增，故可排除C選項(xiàng)；又因?yàn)闀r(shí)，，故可排除A選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，，故此時(shí)函數(shù)的圖像在直線的上方，故D錯(cuò)誤，B正確． 考點(diǎn)：函數(shù)的圖像． 9． C 解析： 10. C 【解析】 試題分析：程序在執(zhí)行過(guò)程中的值依次為：；；；，程序結(jié)束，輸出． 考點(diǎn)：程序框圖． 11．C 【解析】 試題分析：由題意可知：二次曲線為雙曲線，且，所以，因?yàn)椋裕赃xC． 考點(diǎn)：雙曲線性質(zhì)的應(yīng)用． 12．B 解析：因?yàn)楣拭}1正確 二、填空題 13． 14． 解析：設(shè)，又拋物線的準(zhǔn)線方程為，焦點(diǎn)，則根據(jù)拋物線的定義可知,所以. 考點(diǎn)：1.拋物線的定義；2.直線與拋物線的位置關(guān)系. 15．3 解析:向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0模相同，但方向不一定相同，故①是假命題；若a與a0平行，則a與a0方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時(shí)a＝－|a|a0，故②、③也是假命題，填3 16．. 解析：函數(shù)與的圖象，如圖： 由圖可以看出，函數(shù)的零點(diǎn)有個(gè). 考點(diǎn)：分段函數(shù)，函數(shù)的零點(diǎn)，函數(shù)的圖象. 三、解答題 17．1．（1），；（2） 【解析】 試題分析：（1）給出與的關(guān)系，求，常用思路：一是利用轉(zhuǎn)化為的遞推關(guān)系，再求其通項(xiàng)公式；二是轉(zhuǎn)化為的遞推關(guān)系，先求出與的關(guān)系，再求；（2）觀測(cè)數(shù)列的特點(diǎn)形式，看使用什么方法求和．使用裂項(xiàng)法求和時(shí)，要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫(xiě)未被消去的項(xiàng)，未被消去的項(xiàng)有前后對(duì)稱的特點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源和目的．（3）在做題時(shí)注意觀察式子特點(diǎn)選擇有關(guān)公式和性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，這樣給做題帶來(lái)方便，掌握常見(jiàn)求和方法，如分組轉(zhuǎn)化求和，裂項(xiàng)法，錯(cuò)位相減． 試題解析：解：（1）由題意知數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列 又因?yàn)?所以 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)， 對(duì)不成立 所以，數(shù)列的通項(xiàng)公式: （2）時(shí)， 時(shí)， 所以 仍然適合上式 綜上， 考點(diǎn)：1、求數(shù)列的通項(xiàng)公式；2、裂項(xiàng)法求數(shù)列的和． 18．（1）3（2） 【解析】本題主要考查了點(diǎn)，線和面間的距離計(jì)算．解題的關(guān)鍵是利用了法向量的方法求點(diǎn)到面的距離。 （1）因?yàn)椋┰O(shè)，由題設(shè)，可知棱長(zhǎng)。 （2）因?yàn)樵陂L(zhǎng)方體中//， 所以即為異面直線與所成的角（或其補(bǔ)角） 那么借助于三角形求解得到結(jié)論。 解：（1）設(shè)，由題設(shè)， 得，即，解得． 故的長(zhǎng)為． ……………………………6分 （2）因?yàn)樵陂L(zhǎng)方體中//， 所以即為異面直線與所成的角（或其補(bǔ)角）．…………………………8分 在△中，計(jì)算可得，則的余弦值為?！?2分 19．3．（1）選到的人身高都在以下的概率為； （2）選到的人的身高都在以上且體重指標(biāo)都在中的概率為. 【解析】試題分析：（1）先確定身高低于的只有、、、四人，然后利用列舉法將所有可能的基本事件以及問(wèn)題中事件所包含的基本事件列出，并利用古典概型的概率計(jì)算公式來(lái)計(jì)算出問(wèn)題中事件的概率；（2）先將身高都在以上且體重指標(biāo)都在的同學(xué)為、、三人，然后利用列舉法將所有可能的基本事件以及問(wèn)題中事件所包含的基本事件列出，并利用古典概型的概率計(jì)算公式來(lái)計(jì)算出問(wèn)題中事件的概率； 試題解析：（1）從身高低于1．80的同學(xué)中任選2人，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有： (A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6個(gè)． 由于每個(gè)人被選到的機(jī)會(huì)均等，因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的． 4分 選到的2人身高都在1．78以下的事件有：(A，B)，(A，C)，(B，C)，共3個(gè)． 因此選到的2人身高都在1．78以下的概率為． 6分 （2）從該小組同學(xué)中任選2人，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)， (A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10個(gè)． 由于每個(gè)人被選到的機(jī)會(huì)均等，因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的． 10分 選到的2人身高都在1．70以上且體重指標(biāo)都在[18．5，23．9)中的事件有： (C，D)，(C，E)，(D，E)，共3個(gè)． 因此選到的2人的身高都在1．70以上且體重指標(biāo)都在[18．5，23．9)中的概率為． 12分 考點(diǎn)：1.列舉法；2.古典概型 20．(Ⅰ) ;(Ⅱ) 【解析】 試題分析：（1）設(shè)C：（A＞b＞0），由條件知A-C=,由此能導(dǎo)出C的方程．(Ⅱ)由題意可知λ=3或O點(diǎn)與P點(diǎn)重合．當(dāng)O點(diǎn)與P點(diǎn)重合時(shí)，m=0．當(dāng)λ=3時(shí)，直線l與y軸相交，設(shè)l與橢圓C交點(diǎn)為A（x1，y1），B（x2，y2），得再由根的判別式和韋達(dá)定理進(jìn)行求解． 試題解析：（1）設(shè)C：（＞b＞0），設(shè)C＞0，，由條件知4=4，，∴a=1，b=C=,故C的方程為：; 4分 (Ⅱ)設(shè)：y=kx+m與橢圓C的交點(diǎn)為A(，)，B(，)。將y=kx+m代入 得,所以①, ...............................6分 因?yàn)?，，所? 所以, ........................... 8分 消去得,所以,....9分 即,當(dāng)時(shí), ...10分 所以,由①得,解得 12分 考點(diǎn)：1、直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題；2、向量在幾何中的應(yīng)用． 21．（1），；（2）. 【解析】 試題分析：（1）利用條件“曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且在點(diǎn)處的切線為”得到 以及，從而列出方程組求解、的值；（2）利用參數(shù)分離法將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為 在區(qū)間上恒成立，并構(gòu)造新函數(shù)，轉(zhuǎn)化為， 利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在區(qū)間的最大值，從而可以求出實(shí)數(shù)的取值范圍. （1）， 依題意，，即，解得； （2）由，得：， 時(shí)， 即恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)， 設(shè)，，， 由得（舍去），， 當(dāng)，；當(dāng)，， 在區(qū)間 上的最大值為， 所以常數(shù)的取值范圍為. 考點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2.不等式恒成立 22．解析：選修4—1：幾何證明選講 解：（I）連結(jié)OC，∴∠OAC=∠OCA，又∵CA是∠BAF的角平分線， ∴∠OAC=∠FAC， ∴∠FAC=∠ACO，∴OC∥AD.………………3分 ∵CD⊥AF， ∴CD⊥OC，即DC是⊙O的切線.…………5分 （Ⅱ）連結(jié)BC，在Rt△ACB中， CM⊥AB，∴CM2=AM·MB. 又∵DC是⊙O的切線，∴DC2=DF·DA. 易知△AMC≌△ADC，∴DC=CM， ∴AM·MB=DF·DA…………10分 23選修4-4：參數(shù)方程和極坐標(biāo)。 (Ⅰ) ；（Ⅱ）. 【解析】本題考查坐標(biāo)系和參數(shù)方程.考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算能力.第一問(wèn)利用互化公式將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為普通方程；第二問(wèn)，先將直線方程代入曲線中，整理，利用兩根之和、兩根之積求弦長(zhǎng). 試題解析：（Ⅰ）由，得，即曲線的直角坐標(biāo)方程為． 5分 （Ⅱ）將直線l的方程代入，并整理得，，，．所以． 10分 考點(diǎn)：1.極坐標(biāo)方程與普通方程的互化；2.韋達(dá)定理. 24．解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)， 由得 當(dāng)時(shí)，不等式可化為，其解集為 當(dāng)時(shí)，不等式化為，不可能成立，其解集為； 當(dāng)時(shí)，不等式化為，其解集為 綜上所述，的解集為 （5分） （Ⅱ），∴要成立， 則，， 即的取值范圍是。 （10分）