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2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 13-1相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì)同步檢測(I)新人教A版選修4-1 一、填空題 1．如圖，AB∥CD，E、F分別為AD、BC的中點，若AB＝18，CD＝4，則EF的長是__________． 解析：因為AB∥CD，設(shè)AD，BC的交點為O，所以△OCD∽△OBA，所以＝＝. 因為E、F分別為AD、BC的中點，所以＝，又因為△OCD∽△OFE，所以＝， 所以EF的長是7. 答案：7 2．將三角形紙片ABC按如圖所示的方式折疊，使點B落在邊AC上，記為點B′，折痕為EF.已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以點B′、F、C為頂點的三角形與△ABC相似，則BF＝__________. 解析：設(shè)BF＝x. 若△CFB′∽△CBA，則＝，即＝. ∴12－3x＝4x，∴x＝. 若△CFB′∽△CAB，則＝， 即＝，得x＝2. 即BF＝2或. 答案：2或 3．在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD∶BD＝2∶3.則△ACD與△CBD的相似比為________． 解析：如圖所示，在Rt△ACB中，CD⊥AB，由射影定理得：CD2＝AD·BD. 又∵AD∶BD＝2∶3， 令A(yù)D＝2x，BD＝3x(x＞0)， ∴CD2＝6x2，∴CD＝x. 又∵∠ADC＝∠BDC＝90°， ∴△ACD∽△CBD. 易知△ACD與△CBD的相似比為＝＝. 即相似比為∶3. 答案：∶3 4．如圖，在△ABC中，DE∥BC，DE分別與AB、AC相交于點D、E，AD∶AB＝1∶3.若DE＝2，則BC＝__________. 解析：∵DE∥BC， ∴＝，即＝. 解得BC＝6. 答案：6 5．如圖，在△ABC中，D是AC的中點，E是BD的中點，延長AE交BC于F，則＝__________. 解析：如圖，過D作DG∥BC交AF于G， ∵E是BD的中點，∴DG＝BF. 又∵DG∥BC，∴＝＝. ∴＝＝. 答案： 6．如圖，P為⊙O直徑BA延長線上一點．PC切半⊙O于C，且PA∶PC＝2∶3，則sin∠ACP＝__________. 解析：連接BC，由已知得△PAC∽△PCB. 于是＝＝，設(shè)AC＝2k，BC＝3k， 由∠ACB＝90°，AB＝k. ∴sin∠ACP＝sin∠ABC＝＝. 答案： 7．如圖，在△ABC中，M、N分別是AB、BC的中點，AN、CM交于點O，那么△MON與△AOC面積的比是__________． 解析：∵M(jìn)、N分別是AB、BC的中點， ∴MN∥AC，MN＝AC. ∴△MNO∽△CAO. ∴＝2＝2＝. 答案：1∶4 8．如圖，已知M是?ABCD的邊AB的中點，CM交BD于E，圖中陰影部分面積與?ABCD的面積之比為__________． 解析：S△BMD＝S△ABD＝S?ABCD， 由BM∥CD，得△DCE∽△BME， 則DE∶BE＝CD∶BM＝2∶1. 所以S△DME∶S△BMD＝DE∶BD＝2∶3， 即S△DME＝S△BMD，又S△DME＝S△BCE. 所以S陰影＝2S△DME＝S△BMD ＝×S?ABCD＝S?ABCD. 即S陰影∶S?ABCD＝1∶3. 答案：1∶3 9．如圖，Rt△ABC中，CD為斜邊AB上的高，CD＝6，且AD∶BD＝3∶2，則斜邊AB上的中線CE的長為__________． 解析：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴CD2＝AD·BD. 設(shè)AD＝3x，那么BD＝2x，AB＝5x， ∵CD＝6， ∴6x2＝6. ∴x＝，AB＝5x＝5. ∵CE是斜邊AB上的中線， ∴CE＝AB＝. 答案： 10．如圖，矩形ABCD中，E是BC上的點，AE⊥DE，BE＝4，EC＝1，則AB的長為________． 解析：根據(jù)題意可以判斷Rt△ABE∽Rt△ECD， 則有＝，可得AB＝2. 答案：2 11．如圖，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD＝，點E，F(xiàn)分別為線段AB，AD的中點，則EF＝__________. 解析：連接DE和BD，依題知， EB∥DC，EB＝DC＝， ∴EBCD為平行四邊形，∵CB⊥AB， ∴DE⊥AB，又E是AB的中點，故AD＝DB＝a， ∵E，F(xiàn)分別是AD，AB的中點， ∴EF＝DB＝a. 答案： 12．如圖，在?ABCD中，E是DC邊的中點，AE交BD于O，S△DOE＝9 cm2，S△AOB＝__________. 解析：∵在?ABCD中 ，AB∥DE， ∴△AOB∽△EOD， ∴＝2. ∵E是CD的中點， ∴DE＝CD＝AB， 則＝2，∴＝22＝4， ∴S△AOB＝4S△DOE＝4×9＝36(cm)2. 答案：36 cm2 13．如圖，在△ABC中，AC＝BC，F(xiàn)為底邊AB上的一點，＝(m，n>0)，取CF的中點D，連接AD并延長交BC于點E.則＝__________. 解析：如圖，作FG∥BC交AE于點G，則＝＝1，＝＝.兩式相乘即得 ＝. 答案： 14．如圖△ABC中，DE∥BC，BE與CD相交于點O，AO與DE交于N，AO的延長線與BC交于M，若DN∶MC＝1∶4，則NE∶BM＝__________，AE∶EC＝__________. 解析：∵＝＝，＝＝， ∴＝＝，即NE∶BM＝1∶4. ∵＝＝＝， ∴＝，即AE∶EC＝1∶3. 答案：1∶4　1∶3 二、解答題 15．如圖，在△ABC中，D、F分別在AC、BC上，且AB⊥AC，AF⊥BC，BD＝DC＝FC＝1，求AC. 解析：在△ABC中，設(shè)AC為x， ∵AB⊥AC，AF⊥BC，F(xiàn)C＝1， 根據(jù)射影定理得：AC2＝FC·BC， 即BC＝x2. 再由射影定理得： AF2＝BF·FC＝(BC－FC)·FC， ∴AF＝. 在△ABC中，過點D作DE⊥BC于E， ∵BD＝DC＝1，∴BE＝EC， 又∵AF⊥BC，∴DE∥AF， ∴＝， ∴DE＝＝. 在Rt△DEC中， ∵DE2＋EC2＝DC2， 即2＋2＝12， 即＋＝1， ∴x＝，即AC＝. 16．有一塊直角三角形木板，如圖所示，∠C＝90°，AB＝5 cm，BC＝3 cm，AC＝4 cm，根據(jù)需要，要把它加工成一個面積最大的正方形木板，設(shè)計一個方案，應(yīng)怎樣裁才能使正方形木板面積最大，并求出這個正方形木板的邊長． 解析：如圖(1)所示，設(shè)正方形DEFG的邊長為x cm，過點C作CM⊥AB于M，交DE于N， ∵S△ABC＝AC·BC＝AB·CM， ∴AC·BC＝AB·CM，即3×4＝5·CM. ∴CM＝. ∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB. ∴＝，即＝. ∴x＝. (1) 　　 (2) 如圖(2)所示，設(shè)正方形CDEF的邊長為y cm， ∵EF∥AC，∴△BEF∽△BAC. ∴＝，即＝. ∴y＝. ∵x＝，y＝＝，∴x＜y. ∴當(dāng)按圖(2)的方法裁剪時，正方形面積最大，其邊長為 cm.